Quantale

En mathématiques , les quantales sont certaines structures algébriques partiellement ordonnées qui généralisent les topologies locales ( topologies sans points ) ainsi que divers réseaux multiplicatifs d' idéaux de la théorie des anneaux et de l'analyse fonctionnelle ( algèbres C* , algèbres de von Neumann ). Les quantales sont parfois appelées semi-groupes résiduels complets .

Aperçu

Un quantale est un réseau complet avec une opération binaire associative , appelée sa multiplication , satisfaisant une propriété distributive telle que ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \ast \colon Q imes Q o Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∗</mo> <mo>:</mo> <mi>Q</mi> <mo>×</mo> <mi>Q</mi> <mo>→</mo> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \ast \colon Q\fois Q\à Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}} ight)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x*\gauche(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\droite)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}} ight)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∗</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\droite)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour tout et (ici un ensemble d'indices quelconque ). Le quantale est unitaire s'il possède un élément neutre pour sa multiplication : ${\displaystyle x,y_{i}\in Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y_{i}\dans Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle i\in I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i\dans I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle e <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle x*e=x=e*x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>et</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x*e=x=e*x}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour tout . Dans ce cas, le quantale est naturellement un monoïde par rapport à sa multiplication . ${\displaystyle x\in Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\dans Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \ast <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \ast }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Un quantale unitaire peut être défini de manière équivalente comme un monoïde dans la catégorie Sup des demi-réseaux de jonction complets .

Un quantale unitaire est un semi-anneau idempotent sous jointure et multiplication.

Un quantale unitaire dans lequel l'identité est l' élément supérieur du réseau sous-jacent est dit strictement bilatéral (ou simplement intégral ).

Un quantale commutatif est un quantale dont la multiplication est commutative . Un repère , dont la multiplication est donnée par l' opération meet , est un exemple typique de quantale commutatif strictement bilatéral. Un autre exemple simple est fourni par l' intervalle unitaire avec sa multiplication habituelle .

Un quantal idempotent est un quantal dont la multiplication est idempotente . Un repère est identique à un quantal idempotent strictement bilatéral.

Un quantale involutif est un quantale avec une involution

{\displaystyle (xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>et</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui préserve les jointures :

{\displaystyle {\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mrow> <mo>∘</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Un homomorphisme quantique est une application qui préserve les jointures et les multiplications pour tout et : ${\displaystyle f\colon Q_{1} o Q_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon Q_{1}\à Q_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y,x_{i}\in Q_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y,x_{i}\dans Q_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle i\in I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i\dans I}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(xy)=f(x)f(y), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(xy)=f(x)f(y),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}} ight)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow> <mi>je</mi> <mo>∈</mo> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\gauche(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\droite)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=