Sonnerie locale régulière

En algèbre commutative , un anneau local régulier est un anneau local noethérien ayant la propriété que le nombre minimal de générateurs de son idéal maximal est égal à sa dimension de Krull . Dans les symboles, soit A un anneau local noethérien d'unique idéal maximal m, et supposons que a ₁ , ..., a _n est un ensemble minimal de générateurs de m. Alors le théorème de l'idéal principal de Krull implique que n ≥ dim A , et A est régulier lorsque n = dim A .

Le concept est motivé par sa signification géométrique. Un point x sur une variété algébrique X est non singulier (un point lisse ) si et seulement si l'anneau local de germes en x est régulier. (Voir aussi : schéma régulier .) Les anneaux locaux réguliers ne sont pas apparentés aux anneaux réguliers de von Neumann .

Pour les anneaux locaux noethériens, il existe la chaîne d’inclusions suivante :

Anneaux caténaires universels ⊃ Anneaux de Cohen–Macaulay ⊃ Anneaux de Gorenstein ⊃ Anneaux d'intersection complets ⊃ Anneaux locaux réguliers

Il existe un certain nombre de définitions utiles d'un anneau local régulier, dont l'une est mentionnée ci-dessus. En particulier, si est un anneau local noethérien d'idéal maximal , alors les définitions suivantes sont équivalentes :

• Soit où est choisi le plus petit possible. Alors est régulier si

où la dimension est la dimension de Krull. L'ensemble minimal des générateurs de est alors appelé un système régulier de paramètres .

• Soit le corps résiduel de . Alors est régulier si

où la deuxième dimension est la dimension Krull .

• Soit la dimension globale de (c'est-à-dire le supremum des dimensions projectives de tous les -modules.) Alors est régulier si

,

dans ce cas, .

Le critère de multiplicité un énonce : si la complétude d'un anneau local noethérien A est non-mixte (au sens où il n'y a pas de diviseur premier encastré de l'idéal nul et pour tout nombre premier minimal p , ) et si la multiplicité de A est un, alors A est régulier. (La réciproque est toujours vraie : la multiplicité d'un anneau local régulier est un.) Ce critère correspond à une intuition géométrique en géométrie algébrique selon laquelle un anneau local d'une intersection est régulier si et seulement si l'intersection est une intersection transversale .

Dans le cas de caractéristique positive , on obtient le résultat important suivant dû à Kunz : un anneau local noethérien de caractéristique positive p est régulier si et seulement si le morphisme de Frobenius est plat et réduit . On ne connaît pas de résultat similaire en caractéristique zéro (on ne sait pas comment remplacer le morphisme de Frobenius) .

1. Chaque corps est un anneau local régulier. Ceux-ci ont une dimension (Krull) 0. En fait, les corps sont exactement les anneaux locaux réguliers de dimension 0.
2. Tout anneau de valuation discret est un anneau local régulier de dimension 1 et les anneaux locaux réguliers de dimension 1 sont exactement les anneaux de valuation discrets. Plus précisément, si k est un corps et X est une indéterminée, alors l'anneau de séries formelles k [[ X ]] est un anneau local régulier de dimension (Krull) 1.
3. Si p est un nombre premier ordinaire, l'anneau des entiers p-adiques est un exemple d'anneau de valuation discrète, et par conséquent d'anneau local régulier, qui ne contient pas de corps.
4. Plus généralement, si k est un corps et X ₁ , X ₂ , ..., X _d sont indéterminés, alors l'anneau des séries formelles k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] est un anneau local régulier de dimension (Krull) d .
5. Si A est un anneau local régulier, alors il s'ensuit que l' anneau formel en série entière A [[ x ]] est un anneau local régulier.
6. Si Z est l'anneau des entiers et X est une indéterminée, l'anneau Z [ X ] _{(2, X )} (c'est-à-dire l'anneau Z [ X ] localisé dans l'idéal premier (2, X ) ) est un exemple d'anneau local régulier à 2 dimensions qui ne contient pas de corps.
7. D'après le théorème de structure d' Irvin Cohen , un anneau local régulier complet de dimension de Krull d qui contient un corps k est un anneau de séries entières à d variables sur un corps d'extension de k .

L'anneau n'est pas un anneau local régulier car il est de dimension finie mais n'a pas de dimension globale finie. Par exemple, il existe une résolution infinie

En utilisant une autre des caractérisations, a exactement un idéal premier , donc l'anneau a une dimension de Krull , mais est l'idéal zéro, donc a une dimension au moins égale à . (En fait, il est égal à puisque c'est une base.)

Le théorème d'Auslander-Buchsbaum stipule que chaque anneau local régulier est un domaine de factorisation unique .

Toute localisation , ainsi que toute complétude , d'un anneau local régulier est régulière.

Si est un anneau local régulier complet qui contient un corps, alors

où est le corps résiduel , et , la dimension de Krull.

Voir aussi : Inégalité de Serre sur la hauteur et Conjectures de multiplicité de Serre .

Les anneaux locaux réguliers ont été définis à l'origine par Wolfgang Krull en 1937, mais ils sont devenus importants pour la première fois quelques années plus tard dans les travaux d' Oscar Zariski , qui a montré que géométriquement, un anneau local régulier correspond à un point lisse sur une variété algébrique . Soit Y une variété algébrique contenue dans un n -espace affine sur un corps parfait , et supposons que Y soit le lieu nul des polynômes f ₁ ,..., f _m . Y est non singulier en P si Y satisfait une condition jacobienne : Si M = (∂ f _i /∂ x _j ) est la matrice des dérivées partielles des équations définissant la variété, alors le rang de la matrice trouvée en évaluant M en P est n − dim Y . Zariski a prouvé que Y est non singulier en P si et seulement si l'anneau local de Y en P est régulier. (Zariski a observé que cela peut échouer sur des corps non parfaits.) Cela implique que la régularité est une propriété intrinsèque de la variété, en d'autres termes, elle ne dépend pas de l'endroit ou de la manière dont la variété est intégrée dans l'espace affine. Cela suggère également que les anneaux locaux réguliers devraient avoir de bonnes propriétés, mais avant l'introduction des techniques d' algèbre homologique, on en savait très peu dans ce sens. Une fois ces techniques introduites dans les années 1950, Auslander et Buchsbaum ont prouvé que chaque anneau local régulier est un domaine de factorisation unique .

Une autre propriété suggérée par l'intuition géométrique est que la localisation d'un anneau local régulier devrait être à nouveau régulière. Là encore, cette hypothèse n'a pas été résolue jusqu'à l'introduction des techniques homologiques. C'est Jean-Pierre Serre qui a trouvé une caractérisation homologique des anneaux locaux réguliers : un anneau local A est régulier si et seulement si A a une dimension globale finie , c'est-à-dire si tout A -module a une résolution projective de longueur finie. Il est facile de montrer que la propriété d'avoir une dimension globale finie est préservée sous localisation, et par conséquent que les localisations des anneaux locaux réguliers aux idéaux premiers sont à nouveau régulières.

Ceci justifie la définition de la régularité pour les anneaux commutatifs non locaux donnée dans la section suivante.

En algèbre commutative , un anneau régulier est un anneau noethérien commutatif , tel que la localisation en tout idéal premier est un anneau local régulier : c'est-à-dire que toute localisation de ce type a la propriété que le nombre minimal de générateurs de son idéal maximal est égal à sa dimension de Krull .

L'origine du terme anneau régulier réside dans le fait qu'une variété affine est non singulière (c'est-à-dire que tout point est régulier ) si et seulement si son anneau de fonctions régulières est régulier.

Pour les anneaux réguliers, la dimension de Krull concorde avec la dimension homologique globale .

Jean-Pierre Serre a défini un anneau régulier comme un anneau noethérien commutatif de dimension homologique globale finie . Sa définition est plus forte que la définition ci-dessus, qui autorise des anneaux réguliers de dimension Krull infinie.

Les anneaux réguliers sont par exemple les corps (de dimension zéro) et les domaines de Dedekind . Si A est régulier, alors A [ X ] l'est aussi , avec une dimension supérieure de un à celle de A .

En particulier si k est un corps, l'anneau des entiers ou un ensemble idéal principal , alors l' anneau de polynômes est régulier. Dans le cas d'un corps, c'est le théorème de syzygie de Hilbert .

Toute localisation d’un anneau régulier est également régulière.

Un anneau régulier est réduit mais n'est pas nécessairement un ensemble entier. Par exemple, le produit de deux ensembles entiers réguliers est régulier, mais n'est pas un ensemble entier.