Nécessité et suffisance

En logique et en mathématiques , la nécessité et la suffisance sont des termes utilisés pour décrire une relation conditionnelle ou implicationnelle entre deux énoncés . Par exemple, dans l' énoncé conditionnel : « Si P alors Q », Q est nécessaire pour P , car la vérité de Q est garantie par la vérité de P. (De manière équivalente, il est impossible d'avoir P sans Q , ou la fausseté de Q assure la fausseté de P. ) De même, P est suffisant pour Q , car P étant vrai implique toujours que Q est vrai, mais P n'étant pas vrai n'implique pas toujours que Q n'est pas vrai.

En général, une condition nécessaire est une condition (éventuellement une condition parmi plusieurs) qui doit être présente pour qu'une autre condition se produise, tandis qu'une condition suffisante est une condition qui produit ladite condition. L'affirmation selon laquelle une déclaration est une condition « nécessaire et suffisante » d'une autre signifie que la première déclaration est vraie si et seulement si la seconde est vraie. C'est-à-dire que les deux déclarations doivent être soit simultanément vraies, soit simultanément fausses.

En anglais courant (et en langage naturel ), « nécessaire » et « suffisant » indiquent des relations entre des conditions ou des états de fait, et non des énoncés. Par exemple, être un homme est une condition nécessaire pour être un frère, mais ce n'est pas suffisant, alors qu'être un frère est une condition nécessaire et suffisante pour être un frère. Tout énoncé conditionnel se compose d'au moins une condition suffisante et d'au moins une condition nécessaire.

Dans l'analyse des données , la nécessité et la suffisance peuvent faire référence à différentes logiques causales , où l'analyse des conditions nécessaires et l'analyse comparative qualitative peuvent être utilisées comme techniques analytiques pour examiner la nécessité et la suffisance des conditions pour un résultat d'intérêt particulier.

Dans l'énoncé conditionnel « si S , alors N », l'expression représentée par S est appelée l' antécédent et l'expression représentée par N est appelée le conséquent . Cet énoncé conditionnel peut être écrit de plusieurs manières équivalentes, telles que « N si S », « S seulement si N », « S implique N », « N est impliqué par S », S → N , S ⇒ N et « N chaque fois que S ».

Dans la situation ci-dessus de « N chaque fois que S », N est dit être une condition nécessaire pour S. Dans le langage courant, cela revient à dire que si l'énoncé conditionnel est un énoncé vrai, alors le conséquent N doit être vrai – si S doit être vrai (voir la troisième colonne de la « table de vérité » immédiatement ci-dessous). En d'autres termes, l'antécédent S ne peut pas être vrai sans que N soit vrai. Par exemple, pour que quelqu'un soit appelé Socrate , il est nécessaire que cette personne soit nommée Nom . De même, pour que les êtres humains vivent, il est nécessaire qu'ils aient de l'air.

On peut aussi dire que S est une condition suffisante pour N (se reporter à nouveau à la troisième colonne de la table de vérité immédiatement ci-dessous). Si l'énoncé conditionnel est vrai, alors si S est vrai, N doit être vrai ; alors que si l'énoncé conditionnel est vrai et N est vrai, alors S peut être vrai ou faux. En termes courants, « la vérité de S garantit la vérité de N ». Par exemple, en reprenant l'exemple précédent, on peut dire que savoir que quelqu'un s'appelle Socrate est suffisant pour savoir que quelqu'un a un Nom .

Une condition nécessaire et suffisante requiert que les deux implications et (la dernière pouvant aussi s'écrire ) soient remplies. La première implication suggère que S est une condition suffisante pour N , tandis que la seconde implication suggère que S est une condition nécessaire pour N . Cela s'exprime par « S est nécessaire et suffisant pour N », « S si et seulement si N », ou .

L'affirmation selon laquelle Q est nécessaire pour P est familièrement équivalente à « P ne peut être vrai que si Q est vrai » ou « si Q est faux, alors P est faux ». Par opposition , cela revient à dire « chaque fois que P est vrai, Q l'est aussi ».

La relation logique entre P et Q s'exprime par « si P , alors Q » et est notée « P ⇒ Q » ( P implique Q ). Elle peut aussi s'exprimer par « P seulement si Q », « Q , si P », « Q quand P » et « Q quand P ». On trouve souvent, dans la prose mathématique par exemple, plusieurs conditions nécessaires qui, prises ensemble, constituent une condition suffisante (c'est-à-dire individuellement nécessaires et conjointement suffisantes ), comme le montre l'exemple 5.

Exemple 1

Pour qu'il soit vrai que « John est célibataire », il faut qu'il soit également vrai qu'il est

1. célibataire,
2. mâle,
3. adulte,

puisque dire « John est célibataire » implique que John possède chacun de ces trois prédicats supplémentaires .

Exemple 2

Pour les nombres entiers supérieurs à deux, il est nécessaire d'être impair pour être premier, puisque deux est le seul nombre entier qui est à la fois pair et premier.

Exemple 3

Prenons le tonnerre, le bruit causé par la foudre. On dit que le tonnerre est nécessaire à la foudre, car la foudre ne se produit jamais sans tonnerre. Chaque fois qu'il y a un éclair, il y a du tonnerre. Le tonnerre ne cause pas la foudre (car la foudre provoque le tonnerre), mais comme la foudre s'accompagne toujours du tonnerre, on dit que le tonnerre est nécessaire à la foudre. (Autrement dit, dans son sens formel, la nécessité n'implique pas la causalité.)

Exemple 4

Il faut avoir au moins 30 ans pour siéger au Sénat américain. Si vous avez moins de 30 ans, il vous est impossible d'être sénateur. Autrement dit, si vous êtes sénateur, vous devez avoir au moins 30 ans.

Exemple 5

En algèbre , pour qu'un ensemble S et une opération forment un groupe , il faut qu'il soit associatif . Il faut aussi que S contienne un élément spécial e tel que pour tout x de S , e x et x e soient tous deux égaux à x . Il faut aussi que pour tout x de S existe un élément correspondant x″ tel que x x″ et x″ x soient tous deux égaux à l'élément spécial e . Aucune de ces trois conditions nécessaires n'est suffisante en elle-même, mais la conjonction des trois l'est.

Si P est suffisant pour Q , alors savoir que P est vrai est une raison suffisante pour conclure que Q est vrai ; cependant, savoir que P est faux ne répond pas à un besoin minimal pour conclure que Q est faux.

La relation logique est, comme précédemment, exprimée comme « si P , alors Q » ou « P ⇒ Q ». Elle peut aussi être exprimée comme « P seulement si Q », « P implique Q » ou plusieurs autres variantes. Il peut arriver que plusieurs conditions suffisantes, prises ensemble, constituent une seule condition nécessaire (c'est-à-dire individuellement suffisante et conjointement nécessaire), comme illustré dans l'exemple 5.

Exemple 1

« Jean est roi » implique que Jean est un homme. Ainsi, savoir que Jean est un roi suffit à savoir qu'il est un homme.

Exemple 2

Le fait qu'un nombre soit divisible par 4 est suffisant (mais pas nécessaire) pour qu'il soit pair, mais le fait qu'il soit divisible par 2 est à la fois suffisant et nécessaire pour qu'il soit pair.

Exemple 3

L'apparition d'un coup de tonnerre est une condition suffisante pour l'apparition d'un éclair, dans le sens où le fait d'entendre le tonnerre et de le reconnaître sans ambiguïté comme tel justifie la conclusion qu'il y a eu un éclair.

Exemple 4

Si le Congrès américain vote un projet de loi, la signature du président suffit à en faire une loi. Il convient de noter que le cas où le président n'a pas signé le projet de loi, par exemple en exerçant un veto présidentiel , ne signifie pas que le projet de loi n'est pas devenu loi (il aurait pu par exemple devenir loi par une dérogation du Congrès ).

Exemple 5

Il suffit que le centre d'une carte à jouer soit marqué d'un seul grand pique (♠) pour que la carte soit un as. Trois autres conditions suffisantes sont que le centre de la carte soit marqué d'un seul carreau (♦), d'un cœur (♥) ou d'un trèfle (♣). Aucune de ces conditions n'est nécessaire pour que la carte soit un as, mais leur disjonction l'est, car aucune carte ne peut être un as sans remplir au moins (en fait, exactement) une de ces conditions.

Une condition peut être soit nécessaire, soit suffisante sans être l'autre. Par exemple, être un mammifère ( N ) est nécessaire mais pas suffisant pour être un humain ( S ), et qu'un nombre soit rationnel ( S ) est suffisant mais pas nécessaire pour être un nombre réel ( N ) (puisqu'il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels).

Une condition peut être à la fois nécessaire et suffisante. Par exemple, à l'heure actuelle, « aujourd'hui c'est le 4 juillet » est une condition nécessaire et suffisante pour « aujourd'hui c'est le jour de l'indépendance aux États-Unis ». De même, une condition nécessaire et suffisante pour l'inversibilité d'une matrice M est que M ait un déterminant non nul .

Mathématiquement parlant, nécessité et suffisance sont duales l'une de l'autre. Pour toutes les affirmations S et N , l'affirmation selon laquelle « N est nécessaire pour S » est équivalente à l'affirmation selon laquelle « S est suffisant pour N ». Une autre facette de cette dualité est que, comme illustré ci-dessus, les conjonctions (utilisant « et ») de conditions nécessaires peuvent atteindre la suffisance, tandis que les disjonctions (utilisant « ou ») de conditions suffisantes peuvent atteindre la nécessité. Pour une troisième facette, identifiez chaque prédicat mathématique N avec l'ensemble T ( N ) d'objets, d'événements ou d'énoncés pour lesquels N est vrai ; alors affirmer la nécessité de N pour S équivaut à affirmer que T ( N ) est un sur-ensemble de T ( S ), tandis qu'affirmer la suffisance de S pour N équivaut à affirmer que T ( S ) est un sous-ensemble de T ( N ).

D'un point de vue psychologique, la nécessité et la suffisance sont deux aspects clés de la vision classique des concepts. Selon la théorie classique des concepts, la manière dont les esprits humains représentent une catégorie X donne lieu à un ensemble de conditions individuellement nécessaires qui définissent X. Ensemble, ces conditions individuellement nécessaires sont suffisantes pour être X. Cela contraste avec la théorie probabiliste des concepts qui affirme qu'aucune caractéristique déterminante n'est nécessaire ou suffisante, mais que les catégories ressemblent plutôt à une structure d'arbre généalogique.

Dire que P est nécessaire et suffisant pour Q, c'est dire deux choses :

1. que P est nécessaire pour Q , , et que P est suffisant pour Q , .
2. de manière équivalente, on peut comprendre que P et Q sont nécessaires l'un à l'autre, ce qui peut également être énoncé comme chacun est suffisant pour l'autre ou implique l'autre.

On peut résumer n'importe lequel, et donc tous, de ces cas par l'énoncé « P si et seulement si Q », qui est noté , alors que les cas nous indiquent que est identique à .

Par exemple, en théorie des graphes, un graphe G est dit bipartite s'il est possible d'assigner à chacun de ses sommets la couleur noire ou blanche de telle sorte que chaque arête de G ait un point final de chaque couleur. Et pour qu'un graphe soit bipartite, il est nécessaire et suffisant qu'il ne contienne aucun cycle de longueur impaire . Ainsi, découvrir si un graphe a des cycles impairs indique s'il est bipartite et inversement. Un philosophe pourrait caractériser cet état de fait ainsi : « Bien que les concepts de bipartité et d'absence de cycles impairs diffèrent en intension , ils ont une extension identique . »

En mathématiques, les théorèmes sont souvent énoncés sous la forme « P est vrai si et seulement si Q est vrai ».

Car, comme expliqué dans la section précédente, la nécessité de l'un pour l'autre équivaut à la suffisance de l'autre pour le premier, par exemple est équivalent à , si P est nécessaire et suffisant pour Q , alors Q est nécessaire et suffisant pour P . On peut écrire et dire que les affirmations « P est vraie si et seulement si Q , est vraie » et « Q est vraie si et seulement si P est vraie » sont équivalentes.