Stabilité structurelle

En mathématiques , la stabilité structurelle est une propriété fondamentale d'un système dynamique , ce qui signifie que le comportement qualitatif des trajectoires n'est pas affecté par de petites perturbations (pour être exact C ¹ -petites perturbations).

Des exemples de telles propriétés qualitatives sont le nombre de points fixes et les orbites périodiques (mais pas leurs périodes). Contrairement à la stabilité de Lyapunov , qui prend en compte les perturbations des conditions initiales d'un système fixe, la stabilité structurelle traite des perturbations du système lui-même. Des variantes de cette notion s'appliquent aux systèmes d' équations différentielles ordinaires , aux champs de vecteurs sur les variétés lisses et aux écoulements engendrés par elles, et aux difféomorphismes .

Les systèmes structurellement stables ont été introduits par Aleksandr Andronov et Lev Pontryagin en 1937 sous le nom de « systèmes grossiers » . Ils ont annoncé une caractérisation des systèmes grossiers dans le plan, le critère d'Andronov-Pontryagin . Dans ce cas, les systèmes structurellement stables sont typiques , ils forment un ensemble dense ouvert dans l'espace de tous les systèmes dotés d'une topologie appropriée. En dimensions supérieures, ce n'est plus vrai, ce qui indique que la dynamique typique peut être très complexe (cf. attracteur étrange ). Une classe importante de systèmes structurellement stables en dimensions arbitraires est donnée par les difféomorphismes et les flots d'Anosov. À la fin des années 1950 et au début des années 1960, Peixoto et Marília Chaves Peixoto , motivés par les travaux d'Andronov et Pontryagin, ont développé et prouvé le théorème de Peixoto , la première caractérisation globale de la stabilité structurelle.

Soit G un domaine ouvert dans R ⁿ à fermeture compacte et à bord lisse de dimension ( n −1) . Considérons l'espace X ¹ ( G ) constitué de restrictions à G de C ¹ champs de vecteurs sur R ⁿ qui sont transversales au bord de G et orientées vers l'intérieur. Cet espace est muni de la métrique C ¹ de la façon habituelle. Un champ de vecteurs F ∈ X ¹ ( G ) est faiblement stable structurellement si pour toute perturbation F ₁ suffisamment petite , les flots correspondants sont topologiquement équivalents sur G : il existe un homéomorphisme h : G → G qui transforme les trajectoires orientées de F en trajectoires orientées de F ₁ . Si, de plus, pour tout ε > 0 l' homéomorphisme h peut être choisi pour être C ⁰ ε -proche de l'application identité lorsque F ₁ appartient à un voisinage convenable de F dépendant de ε , alors F est dit (fortement) stable structurellement . Ces définitions s'étendent de manière simple au cas des variétés lisses compactes de dimension n avec bord. Andronov et Pontryagin ont initialement considéré la propriété forte. Des définitions analogues peuvent être données pour les difféomorphismes à la place des champs de vecteurs et des flots : dans ce cadre, l'homéomorphisme h doit être une conjugaison topologique .

Il est important de noter que l'équivalence topologique est réalisée avec une perte de régularité : l'application h ne peut pas, en général, être un difféomorphisme. De plus, bien que l'équivalence topologique respecte les trajectoires orientées, contrairement à la conjugaison topologique, elle n'est pas compatible avec le temps. Ainsi, la notion pertinente d'équivalence topologique est un affaiblissement considérable de la conjugaison naïve C ¹ des champs de vecteurs. Sans ces restrictions, aucun système à temps continu avec des points fixes ou des orbites périodiques n'aurait pu être structurellement stable. Les systèmes faiblement structurellement stables forment un ouvert dans X ¹ ( G ), mais on ne sait pas si la même propriété est vraie dans le cas fort.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilité structurelle des champs vectoriels C ^{1 sur le disque unité} D transversal à la frontière et sur la sphère bidimensionnelle S ² ont été déterminées dans l'article fondateur d'Andronov et Pontryagin. Selon le critère d'Andronov–Pontryagin , de tels champs sont structurellement stables si et seulement s'ils n'ont qu'un nombre fini de points singuliers ( états d'équilibre ) et de trajectoires périodiques ( cycles limites ), qui sont tous non dégénérés (hyperboliques) et n'ont pas de connexions selle-à-selle. De plus, l' ensemble non errant du système est précisément l'union de points singuliers et d'orbites périodiques. En particulier, les champs vectoriels structurellement stables en deux dimensions ne peuvent pas avoir de trajectoires homoclines , ce qui complique énormément la dynamique, comme l'a découvert Henri Poincaré .

La stabilité structurelle des champs vectoriels lisses non singuliers sur le tore peut être étudiée en utilisant la théorie développée par Poincaré et Arnaud Denjoy . En utilisant l' application de récurrence de Poincaré , la question se réduit à déterminer la stabilité structurelle des difféomorphismes du cercle . En conséquence du théorème de Denjoy , un difféomorphisme C ² ƒ préservant l'orientation du cercle est structurellement stable si et seulement si son nombre de rotation est rationnel, ρ ( ƒ ) = p / q , et les trajectoires périodiques, qui ont toutes une période q , sont non dégénérées : la Jacobienne de ƒ ^q aux points périodiques est différente de 1, voir application du cercle .

Dmitri Anosov a découvert que les automorphismes hyperboliques du tore, comme l' application du chat d'Arnold , sont structurellement stables. Il a ensuite généralisé cette affirmation à une classe plus large de systèmes, qui ont depuis été appelés difféomorphismes d'Anosov et flots d'Anosov. Un exemple célèbre de flot d'Anosov est donné par le flot géodésique sur une surface de courbure négative constante, cf. billards d'Hadamard .

La stabilité structurelle du système fournit une justification pour appliquer la théorie qualitative des systèmes dynamiques à l'analyse des systèmes physiques concrets. L'idée d'une telle analyse qualitative remonte aux travaux d' Henri Poincaré sur le problème des trois corps en mécanique céleste . À la même époque, Aleksandr Lyapunov a étudié rigoureusement la stabilité des petites perturbations d'un système individuel. En pratique, la loi d'évolution du système (c'est-à-dire les équations différentielles) n'est jamais connue exactement, en raison de la présence de diverses petites interactions. Il est donc crucial de savoir que les caractéristiques de base de la dynamique sont les mêmes pour toute petite perturbation du système « modèle », dont l'évolution est régie par une certaine loi physique connue. L'analyse qualitative a été développée plus avant par George Birkhoff dans les années 1920, mais a été formalisée pour la première fois avec l'introduction du concept de système brut par Andronov et Pontryagin en 1937. Cela a été immédiatement appliqué à l'analyse des systèmes physiques avec oscillations par Andronov, Witt et Khaikin. Le terme « stabilité structurelle » est dû à Solomon Lefschetz , qui a supervisé la traduction de leur monographie en anglais. Les idées de stabilité structurelle ont été reprises par Stephen Smale et son école dans les années 1960 dans le contexte de la dynamique hyperbolique. Auparavant, Marston Morse et Hassler Whitney ont initié et René Thom ont développé une théorie parallèle de la stabilité pour les applications différentiables, qui constitue un élément clé de la théorie des singularités . Thom a envisagé des applications de cette théorie aux systèmes biologiques. Smale et Thom ont tous deux travaillé en contact direct avec Maurício Peixoto, qui a développé le théorème de Peixoto à la fin des années 1950.

Lorsque Smale commença à développer la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques, il espérait que les systèmes structurellement stables seraient « typiques ». Cela aurait été cohérent avec la situation en petites dimensions : dimension deux pour les écoulements et dimension un pour les difféomorphismes. Cependant, il trouva bientôt des exemples de champs de vecteurs sur des variétés de dimension supérieure qui ne peuvent pas être rendus structurellement stables par une perturbation arbitrairement petite (de tels exemples furent construits plus tard sur des variétés de dimension trois). Cela signifie que dans les dimensions supérieures, les systèmes structurellement stables ne sont pas denses . De plus, un système structurellement stable peut avoir des trajectoires homoclines transversales d'orbites fermées en selle hyperbolique et une infinité d'orbites périodiques, même si l'espace des phases est compact. L'analogue de dimension supérieure le plus proche des systèmes structurellement stables considérés par Andronov et Pontryagin est donné par les systèmes de Morse-Smale .