Sous-base

En topologie , une sous-base (ou sous-base , prébase , prébase ) pour un espace topologique avec topologie est une sous-collection de qui génère au sens où est la plus petite topologie contenant comme ouverts. Une définition légèrement différente est utilisée par certains auteurs, et il existe d'autres formulations équivalentes utiles de la définition ; celles-ci sont discutées ci-dessous.

Soit un espace topologique de topologie A sous-base de est généralement défini comme une sous-collection de satisfaisant l'une des deux conditions équivalentes suivantes :

1. La sous-collection génère la topologie Cela signifie que c'est la plus petite topologie contenant : toute topologie contenant doit également contenir
2. L'ensemble des ouverts constitués de toutes les intersections finies d'éléments de forme une base pour Cela signifie que tout ensemble ouvert propre dans peut être écrit comme une union d'intersections finies d'éléments de Explicitement, étant donné un point dans un ensemble ouvert, il existe un nombre fini d'ensembles de tels que l'intersection de ces ensembles contienne et soit contenue dans

(Si nous utilisons la convention d’intersection nulle , alors il n’est pas nécessaire de l’inclure dans la deuxième définition.)

Pour tout sous-ensemble de l' ensemble des puissances, il existe une topologie unique ayant pour sous-base. En particulier, l' intersection de toutes les topologies sur contenant satisfait cette condition. En général, cependant, il n'existe pas de sous-base unique pour une topologie donnée.

Ainsi, nous pouvons partir d'une topologie fixe et trouver des sous-bases pour cette topologie, et nous pouvons également partir d'une sous-collection arbitraire de l'ensemble de puissance et former la topologie générée par cette sous-collection. Nous pouvons utiliser librement l'une ou l'autre des définitions équivalentes ci-dessus ; en effet, dans de nombreux cas, l'une des deux conditions est plus utile que l'autre.

Moins fréquemment, une définition légèrement différente de la sous-base est donnée qui exige que la sous-base couvre Dans ce cas, est l'union de tous les ensembles contenus dans Cela signifie qu'il ne peut y avoir aucune confusion concernant l'utilisation des intersections nulles dans la définition.

Cependant, cette définition n'est pas toujours équivalente aux deux définitions ci-dessus. Il existe des espaces topologiques avec des sous-ensembles de la topologie tels que est la plus petite topologie contenant , mais ne recouvre pas . (Un exemple est donné à la fin de la section suivante.) En pratique, c'est un cas rare. Par exemple, une sous-base d'un espace qui a au moins deux points et satisfait l' axiome de séparation T ₁ doit être un recouvrement de cet espace. Mais comme on le verra ci-dessous, pour prouver le théorème de sous-base d'Alexander, on doit supposer que recouvre

La topologie générée par tout sous-ensemble (y compris par l'ensemble vide ) est égale à la topologie triviale

Si est une topologie sur et est une base pour alors la topologie générée par est Ainsi, toute base pour une topologie est également une sous-base pour Si est un sous-ensemble de alors la topologie générée par sera un sous-ensemble de

La topologie usuelle sur les nombres réels a une sous-base constituée de tous les intervalles ouverts semi-infinis de la forme ou où et sont des nombres réels. Ensemble, ceux-ci génèrent la topologie usuelle, puisque les intersections pour génèrent la topologie usuelle. Une deuxième sous-base est formée en prenant la sous-famille où et sont rationnels . La deuxième sous-base génère également la topologie usuelle, puisque les intervalles ouverts avec rationnels sont une base pour la topologie euclidienne usuelle.

La sous-base constituée de tous les intervalles ouverts semi-infinis de la forme seule, où est un nombre réel, ne génère pas la topologie habituelle. La topologie résultante ne satisfait pas l' axiome de séparation T ₁ , car si tout ouvert contenant contient aussi

La topologie initiale sur définie par une famille de fonctions où chacune a une topologie , est la topologie la plus grossière sur telle que chacune soit continue . Comme la continuité peut être définie en termes d' images inverses d'ensembles ouverts, cela signifie que la topologie initiale sur est donnée en prenant comme sous-base tous les où s'étendent sur tous les sous-ensembles ouverts de .

Deux cas particuliers importants de la topologie initiale sont la topologie du produit , où la famille de fonctions est l'ensemble des projections du produit sur chaque facteur, et la topologie du sous-espace , où la famille se compose d'une seule fonction, l' application d'inclusion .

La topologie compacte-ouverte sur l'espace des fonctions continues de à a pour sous-base l'ensemble des fonctions où est compacte et est un sous-ensemble ouvert de

Supposons que soit un espace topologique de Hausdorff contenant deux éléments ou plus (par exemple, avec la topologie euclidienne ). Soit un sous-ensemble ouvert non vide de (par exemple, pourrait être un intervalle ouvert borné non vide dans ) et soit désigne le sous-espace topologique sur qui hérite de (donc ). Alors la topologie générée par sur est égale à l'union (voir la note de bas de page pour une explication), où (puisque est de Hausdorff, l'égalité sera vérifiée si et seulement si ). Notez que si est un sous-ensemble propre de alors est la plus petite topologie sur contenant mais ne couvre pas (c'est-à-dire que l'union est un sous-ensemble propre de ).

Un fait intéressant à propos des sous-bases est que la continuité d'une fonction ne doit être vérifiée que sur une sous-base de la plage. C'est-à-dire que si est une application entre des espaces topologiques et si est une sous-base pour alors est continue si et seulement si est ouvert dans pour tout Un réseau (ou une séquence ) converge vers un point si et seulement si chaque voisinage sous- base de contient tous pour suffisamment grand

Le théorème de sous-base d'Alexander est un résultat significatif concernant les sous-bases qui est dû à James Waddell Alexander II . Le résultat correspondant pour les couvertures ouvertes basiques (plutôt que sous-basiques) est beaucoup plus facile à prouver.

Théorème de sous-base d'Alexander : Soit un espace topologique. Si possède une sous-base telle que tout revêtement de par des éléments de possède un sous-revêtement fini, alors est compact .

L'inverse de ce théorème est également vrai et il est prouvé en utilisant (puisque chaque topologie est une sous-base pour elle-même).

Si est compact et est une sous-base pour toute couverture de par des éléments de a une sous-couverture finie.

Bien que cette preuve utilise le lemme de Zorn , elle n'a pas besoin de la force de choix totale. Elle repose plutôt sur le principe intermédiaire de l'ultrafiltre .

En utilisant ce théorème avec la sous-base pour ci-dessus, on peut donner une preuve très simple que les intervalles fermés bornés dans sont compacts. Plus généralement, le théorème de Tychonoff , qui stipule que le produit d'espaces compacts non vides est compact, a une preuve courte si le théorème de la sous-base d'Alexander est utilisé.