Carré (algèbre)

L'opération de mise au carré définit une fonction réelle appeléefonction carrée ou laFonction quadratique . Sondomaineest l'ensembledes nombres réelset sonimageest l'ensemble des nombres réels non négatifs.

La fonction carré préserve l'ordre des nombres positifs : plus un nombre est grand, plus son carré est grand. Autrement dit, le carré est une fonction monotone sur l'intervalle 0, +∞) . Sur les nombres négatifs, les nombres de valeur absolue plus grande ont des carrés plus grands ; le carré est donc une fonction décroissante sur . Par conséquent, zéro est le minimum (global) de la fonction carré. Le carré d'un nombre est inférieur à ) si et seulement si , c'est-à-dire si Cela implique que le carré d'un entier n'est jamais inférieur au nombre initial , qui est une des racines carrées de −1 .

La propriété « tout nombre réel non négatif est un carré » a été généralisée à la notion de corps réel clos , c'est-à-dire un corps ordonné tel que tout élément non négatif est un carré et que tout polynôme de degré impair admet une racine. Les corps réels clos ne peuvent être distingués du corps des nombres réels par leurs propriétés algébriques : toute propriété des nombres réels, qui peut être exprimée en logique du premier ordre (c'est-à-dire par une formule où les variables quantifiées par ∀ ou ∃ représentent des éléments et non des ensembles), est vraie pour tout corps réel clos, et réciproquement, toute propriété de la logique du premier ordre, vraie pour un corps réel clos donné, est également vraie pour les nombres réels.

La fonction carré a plusieurs applications importantes en géométrie.

Le nom de la fonction carré souligne son importance dans la définition de l' aire : il provient du fait que l'aire d'un carré de côté L'aire est proportionnelle au carré de la taille : l'aire d'une figure plus grande. Ceci est valable aussi bien pour les aires en trois dimensions que dans le plan : par exemple, l'aire d'une sphère est proportionnelle au carré de son rayon, ce qui se manifeste physiquement par la loi de l'inverse du carré décrivant comment l'intensité des forces physiques, telles que la gravité, varie en fonction de la distance.

La fonction carré est liée à la distance par le théorème de Pythagore et sa généralisation, la loi du parallélogramme . distance euclidienne n'est pas une fonction lisse : son graphe tridimensionnel forme un cône , dont le sommet présente une discontinuité. En revanche, le carré de la distance (noté r² , dont le graphe est un paraboloïde , est une fonction lisse et analytique .

Le produit scalaire d'un vecteur euclidien avec lui-même est égal au carré de sa norme : v = v² ^. Ce résultat se généralise aux formes quadratiques dans les espaces vectoriels via le produit scalaire . Le tenseur d'inertie en mécanique est un exemple de forme quadratique. Il illustre la relation quadratique entre le moment d'inertie et la norme (la longueur ).

Il existe une infinité de triplets pythagoriciens , ensembles de trois entiers positifs tels que la somme des carrés des deux premiers soit égale au carré du troisième. Chacun de ces triplets donne les longueurs entières des côtés d'un triangle rectangle.

La fonction carré est définie dans tout corps ou anneau . Un élément de l'image de cette fonction est appelé un carré , et les images réciproques d'un carré sont appelées racines carrées .

La notion de carré est particulièrement importante dans les corps finis Z / pZ formés par les nombres modulo un nombre premier impair p

Plus généralement, dans les anneaux, la fonction carrée peut avoir différentes propriétés qui sont parfois utilisées pour classer les anneaux.

Zéro peut être le carré d'un élément non nul. Un anneau commutatif tel que le carré d'un élément non nul ne soit jamais nul est appelé un anneau réduit . Plus généralement, dans un anneau commutatif, un idéal radical est un idéal implique

Un élément d'un anneau égal à son propre carré est appelé idempotent . Dans tout anneau, 0 et 1 sont idempotents. possède </sup> idempotents, où . Un anneau commutatif dont chaque élément est égal à son carré (chaque élément est idempotent) est appelé anneau booléen ; un exemple en informatique est l'anneau dont les éléments sont des nombres binaires , avec l'opération ET bit à bit comme opération de multiplication et l'opération OU exclusif bit à bit comme opération d'addition. pour tout si et seulement si .

Dans une algèbre supercommutative où 2 est inversible, le carré de tout élément impair est égal à zéro.

Si A est un semi-groupe commutatif , alors on a

Dans le langage des formes quadratiques , cette égalité signifie que la fonction carré est une « forme permettant la composition ». En fait, la fonction carré est le fondement sur lequel sont construites d'autres formes quadratiques qui permettent également la composition. La procédure a été introduite par L.E. Dickson pour obtenir les octonions à partir des quaternions par duplication. La méthode de duplication a été formalisée par A.A. Albert , qui est parti du corps des nombres réels.F muni d'une involution.

La fonction carrée z² est la « norme » de l' algèbre de composition ^.

est une couverture double au sens où chaque nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées.

par rapport à la moyenne