Harmoniques sphériques

En mathématiques et en sciences physiques , les harmoniques sphériques sont des fonctions spéciales définies à la surface d'une sphère . Elles sont souvent utilisées pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans de nombreux domaines scientifiques. Le tableau des harmoniques sphériques contient une liste d'harmoniques sphériques courantes.

Étant donné que les harmoniques sphériques forment un ensemble complet de fonctions orthogonales et donc une base orthonormée , chaque fonction définie sur la surface d'une sphère peut être écrite comme une somme de ces harmoniques sphériques. Ceci est similaire aux fonctions périodiques définies sur un cercle qui peuvent être exprimées comme une somme de fonctions circulaires (sinus et cosinus) via une série de Fourier . Comme les sinus et les cosinus dans la série de Fourier, les harmoniques sphériques peuvent être organisées par fréquence angulaire (spatiale) , comme on le voit dans les rangées de fonctions dans l'illustration de droite. De plus, les harmoniques sphériques sont des fonctions de base pour les représentations irréductibles de SO(3) , le groupe des rotations en trois dimensions, et jouent donc un rôle central dans la discussion théorique de groupe de SO(3).

Les harmoniques sphériques proviennent de la résolution de l'équation de Laplace dans les domaines sphériques. Les fonctions qui sont des solutions à l'équation de Laplace sont appelées harmoniques . Malgré leur nom, les harmoniques sphériques prennent leur forme la plus simple dans les coordonnées cartésiennes , où elles peuvent être définies comme des polynômes homogènes de degré qui obéissent à l'équation de Laplace. Le lien avec les coordonnées sphériques apparaît immédiatement si l'on utilise l'homogénéité pour extraire un facteur de dépendance radiale du polynôme de degré mentionné ci-dessus ; le facteur restant peut être considéré comme une fonction des coordonnées angulaires sphériques et seulement, ou de manière équivalente, du vecteur unitaire d'orientation spécifié par ces angles. Dans ce contexte, elles peuvent être considérées comme la partie angulaire d'un ensemble de solutions à l'équation de Laplace en trois dimensions, et ce point de vue est souvent pris comme une définition alternative. Il faut cependant remarquer que les harmoniques sphériques ne sont pas des fonctions sur la sphère qui sont harmoniques par rapport à l' opérateur de Laplace-Beltrami pour la métrique ronde standard sur la sphère : les seules fonctions harmoniques dans ce sens sur la sphère sont les constantes, puisque les fonctions harmoniques satisfont au principe du maximum . Les harmoniques sphériques, en tant que fonctions sur la sphère, sont des fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami (voir Dimensions supérieures).

Un ensemble spécifique d'harmoniques sphériques, noté ou , sont connus sous le nom d'harmoniques sphériques de Laplace, car ils ont été introduits pour la première fois par Pierre Simon de Laplace en 1782. Ces fonctions forment un système orthogonal et sont donc fondamentales pour le développement d'une fonction générale sur la sphère comme évoqué ci-dessus.

Les harmoniques sphériques sont importantes dans de nombreuses applications théoriques et pratiques, notamment la représentation des champs électrostatiques et électromagnétiques multipolaires , des configurations électroniques , des champs gravitationnels , des géoïdes , des champs magnétiques des corps planétaires et des étoiles, et du rayonnement de fond cosmologique . En infographie 3D , les harmoniques sphériques jouent un rôle dans une grande variété de sujets, notamment l'éclairage indirect ( occlusion ambiante , illumination globale , transfert de luminance précalculé , etc.) et la modélisation de formes 3D.

Les harmoniques sphériques ont été étudiées pour la première fois en relation avec le potentiel newtonien de la loi de gravitation universelle de Newton en trois dimensions. En 1782, Pierre-Simon de Laplace avait, dans sa Mécanique Céleste , déterminé que le potentiel gravitationnel en un point x associé à un ensemble de masses ponctuelles m _i situées en des points x _i était donné par

Chaque terme de la somme ci-dessus est un potentiel newtonien individuel pour une masse ponctuelle. Juste avant cette époque, Adrien-Marie Legendre avait étudié le développement du potentiel newtonien en puissances de r = | x | et r ₁ = | x ₁ | . Il a découvert que si r ≤ r ₁ alors

où γ est l'angle entre les vecteurs x et x ₁ . Les fonctions sont les polynômes de Legendre et peuvent être déduites comme cas particulier d'harmoniques sphériques. Par la suite, dans ses mémoires de 1782, Laplace a étudié ces coefficients en utilisant des coordonnées sphériques pour représenter l'angle γ entre x ₁ et x . (Voir Polynômes de Legendre § Applications pour plus de détails.)

En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) et Peter Guthrie Tait introduisirent les harmoniques sphériques solides dans leur Traité de philosophie naturelle et introduisirent également pour la première fois le nom d'« harmoniques sphériques » pour ces fonctions. Les harmoniques solides étaient des solutions polynomiales homogènes de l'équation de Laplace . En examinant l'équation de Laplace en coordonnées sphériques, Thomson et Tait récupérèrent les harmoniques sphériques de Laplace. (Voir Représentation polynomiale harmonique.) Le terme « coefficients de Laplace » fut employé par William Whewell pour décrire le système particulier de solutions introduit dans ce sens, tandis que d'autres réservèrent cette désignation aux harmoniques sphériques zonales qui avaient été correctement introduites par Laplace et Legendre.

Le développement des séries de Fourier au XIXe siècle a permis de résoudre une grande variété de problèmes physiques dans des domaines rectangulaires, tels que la résolution de l' équation de la chaleur et de l'équation des ondes . Cela pouvait être réalisé par le développement de fonctions en séries de fonctions trigonométriques . Alors que les fonctions trigonométriques dans une série de Fourier représentent les modes fondamentaux de vibration d'une corde , les harmoniques sphériques représentent les modes fondamentaux de vibration d'une sphère de la même manière. De nombreux aspects de la théorie des séries de Fourier pourraient être généralisés en prenant des développements en harmoniques sphériques plutôt qu'en fonctions trigonométriques. De plus, de manière analogue à la façon dont les fonctions trigonométriques peuvent être écrites de manière équivalente sous forme d'exponentielles complexes , les harmoniques sphériques possédaient également une forme équivalente sous forme de fonctions à valeurs complexes. C'était une aubaine pour les problèmes possédant une symétrie sphérique , tels que ceux de la mécanique céleste étudiés à l'origine par Laplace et Legendre.

La prédominance des harmoniques sphériques en physique a ouvert la voie à leur importance ultérieure dans la naissance de la mécanique quantique au XXe siècle . Les harmoniques sphériques (à valeurs complexes) sont des fonctions propres du carré de l' opérateur de moment angulaire orbital et représentent donc les différentes configurations quantifiées des orbitales atomiques .

L'équation de Laplace impose que le Laplacien d'un corps scalaire f soit nul. (Ici, le corps scalaire est considéré comme complexe, c'est-à-dire comme correspondant à une fonction (lisse) .) En coordonnées sphériques, cela donne :

Considérons le problème de trouver des solutions de la forme f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Par séparation des variables , on obtient deux équations différentielles en imposant l'équation de Laplace : La deuxième équation peut être simplifiée en supposant que Y a la forme Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . En appliquant à nouveau la séparation des variables à la deuxième équation, on obtient la paire d'équations différentielles

pour un certain nombre m . A priori, m est une constante complexe, mais comme Φ doit être une fonction périodique dont la période divise uniformément 2 π , m est nécessairement un entier et Φ est une combinaison linéaire des exponentielles complexes e ^{± imφ} . La fonction solution Y ( θ , φ ) est régulière aux pôles de la sphère, où θ = 0, π . Imposer cette régularité dans la solution Θ de la seconde équation aux points frontières du domaine est un problème de Sturm-Liouville qui force le paramètre λ à être de la forme λ = ℓ ( ℓ + 1) pour un entier non négatif avec ℓ ≥ | m | ; ceci est également expliqué ci-dessous en termes de moment angulaire orbital . De plus, un changement de variables t = cos θ transforme cette équation en équation de Legendre , dont la solution est un multiple du polynôme de Legendre associé P^mℓ
_​(cos θ ) . Enfin, l'équation pour R a des solutions de la forme R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; nécessitant que la solution soit régulière dans R ³ forces B = 0 .

Ici, la solution a été supposée avoir la forme spéciale Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Pour une valeur donnée de ℓ , il existe 2 ℓ + 1 solutions indépendantes de cette forme, une pour chaque entier m avec − ℓ ​​≤ m ≤ ℓ . Ces solutions angulaires sont un produit de fonctions trigonométriques , ici représentées comme une exponentielle complexe , et de polynômes de Legendre associés :

qui remplissent

On appelle ici fonction harmonique sphérique de degré ℓ et d'ordre m , est un polynôme de Legendre associé , N est une constante de normalisation, et θ et φ représentent respectivement la colatitude et la longitude. En particulier, la colatitude θ , ou angle polaire, s'étend de 0 au pôle Nord, à π /2 à l'équateur, à π au pôle Sud, et la longitude φ , ou azimut , peut prendre toutes les valeurs avec 0 ≤ φ < 2 π . Pour un entier fixé ℓ , toute solution Y ( θ , φ ) , , du problème aux valeurs propres est une combinaison linéaire de . En fait, pour toute solution de ce type, r ^ℓ Y ( θ , φ ) est l'expression en coordonnées sphériques d'un polynôme homogène qui est harmonique (voir ci-dessous), et donc le comptage des dimensions montre qu'il existe 2 ℓ + 1 de ces polynômes linéairement indépendants.

La solution générale de l'équation de Laplace dans une boule centrée à l'origine est une combinaison linéaire des fonctions harmoniques sphériques multipliée par le facteur d'échelle approprié r ^ℓ ,

où les sont des constantes et les facteurs r ^ℓ Y _ℓ ^m sont connus comme des harmoniques solides ( régulières ) . Un tel développement est valable dans la boule

Pour , on choisit plutôt les harmoniques solides avec des puissances négatives de (les harmoniques solides irrégulières ). Dans ce cas, il faut développer la solution des régions connues de la série de Laurent (environ ), au lieu de la série de Taylor (environ ) utilisée ci-dessus, pour faire correspondre les termes et trouver les coefficients de développement de la série . $Rr>R$R}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8971c9610113faec012a76ec2d47fa6235e16d2f">

En mécanique quantique, les harmoniques sphériques de Laplace sont comprises en termes de moment angulaire orbital Le ħ est conventionnel en mécanique quantique ; il est pratique de travailler dans des unités dans lesquelles ħ = 1. Les harmoniques sphériques sont des fonctions propres du carré du moment angulaire orbital. Les harmoniques sphériques de Laplace sont les fonctions propres conjointes du carré du moment angulaire orbital et du générateur de rotations autour de l'axe azimutal :

Ces opérateurs commutent et sont des opérateurs auto-adjoints densément définis sur l' espace de Hilbert pondéré des fonctions f intégrables de carré par rapport à la distribution normale comme fonction de pondération sur R ³ : De plus, L ² est un opérateur positif .

Si Y est une fonction propre conjointe de L ² et L _z , alors par définition pour certains nombres réels m et λ . Ici m doit en fait être un entier, car Y doit être périodique dans la coordonnée φ avec une période un nombre qui divise uniformément 2 π . De plus, comme et chacun des L _x , L _y , L _z sont auto-adjoints, il s'ensuit que λ ≥ m ² .

On note cet espace propre conjoint par E _{λ , m} , et on définit les opérateurs de montée et de descente par Alors L ₊ et L ₋ commutent avec L ² , et l'algèbre de Lie engendrée par L ₊ , L ₋ , L _z est l' algèbre de Lie linéaire spéciale d'ordre 2, , avec des relations de commutation Ainsi L ₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m +1} (c'est un "opérateur de montée") et L ₋ : E _{λ , m} → E _{λ , m −1} (c'est un "opérateur de descente"). En particulier, L^k
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k} doit être nul pour k suffisamment grand, car l'inégalité λ ≥ m ² doit être vérifiée dans chacun des espaces propres conjoints non triviaux. Soit Y ∈ E _{λ , m} une fonction propre conjointe non nulle, et soit k le plus petit entier tel que Alors, puisqu'il s'ensuit que Ainsi λ = ℓ ( ℓ + 1) pour l'entier positif ℓ = m + k .

Tout ce qui précède a été élaboré dans la représentation des coordonnées sphériques, mais peut être exprimé de manière plus abstraite dans la base de coordonnées sphériques orthonormée complète .

Les harmoniques sphériques peuvent être exprimées comme la restriction à la sphère unité de certaines fonctions polynomiales . Plus précisément, on dit qu'une fonction polynomiale (à valeurs complexes) est homogène de degré si pour tous les nombres réels et tous . On dit qu'elle est harmonique si où est le Laplacien . Alors pour chaque , on définit

Par exemple, lorsque , est simplement l'espace à 3 dimensions de toutes les fonctions linéaires , puisque toute fonction de ce type est automatiquement harmonique. En revanche, lorsque , nous avons un espace à 5 dimensions :

Pour tout , l'espace des harmoniques sphériques de degré est simplement l'espace des restrictions à la sphère des éléments de . Comme suggéré dans l'introduction, cette perspective est vraisemblablement à l'origine du terme « harmonique sphérique » (c'est-à-dire la restriction à la sphère d'une fonction harmonique ).

Par exemple, pour tout la formule définit un polynôme homogène de degré de domaine et de codomaine , qui se trouve être indépendant de . Ce polynôme est facilement considéré comme harmonique. Si nous écrivons en coordonnées sphériques et que nous nous limitons ensuite à , nous obtenons qui peut être réécrit comme Après avoir utilisé la formule du polynôme de Legendre associé , nous pouvons reconnaître celle-ci comme étant la formule de l'harmonique sphérique (Voir Cas particuliers.)

Plusieurs normalisations différentes sont couramment utilisées pour les fonctions harmoniques sphériques de Laplace . Tout au long de la section, nous utilisons la convention standard selon laquelle pour (voir les polynômes de Legendre associés ) est la normalisation naturelle donnée par la formule de Rodrigues. $0m>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464">

En acoustique , les harmoniques sphériques de Laplace sont généralement définies comme (c'est la convention utilisée dans cet article) tandis qu'en mécanique quantique :

où sont associés les polynômes de Legendre sans la phase de Condon–Shortley (pour éviter de compter la phase deux fois).

Dans les deux définitions, les harmoniques sphériques sont orthonormées où δ _ij est le delta de Kronecker et d Ω = sin( θ ) dφ dθ . Cette normalisation est utilisée en mécanique quantique car elle garantit que la probabilité est normalisée, c'est-à-dire

Les disciplines de la géodésie et de l'analyse spectrale utilisent

qui possèdent une puissance unitaire

La communauté des magnétologues , en revanche, utilise des harmoniques semi-normalisées de Schmidt

qui ont la normalisation

En mécanique quantique, cette normalisation est également parfois utilisée et est nommée normalisation de Racah d'après Giulio Racah .

Il peut être démontré que toutes les fonctions harmoniques sphériques normalisées ci-dessus satisfont

où l'exposant * désigne une conjugaison complexe. Alternativement, cette équation résulte de la relation des fonctions harmoniques sphériques avec la matrice D de Wigner .

Une source de confusion avec la définition des fonctions harmoniques sphériques concerne un facteur de phase de , communément appelé phase de Condon -Shortley dans la littérature de mécanique quantique. Dans la communauté de la mécanique quantique, il est courant d'inclure ce facteur de phase dans la définition des polynômes de Legendre associés , ou de l'ajouter à la définition des fonctions harmoniques sphériques. Il n'y a aucune obligation d'utiliser la phase de Condon-Shortley dans la définition des fonctions harmoniques sphériques, mais son inclusion peut simplifier certaines opérations de mécanique quantique, en particulier l'application des opérateurs d'élévation et d'abaissement . Les communautés de géodésie et de magnétisme n'incluent jamais le facteur de phase de Condon-Shortley dans leurs définitions des fonctions harmoniques sphériques ni dans celles des polynômes de Legendre associés.

Une base réelle d'harmoniques sphériques peut être définie en termes de leurs analogues complexes en définissant La convention de phase Condon–Shortley est utilisée ici pour la cohérence. Les équations inverses correspondantes définissant les harmoniques sphériques complexes en termes d'harmoniques sphériques réelles sont

Les harmoniques sphériques réelles sont parfois appelées harmoniques sphériques tessérales . Ces fonctions ont les mêmes propriétés d'orthonormalité que les fonctions complexes ci-dessus. Les harmoniques sphériques réelles avec m > 0 sont dites de type cosinus, et celles avec m < 0 de type sinus. La raison en est que les fonctions sont écrites en termes de polynômes de Legendre comme suit :

Les mêmes facteurs sinus et cosinus peuvent également être observés dans la sous-section suivante qui traite de la représentation cartésienne.

Voir ici pour une liste des harmoniques sphériques réelles jusqu'à et y compris , qui peuvent être considérées comme cohérentes avec la sortie des équations ci-dessus.

Comme on le sait d'après les solutions analytiques pour l'atome d'hydrogène, les fonctions propres de la partie angulaire de la fonction d'onde sont des harmoniques sphériques. Cependant, les solutions de l'équation de Schrödinger non relativiste sans termes magnétiques peuvent être rendues réelles. C'est pourquoi les formes réelles sont largement utilisées dans les fonctions de base de la chimie quantique, car les programmes n'ont alors pas besoin d'utiliser l'algèbre complexe. Ici, les fonctions réelles couvrent le même espace que les fonctions complexes.

Par exemple, comme on peut le voir dans le tableau des harmoniques sphériques , les fonctions p habituelles ( ) sont complexes et mélangent les directions des axes, mais les versions réelles sont essentiellement juste x , y et z .

Les harmoniques sphériques complexes donnent naissance aux harmoniques solides en s'étendant de à l'ensemble de comme une fonction homogène de degré , c'est-à-dire en posant Il s'avère que est la base de l'espace des polynômes harmoniques et homogènes de degré . Plus précisément, c'est la base Gelfand-Tsetlin (unique à la normalisation près) de cette représentation du groupe rotationnel et une formule explicite pour en coordonnées cartésiennes peut être déduite de ce fait.

Si la convention de la mécanique quantique est adoptée pour le , alors Ici, est le vecteur de composantes , , et est un vecteur de coordonnées complexes :

La propriété essentielle de est qu'elle est nulle :

Il suffit de prendre et comme paramètres réels. En nommant cette fonction génératrice d'après Herglotz , nous suivons Courant & Hilbert 1962, §VII.7, qui attribuent sa découverte à des notes inédites de lui.

Essentiellement toutes les propriétés des harmoniques sphériques peuvent être dérivées de cette fonction génératrice. Un avantage immédiat de cette définition est que si le vecteur est remplacé par l'opérateur vecteur de spin de la mécanique quantique , tel que est l'opérateur analogue de l' harmonique solide , on obtient une fonction génératrice pour un ensemble standardisé d' opérateurs tensoriels sphériques , :

Le parallélisme des deux définitions assure que les 's se transforment sous les rotations (voir ci-dessous) de la même manière que les 's, ce qui garantit à son tour qu'il s'agit d'opérateurs tensoriels sphériques, , avec et , obéissant à toutes les propriétés de tels opérateurs, comme le théorème de composition de Clebsch-Gordan et le théorème de Wigner-Eckart . Il s'agit en outre d'un ensemble normalisé avec une échelle ou normalisation fixe.

La définition herglotzienne donne des polynômes qui peuvent, si on le souhaite, être encore factorisés en un polynôme de et un autre de et , comme suit (phase de Condon–Shortley) : et pour m = 0 : Ici et Pour cela se réduit à $0.r^{\ell }\left(\begin{array}{c}{Y}_{\ell }^m\\ Y_{\ell }^{-m}\end{array}\right)={\left[\frac{2\ell +1}{4\pi }\right]}^{1/2}{\overline{\Pi }}_{\ell }^m\left(z\right)\left(\begin{array}{c}{\left(-1\right)}^m(A_m+i{B}_m)\\ (A_m-i{B}_m)\end{array}\right),m>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066f9cfa96f2c4550337a93bf73d61517362c834">

Le facteur est essentiellement le polynôme de Legendre associé , et les facteurs sont essentiellement .

En utilisant les expressions pour , et listées explicitement ci-dessus, nous obtenons :

En utilisant les équations ci-dessus pour former les harmoniques sphériques réelles, on voit que seuls les termes (cosinus) sont inclus, et que seuls les termes (sinus) sont inclus : $0m>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464">

$0.r^{\ell }\left(\begin{array}{c}{Y}_{\ell m}\\ Y_{\ell -m}\end{array}\right)=\sqrt{\frac{2\ell +1}{2\pi }}{\overline{\Pi }}_{\ell }^m\left(z\right)\left(\begin{array}{c}{A}_m\\ B_m\end{array}\right),m>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e9817a27f969539b995a26a4c64cce170fd796"> et pour m = 0 :

1. Lorsque , les harmoniques sphériques se réduisent aux polynômes de Legendre ordinaires :
2. Lorsque , ou plus simplement en coordonnées cartésiennes,
3. Au pôle nord, où , et sont indéfinis, toutes les harmoniques sphériques sauf celles avec s'annulent :

Les harmoniques sphériques ont des propriétés profondes et conséquentes sous les opérations d'inversion spatiale (parité) et de rotation.

Les harmoniques sphériques ont une parité définie. C'est-à-dire qu'elles sont soit paires, soit impaires par rapport à l'inversion autour de l'origine. L'inversion est représentée par l'opérateur . Alors, comme on peut le voir de plusieurs manières (peut-être plus simplement à partir de la fonction génératrice de Herglotz), étant un vecteur unitaire,

En termes d'angles sphériques, la parité transforme un point de coordonnées en . L'énoncé de la parité des harmoniques sphériques est alors (Ceci peut être vu comme suit : Les polynômes de Legendre associés donnent (−1) ^{ℓ + m} et à partir de la fonction exponentielle nous avons (−1) ^m , ce qui donne ensemble pour les harmoniques sphériques une parité de (−1) ^ℓ .)

La parité continue d'être valable pour les harmoniques sphériques réelles et pour les harmoniques sphériques de dimensions supérieures : l'application d'une réflexion ponctuelle à une harmonique sphérique de degré ℓ modifie le signe d'un facteur (−1) ^ℓ .

Considérons une rotation autour de l'origine qui envoie le vecteur unitaire à . Sous cette opération, une harmonique sphérique de degré et d'ordre se transforme en une combinaison linéaire d'harmoniques sphériques de même degré. C'est-à-dire, où est une matrice d'ordre qui dépend de la rotation . Cependant, ce n'est pas la manière standard d'exprimer cette propriété. De la manière standard, on écrit,

Le comportement rotationnel des harmoniques sphériques est peut-être leur caractéristique essentielle du point de vue de la théorie des groupes. Les 's de degré fournissent un ensemble de fonctions de base pour la représentation irréductible du groupe SO(3) de dimension . De nombreux faits sur les harmoniques sphériques (comme le théorème d'addition) qui sont prouvés laborieusement à l'aide des méthodes d'analyse acquièrent des preuves plus simples et une signification plus profonde en utilisant les méthodes de symétrie.

Les harmoniques sphériques de Laplace forment un ensemble complet de fonctions orthonormées et constituent ainsi une base orthonormée de l' espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable . Sur la sphère unité , toute fonction de carré intégrable peut ainsi être développée comme une combinaison linéaire de celles-ci :

Cette expansion est valable dans le sens de la convergence quadratique moyenne — convergence dans L ² de la sphère — c'est-à-dire que

Les coefficients de dilatation sont les analogues des coefficients de Fourier et peuvent être obtenus en multipliant l'équation ci-dessus par le conjugué complexe d'une harmonique sphérique, en intégrant sur l'angle solide Ω et en utilisant les relations d'orthogonalité ci-dessus. Ceci est rigoureusement justifié par la théorie de base de l'espace de Hilbert. Pour le cas des harmoniques orthonormalisées, cela donne :

Si les coefficients décroissent dans ℓ suffisamment rapidement — par exemple de manière exponentielle — alors la série converge également uniformément vers f .

Une fonction intégrable au carré peut également être développée en termes d'harmoniques réelles ci-dessus sous forme de somme

La convergence de la série est encore valable dans le même sens, à savoir que les harmoniques sphériques réelles forment un ensemble complet de fonctions orthonormées et forment ainsi une base orthonormée de l' espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable . L'avantage du développement en termes de fonctions harmoniques réelles est que pour les fonctions réelles, les coefficients du développement sont garantis comme étant réels, alors que leurs coefficients dans leur développement en termes de (en les considérant comme des fonctions ) n'ont pas cette propriété.

La puissance totale d'une fonction f est définie dans la littérature sur le traitement du signal comme l'intégrale de la fonction au carré, divisée par l'aire de son domaine. En utilisant les propriétés d'orthonormalité des fonctions harmoniques sphériques de puissance unitaire réelles, il est simple de vérifier que la puissance totale d'une fonction définie sur la sphère unitaire est liée à ses coefficients spectraux par une généralisation du théorème de Parseval (ici, le théorème est énoncé pour les harmoniques semi-normalisées de Schmidt, la relation est légèrement différente pour les harmoniques orthonormales) :

est défini comme le spectre de puissance angulaire (pour les harmoniques semi-normalisées de Schmidt). De manière similaire, on peut définir la puissance croisée de deux fonctions comme où

est défini comme le spectre de puissance croisée. Si les fonctions f et g ont une moyenne nulle (c'est-à-dire que les coefficients spectraux f ₀₀ et g ₀₀ sont nuls), alors S _ff ( ℓ ) et S _fg ( ℓ ) représentent les contributions à la variance et à la covariance de la fonction pour le degré ℓ , respectivement. Il est courant que le spectre de puissance (croisée) soit bien approximé par une loi de puissance de la forme

Lorsque β = 0 , le spectre est « blanc » car chaque degré possède une puissance égale. Lorsque β < 0 , le spectre est dit « rouge » car il y a plus de puissance aux degrés faibles avec de grandes longueurs d'onde qu'aux degrés plus élevés. Enfin, lorsque β > 0 , le spectre est dit « bleu ». La condition sur l'ordre de croissance de S _ff ( ℓ ) est liée à l'ordre de différentiabilité de f dans la section suivante.

On peut aussi comprendre les propriétés de différentiabilité de la fonction originale f en termes d' asymptotique de S _ff ( ℓ ) . En particulier, si S _ff ( ℓ ) décroît plus vite que toute fonction rationnelle de ℓ lorsque ℓ → ∞ , alors f est infiniment différentiable . Si, de plus, S _ff ( ℓ ) décroît de manière exponentielle, alors f est en fait analytique réelle sur la sphère.

La technique générale consiste à utiliser la théorie des espaces de Sobolev . Les énoncés reliant la croissance des S _ff ( ℓ ) à la différentiabilité sont alors similaires aux résultats analogues sur la croissance des coefficients des séries de Fourier . Plus précisément, si alors f est dans l'espace de Sobolev H ^s ( S ² ) . En particulier, le théorème d'inclusion de Sobolev implique que f est infiniment différentiable pourvu que pour tout s .

Un résultat mathématique d'un intérêt et d'une utilité considérables est appelé le théorème d'addition pour les harmoniques sphériques. Étant donnés deux vecteurs r et r′ , de coordonnées sphériques et , respectivement, l'angle entre eux est donné par la relation dans laquelle le rôle des fonctions trigonométriques apparaissant sur le côté droit est joué par les harmoniques sphériques et celui du côté gauche est joué par les polynômes de Legendre .

Le théorème d'addition stipule

où P _ℓ est le polynôme de Legendre de degré ℓ . Cette expression est valable pour les harmoniques réelles et complexes. Le résultat peut être prouvé analytiquement, en utilisant les propriétés du noyau de Poisson dans la boule unité, ou géométriquement en appliquant une rotation au vecteur y de sorte qu'il pointe le long de l' axe z , puis en calculant directement le côté droit.

En particulier, lorsque x = y , cela donne le théorème d'Unsöld qui généralise l'identité cos ² θ + sin ² θ = 1 à deux dimensions.

Dans le développement ( 1 ), le côté gauche est un multiple constant de l' harmonique sphérique zonale de degré ℓ . De ce point de vue, on a la généralisation suivante aux dimensions supérieures. Soit Y _j une base orthonormée arbitraire de l'espace H _ℓ des harmoniques sphériques de degré ℓ sur la n -sphère. Alors , l'harmonique zonale de degré ℓ correspondant au vecteur unitaire x , se décompose comme

De plus, l'harmonique zonale est donnée comme un multiple constant du polynôme de Gegenbauer approprié :

La combinaison de ( 2 ) et ( 3 ) donne ( 1 ) en dimension n = 2 lorsque x et y sont représentés en coordonnées sphériques. Enfin, l'évaluation en x = y donne l'identité fonctionnelle où ω _{n −1} est le volume de la sphère ( n −1).

Une autre identité utile exprime le produit de deux harmoniques sphériques sous la forme d'une somme sur les harmoniques sphériques . De nombreux termes de cette somme sont trivialement nuls. Les valeurs de et qui donnent lieu à des termes non nuls dans cette somme sont déterminées par les règles de sélection des symboles 3j .

Les coefficients de Clebsch-Gordan sont les coefficients apparaissant dans le développement du produit de deux harmoniques sphériques en termes d'harmoniques sphériques elles-mêmes. Diverses techniques sont disponibles pour effectuer essentiellement le même calcul, notamment le symbole de Wigner 3-jm , les coefficients de Racah et les intégrales de Slater . De manière abstraite, les coefficients de Clebsch-Gordan expriment le produit tensoriel de deux représentations irréductibles du groupe de rotation comme une somme de représentations irréductibles : convenablement normalisés, les coefficients sont alors les multiplicités.

Les harmoniques sphériques de Laplace peuvent être visualisées en considérant leurs « lignes nodales », c'est-à-dire l'ensemble des points sur la sphère où , ou encore où . Les lignes nodales de sont composées de ℓ cercles : il y a | m | cercles le long des longitudes et ℓ −| m | cercles le long des latitudes. On peut déterminer le nombre de lignes nodales de chaque type en comptant le nombre de zéros de dans les directions et respectivement. Considérant en fonction de , les composantes réelle et imaginaire des polynômes de Legendre associés possèdent chacune ℓ −| m | zéros, chacun donnant lieu à une « ligne de latitude » nodale. D'autre part, considérant en fonction de , les fonctions trigonométriques sin et cos possèdent 2| m | zéros, chacun donnant lieu à une « ligne de longitude » nodale.

Lorsque l'ordre harmonique sphérique m est nul (en haut à gauche de la figure), les fonctions harmoniques sphériques ne dépendent pas de la longitude et sont dites zonales . De telles harmoniques sphériques sont un cas particulier de fonctions sphériques zonales . Lorsque ℓ = | m | (en bas à droite de la figure), il n'y a pas de passage par zéro en latitude et les fonctions sont dites sectorielles . Pour les autres cas, les fonctions quadrillent la sphère et sont dites tessérales .

Les harmoniques sphériques plus générales de degré ℓ ne sont pas nécessairement celles de la base de Laplace , et leurs ensembles nodaux peuvent être d'un type assez général.

Expressions analytiques pour les premières harmoniques sphériques de Laplace orthonormalisées qui utilisent la convention de phase Condon–Shortley :

Les harmoniques sphériques classiques sont définies comme des fonctions à valeurs complexes sur la sphère unité à l'intérieur de l'espace euclidien tridimensionnel . Les harmoniques sphériques peuvent être généralisées à l'espace euclidien de dimension supérieure comme suit, conduisant aux fonctions . Soit P _ℓ l' espace des polynômes homogènes à valeurs complexes de degré ℓ en n variables réelles, ici considérées comme des fonctions . C'est-à-dire qu'un polynôme p est dans P _ℓ à condition que pour tout réel , on ait

Soit A _ℓ le sous-espace de P _ℓ constitué de tous les polynômes harmoniques : Ce sont les harmoniques sphériques solides (régulières) . Soit H _ℓ l'espace des fonctions sur la sphère unité obtenues par restriction à partir de A _ℓ

Les propriétés suivantes sont valables :

• La somme des espaces H _ℓ est dense dans l'ensemble des fonctions continues sur par rapport à la topologie uniforme , d'après le théorème de Stone–Weierstrass . Par conséquent, la somme de ces espaces est également dense dans l'espace L ² ( S ^{n −1} ) des fonctions de carré intégrable sur la sphère. Ainsi, toute fonction de carré intégrable sur la sphère se décompose de manière unique en une série d'harmoniques sphériques, où la série converge au sens L ² .
• Pour tout f ∈ H _ℓ , on a où Δ _{S ^{n −1}} est l' opérateur de Laplace–Beltrami sur S ^{n −1} . Cet opérateur est l'analogue de la partie angulaire du Laplacien en trois dimensions ; à savoir, le Laplacien en n dimensions se décompose comme
• Il résulte du théorème de Stokes et de la propriété précédente que les espaces H _ℓ sont orthogonaux par rapport au produit scalaire de L ² ( S ^{n −1} ) . C'est-à-dire que pour f ∈ H _ℓ et g ∈ H _k pour k ≠ ℓ .
• Inversement, les espaces H _ℓ sont précisément les espaces propres de Δ _{S ^{n −1}} . En particulier, une application du théorème spectral au potentiel de Riesz donne une autre preuve que les espaces H _ℓ sont deux à deux orthogonaux et complets dans L ² ( S ^{n −1} ) .
• Tout polynôme homogène p ∈ P _ℓ peut s'écrire de manière unique sous la forme où p _j ∈ A _j . En particulier,

Une base orthogonale d'harmoniques sphériques en dimensions supérieures peut être construite inductivement par la méthode de séparation des variables , en résolvant le problème de Sturm-Liouville pour le Laplacien sphérique où φ est la coordonnée axiale dans un système de coordonnées sphériques sur S ^{n −1} . Le résultat final d'une telle procédure est où les indices satisfont | ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1} et la valeur propre est − ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2) . Les fonctions du produit sont définies en termes de la fonction de Legendre

L'espace H _ℓ des harmoniques sphériques de degré ℓ est une représentation du groupe de symétrie des rotations autour d'un point ( SO(3) ) et de sa double-couverture SU(2) . En effet, les rotations agissent sur la sphère bidimensionnelle , et donc aussi sur H _ℓ par composition de fonctions pour ψ une harmonique sphérique et ρ une rotation. La représentation H _ℓ est une représentation irréductible de SO(3).

Les éléments de H _ℓ apparaissent comme les restrictions à la sphère des éléments de A _ℓ : polynômes harmoniques homogènes de degré ℓ sur l'espace euclidien tridimensionnel R ³ . Par polarisation de ψ ∈ A _ℓ , il existe des coefficients symétriques sur les indices, déterminés de manière unique par l'exigence La condition que ψ soit harmonique équivaut à l'affirmation que le tenseur doit être sans trace sur tout couple d'indices. Ainsi en tant que représentation irréductible de SO(3) , H _ℓ est isomorphe à l'espace des tenseurs symétriques sans trace de degré ℓ .

De manière plus générale, les énoncés analogues sont valables en dimension supérieure : l'espace H _ℓ des harmoniques sphériques sur la n -sphère est la représentation irréductible de SO( n +1) correspondant aux tenseurs ℓ symétriques sans trace . Cependant, alors que toute représentation tensorielle irréductible de SO(2) et SO(3) est de ce type, les groupes orthogonaux spéciaux en dimension supérieure ont des représentations irréductibles supplémentaires qui n'apparaissent pas de cette manière.

Les groupes orthogonaux spéciaux ont des représentations de spin supplémentaires qui ne sont pas des représentations de tenseurs et ne sont généralement pas des harmoniques sphériques. Une exception est la représentation de spin de SO(3) : à proprement parler, ce sont des représentations de la double couverture SU(2) de SO(3). À son tour, SU(2) est identifié au groupe des quaternions unitaires , et coïncide donc avec la 3-sphère . Les espaces d'harmoniques sphériques sur la 3-sphère sont certaines représentations de spin de SO(3), par rapport à l'action par multiplication quaternionique.

Les harmoniques sphériques peuvent être séparées en deux groupes de fonctions. L'un est celui des fonctions hémisphériques (HSH), orthogonales et complètes sur l'hémisphère. L'autre est celui des harmoniques hémisphériques complémentaires (CHSH).

Les symétries préservant les angles de la sphère à deux dimensions sont décrites par le groupe des transformations de Möbius PSL(2, C ). Par rapport à ce groupe, la sphère est équivalente à la sphère de Riemann usuelle . Le groupe PSL(2, C ) est isomorphe au groupe de Lorentz (propre) et son action sur la sphère à deux dimensions concorde avec l'action du groupe de Lorentz sur la sphère céleste dans l'espace de Minkowski . L'analogue des harmoniques sphériques pour le groupe de Lorentz est donné par la série hypergéométrique ; de plus, les harmoniques sphériques peuvent être ré-exprimées en termes de la série hypergéométrique, car SO(3) = PSU(2) est un sous-groupe de PSL(2, C ) .

Plus généralement, les séries hypergéométriques peuvent être généralisées pour décrire les symétries de tout espace symétrique ; en particulier, les séries hypergéométriques peuvent être développées pour tout groupe de Lie .