Système de réaction-diffusion

Les systèmes de réaction-diffusion sont des modèles mathématiques qui correspondent à plusieurs phénomènes physiques. Le plus courant est la variation dans l'espace et dans le temps de la concentration d'une ou plusieurs substances chimiques : les réactions chimiques locales dans lesquelles les substances se transforment les unes en les autres, et la diffusion qui provoque la dispersion des substances sur une surface dans l'espace.

Les systèmes de réaction-diffusion sont naturellement appliqués en chimie . Cependant, le système peut également décrire des processus dynamiques de nature non chimique. On en trouve des exemples en biologie , en géologie et en physique (théorie de la diffusion des neutrons) et en écologie . Mathématiquement, les systèmes de réaction-diffusion prennent la forme d' équations aux dérivées partielles paraboliques semi-linéaires . Ils peuvent être représentés sous la forme générale

où q ( x , t ) représente la fonction vectorielle inconnue, D est une matrice diagonale de coefficients de diffusion et R représente toutes les réactions locales. Les solutions des équations de réaction-diffusion présentent une large gamme de comportements, y compris la formation d' ondes progressives et de phénomènes ondulatoires ainsi que d'autres motifs auto-organisés comme des bandes, des hexagones ou des structures plus complexes comme des solitons dissipatifs . De tels motifs ont été surnommés « motifs de Turing ». Chaque fonction, pour laquelle une équation différentielle de réaction-diffusion est vraie, représente en fait une variable de concentration .

L’équation de réaction-diffusion la plus simple est dans une dimension spatiale en géométrie plane,

est également appelée équation de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . Si le terme de réaction disparaît, l'équation représente un processus de diffusion pure. L'équation correspondante est la deuxième loi de Fick . Le choix R ( u ) = u (1 − u ) donne l'équation de Fisher qui a été utilisée à l'origine pour décrire la propagation des populations biologiques , l'équation de Newell–Whitehead-Segel avec R ( u ) = u (1 − u ² ) pour décrire la convection de Rayleigh–Bénard , l'équation plus générale de Zeldovich–Frank-Kamenetskii avec R ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )} et 0 < β < ∞ ( nombre de Zeldovich ) qui apparaît dans la théorie de la combustion , et son cas dégénéré particulier avec R ( u ) = u ² − u ³ qui est parfois également appelé l'équation de Zeldovich.

La dynamique des systèmes à un composant est soumise à certaines restrictions car l'équation d'évolution peut également être écrite sous la forme variationnelle

et décrit donc une diminution permanente de « l'énergie libre » donnée par la fonctionnelle

avec un potentiel V ( u ) tel que R ( u ) = ⁠d V ( u )/d u⁠ .

Dans les systèmes avec plus d'une solution homogène stationnaire, une solution typique est donnée par des fronts mobiles reliant les états homogènes. Ces solutions se déplacent à vitesse constante sans changer de forme et sont de la forme u ( x , t ) = û ( ξ ) avec ξ = x − ct , où c est la vitesse de l'onde mobile. Notez que si les ondes mobiles sont des structures généralement stables, toutes les solutions stationnaires non monotones (par exemple les domaines localisés composés d'une paire front-antifront) sont instables. Pour c = 0 , il existe une preuve simple de cette affirmation : si u ₀ ( x ) est une solution stationnaire et u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t ) est une solution infinitésimalement perturbée, l'analyse de stabilité linéaire donne l'équation

Avec l'ansatz ũ = ψ ( x )exp(− λt ) on arrive au problème des valeurs propres

de type Schrödinger où les valeurs propres négatives entraînent l'instabilité de la solution. En raison de l'invariance translationnelle, ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) est une fonction propre neutre avec la valeur propre λ = 0 , et toutes les autres fonctions propres peuvent être triées selon un nombre croissant de nœuds avec la grandeur de la valeur propre réelle correspondante augmentant de façon monotone avec le nombre de zéros. La fonction propre ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) doit avoir au moins un zéro, et pour une solution stationnaire non monotone la valeur propre correspondante λ = 0 ne peut pas être la plus petite, ce qui implique une instabilité.

Pour déterminer la vitesse c d'un front en mouvement, on peut se tourner vers un système de coordonnées en mouvement et examiner les solutions stationnaires :

Cette équation a un bel analogue mécanique comme le mouvement d'une masse D de position û au cours du "temps" ξ sous la force R de coefficient d'amortissement c qui permet un accès assez illustratif à la construction de différents types de solutions et à la détermination de c .

En passant d'une dimension à plusieurs dimensions de l'espace, un certain nombre d'affirmations issues de systèmes unidimensionnels peuvent encore être appliquées. Les fronts d'onde plans ou courbes sont des structures typiques, et un nouvel effet apparaît lorsque la vitesse locale d'un front courbe devient dépendante du rayon de courbure local (cela peut être observé en passant aux coordonnées polaires ). Ce phénomène conduit à ce que l'on appelle l'instabilité induite par la courbure.

Les systèmes à deux composants permettent une gamme de phénomènes possibles beaucoup plus large que leurs homologues à un seul composant. Une idée importante qui a été proposée pour la première fois par Alan Turing est qu'un état stable dans le système local peut devenir instable en présence de diffusion .

Une analyse de stabilité linéaire montre cependant que lors de la linéarisation du système général à deux composants

une perturbation d'onde plane

de la solution homogène stationnaire satisfera

L'idée de Turing ne peut être réalisée que dans quatre classes d'équivalence de systèmes caractérisées par les signes du Jacobien R ′ de la fonction de réaction. En particulier, si un vecteur d'onde fini k est supposé être le plus instable, le Jacobien doit avoir les signes

Cette classe de systèmes est appelée système activateur-inhibiteur d'après son premier représentant : à proximité de l'état fondamental, un composant stimule la production des deux composants tandis que l'autre inhibe leur croissance. Son représentant le plus important est l' équation de FitzHugh-Nagumo

avec f  ( u ) = λu − u ³ − κ qui décrit comment un potentiel d'action traverse un nerf. Ici, d _u , d _v , τ , σ et λ sont des constantes positives.  

Lorsqu'un système activateur-inhibiteur subit un changement de paramètres, on peut passer de conditions dans lesquelles un état fondamental homogène est stable à des conditions dans lesquelles il est linéairement instable. La bifurcation correspondante peut être soit une bifurcation de Hopf vers un état homogène oscillant globalement avec un nombre d'onde dominant k = 0 , soit une bifurcation de Turing vers un état à motifs globaux avec un nombre d'onde fini dominant. Cette dernière dans deux dimensions spatiales conduit généralement à des motifs en bandes ou hexagonaux.

• Bifurcation de Turing sous-critique : formation d'un motif hexagonal à partir de conditions initiales bruyantes dans le système de réaction-diffusion à deux composants ci-dessus de type Fitzhugh-Nagumo.
• 
  Conditions initiales bruyantes à t = 0.
• 
  État du système à t = 10.
• 
  État presque convergé à t = 100.

Pour l'exemple de Fitzhugh–Nagumo, les courbes de stabilité neutre marquant la limite de la région linéairement stable pour la bifurcation de Turing et Hopf sont données par

Si la bifurcation est sous-critique, des structures souvent localisées ( solitons dissipatifs ) peuvent être observées dans la région hystérétique où le motif coexiste avec l'état fondamental. D'autres structures fréquemment rencontrées comprennent des trains d'impulsions (également appelés ondes progressives périodiques ), des ondes spirales et des motifs cibles. Ces trois types de solutions sont également des caractéristiques génériques des équations de réaction-diffusion à deux (ou plusieurs) composantes dans lesquelles la dynamique locale a un cycle limite stable

• D'autres modèles ont été trouvés dans le système de réaction-diffusion à deux composants de type Fitzhugh-Nagumo.
• 
  Spirale tournante.
• 
  Modèle cible.
• 
  Impulsion localisée stationnaire (soliton dissipatif).

Pour une variété de systèmes, des équations de réaction-diffusion avec plus de deux composantes ont été proposées, par exemple la réaction de Belousov-Zhabotinsky [ pour la coagulation du sang , les ondes de fission de décharge de gaz planaire .

Il est connu que les systèmes à plusieurs composants permettent une variété de phénomènes qui ne sont pas possibles dans les systèmes à un ou deux composants (par exemple, des impulsions stables dans plus d'une dimension spatiale sans rétroaction globale). Une introduction et un aperçu systématique des phénomènes possibles en fonction des propriétés du système sous-jacent sont donnés dans.

Ces derniers temps, les systèmes de réaction-diffusion ont suscité beaucoup d'intérêt en tant que modèle prototype pour la formation de motifs . Les motifs mentionnés ci-dessus (fronts, spirales, cibles, hexagones, bandes et solitons dissipatifs) peuvent être trouvés dans divers types de systèmes de réaction-diffusion malgré de grandes divergences, par exemple dans les termes de réaction locaux. Il a également été avancé que les processus de réaction-diffusion sont une base essentielle pour les processus liés à la morphogenèse en biologie et peuvent même être liés au pelage des animaux et à la pigmentation de la peau. D'autres applications des équations de réaction-diffusion comprennent les invasions écologiques, la propagation des épidémies, la croissance tumorale, la dynamique des ondes de fission, la cicatrisation des plaies et les hallucinations visuelles. Une autre raison de l’intérêt pour les systèmes de réaction-diffusion est que, bien qu’il s’agisse d’équations aux dérivées partielles non linéaires, il existe souvent des possibilités de traitement analytique.

Des expériences bien contrôlables dans des systèmes de réaction-diffusion chimique ont jusqu'à présent été réalisées de trois manières. Tout d'abord, des réacteurs à gel ou des tubes capillaires remplis peuvent être utilisés. Deuxièmement, des impulsions de température sur des surfaces catalytiques ont été étudiées. Troisièmement, la propagation d'impulsions nerveuses en cours d'exécution est modélisée à l'aide de systèmes de réaction-diffusion.

Outre ces exemples génériques, il s'est avéré que dans des circonstances appropriées, des systèmes de transport électrique tels que les plasmas ou les semi-conducteurs peuvent être décrits selon une approche de réaction-diffusion. Pour ces systèmes, diverses expériences sur la formation de motifs ont été réalisées.

Un système de réaction-diffusion peut être résolu en utilisant des méthodes de mathématiques numériques . Il existe plusieurs traitements numériques dans la littérature de recherche. Des méthodes de résolution numérique sont également proposées pour des géométries complexes . Pour le plus haut degré de détail, les systèmes de réaction-diffusion sont décrits avec des outils de simulation basés sur des particules comme SRSim ou ReaDDy qui utilisent par exemple la dynamique de réaction des particules en interaction réversible.