Échantillonnage (traitement du signal)

En traitement du signal , l'échantillonnage est la réduction d'un signal continu en un signal discret . Un exemple courant est la conversion d'une onde sonore en une séquence d'« échantillons ». Un échantillon est une valeur du signal à un moment donné dans le temps et/ou dans l'espace ; cette définition diffère de l'utilisation du terme en statistique , qui fait référence à un ensemble de telles valeurs.

Un échantillonneur est un sous-système ou une opération qui extrait des échantillons d'un signal continu . Un échantillonneur idéal théorique produit des échantillons équivalents à la valeur instantanée du signal continu aux points souhaités.

Le signal original peut être reconstruit à partir d'une séquence d'échantillons, jusqu'à la limite de Nyquist , en faisant passer la séquence d'échantillons à travers un filtre de reconstruction .

Les fonctions de l'espace, du temps ou de toute autre dimension peuvent être échantillonnées, et de même dans deux ou plusieurs dimensions.

Pour les fonctions qui varient avec le temps, soit une fonction continue (ou « signal ») à échantillonner, et soit l'échantillonnage effectué en mesurant la valeur de la fonction continue toutes les secondes, ce qui est appelé l' intervalle d'échantillonnage ou la période d'échantillonnage . La fonction échantillonnée est alors donnée par la séquence :

La fréquence d'échantillonnage ou taux d'échantillonnage , , est le nombre moyen d'échantillons obtenus en une seconde, donc , avec l'unité échantillons par seconde , parfois appelée hertz , par exemple 48 kHz correspond à 48 000 échantillons par seconde .

La reconstruction d'une fonction continue à partir d'échantillons est effectuée par des algorithmes d'interpolation. La formule d'interpolation de Whittaker-Shannon est mathématiquement équivalente à un filtre passe-bas idéal dont l'entrée est une séquence de fonctions delta de Dirac qui sont modulées (multipliées) par les valeurs d'échantillon. Lorsque l'intervalle de temps entre les échantillons adjacents est une constante , la séquence de fonctions delta est appelée peigne de Dirac . Mathématiquement, le peigne de Dirac modulé est équivalent au produit de la fonction peigne par . Cette abstraction mathématique est parfois appelée échantillonnage par impulsions .

La plupart des signaux échantillonnés ne sont pas simplement stockés et reconstruits. La fidélité d'une reconstruction théorique est une mesure courante de l'efficacité de l'échantillonnage. Cette fidélité est réduite lorsque contient des composantes de fréquence dont la longueur de cycle (période) est inférieure à 2 intervalles d'échantillonnage (voir Aliasing ). La limite de fréquence correspondante, en cycles par seconde ( hertz ), est cycle/échantillon × échantillons/seconde = , connue sous le nom de fréquence de Nyquist de l'échantillonneur. Par conséquent, est généralement la sortie d'un filtre passe-bas , connu fonctionnellement sous le nom de filtre anti-aliasing . Sans filtre anti-aliasing, les fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist influenceront les échantillons d'une manière qui sera mal interprétée par le processus d'interpolation.

En pratique, le signal continu est échantillonné à l'aide d'un convertisseur analogique-numérique (CAN), un dispositif présentant diverses limitations physiques. Il en résulte des écarts par rapport à la reconstruction théoriquement parfaite, appelés collectivement distorsion .

Différents types de distorsions peuvent se produire, notamment :

• Crénelage . Un certain degré de crénelage est inévitable car seules les fonctions théoriques, infiniment longues, ne peuvent pas avoir de contenu de fréquence au-dessus de la fréquence de Nyquist. Le crénelage peut être rendu arbitrairement petit en utilisant un ordre suffisamment grand du filtre anti-crénelage.
• L'erreur d'ouverture résulte du fait que l'échantillon est obtenu sous forme de moyenne temporelle dans une région d'échantillonnage, plutôt que d'être simplement égal à la valeur du signal à l'instant d'échantillonnage. Dans un circuit d'échantillonnage et de maintien à condensateur , les erreurs d'ouverture sont introduites par plusieurs mécanismes. Par exemple, le condensateur ne peut pas suivre instantanément le signal d'entrée et le condensateur ne peut pas être instantanément isolé du signal d'entrée.
• Gigue ou écart par rapport aux intervalles de temps précis des échantillons.
• Bruit , y compris le bruit du capteur thermique, le bruit du circuit analogique , etc.
• Erreur de limite de vitesse de balayage , causée par l'incapacité de la valeur d'entrée de l'ADC à changer suffisamment rapidement.
• Quantification comme conséquence de la précision finie des mots qui représentent les valeurs converties.
• Erreur due à d’autres effets non linéaires du mappage de la tension d’entrée à la valeur de sortie convertie (en plus des effets de quantification).

Bien que l'utilisation du suréchantillonnage puisse éliminer complètement l'erreur d'ouverture et le repliement en les décalant hors de la bande passante, cette technique ne peut pas être utilisée en pratique au-delà de quelques GHz et peut être extrêmement coûteuse à des fréquences beaucoup plus basses. De plus, bien que le suréchantillonnage puisse réduire l'erreur de quantification et la non-linéarité, il ne peut pas les éliminer entièrement. Par conséquent, les convertisseurs analogique-numérique pratiques aux fréquences audio ne présentent généralement pas de repliement, d'erreur d'ouverture et ne sont pas limités par l'erreur de quantification. Au lieu de cela, le bruit analogique domine. Aux fréquences RF et micro-ondes où le suréchantillonnage est peu pratique et les filtres coûteux, l'erreur d'ouverture, l'erreur de quantification et le repliement peuvent constituer des limitations importantes.

La gigue, le bruit et la quantification sont souvent analysés en les modélisant comme des erreurs aléatoires ajoutées aux valeurs d'échantillon. Les effets d'intégration et de maintien d'ordre zéro peuvent être analysés comme une forme de filtrage passe-bas . Les non-linéarités de l'ADC ou du DAC sont analysées en remplaçant le mappage de fonction linéaire idéal par une fonction non linéaire proposée .

L'audio numérique utilise la modulation par impulsions codées (PCM) et les signaux numériques pour la reproduction sonore. Cela comprend la conversion analogique-numérique (ADC), la conversion numérique-analogique (DAC), le stockage et la transmission. En effet, le système communément appelé numérique est en fait un analogue à temps discret et à niveau discret d'un analogue électrique antérieur. Bien que les systèmes modernes puissent être assez subtils dans leurs méthodes, l'utilité principale d'un système numérique est la capacité de stocker, de récupérer et de transmettre des signaux sans aucune perte de qualité.

Lorsqu'il est nécessaire de capturer un son couvrant toute la plage de 20 à 20 000 Hz de l'audition humaine comme lors de l'enregistrement de musique ou de nombreux types d'événements acoustiques, les formes d'onde audio sont généralement échantillonnées à 44,1 kHz ( CD ), 48 kHz, 88,2 kHz ou 96 kHz. L'exigence d'un taux d'échantillonnage approximativement double est une conséquence du théorème de Nyquist . Les taux d'échantillonnage supérieurs à environ 50 kHz à 60 kHz ne peuvent pas fournir d'informations plus exploitables pour les auditeurs humains. Les premiers fabricants d'équipements audio professionnels ont choisi des taux d'échantillonnage de l'ordre de 40 à 50 kHz pour cette raison.

L'industrie a tendance à adopter des taux d'échantillonnage bien supérieurs aux exigences de base : 96 kHz, voire 192 kHz Même si les fréquences ultrasonores sont inaudibles pour les humains, l'enregistrement et le mixage à des taux d'échantillonnage plus élevés permettent d'éliminer efficacement la distorsion qui peut être causée par le repliement . À l'inverse, les sons ultrasonores peuvent interagir avec la partie audible du spectre de fréquences et la moduler ( distorsion d'intermodulation ), dégradant ainsi la fidélité. L'un des avantages des taux d'échantillonnage plus élevés est qu'ils peuvent assouplir les exigences de conception des filtres passe-bas pour les ADC et les DAC , mais avec les convertisseurs delta-sigma à suréchantillonnage modernes, cet avantage est moins important.

L' Audio Engineering Society recommande une fréquence d'échantillonnage de 48 kHz pour la plupart des applications, mais reconnaît 44,1 kHz pour les CD et autres utilisations grand public, 32 kHz pour les applications liées à la transmission et 96 kHz pour une bande passante plus élevée ou un filtrage anti-aliasing plus souple . Lavry Engineering et J. Robert Stuart affirment tous deux que la fréquence d'échantillonnage idéale serait d'environ 60 kHz, mais comme il ne s'agit pas d'une fréquence standard, ils recommandent 88,2 ou 96 kHz à des fins d'enregistrement.

Une liste plus complète des fréquences d'échantillonnage audio courantes est :

L'audio est généralement enregistré à une profondeur de 8, 16 et 24 bits, ce qui donne un rapport signal/bruit de quantification (SQNR) maximal théorique pour une onde sinusoïdale pure d'environ 49,93 dB , 98,09 dB et 122,17 dB. L'audio de qualité CD utilise des échantillons de 16 bits. Le bruit thermique limite le nombre réel de bits qui peuvent être utilisés dans la quantification. Peu de systèmes analogiques ont des rapports signal/bruit (SNR) supérieurs à 120 dB. Cependant, les opérations de traitement du signal numérique peuvent avoir une plage dynamique très élevée, par conséquent il est courant d'effectuer des opérations de mixage et de matriçage avec une précision de 32 bits, puis de convertir en 16 ou 24 bits pour la distribution.

Les signaux de parole, c'est-à-dire les signaux destinés à véhiculer uniquement la parole humaine , peuvent généralement être échantillonnés à un taux beaucoup plus faible. Pour la plupart des phonèmes , la quasi-totalité de l'énergie est contenue dans la plage 100 Hz – 4 kHz, ce qui permet un taux d'échantillonnage de 8 kHz. Il s'agit du taux d'échantillonnage utilisé par presque tous les systèmes de téléphonie , qui utilisent les spécifications d'échantillonnage et de quantification G.711 .

La télévision à définition standard (SDTV) utilise soit 720 x 480 pixels ( NTSC 525 lignes aux États-Unis) soit 720 x 576 pixels ( PAL 625 lignes au Royaume-Uni) pour la zone d'image visible.

La télévision haute définition (HDTV) utilise le 720p (progressif), le 1080i (entrelacé) et le 1080p (progressif, également appelé Full-HD).

En vidéo numérique , le taux d'échantillonnage temporel est défini comme la fréquence d'images – ou plutôt la fréquence de trame – plutôt que comme l'horloge de pixels notionnelle. La fréquence d'échantillonnage de l'image est le taux de répétition de la période d'intégration du capteur. Étant donné que la période d'intégration peut être considérablement plus courte que le temps entre les répétitions, la fréquence d'échantillonnage peut être différente de l'inverse du temps d'échantillonnage :

• 50 Hz – Vidéo PAL
• 60 / 1,001 Hz ~= 59,94 Hz – vidéo NTSC

Les convertisseurs vidéo numériques-analogiques fonctionnent dans la gamme des mégahertz (de ~3 MHz pour les scalers vidéo composites de faible qualité dans les premières consoles de jeux, à 250 MHz ou plus pour la sortie VGA à la plus haute résolution).

Lors de la conversion d'une vidéo analogique en vidéo numérique , un processus d'échantillonnage différent se produit, cette fois à la fréquence des pixels, correspondant à un taux d'échantillonnage spatial le long des lignes de balayage . Un taux d'échantillonnage de pixels courant est le suivant :

• 13,5 MHz – CCIR 601 , vidéo D1

L'échantillonnage spatial dans l'autre sens est déterminé par l'espacement des lignes de balayage dans la trame . Les taux d'échantillonnage et les résolutions dans les deux directions spatiales peuvent être mesurés en unités de lignes par hauteur d'image.

L'aliasing spatial des composants vidéo de luminance ou de chrominance à haute fréquence apparaît sous la forme d'un motif moiré .

Le processus de rendu volumique échantillonne une grille 3D de voxels pour produire des rendus 3D de données découpées (tomographiques). La grille 3D est supposée représenter une région continue de l'espace 3D. Le rendu volumique est courant en imagerie médicale, la tomodensitométrie à rayons X (CT/CAT), l'imagerie par résonance magnétique (IRM), la tomographie par émission de positons (TEP) en sont quelques exemples. Il est également utilisé pour la tomographie sismique et d'autres applications.

Lorsqu'un signal passe-bande est échantillonné plus lentement que sa fréquence de Nyquist , les échantillons sont impossibles à distinguer des échantillons d'un alias basse fréquence du signal haute fréquence. Cela est souvent fait délibérément de telle manière que l'alias de fréquence la plus basse satisfasse au critère de Nyquist , car le signal passe-bande est toujours représenté de manière unique et récupérable. Un tel sous-échantillonnage est également connu sous le nom d'échantillonnage passe-bande , d'échantillonnage harmonique , d'échantillonnage FI et de conversion FI directe en numérique.

Le suréchantillonnage est utilisé dans la plupart des convertisseurs analogique-numérique modernes pour réduire la distorsion introduite par les convertisseurs numériques-analogiques pratiques , comme un maintien d'ordre zéro au lieu d'idéalisations comme la formule d'interpolation Whittaker-Shannon .

L'échantillonnage complexe (ou échantillonnage I/Q ) est l'échantillonnage simultané de deux formes d'onde différentes, mais liées, résultant en paires d'échantillons qui sont ensuite traités comme des nombres complexes . Lorsqu'une forme d'onde, , est la transformée de Hilbert de l'autre forme d'onde, , la fonction à valeurs complexes, , est appelée un signal analytique , dont la transformée de Fourier est nulle pour toutes les valeurs négatives de fréquence. Dans ce cas, le taux de Nyquist pour une forme d'onde sans fréquence ≥ B peut être réduit à seulement B (échantillons complexes/s), au lieu de (échantillons réels/s). De manière plus apparente, la forme d'onde en bande de base équivalente , , a également un taux de Nyquist de , car tout son contenu de fréquence non nul est décalé dans l'intervalle .

Bien que des échantillons à valeurs complexes puissent être obtenus comme décrit ci-dessus, ils sont également créés en manipulant des échantillons d'une forme d'onde à valeurs réelles. Par exemple, la forme d'onde de bande de base équivalente peut être créée sans calculer explicitement , en traitant la séquence de produits, , à travers un filtre passe-bas numérique dont la fréquence de coupure est . Le calcul d'un seul échantillon sur deux de la séquence de sortie réduit la fréquence d'échantillonnage proportionnellement à la fréquence de Nyquist réduite. Le résultat est la moitié du nombre d'échantillons à valeurs complexes par rapport au nombre d'origine d'échantillons réels. Aucune information n'est perdue et la forme d'onde d'origine peut être récupérée, si nécessaire.