Champ source

En physique théorique , une source est un concept abstrait, développé par Julian Schwinger , motivé par les effets physiques des particules environnantes impliquées dans la création ou la destruction d'une autre particule . Ainsi, on peut percevoir les sources comme l'origine des propriétés physiques portées par la particule créée ou détruite, et ainsi on peut utiliser ce concept pour étudier tous les processus quantiques, y compris les propriétés localisées dans l'espace-temps et les formes d'énergie, c'est-à-dire la masse et l'impulsion, des phénomènes. L' amplitude de probabilité de la particule créée ou en décomposition est définie par l'effet de la source sur une région d'espace-temps localisée de telle sorte que la particule affectée capture sa physique en fonction de la nature tensorielle et spinorielle de la source. Un exemple auquel Julian Schwinger a fait référence est la création d' un méson en raison des corrélations de masse entre cinq mésons.

La même idée peut être utilisée pour définir les champs sources . Mathématiquement, un champ source est un champ d'arrière-plan couplé au champ d'origine comme

Ce terme apparaît dans l'action de la formulation intégrale de chemin de Richard Feynman et est responsable des interactions théoriques. Dans une réaction de collision, une source pourrait être d'autres particules dans la collision. Par conséquent, la source apparaît dans l'amplitude du vide agissant des deux côtés sur le corrélateur de la fonction de Green de la théorie.

La théorie de la source de Schwinger découle du principe d'action quantique de Schwinger et peut être liée à la formulation intégrale du chemin car la variation par rapport à la source en soi correspond au champ , c'est-à-dire

De plus, une source agit effectivement dans une région de l'espace-temps. Comme on le voit dans les exemples ci-dessous, le champ source apparaît sur le côté droit des équations du mouvement (généralement des équations aux dérivées partielles du second ordre ) pour . Lorsque le champ est le potentiel électromagnétique ou le tenseur métrique , le champ source est respectivement le courant électrique ou le tenseur contrainte–énergie .

En termes d'applications statistiques et non relativistes, la formulation source de Schwinger joue un rôle crucial dans la compréhension de nombreux systèmes hors équilibre. La théorie source est théoriquement importante car elle ne nécessite ni régularisations de divergence ni renormalisation.

Dans la formulation intégrale de chemin de Feynman avec normalisation , la fonction de partition est donnée par

On peut développer le terme actuel dans l'exposant

pour générer des fonctions de Green ( corrélateurs ) , où les champs à l'intérieur de la fonction d'espérance sont dans leurs images de Heisenberg . D'autre part, on peut définir les fonctions de corrélation pour des termes d'ordre supérieur, par exemple, pour terme, la constante de couplage comme est promue à une source dépendante de l'espace-temps telle que .

On met en œuvre la méthodologie variationnelle quantique pour réaliser que est une source motrice externe de . Du point de vue de la théorie des probabilités, peut être vu comme la valeur attendue de la fonction . Cela motive à considérer l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique forcé comme un modèle jouet

En fait, le courant est réel, c'est-à-dire . Et le lagrangien est . A partir de maintenant, nous laissons tomber le chapeau et l'astérisque. Rappelons que la quantification canonique stipule . A la lumière de la relation entre la fonction de partition et ses corrélateurs, la variation de l'amplitude du vide donne

, où . $x\_\{0\}>x\_\{0\}\text{'}\text{'}{x}_0^{\prime }>x_0>x_0^{"}$x_{0}>x_{0}''}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70443ba841c58b23c3fd1170eecf245887de6fcf">

Comme l'intégrale est dans le domaine temporel, on peut la transformer par Fourier, ainsi que les opérateurs de création/annihilation, de telle sorte que l'amplitude devienne finalement

Il est facile de remarquer qu'il y a une singularité en . Ensuite, on peut exploiter la -prescription et décaler le pôle de telle sorte que pour la fonction de Green soit révélée $x\_\{0\}\text{'}{x}_0>x_0^{\prime }$x_{0}'}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc60b1892c8bd2d51092bb7c40abc83ad2eedc81">

Le dernier résultat est la théorie de la source de Schwinger pour les champs scalaires en interaction et peut être généralisée à toutes les régions de l'espace-temps. Les exemples discutés ci-dessous suivent la métrique .

La théorie des perturbations causales explique comment les sources agissent faiblement. Pour une source faible émettant des particules de spin 0 en agissant sur l' état de vide avec une amplitude de probabilité , une seule particule avec une impulsion et une amplitude est créée dans une certaine région de l'espace-temps . Ensuite, une autre source faible absorbe cette seule particule dans une autre région de l'espace-temps de telle sorte que l'amplitude devienne . Ainsi, l'amplitude complète du vide est donnée par

où est le propagateur (corrélateur) des sources. Le second terme de la dernière amplitude définit la fonction de partition de la théorie du champ scalaire libre . Et pour une certaine théorie d'interaction, le lagrangien d'un champ scalaire couplé à un courant est donné par

Si l'on ajoute au terme de masse, alors on transforme à la fois Fourier et à l'espace d'impulsion, l'amplitude du vide devient

où Il est facile de remarquer que le terme dans l'amplitude ci-dessus peut être transformé de Fourier en , c'est-à-dire l'équation du mouvement . Comme la variation de l'action libre, celle du terme , donne l'équation du mouvement, on peut redéfinir la fonction de Green comme l'inverse de l'opérateur tel que , ce qui est une application directe du rôle général de la dérivée fonctionnelle . Ainsi, la fonctionnelle génératrice est obtenue à partir de la fonction de partition comme suit. Le dernier résultat nous permet de lire la fonction de partition comme , où , et sont l'amplitude du vide dérivée par la source . Par conséquent, le propagateur est défini en faisant varier la fonction de partition comme suit.

Ceci motive la discussion de l’approximation du champ moyen ci-dessous.

En s'appuyant sur la théorie des sources de Schwinger, Steven Weinberg a établi les fondements de la théorie du champ effectif, largement appréciée par les physiciens. Malgré « l' incident des chaussures », Weinberg a attribué le mérite à Schwinger d'avoir catalysé ce cadre théorique.

Toutes les fonctions de Green peuvent être formellement trouvées via le développement de Taylor de la somme de partition considérée comme une fonction des champs sources. Cette méthode est couramment utilisée dans la formulation intégrale de chemin de la théorie quantique des champs . La méthode générale par laquelle ces champs sources sont utilisés pour obtenir des propagateurs à la fois dans la mécanique quantique, la mécanique statistique et d'autres systèmes est décrite comme suit. En redéfinissant la fonction de partition en termes d' amplitude de rotation de Wick , la fonction de partition devient . On peut introduire , qui se comporte comme l'énergie libre de Helmholtz dans les théories des champs thermiques , pour absorber le nombre complexe, et donc . La fonction est également appelée action quantique réduite . Et avec l'aide de la transformée de Legendre , nous pouvons inventer une « nouvelle » fonctionnelle d'énergie effective , ou action effective , comme

L'intégration dans la définition de l'action effective peut être remplacée par la somme sur , c'est-à-dire . La dernière équation ressemble à la relation thermodynamique entre l'énergie libre de Helmholtz et l'entropie. Il est maintenant clair que les théories des champs thermiques et statistiques découlent fondamentalement des intégrations fonctionnelles et des dérivées fonctionnelles . Revenons aux transformées de Legendre,

Le champ est appelé champ moyen évidemment parce que , tandis que est un champ classique de fond . Un champ est décomposé en une partie classique et une partie fluctuation , c'est-à-dire , donc l'amplitude du vide peut être réintroduite comme

et toute fonction est définie comme

où est l'action du lagrangien libre. Les deux dernières intégrales sont les piliers de toute théorie effective des champs. Cette construction est indispensable pour étudier la diffusion ( formule de réduction LSZ ), la brisure spontanée de symétrie , les identités de Ward , les modèles sigma non linéaires et les théories effectives à basse énergie . De plus, ce cadre théorique initie une ligne de réflexion, rendue publique principalement par Bryce DeWitt qui était un doctorant de Schwinger, sur le développement d'une théorie effective quantifiée canonique pour la gravité quantique.

Retour aux fonctions vertes des actions. Puisque est la transformée de Legendre de , et définit le corrélateur connexe à N points , alors le corrélateur correspondant obtenu à partir de , appelé fonction de sommet , est donné par . Par conséquent, dans les graphes irréductibles à une particule (généralement abrégés 1PI ), le corrélateur à 2 points connexe est défini comme l'inverse du corrélateur à 2 points, c'est-à-dire que la corrélation réduite habituelle est , et la corrélation effective est . Pour , les relations les plus générales entre les N-points connexe et sont

et

Pour une source faible produisant une particule missive de spin 1 avec un courant général agissant sur différents points causaux de l'espace-temps , l'amplitude du vide est $x\_\{0\}\text{'}{x}_0>x_0^{\prime }$x_{0}'}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc60b1892c8bd2d51092bb7c40abc83ad2eedc81">

Dans l'espace des impulsions, la particule de spin 1 avec masse au repos possède une impulsion définie dans son référentiel de repos, c'est-à-dire . L'amplitude donne alors

où et est la transposée de . Le dernier résultat correspond au propagateur utilisé dans l'amplitude du vide dans l'espace de configuration, c'est-à-dire,

Lorsque , la fixation de jauge de Feynman-'t Hooft choisie rend le spin-1 sans masse. Et lorsque , la fixation de jauge de Landau choisie rend le spin-1 massif. Le cas sans masse est évident tel qu'étudié en électrodynamique quantique . Le cas massif est plus intéressant car le courant n'est pas obligé d'être conservé. Cependant, le courant peut être amélioré d'une manière similaire à la façon dont le tenseur de Belinfante-Rosenfeld est amélioré, de sorte qu'il finit par être conservé. Et pour obtenir l'équation du mouvement pour le vecteur massif, on peut définir

On peut appliquer l'intégration par partie sur le deuxième terme puis le singulariser pour obtenir une définition du champ massif de spin 1

De plus, l'équation ci-dessus indique que . Ainsi, l'équation du mouvement peut être écrite sous l'une des formes suivantes

Pour une source faible dans un fond Minkowski plat , produisant puis absorbant une particule missive de spin-2 avec un tenseur énergie-impulsion général redéfini , agissant comme un courant, , où est le tenseur de polarisation du vide , l'amplitude du vide sous une forme compacte est

ou

Cette amplitude dans l'espace d'impulsion donne (la transposée est intégrée)

Et avec l'aide des propriétés symétriques de la source, le dernier résultat peut être écrit comme , où l'opérateur de projection, ou la transformée de Fourier de l'opérateur de champ de Jacobi obtenu en appliquant le support de Peierls sur le principe variationnel de Schwinger , est .

Dans l'espace-temps plat à N dimensions, 2/3 est remplacé par 2/(N-1). Et pour les champs de spin-2 sans masse , l' opérateur de projection est défini comme .

Avec l'aide de l'identité Ward-Takahashi , l'opérateur du projecteur est essentiel pour vérifier les propriétés symétriques du champ, la loi de conservation du courant et les degrés de liberté physiques autorisés.

Il convient de noter que le tenseur de polarisation du vide et le tenseur d'impulsion d'énergie amélioré apparaissent dans les premières versions des théories de la gravité massive . Il est intéressant de noter que les théories de la gravité massive n'ont pas été largement appréciées jusqu'à récemment en raison d'incohérences apparentes obtenues dans les études du début des années 1970 sur l'échange d'un seul champ de spin-2 entre deux sources. Mais en 2010, l'approche dRGT d'exploitation de la redéfinition du champ de Stueckelberg a conduit à une théorie massive covariantisée cohérente, exempte de tous les fantômes et discontinuités obtenues précédemment.

Si l'on regarde et suit la même procédure utilisée pour définir les champs massifs de spin 1, alors il est facile de définir les champs massifs de spin 2 comme

La condition de divergence correspondante se lit , où le courant n'est pas nécessairement conservé (ce n'est pas une condition de jauge comme celle du cas sans masse). Mais le tenseur énergie-impulsion peut être amélioré de telle sorte que selon la construction de Belinfante-Rosenfeld . Ainsi, l'équation du mouvement

devient

On peut utiliser la condition de divergence pour découpler les champs non physiques et , donc l'équation du mouvement est simplifiée comme

On peut généraliser la source pour qu'elle devienne une source à spin plus élevé telle que devienne . L'opérateur de projection généralisé permet également de généraliser le vecteur de polarisation électromagnétique du potentiel vectoriel électromagnétique quantifié comme suit. Pour les points de l'espace-temps , le théorème d'addition des harmoniques sphériques stipule que

De plus, la théorie de la représentation de l'espace des polynômes homogènes à valeurs complexes de degré sur une sphère unité (N-1) définit le tenseur de polarisation comme Alors, le vecteur de polarisation généralisé est .

Et l’opérateur de projection peut être défini comme .

Les propriétés symétriques de l'opérateur de projection facilitent le traitement de l'amplitude du vide dans l'espace des impulsions. Par conséquent, plutôt que de l'exprimer en termes de corrélateur dans l'espace de configuration, nous écrivons

De plus, il est théoriquement cohérent de généraliser la théorie de la source pour décrire des champs de jauge hypothétiques avec des propriétés symétriques antisymétriques et mixtes dans des dimensions arbitraires et des spins arbitraires . Mais il faut prendre en compte les degrés de liberté non physiques dans la théorie. Par exemple, dans les dimensions N et pour une version mixte symétrique sans masse du champ de Curtright et d'une source , l'amplitude du vide est qui, pour une théorie en N=4, fait que la source révèle finalement qu'il s'agit d'une théorie d'un champ non physique. Cependant, la version massive survit dans N≥5.

Pour un propagateur de fermion de spin et un courant tels que définis ci-dessus, l'amplitude du vide est

Dans l'espace des impulsions, l'amplitude réduite est donnée par

Pour les fermions de spin- Rarita-Schwinger , on peut alors utiliser et la couche sur-coque pour obtenir

On peut remplacer la métrique réduite par la métrique habituelle si la source est remplacée par

Pour le spin- , les résultats ci-dessus peuvent être généralisés à

Le facteur est obtenu à partir des propriétés de l'opérateur de projection, de l'absence de trace du courant et de la conservation du courant après avoir été projeté par l'opérateur. Ces conditions peuvent être dérivées des conditions de Fierz-Pauli et de Fang-Fronsdal sur les champs eux-mêmes. Les formulations lagrangiennes des champs massifs et leurs conditions ont été étudiées par Lambodar Singh et Carl Hagen . La ​​version non relativiste des opérateurs de projection, développée par Charles Zemach, qui est un autre étudiant de Schwinger, est largement utilisée en spectroscopie hadronique. La méthode de Zemach pourrait être améliorée de manière relativiste pour rendre les opérateurs de projection covariants.