Problème à trois corps

En physique , plus précisément en mécanique classique , le problème des trois corps consiste à prendre les positions et vitesses initiales (ou moments ) de trois masses ponctuelles qui orbitent l'une autour de l'autre dans l'espace et à calculer leurs trajectoires ultérieures en utilisant les lois du mouvement de Newton et la loi de la gravitation universelle de Newton .

Contrairement au problème à deux corps , le problème à trois corps n'a pas de solution générale sous forme fermée , ce qui signifie qu'il n'existe pas d'équation qui le résout toujours. Lorsque trois corps gravitent en orbite l'un autour de l'autre, le système dynamique résultant est chaotique pour la plupart des conditions initiales . Comme il n'existe pas d'équations résolubles pour la plupart des systèmes à trois corps, la seule façon de prédire les mouvements des corps est de les estimer à l'aide de méthodes numériques .

Le problème des trois corps est un cas particulier du problème à n corps . Historiquement, le premier problème spécifique à trois corps à recevoir une étude approfondie était celui impliquant la Terre , la Lune et le Soleil . Dans un sens moderne élargi, un problème à trois corps est tout problème de mécanique classique ou de mécanique quantique qui modélise le mouvement de trois particules.

L'énoncé mathématique du problème des trois corps peut être donné en termes d'équations newtoniennes du mouvement pour les positions vectorielles de trois corps en interaction gravitationnelle avec des masses :

Le problème peut également être énoncé de manière équivalente dans le formalisme hamiltonien , auquel cas il est décrit par un ensemble de 18 équations différentielles du premier ordre, une pour chaque composante des positions et des moments :

où est l' hamiltonien :

Dans ce cas, il s'agit simplement de l'énergie totale du système, gravitationnelle plus cinétique.

Dans la formulation restreinte du problème à trois corps , dans la description de Barrow-Green,

deux... corps tournent autour de leur centre de masse sur des orbites circulaires sous l'influence de leur attraction gravitationnelle mutuelle, et... forment un système à deux corps... [dont] le mouvement est connu. Un troisième corps (généralement appelé planétoïde), supposé sans masse par rapport aux deux autres, se déplace dans le plan défini par les deux corps en rotation et, tout en étant influencé gravitationnellement par eux, n'exerce aucune influence propre.

Selon Barrow-Green, « le problème est alors de déterminer le mouvement du troisième corps. »

C'est-à-dire que ce mouvement à deux corps est supposé consister en des orbites circulaires autour du centre de masse , et le planétoïde est supposé se déplacer dans le plan défini par les orbites circulaires. (C'est-à-dire qu'il est utile de considérer le potentiel effectif . ) Par rapport à un référentiel rotatif , les deux corps en co-orbite sont stationnaires, et le troisième peut être stationnaire également aux points de Lagrange , ou se déplacer autour d'eux, par exemple sur une orbite en fer à cheval .

Le problème restreint des trois corps est plus facile à analyser théoriquement que le problème complet. Il présente également un intérêt pratique car il décrit avec précision de nombreux problèmes du monde réel, l'exemple le plus important étant le système Terre-Lune-Soleil. Pour ces raisons, il a joué un rôle important dans le développement historique du problème des trois corps.

Mathématiquement, le problème est formulé comme suit. Soit les masses des deux corps massifs, de coordonnées (planaires) et , et soit les coordonnées du planétoïde. Pour plus de simplicité, choisissez des unités telles que la distance entre les deux corps massifs, ainsi que la constante gravitationnelle, soient toutes deux égales à . Alors, le mouvement du planétoïde est donné par :

où . Sous cette forme, les équations du mouvement comportent une dépendance explicite du temps à travers les coordonnées ; cependant, cette dépendance du temps peut être supprimée par une transformation vers un référentiel rotatif, ce qui simplifie toute analyse ultérieure.

Il n'existe pas de solution générale sous forme fermée au problème des trois corps. En d'autres termes, il n'existe pas de solution générale qui puisse être exprimée en termes d'un nombre fini d'opérations mathématiques standard. De plus, le mouvement des trois corps n'est généralement pas répétitif, sauf dans des cas particuliers.

Cependant, en 1912, le mathématicien finlandais Karl Fritiof Sundman a démontré qu'il existe une solution analytique au problème des trois corps sous la forme d'une série de Puiseux , plus précisément une série entière en termes de puissances de t ^1/3 . Cette série converge pour tout t réel , sauf pour des conditions initiales correspondant à un moment angulaire nul . En pratique, cette dernière restriction est insignifiante puisque les conditions initiales avec un moment angulaire nul sont rares, la mesure de Lebesgue étant nulle.

Un point important pour prouver ce résultat est le fait que le rayon de convergence de cette série est déterminé par la distance à la singularité la plus proche. Par conséquent, il est nécessaire d'étudier les singularités possibles des problèmes à trois corps. Comme cela est brièvement expliqué ci-dessous, les seules singularités dans le problème à trois corps sont les collisions binaires (collisions entre deux particules à un instant donné) et les collisions triples (collisions entre trois particules à un instant donné).

Les collisions, quel qu'en soit le nombre, sont quelque peu improbables, puisqu'il a été démontré qu'elles correspondent à un ensemble de conditions initiales de mesure zéro. Mais il n'existe aucun critère connu qui puisse être appliqué à l'état initial afin d'éviter les collisions pour la solution correspondante. La stratégie de Sundman consistait donc en les étapes suivantes :

1. En utilisant un changement approprié de variables pour continuer à analyser la solution au-delà de la collision binaire, dans un processus connu sous le nom de régularisation .
2. Il a démontré que les collisions triples ne se produisent que lorsque le moment angulaire L disparaît. En limitant les données initiales à L ≠ 0 , il a supprimé toutes les singularités réelles des équations transformées pour le problème à trois corps.
3. Démontrer que si L ≠ 0 , alors non seulement il ne peut y avoir de triple collision, mais le système est strictement délimité par rapport à une triple collision. Cela implique, par le théorème d'existence de Cauchy pour les équations différentielles, qu'il n'y a pas de singularités complexes dans une bande (dépendant de la valeur de L ) dans le plan complexe centré autour de l'axe réel (lié au théorème de Cauchy-Kovalevskaya ).
4. Trouver une transformation conforme qui associe cette bande au disque unité. Par exemple, si s = t ^1/3 (la nouvelle variable après la régularisation) et si | ln s | ≤ β , alors cette application est donnée par

Ceci termine la preuve du théorème de Sundman.

La série correspondante converge extrêmement lentement. En d'autres termes, obtenir une valeur de précision significative nécessite tellement de termes que cette solution n'a que peu d'utilité pratique. En effet, en 1930, David Beloriszky a calculé que si la série de Sundman devait être utilisée pour des observations astronomiques, les calculs impliqueraient au moins 10^{8 000 000} termes.

En 1767, Leonhard Euler a trouvé trois familles de solutions périodiques dans lesquelles les trois masses sont colinéaires à chaque instant.

En 1772, Lagrange a trouvé une famille de solutions dans laquelle les trois masses forment à chaque instant un triangle équilatéral. Avec les solutions colinéaires d'Euler, ces solutions forment les configurations centrales du problème des trois corps. Ces solutions sont valables pour tous les rapports de masses, et les masses se déplacent sur des ellipses képlériennes . Ces quatre familles sont les seules solutions connues pour lesquelles il existe des formules analytiques explicites. Dans le cas particulier du problème des trois corps restreints circulaires , ces solutions, vues dans un référentiel tournant avec les primaires, deviennent des points appelés points de Lagrange et étiquetés L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ et L ₅ , L ₄ et L ₅ étant des instances symétriques de la solution de Lagrange.

Dans ses travaux résumés entre 1892 et 1899, Henri Poincaré établit l'existence d'un nombre infini de solutions périodiques au problème restreint des trois corps, ainsi que des techniques permettant de poursuivre ces solutions dans le problème général des trois corps.

En 1893, Meissel a énoncé ce qu'on appelle aujourd'hui le problème pythagoricien des trois corps : trois masses dans le rapport 3:4:5 sont placées au repos aux sommets d'un triangle rectangle 3:4:5 , le corps le plus lourd étant à l'angle droit et le plus léger à l'angle aigu le plus petit. Burrau a approfondi ce problème en 1913. En 1967, Victor Szebehely et C. Frederick Peters ont établi l'échappement éventuel du corps le plus léger pour ce problème en utilisant l'intégration numérique, tout en trouvant en même temps une solution périodique proche.

Dans les années 1970, Michel Hénon et Roger A. Broucke ont chacun trouvé un ensemble de solutions qui font partie de la même famille de solutions : la famille Broucke-Hénon-Hadjidemetriou. Dans cette famille, les trois objets ont tous la même masse et peuvent présenter à la fois des formes rétrogrades et directes. Dans certaines des solutions de Broucke, deux des corps suivent le même chemin.

En 1993, le physicien Cris Moore de l' Institut Santa Fe a trouvé une solution à moment angulaire nul avec trois masses égales se déplaçant autour d'une forme en huit. En 2000, les mathématiciens Alain Chenciner et Richard Montgomery ont prouvé son existence formelle. La ​​solution a été démontrée numériquement comme étant stable pour de petites perturbations de la masse et des paramètres orbitaux, ce qui permet d'observer de telles orbites dans l'univers physique. Mais il a été avancé que cela était peu probable puisque le domaine de stabilité est petit. Par exemple, la probabilité d'un événement de diffusion binaire-binaire aboutissant à une orbite en forme de 8 a été estimée à une petite fraction de pour cent.

En 2013, les physiciens Milovan Šuvakov et Veljko Dmitrašinović de l'Institut de physique de Belgrade ont découvert 13 nouvelles familles de solutions au problème des trois corps à masse égale et à moment angulaire nul.

En 2015, la physicienne Ana Hudomal a découvert 14 nouvelles familles de solutions au problème des trois corps à masse égale et à moment angulaire nul.

En 2017, les chercheurs Xiaoming Li et Shijun Liao ont découvert 669 nouvelles orbites périodiques du problème des trois corps à masse égale et moment angulaire nul. Cela a été suivi en 2018 par 1 223 nouvelles solutions supplémentaires pour un système à moment angulaire nul de masses inégales.

En 2018, Li et Liao ont rapporté 234 solutions au problème des trois corps en chute libre à masses inégales. La formulation en chute libre commence avec les trois corps au repos. De ce fait, les masses dans une configuration de chute libre ne tournent pas en orbite dans une « boucle » fermée, mais se déplacent vers l'avant et vers l'arrière le long d'une « piste » ouverte.

En 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović et Kiyotaka Tanikawa ont publié une recherche du problème à trois corps des « orbites périodiques en chute libre », limitée au cas de masse égale, et ont trouvé 12 409 solutions distinctes.

En utilisant un ordinateur, le problème peut être résolu avec une précision arbitrairement élevée en utilisant l'intégration numérique, bien qu'une haute précision nécessite beaucoup de temps CPU . Des tentatives ont été faites pour créer des programmes informatiques qui résolvent numériquement le problème des trois corps (et par extension, le problème des n corps ) impliquant à la fois des interactions électromagnétiques et gravitationnelles, et incorporant des théories modernes de la physique telles que la relativité restreinte . De plus, en utilisant la théorie des marches aléatoires , une probabilité approximative de différents résultats peut être calculée.

Le problème gravitationnel des trois corps dans son sens traditionnel remonte en substance à 1687, lorsqu'Isaac Newton publia ses Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , dans lesquels il tentait de déterminer si une stabilité à long terme était possible, en particulier pour un système comme celui de notre Terre , de la Lune et du Soleil. Guidé par les grands astronomes de la Renaissance Nicolas Copernic , Tycho Brahe et Johannes Kepler, il présenta aux générations suivantes le début du problème gravitationnel des trois corps. Dans la proposition 66 du livre 1 des Principia et ses 22 corollaires, Newton fit les premiers pas dans la définition et l'étude du problème des mouvements de trois corps massifs soumis à leurs attractions gravitationnelles mutuellement perturbatrices. Dans les propositions 25 à 35 du livre 3, Newton a également fait les premiers pas dans l'application de ses résultats de la proposition 66 à la théorie lunaire , le mouvement de la Lune sous l'influence gravitationnelle de la Terre et du Soleil. Plus tard, ce problème a également été appliqué aux interactions d'autres planètes avec la Terre et le Soleil.

Le problème physique fut d'abord abordé par Amerigo Vespucci , puis par Galilée et Simon Stevin , mais ils ne se rendirent pas compte de leur contribution. Bien que Galilée ait déterminé que la vitesse de chute de tous les corps change uniformément et de la même manière, il ne l'appliqua pas aux mouvements planétaires. En 1499, Vespucci utilisa la connaissance de la position de la Lune pour déterminer sa position au Brésil. Il devint d'une importance technique dans les années 1720, car une solution précise serait applicable à la navigation, en particulier pour la détermination de la longitude en mer , résolue en pratique par l'invention du chronomètre de marine par John Harrison . Cependant, la précision de la théorie lunaire était faible, en raison de l'effet perturbateur du Soleil et des planètes sur le mouvement de la Lune autour de la Terre.

Jean le Rond d'Alembert et Alexis Clairaut , qui développèrent une rivalité de longue date, tentèrent tous deux d'analyser le problème dans une certaine mesure de généralité ; ils soumit leurs premières analyses concurrentes à l'Académie royale des sciences en 1747. C'est dans le cadre de leurs recherches, à Paris dans les années 1740, que le nom de « problème des trois corps » commença à être couramment utilisé. Un compte rendu publié en 1761 par Jean le Rond d'Alembert indique que le nom fut utilisé pour la première fois en 1747.

De la fin du 19e siècle au début du 20e siècle, l'approche pour résoudre le problème des trois corps avec l'utilisation de forces attractives à deux corps à courte portée a été développée par des scientifiques, ce qui a offert à PF Bedaque, H.-W. Hammer et U. van Kolck une idée pour renormaliser le problème des trois corps à courte portée, fournissant aux scientifiques un exemple rare d'un cycle limite de groupe de renormalisation au début du 21e siècle. George William Hill a travaillé sur le problème restreint à la fin du 19e siècle avec une application du mouvement de Vénus et de Mercure .

Au début du XXe siècle, Karl Sundman a abordé le problème de manière mathématique et systématique en fournissant une preuve théorique fonctionnelle valable pour toutes les valeurs du temps. C'était la première fois que les scientifiques résolvaient théoriquement le problème des trois corps. Cependant, comme il n'existait pas de solution suffisamment qualitative de ce système et qu'il était trop lent pour que les scientifiques puissent l'appliquer en pratique, cette solution laissait encore quelques problèmes non résolus. Dans les années 1970, l'implication des forces à trois corps à partir des forces à deux corps avait été découverte par V. Efimov , qui a été nommé l' effet Efimov .

En 2017, Shijun Liao et Xiaoming Li ont appliqué une nouvelle stratégie de simulation numérique pour les systèmes chaotiques appelée simulation numérique propre (CNS), avec l'utilisation d'un supercalculateur national, pour obtenir avec succès 695 familles de solutions périodiques du système à trois corps de masse égale.

En 2019, Breen et al. ont annoncé un solveur de réseau neuronal rapide pour le problème à trois corps, formé à l'aide d'un intégrateur numérique.

En septembre 2023, plusieurs solutions possibles ont été trouvées au problème selon les rapports.

Le terme « problème à trois corps » est parfois utilisé dans un sens plus général pour désigner tout problème physique impliquant l’interaction de trois corps.

Un analogue quantique du problème gravitationnel à trois corps de la mécanique classique est l' atome d'hélium , dans lequel un noyau d'hélium et deux électrons interagissent selon l' interaction coulombienne en carré inverse . Comme le problème gravitationnel à trois corps, l'atome d'hélium ne peut pas être résolu exactement.

En mécanique classique comme en mécanique quantique, il existe cependant des lois d'interaction non triviales, outre la force inverse du carré, qui conduisent à des solutions analytiques exactes à trois corps. Un de ces modèles consiste en une combinaison d' attraction harmonique et d'une force inverse du cube répulsif. Ce modèle est considéré comme non trivial car il est associé à un ensemble d'équations différentielles non linéaires contenant des singularités (par rapport, par exemple, aux interactions harmoniques seules, qui conduisent à un système d'équations différentielles linéaires facilement résolu). À ces deux égards, il est analogue aux modèles (insolubles) ayant des interactions de Coulomb, et a donc été suggéré comme un outil pour comprendre intuitivement des systèmes physiques comme l'atome d'hélium.

Dans le modèle de tourbillon ponctuel , le mouvement des tourbillons dans un fluide idéal bidimensionnel est décrit par des équations de mouvement qui ne contiennent que des dérivées temporelles du premier ordre. Autrement dit, contrairement à la mécanique newtonienne, c'est la vitesse et non l'accélération qui est déterminée par leurs positions relatives. En conséquence, le problème des trois tourbillons est toujours intégrable , alors qu'au moins quatre tourbillons sont nécessaires pour obtenir un comportement chaotique. On peut établir des parallèles entre le mouvement d'une particule traceuse passive dans le champ de vitesse de trois tourbillons et le problème restreint des trois corps de la mécanique newtonienne.

Le problème gravitationnel à trois corps a également été étudié en utilisant la relativité générale . Physiquement, un traitement relativiste devient nécessaire dans les systèmes avec des champs gravitationnels très forts, comme près de l' horizon des événements d'un trou noir . Cependant, le problème relativiste est considérablement plus difficile que dans la mécanique newtonienne, et des techniques numériques sophistiquées sont nécessaires. Même le problème complet à deux corps (c'est-à-dire pour un rapport arbitraire des masses) n'a pas de solution analytique rigoureuse en relativité générale.

Le problème des trois corps est un cas particulier du problème des n corps , qui décrit comment n objets se déplacent sous l'effet d'une force physique, comme la gravité . Ces problèmes ont une solution analytique globale sous la forme d'une série convergente, comme l'ont prouvé Karl F. Sundman pour n = 3 et Qiudong Wang pour n > 3 (voir le problème des n corps pour plus de détails). Cependant, les séries de Sundman et de Wang convergent si lentement qu'elles sont inutiles à des fins pratiques ; il est donc actuellement nécessaire d'approximer les solutions par analyse numérique sous la forme d' une intégration numérique ou, pour certains cas, d'approximations de séries trigonométriques classiques (voir la simulation des n corps ). Les systèmes atomiques, par exemple les atomes, les ions et les molécules, peuvent être traités en termes de problème quantique des n corps. Parmi les systèmes physiques classiques, le problème des n corps fait généralement référence à une galaxie ou à un amas de galaxies ; les systèmes planétaires , tels que les étoiles , les planètes et leurs satellites , peuvent également être traités comme des systèmes à n corps. Certaines applications sont traitées de manière pratique par la théorie des perturbations , dans laquelle le système est considéré comme un problème à deux corps plus des forces supplémentaires provoquant des écarts par rapport à une trajectoire hypothétique à deux corps non perturbée.