Réflexion interne totale

En physique , la réflexion totale interne ( TIR ) ​​est le phénomène dans lequel les ondes arrivant à l' interface (limite) d'un milieu à un autre (par exemple, de l'eau à l'air) ne sont pas réfractées dans le second milieu (« externe »), mais complètement réfléchies dans le premier milieu (« interne »). Elle se produit lorsque le second milieu a une vitesse d'onde plus élevée (c'est-à-dire un indice de réfraction plus faible ) que le premier, et que les ondes sont incidentes à un angle suffisamment oblique sur l'interface. Par exemple, la surface eau-air d'un aquarium typique, vue obliquement par en dessous, reflète la scène sous-marine comme un miroir sans perte de luminosité (Fig. 1).

La réflexion inverse se produit non seulement avec les ondes électromagnétiques telles que la lumière et les micro-ondes , mais aussi avec d'autres types d'ondes, notamment les ondes sonores et les ondes marines . Si les ondes sont capables de former un faisceau étroit (Fig. 2), la réflexion tend à être décrite en termes de « rayons » plutôt que d'ondes ; dans un milieu dont les propriétés sont indépendantes de la direction, comme l'air, l'eau ou le verre , les « rayons » sont perpendiculaires aux fronts d'onde associés .

La réfraction s'accompagne généralement d'une réflexion partielle . Lorsque des ondes sont réfractées d'un milieu à faible vitesse de propagation ( indice de réfraction plus élevé ) vers un milieu à vitesse de propagation plus élevée (indice de réfraction plus faible) (par exemple de l'eau vers l'air), l' angle de réfraction (entre le rayon sortant et la normale à la surface ) est supérieur à l' angle d'incidence (entre le rayon entrant et la normale). Lorsque l'angle d'incidence approche un certain seuil, appelé angle critique , l'angle de réfraction approche 90°, auquel le rayon réfracté devient parallèle à la surface limite. Lorsque l'angle d'incidence augmente au-delà de l'angle critique, les conditions de réfraction ne peuvent plus être satisfaites, il n'y a donc pas de rayon réfracté et la réflexion partielle devient totale. Pour la lumière visible , l'angle critique est d'environ 49° pour l'incidence de l'eau vers l'air et d'environ 42° pour l'incidence du verre ordinaire vers l'air.

Les détails du mécanisme de la réflexion totale donnent lieu à des phénomènes plus subtils. Alors que la réflexion totale, par définition, n'implique aucun flux continu d'énergie à travers l'interface entre les deux milieux, le milieu externe transporte une onde dite évanescente , qui se déplace le long de l'interface avec une amplitude qui décroît de manière exponentielle avec la distance par rapport à l'interface. La réflexion « totale » est en effet totale si le milieu externe est sans perte (parfaitement transparent), continue et d'étendue infinie, mais peut être nettement inférieure à la réflexion totale si l'onde évanescente est absorbée par un milieu externe avec perte (« réflectance totale atténuée »), ou déviée par la limite extérieure du milieu externe ou par des objets intégrés dans ce milieu (« réflexion totale totale » frustrée). Contrairement à la réflexion partielle entre milieux transparents, la réflexion interne totale s'accompagne d'un décalage de phase non négligeable (pas seulement zéro ou 180°) pour chaque composante de polarisation (perpendiculaire ou parallèle au plan d'incidence ), et les décalages varient avec l'angle d'incidence. L'explication de cet effet par Augustin-Jean Fresnel , en 1823, ajouta des preuves en faveur de la théorie ondulatoire de la lumière .

Les déphasages sont utilisés par l'invention de Fresnel, le losange de Fresnel , pour modifier la polarisation. L'efficacité de la réflexion totale interne est exploitée par les fibres optiques (utilisées dans les câbles de télécommunication et dans les fibroscopes de formation d'images ) et par les prismes réfléchissants , tels que les prismes de Porro / en toit redresseurs d'images pour monoculaires et jumelles .

Bien que la réflexion interne totale puisse se produire avec tout type d'onde dont on peut dire qu'elle a une incidence oblique, y compris (par exemple) les micro-ondes et les ondes sonores ,  elle est plus familière dans le cas des ondes lumineuses .

La réflexion interne totale de la lumière peut être démontrée à l'aide d'un bloc cylindrique semi-circulaire en verre ordinaire ou en verre acrylique . Sur la figure 3, une « boîte à rayons » projette un faisceau étroit de lumière (un « rayon ») radialement vers l'intérieur. La section transversale semi-circulaire du verre permet au rayon entrant de rester perpendiculaire à la partie courbe de la surface air/verre, puis de continuer en ligne droite vers la partie plate de la surface, bien que son angle avec la partie plate varie.

Lorsque le rayon rencontre l'interface verre-air plane, l'angle entre le rayon et la normale (perpendiculaire) à l'interface est appelé angle d'incidence . Si cet angle est suffisamment petit, le rayon est partiellement réfléchi mais principalement transmis, et la partie transmise est réfractée loin de la normale, de sorte que l' angle de réfraction (entre le rayon réfracté et la normale à l'interface) est supérieur à l'angle d'incidence. Pour le moment, appelons l'angle d'incidence θ _i et l'angle de réfraction θ _t (où t est pour transmis , réservant r pour réfléchi ). Lorsque θ _i augmente et s'approche d'un certain « angle critique », noté θ _c (ou parfois θ _cr ), l'angle de réfraction s'approche de 90° (c'est-à-dire que le rayon réfracté s'approche d'une tangente à l'interface), et le rayon réfracté devient plus faible tandis que le rayon réfléchi devient plus brillant. Lorsque θ _i augmente au-delà de θ _c , le rayon réfracté disparaît et seul le rayon réfléchi demeure, de sorte que toute l'énergie du rayon incident est réfléchie ; c'est la réflexion interne totale (TIR). En bref :

• Si θ _i < θ _c ‍ ,‍ le rayon incident est divisé, étant en partie réfléchi et en partie réfracté ; 
• Si θ _i > θ _c ‍ ,‍ le rayon incident subit une réflexion interne totale (TIR) ​​; rien n'est transmis. 

L'angle critique est le plus petit angle d'incidence qui produit une réflexion totale, ou de manière équivalente le plus grand angle pour lequel un rayon réfracté existe. Pour les ondes lumineuses incidentes d'un milieu « interne » avec un seul indice de réfraction n ₁  , ‍ vers un milieu « externe » avec un seul indice de réfraction n ₂  , ‍ l' angle critique est donné par ‍ et est défini si ‍ n₂ ≤ n ₁ . Pour certains autres types d'ondes, il est plus pratique de penser en termes de vitesses de propagation plutôt que d'indices de réfraction. L'explication de l'angle critique en termes de vitesses est plus générale et sera donc discutée en premier.  

Lorsqu'un front d'onde est réfracté d'un milieu à un autre, les parties incidente (entrante) et réfractée (sortante) du front d'onde se rencontrent sur une ligne commune sur la surface réfractante (interface). Soit cette ligne, notée L , se déplaçant à une vitesse u sur la surface, où u est mesuré normalement à L ‍ ( Fig. 4). Soit les fronts d'onde incident et réfracté se propagent avec des vitesses normales et (respectivement), et qu'ils forment les angles dièdres θ ₁ et θ ₂ (respectivement) avec l'interface. D'après la géométrie, ‍ est la composante de u dans la direction normale à l'onde incidente, de sorte que ‍ De même , ‍ En résolvant chaque équation pour 1/ u et en égalisant les résultats, nous obtenons la loi générale de la réfraction pour les ondes :

Mais l'angle dièdre entre deux plans est aussi l'angle entre leurs normales. Ainsi, θ ₁ est l'angle entre la normale au front d'onde incident et la normale à l'interface, tandis que θ ₂ est l'angle entre la normale au front d'onde réfracté et la normale à l'interface ; et l'équation ( 1 ) nous indique que les sinus de ces angles sont dans le même rapport que les vitesses respectives.

Ce résultat a la forme de la « loi de Snell », sauf que nous n'avons pas encore dit que le rapport des vitesses est constant, ni identifié θ ₁ et θ ₂ avec les angles d'incidence et de réfraction (appelés θ _i et θ _t ci-dessus). Cependant, si nous supposons maintenant que les propriétés des milieux sont isotropes (indépendantes de la direction), deux autres conclusions s'ensuivent : premièrement, les deux vitesses, et donc leur rapport, sont indépendantes de leurs directions ; et deuxièmement, les directions normales à l'onde coïncident avec les directions des rayons , de sorte que θ ₁ et θ ₂ coïncident avec les angles d'incidence et de réfraction tels que définis ci-dessus.

De toute évidence, l'angle de réfraction ne peut pas dépasser 90°. Dans le cas limite, nous posons ‍ θ ₂ = 90° et ‍ θ₁ = θ _c ‍ dans l'équation ( 1 ), et résolvons pour l'angle critique :  

Pour obtenir ce résultat, nous conservons l'hypothèse de milieux isotropes afin d'identifier θ ₁ et θ ₂ avec les angles d'incidence et de réfraction.

Pour les ondes électromagnétiques , et en particulier pour la lumière, il est habituel d'exprimer les résultats ci-dessus en termes d' indices de réfraction . L'indice de réfraction d'un milieu à vitesse normale est défini comme ‍ oùc est la vitesse de la lumière dans le vide. Par conséquent ‍ De même , ‍ En effectuant ces substitutions dans les équations ( 1 ) et ( 2 ), nous obtenons        

et

L'équation ( 3 ) est la loi de réfraction pour les milieux généraux, en termes d'indices de réfraction, à condition que θ ₁ et θ ₂ soient considérés comme les angles dièdres ; mais si les milieux sont isotropes , alors n ₁ et n ₂ deviennent indépendants de la direction tandis que θ ₁ et θ ₂ peuvent être considérés comme les angles d'incidence et de réfraction des rayons, et l'équation ( 4 ) s'ensuit. Ainsi, pour les milieux isotropes, les équations ( 3 )  et  ( 4 ) décrivent ensemble le comportement de la figure 5.

D'après l'équation ( 4 ), pour l'incidence de l'eau ( n ₁ ≈ 1,333 ) ‍ sur l'air ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ nous avons ‍ θ _c ≈ 48,6° , ‍ tandis que pour l'incidence du verre ordinaire ou de l'acrylique ( n ₁ ≈ 1,50 ) ‍ sur l'air ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ nous avons ‍ θ_c ≈ 41,8° .

La fonction arcsin donnant θ _c est définie uniquement si ‍ n ₂ ≤ n _1. Par conséquent, pour les milieux isotropes, la réflexion interne totale ne peut pas se produire si le second milieu a un indice de réfraction plus élevé (vitesse normale inférieure) que le premier. Par exemple, il ne peut pas y avoir de TIR pour l'incidence de l'air sur l'eau ; l'angle critique pour l'incidence de l'eau sur l'air ‍ est plutôt l'angle de réfraction à incidence rasante de l'air sur l'eau (Fig. 6).    

Le milieu avec l'indice de réfraction le plus élevé est généralement décrit comme optiquement plus dense , et celui avec l'indice de réfraction le plus faible comme optiquement plus rare . On dit donc que la réflexion interne totale est possible pour une incidence « dense à rare », mais pas pour une incidence « rare à dense ».

En se tenant à côté d'un aquarium, les yeux sous le niveau de l'eau, on peut voir des poissons ou des objets immergés se refléter dans la surface eau-air (Fig. 1). La luminosité de l'image réfléchie – tout aussi brillante que la vue « directe » – peut être surprenante.

Français Un effet similaire peut être observé en ouvrant les yeux tout en nageant juste sous la surface de l'eau. Si l'eau est calme, la surface en dehors de l'angle critique (mesuré à partir de la verticale) apparaît comme un miroir, reflétant les objets situés en dessous. La région au-dessus de l'eau ne peut être vue qu'en hauteur, où le champ de vision hémisphérique est comprimé en un champ conique appelé fenêtre de Snell , dont le diamètre angulaire est deux fois l'angle critique (cf. Fig. 6).   Le champ de vision au-dessus de l'eau est théoriquement de 180°, mais semble plus petit car lorsque nous regardons plus près de l'horizon, la dimension verticale est plus fortement comprimée par la réfraction ; par exemple, par l'équation. ( 3 ), pour des angles d'incidence air-eau de 90°, 80° et 70°, les angles de réfraction correspondants sont de 48,6° ( θ _cr sur la Fig. 6), 47,6° et 44,8°, indiquant que l'image d'un point à 20° au-dessus de l'horizon est à 3,8° du bord de la fenêtre de Snell ‍ tandis que l'image d'un point à 10° au-dessus de l'horizon n'est qu'à 1° du bord.

La figure 7, par exemple, est une photographie prise près du fond de la partie peu profonde d'une piscine. Ce qui ressemble à une large bande horizontale sur le mur de droite ‍ est constitué des bords inférieurs d'une rangée de carreaux orange et de leurs reflets ; cela marque le niveau de l'eau, qui peut ensuite être suivi sur l'autre mur. La nageuse a perturbé la surface au-dessus d'elle, brouillant la moitié inférieure de son reflet et déformant le reflet de l'échelle (à droite). Mais la majeure partie de la surface est encore calme, donnant un reflet clair du fond carrelé de la piscine. L'espace au-dessus de l'eau n'est pas visible sauf en haut du cadre, où les poignées de l'échelle sont juste perceptibles au-dessus du bord de la fenêtre de Snell - à l'intérieur duquel le reflet du fond de la piscine n'est que partiel, mais toujours perceptible sur la photographie. On peut même discerner la frange de couleur du bord de la fenêtre de Snell, due à la variation de l'indice de réfraction, donc de l'angle critique, avec la longueur d'onde (voir Dispersion ).

L'angle critique influence les angles de coupe des pierres précieuses . La taille ronde « brillant », par exemple, est conçue pour réfracter la lumière incidente sur les facettes avant, la réfléchir deux fois par TIR sur les facettes arrière et la transmettre à nouveau à travers les facettes avant, de sorte que la pierre semble brillante. Le diamant (Fig. 8) est particulièrement adapté à ce traitement, car son indice de réfraction élevé (environ 2,42) et par conséquent son petit angle critique (environ 24,5°) donnent le comportement souhaité sur une large gamme d'angles de vue. Des matériaux moins chers qui se prêtent également à ce traitement comprennent la zircone cubique (indice ≈ 2,15) et la moissanite (non isotrope, donc doublement réfractive , avec un indice allant d'environ 2,65 à 2,69, selon la direction et la polarisation) ; ces deux matériaux sont donc populaires comme imitations de diamant .

Mathématiquement, les ondes sont décrites en termes de champs variant dans le temps , un « champ » étant une fonction de la position dans l'espace. Une onde qui se propage nécessite un champ « d'effort » et un champ « d'écoulement », ce dernier étant un vecteur (si nous travaillons en deux ou trois dimensions). Le produit de l'effort et de l'écoulement est lié à la puissance (voir Équivalence des systèmes ). Par exemple, pour les ondes sonores dans un fluide non visqueux , nous pouvons prendre le champ d'effort comme la pression (un scalaire) et le champ d'écoulement comme la vitesse du fluide (un vecteur). Le produit de ces deux est l'intensité (puissance par unité de surface). Pour les ondes électromagnétiques, nous prendrons le champ d'effort comme le champ électrique   E  et le champ d'écoulement comme le champ magnétisant   H. Ces deux éléments sont des vecteurs, et leur produit vectoriel est à nouveau l'intensité (voir Vecteur de Poynting ).

Lorsqu'une onde dans (disons) le milieu 1 est réfléchie par l'interface entre le milieu 1 et le milieu 2, le champ d'écoulement dans le milieu 1 est la somme vectorielle des champs d'écoulement dus aux ondes incidentes et réfléchies.   Si la réflexion est oblique, les champs incident et réfléchi ne sont pas dans des directions opposées et ne peuvent donc pas s'annuler à l'interface ; même si la réflexion est totale, la composante normale ou la composante tangentielle du champ combiné (en fonction de l'emplacement et du temps) doit être non nulle à proximité de l'interface. De plus, les lois physiques régissant les champs impliqueront généralement que l'une des deux composantes est continue à travers l'interface (c'est-à-dire qu'elle ne change pas soudainement lorsque nous traversons l'interface) ; par exemple, pour les ondes électromagnétiques, l'une des conditions d'interface est que la composante tangentielle de H soit continue s'il n'y a pas de courant de surface. Par conséquent, même si la réflexion est totale, il doit y avoir une certaine pénétration du champ d'écoulement dans le milieu 2 ; et cela, en combinaison avec les lois reliant les champs d'effort et d'écoulement, implique qu'il y aura également une certaine pénétration du champ d'effort. La même condition de continuité implique que la variation (« ondulation ») du champ dans le milieu 2 sera synchronisée avec celle des ondes incidentes et réfléchies dans le milieu 1.

Mais si la réflexion est totale, la pénétration spatiale des champs dans le milieu 2 doit être limitée d'une manière ou d'une autre, sinon l'étendue totale et donc l'énergie totale de ces champs continueraient d'augmenter, drainant l'énergie du milieu 1. La réflexion totale d'un train d'ondes continu permet de stocker une certaine énergie dans le milieu 2, mais ne permet pas un transfert continu d'énergie du milieu 1 au milieu 2.

Ainsi, en utilisant principalement un raisonnement qualitatif, nous pouvons conclure que la réflexion interne totale doit être accompagnée d'un champ ondulatoire dans le milieu « externe », se déplaçant le long de l'interface en synchronisme avec les ondes incidentes et réfléchies, mais avec une sorte de pénétration spatiale limitée dans le milieu « externe » ; un tel champ peut être appelé une onde évanescente .

La figure 9 montre l'idée de base. L'onde incidente est supposée plane et sinusoïdale . L'onde réfléchie, pour des raisons de simplicité, n'est pas représentée. L'onde évanescente se déplace vers la droite en synchronisation avec les ondes incidente et réfléchie, mais son amplitude diminue à mesure que l'on s'éloigne de l'interface.

(Deux caractéristiques de l'onde évanescente de la Fig. 9 doivent être expliquées plus loin : premièrement, les crêtes de l'onde évanescente sont perpendiculaires à l'interface ; et deuxièmement, l'onde évanescente est légèrement en avance sur l'onde incidente.)

Si la réflexion interne doit être totale, il ne doit pas y avoir de déviation de l'onde évanescente. Supposons, par exemple, que les ondes électromagnétiques incidentes du verre (avec un indice de réfraction plus élevé) vers l'air (avec un indice de réfraction plus faible) sous un certain angle d'incidence soient soumises à la réflexion interne totale. Et supposons que nous ayons un troisième milieu (souvent identique au premier) dont l'indice de réfraction est suffisamment élevé pour que, si le troisième milieu devait remplacer le deuxième, nous obtenions un train d'ondes transmis standard pour le même angle d'incidence. Ensuite, si le troisième milieu est amené à une distance de quelques longueurs d'onde de la surface du premier milieu, où l'onde évanescente a une amplitude significative dans le deuxième milieu, alors l'onde évanescente est effectivement réfractée dans le troisième milieu, ce qui donne une transmission non nulle dans le troisième milieu, et donc une réflexion inférieure à la totalité dans le premier milieu. Lorsque l'amplitude de l'onde évanescente décroît à travers l'entrefer, les ondes transmises sont atténuées , de sorte qu'il y a moins de transmission, et donc plus de réflexion, qu'il n'y en aurait sans entrefer ; mais tant qu'il y a une certaine transmission, la réflexion est inférieure à la réflexion totale. Ce phénomène est appelé réflexion interne totale frustrée (où « frustrée » annule « totale »), abrégé en « TIR frustrée » ou « FTIR ».

On peut observer la perturbation du TIR en regardant le haut d'un verre d'eau tenu dans la main (Fig. 10). Si le verre est tenu de manière lâche, le contact peut ne pas être suffisamment proche et étendu pour produire un effet notable. Mais s'il est tenu plus fermement, les crêtes des empreintes digitales interagissent fortement avec les ondes évanescentes, ce qui permet de voir les crêtes à travers la surface verre-air qui, autrement, serait totalement réfléchissante.

Le même effet peut être démontré avec des micro-ondes, en utilisant de la cire de paraffine comme milieu « interne » (où existent les ondes incidentes et réfléchies). Dans ce cas, la largeur d'intervalle autorisée peut être (par exemple) de 1 cm ou de plusieurs cm, ce qui est facilement observable et réglable.

Le terme TIR frustré s'applique également au cas où l'onde évanescente est diffusée par un objet suffisamment proche de l'interface réfléchissante. Cet effet, associé à la forte dépendance de la quantité de lumière diffusée par rapport à la distance par rapport à l'interface, est exploité en microscopie à réflexion totale interne .

Le mécanisme de FTIR est appelé couplage d'ondes évanescentes et constitue un bon analogue pour visualiser l'effet tunnel quantique . En raison de la nature ondulatoire de la matière, un électron a une probabilité non nulle de « traverser » une barrière, même si la mécanique classique dirait que son énergie est insuffisante. De même, en raison de la nature ondulatoire de la lumière, un photon a une probabilité non nulle de traverser une brèche, même si l'optique des rayons dirait que son approche est trop oblique.

Une autre raison pour laquelle la réflexion interne peut être inférieure à la réflexion totale, même au-delà de l'angle critique, est que le milieu externe peut être « avec perte » (moins que parfaitement transparent), auquel cas le milieu externe absorbera l'énergie de l'onde évanescente, de sorte que le maintien de l'onde évanescente tirera de l'énergie de l'onde incidente. La réflexion inférieure à la réflexion totale qui en résulte est appelée réflectance totale atténuée (ATR). Cet effet, et en particulier la dépendance de l'absorption en fonction de la fréquence, peuvent être utilisés pour étudier la composition d'un milieu externe inconnu.

Dans une onde électromagnétique sinusoïdale plane uniforme, le champ électrique  E a la forme

où E _k est le vecteur d'amplitude complexe (constante) , i est l' unité imaginaire , k est le vecteur d'onde (dont la grandeur k est le nombre d'onde angulaire ), r est le vecteur de position , ω est la fréquence angulaire , t est le temps, et il est entendu que la partie réelle de l'expression est le champ physique. Le champ magnétisant  H a la même forme avec les mêmes k et ω . La valeur de l'expression est inchangée si la position r varie dans une direction normale à k ; donc k est normal aux fronts d'onde .

Si ℓ est la composante de r dans la direction de k ‍ , ‍ le champ ( 5 ) peut s'écrire Si l' argument de doit être constant, ℓ doit augmenter à la vitesse ‍ connue sous le nom de vitesse de phase . Ceci est à son tour égal à où c est la vitesse de phase dans le milieu de référence (pris comme vide) et n est l'indice de réfraction local par rapport au milieu de référence. La résolution de k donne ‍ ie

où est le nombre d'onde dans le vide.

D'après ( 5 ), le champ électrique dans le milieu « externe » a la forme

où k _t est le vecteur d'onde de l'onde transmise (nous supposons des milieux isotropes, mais l'onde transmise n'est pas encore supposée évanescente).

Français En coordonnées cartésiennes ( x ,  y , ‍ z ) , soit la région ‍ y < 0 ‍ d' indice de réfraction n ₁ ‍ , ‍ et soit la région ‍ y> 0 ‍ d' indice de réfraction n ₂ . Alors le plan xz est l'interface, et l'axe y est normal à l'interface (Fig. 11). Soient i et j (en caractères romains gras ) les vecteurs unitaires dans les directions x et y , respectivement. Soit le plan d'incidence (contenant la normale à l'onde incidente et la normale à l'interface) le plan xy (le plan de la page), avec l'angle d'incidence θ _i mesuré de j vers i . Soit l'angle de réfraction, mesuré dans le même sens, θ _t ( t pour transmis , réservant r pour réfléchi ).  

À partir de ( 6 ), le vecteur d'onde transmis k _t a une amplitude n ₂ k ₀ . Par conséquent, à partir de la géométrie, où la dernière étape utilise la loi de Snell. En prenant le produit scalaire avec le vecteur de position, nous obtenons que l'équation ( 7 ) devient

Dans le cas de TIR, l'angle θ _t n'existe pas au sens habituel. Mais nous pouvons toujours interpréter ( 8 ) pour l'onde transmise (évanescente), en permettant à cos θ _t  d'être complexe . Cela devient nécessaire lorsque nous écrivons cos θ _t  en termes de sin θ _t ‍ ,  ‍ et donc en termes de sin θ _i  en utilisant la loi de Snell : Pour θ _i supérieur à l'angle critique, la valeur sous le symbole de la racine carrée est négative, de sorte que

Pour déterminer quel signe est applicable, nous substituons ( 9 ) dans ( 8 ), obtenant

où le signe indéterminé est l'opposé de celui de ( 9 ). Pour une onde transmise évanescente – c'est-à-dire dont l'amplitude décroît lorsque y augmente – le signe indéterminé de ( 10 ) doit être moins , donc le signe indéterminé de ( 9 ) doit être plus .

Avec le signe correct, le résultat ( 10 ) peut être abrégé

où

et k ₀ est le nombre d'onde dans le vide, c'est-à-dire

Ainsi, l'onde évanescente est une onde sinusoïdale plane se déplaçant dans la direction x , avec une amplitude qui décroît de manière exponentielle dans la direction y (cf. Fig. 9). Il est évident que l'énergie stockée dans cette onde se déplace également dans la direction x et ne traverse pas l'interface. Par conséquent, le vecteur de Poynting a généralement une composante dans la direction x , mais sa composante y est en moyenne nulle (bien que sa composante y instantanée ne soit pas identiquement nulle).

Français L'équation ( 11 ) indique que l'amplitude de l'onde évanescente diminue d'un facteur e lorsque la coordonnée y (mesurée à partir de l'interface) augmente de la distance ‍ communément appelée la « profondeur de pénétration » de l'onde évanescente. En prenant les réciproques de la première équation de ( 12 ), nous trouvons que la profondeur de pénétration est où λ ₀ est la longueur d'onde dans le vide, c'est-à-dire En divisant le numérateur et le dénominateur par n _2, on obtient où est la longueur d'onde dans le deuxième milieu (externe). Nous pouvons donc tracer d en unités de λ ₂ , en fonction de l'angle d'incidence, pour différentes valeurs de (Fig. 12). Lorsque θ _i diminue vers l'angle critique, le dénominateur se rapproche de zéro, de sorte que d augmente sans limite – comme on peut s'y attendre, car dès que θ _i est inférieur à l'angle critique, des ondes planes uniformes sont autorisées dans le milieu externe. Lorsque θ _i se rapproche de 90° (incidence rasante), d se rapproche d'un minimum. Pour l'incidence de l'eau vers l'air, ou du verre ordinaire vers l'air, d _min n'est pas très différent de ⁠       λ ₂/2 π⁠ .  Mais d est plus grand à des angles d'incidence plus petits (Fig. 12), et l'amplitude peut encore être significative à des distances de plusieurs fois d ; par exemple, comme e ^−4,6 est juste supérieur à 0,01, l'amplitude de l'onde évanescente à une distance de 4,6 ‍ d   de l'interface est au moins égale à 1 % de sa valeur à l'interface. Par conséquent, en termes généraux, nous avons tendance à dire que l'amplitude de l'onde évanescente est significative à « quelques longueurs d'onde » de l'interface.

Entre 1817 et 1823, Augustin-Jean Fresnel découvre que la réflexion totale interne s'accompagne d'un déphasage non négligeable ( c'est-à-dire non limité à 0° ou 180°), le coefficient de réflexion de Fresnel acquérant une partie imaginaire non nulle . Nous allons maintenant expliquer cet effet pour les ondes électromagnétiques dans le cas de milieux linéaires , homogènes , isotropes et non magnétiques. Le déphasage s'avère être une avancée , qui croît lorsque l'angle d'incidence augmente au-delà de l'angle critique, mais qui dépend de la polarisation de l'onde incidente.

Dans les équations ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) et ( 11 ), nous avançons la phase de l'angle ϕ si nous remplaçons ωt par ωt+ϕ  (c'est-à-dire si nous remplaçons −ωt par −ωt−ϕ ),  ce qui a pour résultat que le champ (complexe) est multiplié par e ^−iϕ . Ainsi, une avance de phase est équivalente à une multiplication par une constante complexe avec un argument négatif . Cela devient plus évident lorsque (par exemple) le champ ( 5 ) est factorisé comme si le dernier facteur contenait la dépendance temporelle.

Pour représenter la polarisation de l'onde incidente, réfléchie ou transmise, le champ électrique adjacent à une interface peut être décomposé en deux composantes perpendiculaires, appelées composantes s et p , qui sont respectivement parallèles à la surface et au plan d'incidence ; en d'autres termes, les composantes s et p sont respectivement carrées et parallèles au plan d'incidence.

Pour chaque composante de polarisation, le champ électrique incident, réfléchi ou transmis ( E dans l'équation ( 5 ) ) a une certaine direction et peut être représenté par sa composante scalaire (complexe) dans cette direction. Le coefficient de réflexion ou de transmission peut alors être défini comme un rapport de composantes complexes au même point ou à des points infinitésimalement séparés sur les côtés opposés de l'interface. Mais, afin de fixer les signes des coefficients, nous devons choisir des sens positifs pour les « directions ». Pour les composantes s , le choix évident est de dire que les directions positives des champs incident, réfléchi et transmis sont toutes les mêmes (par exemple, la direction z sur la figure 11). Pour les composantes p , cet article adopte la convention selon laquelle les directions positives des champs incident, réfléchi et transmis sont inclinées vers le même milieu (c'est-à-dire vers le même côté de l'interface, par exemple comme les flèches rouges sur la figure 11).   Mais le lecteur doit être averti que certains livres utilisent une convention différente pour les composantes p , ce qui entraîne un signe différent dans la formule résultante pour le coefficient de réflexion.

Pour la polarisation s , les coefficients de réflexion et de transmission sont respectivement r _s et t _s . Pour la polarisation p , les coefficients correspondants sont r _p et t _p  . Alors, pour les milieux linéaires , homogènes , isotropes et non magnétiques , les coefficients sont donnés par :

(Pour une dérivation de ce qui précède, voir  Équations de Fresnel § Théorie .)

Supposons maintenant que l'onde transmise soit évanescente. Avec le signe correct (+), en remplaçant ( 9 ) dans ( 13 ) on obtient où n est l'indice du milieu "interne" par rapport au milieu "externe", ou l'indice du milieu interne si le milieu externe est le vide. Ainsi, la grandeur de r _s est 1, et l' argument de r _s est ce qui donne une avance de phase de ‍ [ 

En faisant la même substitution dans ( 14 ), nous trouvons que t _s a le même dénominateur que r _s avec un numérateur réel positif (au lieu d'un numérateur conjugué complexe) et a donc la moitié de l'argument de r _s ‍ , ‍ de sorte que l'avance de phase de l'onde évanescente est la moitié de celle de l'onde réfléchie .

Avec le même choix de signe, en substituant ( 9 ) dans ( 15 ) donne dont la grandeur est 1, et dont l'argument est qui donne une avance de phase de ‍ [

En effectuant la même substitution en ( 16 ), nous constatons à nouveau que l'avance de phase de l'onde évanescente est la moitié de celle de l'onde réfléchie.

Les équations ( 17 ) et ( 18 ) s'appliquent lorsque ‍ θ _c ≤ θ _i < 90°, où θ _i est l'angle d'incidence et θ _c est l'angle critique ‍ arcsin (1/ n ) . Ces équations montrent que  

• chaque avance de phase est nulle à l'angle critique (pour lequel le numérateur est nul) ;
• chaque avance de phase approche 180° lorsque ‍ θ _i → 90° ; et
• δ _p > δ _s ‍ aux valeurs intermédiaires de θ _i ( car le facteur n est dans le numérateur de ( 18 ) et le dénominateur de ( 17 ) ) .

Pour θ _i ≤ θ _c ‍ , ‍ les coefficients de réflexion sont donnés par les équations ( 13 ) et ( 15 ), et sont réels , de sorte que le déphasage est soit de 0° (si le coefficient est positif) soit de 180° (si le coefficient est négatif).

Dans ( 13 ), si nous posons ‍ ( loi de Snell) et multiplions le numérateur et le dénominateur par ‍ ⁠1/n ₁⁠  sin θ _t  ‍ , ‍ on obtient 

qui est positif pour tous les angles d'incidence avec un rayon transmis (puisque ‍ θ _t > θ _i ), donnant un déphasage δ _s de zéro.

Si nous faisons de même avec ( 15 ), le résultat est facilement démontré comme étant équivalent à 

qui est négatif pour les petits angles (c'est-à-dire, une incidence proche de la normale), mais change de signe à l'angle de Brewster , où  θ _i et θ _t sont complémentaires. Ainsi, le déphasage δ _p est de 180° pour un petit θ _i mais passe à 0° à l'angle de Brewster. En combinant la complémentarité avec la loi de Snell, on obtient ‍ θ _i = arctan (1/ n ) ‍ comme angle de Brewster pour une incidence dense à rare.

( Les ​​équations ( 19 ) et ( 20 ) sont connues sous le nom de loi des sinus de Fresnel et de loi de la tangente de Fresnel . Toutes deux se réduisent à 0/0 à incidence normale, mais donnent les résultats corrects dans la limite lorsque ‍ θ _i → 0 . Le fait qu'elles aient des signes opposés à mesure que l'on s'approche de l'incidence normale est un inconvénient évident de la convention de signe utilisée dans cet article ; l'avantage correspondant est qu'elles ont les mêmes signes à incidence rasante. )

Cela complète les informations nécessaires pour tracer δ _s et δ _p pour tous les angles d'incidence. Ceci est réalisé dans la Fig. 13, avec δ _p en rouge et δ _s en bleu, pour trois indices de réfraction. Sur l'échelle d'angle d'incidence (axe horizontal), l'angle de Brewster est l'endroit où δ _p (rouge) tombe de 180° à 0°, et l'angle critique est l'endroit où δ _p et δ _s (rouge et bleu) commencent à remonter. À gauche de l'angle critique se trouve la région de réflexion partielle , où les deux coefficients de réflexion sont réels (phase 0° ou 180°) avec des magnitudes inférieures à 1. À droite de l'angle critique se trouve la région de réflexion totale , où les deux coefficients de réflexion sont complexes avec des magnitudes égales à 1. Dans cette région, les courbes noires montrent l'avance de phase de la composante p par rapport à la composante s : On peut voir qu'un indice de réfraction de 1,45 n'est pas suffisant pour donner une différence de phase de 45°, alors qu'un indice de réfraction de 1,5 est suffisant (de très peu) pour donner une différence de phase de 45° à deux angles d'incidence : environ 50,2° et 53,3°.

Ce décalage relatif de 45° est utilisé dans l'invention de Fresnel, connue aujourd'hui sous le nom de losange de Fresnel, dans laquelle les angles d'incidence sont choisis de telle sorte que les deux réflexions internes provoquent un décalage de phase relatif total de 90° entre les deux polarisations d'une onde incidente. Ce dispositif remplit la même fonction qu'une lame quart d'onde biréfringente , mais est plus achromatique (c'est-à-dire que le décalage de phase du losange est moins sensible à la longueur d'onde ). L'un ou l'autre dispositif peut être utilisé, par exemple, pour transformer une polarisation linéaire en polarisation circulaire (que Fresnel a également découverte) et vice versa.

Dans la Fig. 13, δ est calculé par une soustraction finale ; mais il existe d'autres façons de l'exprimer. Fresnel lui-même, en 1823, a donné une formule pour  cos δ  .  Born et Wolf (1970, p. 50) dérivent une expression pour ‍ tan ( δ /2), et trouvent son maximum analytiquement.

Pour la polarisation totale d'un faisceau de largeur finie, la variation du déphasage avec l'angle d'incidence donne lieu à l' effet Goos-Hänchen , qui est un décalage latéral du faisceau réfléchi dans le plan d'incidence. Cet effet s'applique à la polarisation linéaire dans la direction s ou p . L' effet Imbert-Fedorov est un effet analogue pour la polarisation circulaire ou elliptique , et produit un décalage perpendiculaire au plan d'incidence.

Les fibres optiques exploitent la réflexion interne totale pour transporter des signaux sur de longues distances avec une faible atténuation. Elles sont utilisées dans les câbles de télécommunication et dans les fibroscopes de formation d'images tels que les coloscopes .

Dans la lentille catadioptrique de Fresnel , inventée par Augustin-Jean Fresnel pour être utilisée dans les phares , les prismes extérieurs utilisent le TIR pour dévier la lumière de la lampe à travers un angle plus grand que celui qui serait possible avec des prismes purement réfractifs, mais avec moins d'absorption de lumière (et moins de risque de ternissement) qu'avec des miroirs conventionnels.

D'autres prismes réfléchissants qui utilisent le TIR incluent les suivants (avec un certain chevauchement entre les catégories) :

• Français Les prismes redresseurs d'image pour jumelles et lunettes d'observation comprennent les prismes de Porro appariés 45°-90°-45°(Fig. 14), le prisme de Porro-Abbe , les prismes en ligne de Koenig et d'Abbe-Koenig , et le prisme compact en ligne de Schmidt-Pechan . (Ce dernier est constitué de deux composants, dont l'un est une sorte de prisme de Bauernfeind , qui nécessite un revêtement réfléchissant sur l'une de ses deux faces réfléchissantes, en raison d'un angle d'incidence sous-critique.) Ces prismes ont la fonction supplémentaire de replier le trajet optique de l' objectif au foyer principal , réduisant ainsi la longueur totale pour une distance focale primaire donnée .
• Une diagonale prismatique en étoile pour un télescope astronomique peut être constituée d'un seul prisme de Porro (configuré pour une seule réflexion, donnant une image inversée en miroir) ou d'un prisme de toit d'Amici (qui donne une image non inversée).
• Les prismes en toit utilisent le TIR sur deux faces se rencontrant à un angle aigu de 90°. Cette catégorie comprend les types Koenig, Abbe-Koenig, Schmidt-Pechan et Amici (déjà mentionnés), ainsi que le pentaprisme en toit utilisé dans les appareils photo reflex ; ce dernier nécessite un revêtement réfléchissant sur uneface non TIR .
• Un réflecteur d'angle prismatique utilise trois réflexions internes totales pour inverser la direction de la lumière entrante.
• Le prisme Dove offre une vue en ligne avec inversion du miroir.

Prismes polarisants : Bien que le prisme de Fresnel, qui convertit entre polarisation linéaire et elliptique, ne soit pas biréfringent (doublement réfractif), il existe d'autres types de prismes qui combinent la biréfringence avec le TIR de telle manière que la lumière d'une polarisation particulière est totalement réfléchie tandis que la lumière de la polarisation orthogonale est au moins partiellement transmise. Les exemples incluent le prisme de Nicol , le prisme de Glan-Thompson , le prisme de Glan-Foucault (ou « prisme de Foucault »), et le prisme de Glan-Taylor .

Les réfractomètres , qui mesurent les indices de réfraction, utilisent souvent l'angle critique.

Des capteurs de pluie pour pare-brise/essuie-glaces automatiquesont été mis en œuvre en utilisant le principe selon lequel la réflexion interne totale guidera un faisceau infrarouge d'une source vers un détecteur si la surface extérieure du pare-brise est sèche, mais toute goutte d'eau sur la surface détournera une partie de la lumière.

Les panneaux LED à éclairage périphérique , utilisés (par exemple) pour le rétroéclairage des écrans d'ordinateur LCD , exploitent le TIR pour confiner la lumière LED à la vitre en verre acrylique, sauf qu'une partie de la lumière est diffusée par des gravures sur un côté de la vitre, ce qui donne une émittance lumineuse approximativement uniforme .

La microscopie à réflexion totale interne (TIRM) utilise l'onde évanescente pour éclairer de petits objets proches de l'interface réfléchissante. La diffusion conséquente de l'onde évanescente (une forme de TIR frustrée) fait apparaître les objets brillants lorsqu'ils sont observés du côté « externe ». Dans le microscope à fluorescence à réflexion totale interne (TIRFM), au lieu de s'appuyer sur une simple diffusion, nous choisissons une longueur d'onde évanescente suffisamment courte pour provoquer une fluorescence (Fig. 15). La haute sensibilité de l'éclairage à la distance de l'interface permet de mesurer des déplacements et des forces extrêmement faibles.

Un cube séparateur de faisceau utilise le TIR frustré pour diviser la puissance du faisceau entrant entre les faisceaux transmis et réfléchis. La largeur de l'entrefer (ou de l'entrefer à faible indice de réfraction) entre les deux prismes peut être rendue réglable, ce qui permet une transmission plus élevée et une réflexion plus faible pour un entrefer plus étroit, ou une réflexion plus élevée et une transmission plus faible pour un entrefer plus large.

La modulation optique peut être réalisée au moyen d'un TIR frustré avec un écart rapidement variable. Comme le coefficient de transmission est très sensible à la largeur de l'écart (la fonction étant approximativement exponentielle jusqu'à ce que l'écart soit presque fermé), cette technique peut atteindre une large plage dynamique .

Les dispositifs d'empreintes digitales optiques ont utilisé le TIR frustré pour enregistrer des images d'empreintes digitales de personnes sans utiliser d'encre (cf. Fig. 11).

L'analyse de la démarche peut être réalisée en utilisant un TIR frustré avec une caméra à grande vitesse, pour capturer et analyser les empreintes de pas.

Un gonioscope , utilisé en optométrie et en ophtalmologie pour le diagnostic du glaucome , supprime le TIR afin d'observer l'angle entre l' iris et la cornée . Cette vue est généralement bloquée par le TIR à l'interface cornée-air. Le gonioscope remplace l'air par un milieu à indice plus élevé, permettant une transmission à incidence oblique, généralement suivie d'une réflexion dans un « miroir », qui peut lui-même être mis en œuvre à l'aide du TIR.

Certaines tables et tableaux blancs interactifs multi-touch utilisent la FTIR pour détecter les doigts qui touchent l'écran. Une caméra infrarouge est placée derrière la surface de l'écran, dont les bords sont éclairés par des LED infrarouges. Lorsque l'on touche la surface, la FTIR fait s'échapper une partie de la lumière infrarouge du plan de l'écran, et la caméra voit cela comme des zones lumineuses. Un logiciel de vision par ordinateur est ensuite utilisé pour traduire cela en une série de coordonnées et de gestes.

Les explications étonnamment complètes et largement correctes de l' arc-en-ciel par Théodoric de Freiberg (écrites entre 1304 et 1310) et Kamāl al-Dīn al-Fārisī (achevées en 1309), bien que parfois mentionnées en relation avec la réflexion interne totale (TIR), sont d'une pertinence douteuse car la réflexion interne de la lumière solaire dans une goutte de pluie sphérique n'est pas totale . Mais, selon Carl Benjamin Boyer , le traité de Théodoric sur l'arc-en-ciel classait également les phénomènes optiques sous cinq causes, dont la dernière était « une réflexion totale à la frontière de deux milieux transparents ». Le travail de Théodoric fut oublié jusqu'à sa redécouverte par Giovanni Battista Venturi en 1814.

Théodoric étant tombé dans l'oubli, la découverte de la réfraction totale fut généralement attribuée à Johannes Kepler , qui publia ses découvertes dans son Dioptrice en 1611. Bien que Kepler n'ait pas réussi à trouver la véritable loi de la réfraction, il a démontré par expérience que pour une incidence air-verre, les rayons incidents et réfractés tournaient dans le même sens autour du point d'incidence, et que lorsque l'angle d'incidence variait de ±90°, l'angle de réfraction (comme nous l'appelons maintenant) variait de ±42°. Il savait également que les rayons incidents et réfractés étaient interchangeables. Mais ces observations ne couvraient pas le cas d'un rayon incident du verre à l'air sous un angle supérieur à 42°, et Kepler conclut rapidement qu'un tel rayon ne pouvait être que réfléchi .

René Descartes a redécouvert la loi de la réfraction et l'a publiée dans sa Dioptrique de 1637. Dans le même ouvrage, il mentionne les sens de rotation des rayons incidents et réfractés et la condition de TIR. Mais il a négligé de discuter du cas limite et, par conséquent, il n'a pas donné d'expression pour l'angle critique, bien qu'il aurait pu facilement le faire.

Christiaan Huygens , dans son Traité sur la lumière (1690), a accordé beaucoup d'attention au seuil à partir duquel le rayon incident est « incapable de pénétrer dans l'autre substance transparente ». Bien qu'il n'ait donné ni nom ni expression algébrique pour l'angle critique, il a donné des exemples numériques pour l'incidence verre-air et eau-air, a noté le grand changement de l'angle de réfraction pour un petit changement de l'angle d'incidence près de l'angle critique, et a cité cela comme la cause de l'augmentation rapide de la luminosité du rayon réfléchi lorsque le rayon réfracté s'approche de la tangente à l'interface. L'intuition de Huygens est confirmée par la théorie moderne : dans les équations ( 13 ) et ( 15 ) ci-dessus, rien ne dit que les coefficients de réflexion augmentent de manière exceptionnellement forte lorsque θ _t s'approche de 90°, sauf que, selon la loi de Snell, θ _t lui-même est une fonction de plus en plus forte de θ _i .  

Huygens a proposé une explication de la réfraction totale dans le même cadre que ses explications des lois de la propagation rectiligne, de la réflexion, de la réfraction ordinaire et même de la réfraction extraordinaire du « cristal d'Islande » (calcite). Ce cadre reposait sur deux prémisses : premièrement, tout point traversé par un front d'onde en propagation devient une source de fronts d'onde secondaires (« principe de Huygens ») ; et deuxièmement, étant donné un front d'onde initial, toute position ultérieure du front d'onde est l' enveloppe (surface tangente commune) de tous les fronts d'onde secondaires émis à partir de la position initiale. Tous les cas de réflexion ou de réfraction par une surface s'expliquent alors simplement en considérant les ondes secondaires émises à partir de cette surface. Dans le cas de la réfraction d'un milieu de propagation plus lente vers un milieu de propagation plus rapide, il existe une certaine obliquité d'incidence au-delà de laquelle il est impossible aux fronts d'onde secondaires de former une tangente commune dans le second milieu ; c'est ce que nous appelons maintenant l'angle critique. À mesure que le front d'onde incident se rapproche de cette obliquité critique, le front d'onde réfracté se concentre contre la surface réfractante, augmentant les ondes secondaires qui produisent la réflexion dans le premier milieu.

Le système de Huygens prenait même en compte la réflexion partielle à l'interface entre différents milieux, bien que de manière vague, par analogie avec les lois des collisions entre particules de différentes tailles. Cependant, tant que la théorie des ondes continuait à supposer des ondes longitudinales , elle n'avait aucune chance de prendre en compte la polarisation, et donc aucune chance d'expliquer la dépendance de la réfraction extraordinaire à la polarisation, ou du coefficient de réflexion partielle, ou du déphasage dans le TIR.

Isaac Newton rejeta l'explication ondulatoire de la propagation rectiligne, estimant que si la lumière était constituée d'ondes, elle se « courberait et se propagerait dans tous les sens » dans les ombres. Sa théorie corpusculaire de la lumière expliquait la propagation rectiligne plus simplement et tenait compte des lois ordinaires de la réfraction et de la réflexion, y compris la TIR, sur l'hypothèse que les corpuscules de lumière étaient soumis à une force agissant perpendiculairement à l'interface. Dans ce modèle, pour une incidence dense à rare, la force était une attraction vers le milieu plus dense, et l'angle critique était l'angle d'incidence auquel la vitesse normale du corpuscule approchant était juste suffisante pour atteindre le côté éloigné du champ de force ; à une incidence plus oblique, le corpuscule serait repoussé. Newton a donné ce qui revient à une formule pour l'angle critique, bien qu'en mots : « comme les sinus qui mesurent la réfraction, ainsi est le sinus d'incidence auquel commence la réflexion totale, au rayon du cercle ».

Newton a dépassé Huygens de deux manières. Tout d'abord, et sans surprise, Newton a souligné la relation entre la réflexion totale totale et la dispersion : lorsqu'un faisceau de lumière blanche s'approche d'une interface verre-air avec une obliquité croissante, les rayons les plus fortement réfractés (violets) sont les premiers à être « retirés » par la « réflexion totale », suivis par les rayons les moins réfractés. Ensuite, il a observé que la réflexion totale pouvait être contrariée (comme on dit maintenant) en posant ensemble deux prismes, l'un plan et l'autre légèrement convexe ; et il a expliqué cela simplement en remarquant que les corpuscules seraient attirés non seulement par le premier prisme, mais aussi par le second.

Cependant, le système de Newton était moins cohérent sur deux points. D'abord, son explication de la réflexion partielle ne dépendait pas seulement des forces d'attraction supposées entre les corpuscules et les milieux, mais aussi de l'hypothèse plus nébuleuse des « accès de réflexion facile » et des « accès de transmission facile ». Ensuite, bien que ses corpuscules puissent avoir des « côtés » ou des « pôles », dont les orientations pourraient déterminer si les corpuscules subissaient une réfraction ordinaire ou extraordinaire dans le « cristal insulaire », sa description géométrique de la réfraction extraordinaire était théoriquement sans fondement et empiriquement inexacte.

William Hyde Wollaston , dans le premier d'une série de communications présentées à la Royal Society de Londres en 1802, a décrit son invention d'un réfractomètre basé sur l'angle critique d'incidence d'un milieu interne de « pouvoir réfractif » connu (indice de réfraction) sur un milieu externe dont l'indice devait être mesuré. Avec cet appareil, Wollaston a mesuré les « pouvoirs réfractifs » de nombreux matériaux, dont certains étaient trop opaques pour permettre une mesure directe d'un angle de réfraction. Des traductions de ses articles ont été publiées en France en 1803 et ont apparemment attiré l'attention de Pierre-Simon Laplace .

Selon l'élaboration de Laplace de la théorie de la réfraction de Newton, un corpuscule incident sur une interface plane entre deux milieux isotropes homogènes était soumis à un champ de force symétrique par rapport à l'interface. Si les deux milieux étaient transparents, une réflexion totale se produirait si le corpuscule était retourné avant de quitter le champ dans le second milieu. Mais si le second milieu était opaque, la réflexion ne serait pas totale à moins que le corpuscule ne soit retourné avant de quitter le premier milieu ; cela nécessitait un angle critique plus grand que celui donné par la loi de Snell, et par conséquent remettait en cause la validité de la méthode de Wollaston pour les milieux opaques. Laplace combinait les deux cas en une seule formule pour l'indice de réfraction relatif en termes d'angle critique (angle d'incidence minimum pour TIR). La formule contenait un paramètre qui prenait une valeur pour un milieu externe transparent et une autre valeur pour un milieu externe opaque. La théorie de Laplace prédisait en outre une relation entre l'indice de réfraction et la densité pour une substance donnée.

En 1807, la théorie de Laplace fut testée expérimentalement par son protégé, Étienne-Louis Malus . En prenant la formule de Laplace pour l'indice de réfraction comme donnée et en l'utilisant pour mesurer l'indice de réfraction de la cire d'abeille à l'état liquide (transparent) et à l'état solide (opaque) à diverses températures (donc à diverses densités), Malus vérifia la relation de Laplace entre l'indice de réfraction et la densité.

Mais la théorie de Laplace impliquait que si l'angle d'incidence dépassait son angle critique modifié, la réflexion serait totale même si le milieu extérieur était absorbant. Il est clair que c'était faux : dans les équations ( 12 ) ci-dessus, il n'y a pas de valeur seuil de l'angle θ _i au-delà de laquelle κ devient infini ; donc la profondeur de pénétration de l'onde évanescente (1/ κ ) est toujours non nulle, et le milieu extérieur, s'il est à perte, atténuera la réflexion. Quant à la raison pour laquelle Malus a apparemment observé un tel angle pour la cire opaque, nous devons en déduire qu'il y avait un certain angle au-delà duquel l'atténuation de la réflexion était si faible que l'ATR était visuellement impossible à distinguer de la TIR.

Fresnel est arrivé à l'étude de la réflexion totale interne grâce à ses recherches sur la polarisation. En 1811, François Arago a découvert que la lumière polarisée était apparemment « dépolarisée » de manière dépendante de l'orientation et de la couleur lorsqu'elle traversait une tranche de cristal à double réfraction : la lumière qui en sortait présentait des couleurs lorsqu'elle était observée à travers un analyseur (second polariseur). La polarisation chromatique , comme ce phénomène a été appelé, a été étudiée plus en détail en 1812 par Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot a établi qu'un cas étudié par Arago, à savoir le quartz coupé perpendiculairement à son axe optique , était en fait une rotation graduelle du plan de polarisation avec la distance.

En 1816, Fresnel a proposé sa première tentative de théorie de la polarisation chromatique basée sur les ondes . Sans (encore) invoquer explicitement les ondes transversales , sa théorie traitait la lumière comme constituée de deux composantes polarisées perpendiculairement. En 1817, il a remarqué que la lumière polarisée dans le plan semblait être partiellement dépolarisée par la réflexion interne totale, si elle était initialement polarisée à un angle aigu par rapport au plan d'incidence. En incluant la réflexion interne totale dans une expérience de polarisation chromatique, il a découvert que la lumière apparemment dépolarisée était un mélange de composantes polarisées parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence, et que la réflexion totale introduisait une différence de phase entre elles. Le choix d'un angle d'incidence approprié (pas encore spécifié exactement) a donné une différence de phase de 1/8 de cycle. Deux de ces réflexions sur les « faces parallèles » de « deux prismes couplés » ont donné une différence de phase de 1/4 de cycle. Dans ce cas, si la lumière était initialement polarisée à 45° par rapport au plan d'incidence et de réflexion, elle apparaissait complètement dépolarisée après les deux réflexions. Ces résultats furent rapportés dans un mémoire soumis et lu à l' Académie des sciences française en novembre 1817.

En 1821, Fresnel a dérivé des formules équivalentes à ses lois du sinus et de la tangente ( équations ( 19 ) et ( 20 ), ci-dessus )  en modélisant les ondes lumineuses comme des ondes élastiques transversales avec des vibrations perpendiculaires à ce qui avait été précédemment appelé le plan de polarisation . En utilisant d'anciennes données expérimentales, il a rapidement confirmé que les équations prédisaient correctement la direction de polarisation du faisceau réfléchi lorsque le faisceau incident était polarisé à 45° par rapport au plan d'incidence, pour la lumière incidente de l'air sur le verre ou l'eau. La confirmation expérimentale a été rapportée dans un « post-scriptum » à l'ouvrage dans lequel Fresnel a exposé sa théorie mature de la polarisation chromatique, en introduisant les ondes transversales. Les détails de la dérivation ont été donnés plus tard, dans un mémoire lu à l'académie en janvier 1823. La dérivation combinait la conservation de l'énergie avec la continuité de la vibration tangentielle à l'interface, mais ne permettait pas de tenir compte de la composante normale de la vibration.

Entre-temps, dans un mémoire soumis en décembre 1822, Fresnel a inventé les termes de polarisation linéaire , de polarisation circulaire et de polarisation elliptique . Pour la polarisation circulaire , les deux composantes perpendiculaires étaient déphasées d'un quart de cycle (±90°).

La nouvelle terminologie fut utile dans le mémoire de janvier 1823, contenant les dérivations détaillées des lois du sinus et de la tangente : dans ce même mémoire, Fresnel trouva que pour des angles d'incidence supérieurs à l'angle critique, les coefficients de réflexion résultants étaient complexes avec une magnitude unitaire. Notant que la magnitude représentait le rapport d'amplitude comme d'habitude, il devina que l'argument représentait le déphasage et vérifia l'hypothèse par l'expérience. La vérification impliquait

• calculer l'angle d'incidence qui introduirait une différence de phase totale de 90° entre les composantes s et p , pour différents nombres de réflexions internes totales à cet angle (en général, il y avait deux solutions),
• soumettre la lumière à ce nombre total de réflexions internes à cet angle d'incidence, avec une polarisation linéaire initiale à 45° par rapport au plan d'incidence, et
• vérifier que la polarisation finale était circulaire.

Cette procédure était nécessaire car, avec la technologie de l'époque, on ne pouvait pas mesurer directement les déphasages s et p , ni mesurer un degré arbitraire d'ellipticité de polarisation, tel que celui qui pourrait être causé par la différence entre les déphasages. Mais on pouvait vérifier que la polarisation était circulaire , car la luminosité de la lumière était alors insensible à l'orientation de l'analyseur.

Pour un verre avec un indice de réfraction de 1,51, Fresnel a calculé qu'une différence de phase de 45° entre les deux coefficients de réflexion (donc une différence de 90° après deux réflexions) nécessitait un angle d'incidence de 48°37' ou 54°37'. Il a découpé un losange à ce dernier angle et a constaté qu'il fonctionnait comme prévu. Ainsi, la spécification du losange de Fresnel a été complétée. De même, Fresnel a calculé et vérifié l'angle d'incidence qui donnerait une différence de phase de 90° après trois réflexions au même angle et quatre réflexions au même angle. Dans chaque cas, il y avait deux solutions, et dans chaque cas, il a signalé que le plus grand angle d'incidence donnait une polarisation circulaire précise (pour une polarisation linéaire initiale à 45° par rapport au plan de réflexion). Pour le cas de trois réflexions, il a également testé le plus petit angle, mais a constaté qu'il donnait une certaine coloration en raison de la proximité de l'angle critique et de sa légère dépendance à la longueur d'onde. (Comparer la Fig. 13 ci-dessus, qui montre que la différence de phase δ est plus sensible à l'indice de réfraction pour des angles d'incidence plus petits.)

Pour plus de confiance, Fresnel a prédit et vérifié que quatre réflexions internes totales à 68°27' donneraient une polarisation circulaire précise si deux des réflexions avaient de l'eau comme milieu externe tandis que les deux autres avaient de l'air, mais pas si les surfaces réfléchissantes étaient toutes humides ou toutes sèches.

La déduction de Fresnel sur le déphasage dans le TIR est considérée comme la première occasion où une signification physique a été attachée à l'argument d'un nombre complexe. Bien que ce raisonnement ait été appliqué sans le bénéfice de savoir que les ondes lumineuses étaient électromagnétiques, il a passé le test de l'expérience et a survécu remarquablement intact après que James Clerk Maxwell a changé la nature présumée des ondes. Entre-temps, le succès de Fresnel a inspiré James MacCullagh et Augustin-Louis Cauchy , à partir de 1836, à analyser la réflexion des métaux en utilisant les équations de Fresnel avec un indice de réfraction complexe . La partie imaginaire de l'indice complexe représente l'absorption.

Le terme « angle critique » , utilisé par commodité dans le récit ci-dessus, est anachronique : il date apparemment de 1873.

Au 20e siècle, l'électrodynamique quantique a réinterprété l'amplitude d'une onde électromagnétique en termes de probabilité de trouver un photon. Dans ce cadre, la transmission partielle et la TIR frustrée concernent la probabilité qu'un photon traverse une frontière, et la réflectance totale atténuée concerne la probabilité qu'un photon soit absorbé de l'autre côté.

Les recherches sur les aspects les plus subtils du décalage de phase dans le TIR, y compris les effets Goos-Hänchen et Imbert-Fedorov et leurs interprétations quantiques, se sont poursuivies au 21e siècle.

• 
  Un baliste indien et son reflet total dans la surface de l'eau
• 
  Réflexion totale d'un pinceau sur la surface eau-air dans un verre
• 
  Réflexion totale interne d'un laser vert dans la tige d'un verre à vin