Worldlex Wiki géométrie , un trapèze ( anglais nord-américain , ou trapezium ( anglais britannique , est un quadrilatère qui a au moins une paire de côtés parallèles .
Les côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze. Les deux autres côtés sont appelés les côtés non parallèles ou côtés latéraux . Si le trapèze est un parallélogramme , le choix des bases et des côtés non parallèles est arbitraire.
En géométrie euclidienne , un trapèze est généralement considéré comme un quadrilatère convexe , mais il existe aussi des cas croisés . Si la figure ABCD est un trapèze convexe, alors ABDC est un trapèze croisé. Les formules métriques présentées dans cet article s'appliquent aux trapèzes convexes.
de l'enseignement supérieur privilégient presque toujours les définitions et classifications inclusives, car elles simplifient les énoncés et les démonstrations des théorèmes géométriques. Dans l'enseignement primaire et secondaire, les définitions du rectangle et du parallélogramme sont également presque toujours inclusives, tandis qu'une définition exclusive du trapèze est courante. Cet article utilise la définition inclusive et considère les parallélogrammes comme des cas particuliers de trapèzes. ( Quadrilatères § Taxonomie )Pour éviter toute confusion, certaines sources utilisent le terme trapèze propre pour décrire les trapèzes ayant exactement une paire de côtés parallèles, par analogie avec l'utilisation du mot propre dans certains autres objets mathématiques.
Étymologie
Dans la géométrie grecque antique des Éléments d'Euclide ( carré ; rectangle oblong (non carré ) ; losange (non carré) ; rhomboïde, c'est-à-dire un parallélogramme non losange non rectangle ; ou trapèze (τραπέζιον, littéralement « table »), c'est-à-dire tout quadrilatère non inclus dans les catégories précédentes.
Le philosophe néoplatonicien Proclus (milieu du Ve siècle apr. J.-C.) a écrit un commentaire influent sur Euclide, présentant un ensemble de catégories plus riche, qu'il attribuait à Posidonius ( Toutes les langues européennes, à l'exception de l'anglais américain, suivent la définition de Proclus pour les termes « trapèze » et « trapézoïde » . Cependant, en anglais britannique, cette définition a été inversée pendant une grande partie du XIXe siècle. En 1795, un dictionnaire mathématique influent, publié par Charles Hutton, a interverti les deux termes sans explication, ce qui a engendré une confusion généralisée. L'erreur de Hutton a été corrigée en anglais britannique vers 1875, mais elle est restée en usage en anglais américain jusqu'à nos jours . Les manuels de géométrie américains de la fin du XIXe siècle définissent un trapèze comme un quadrilatère sans côtés parallèles, un trapézoïde comme un quadrilatère ayant exactement une paire de côtés parallèles, et un parallélogramme comme un quadrilatère ayant deux paires de côtés opposés parallèles . Afin d'éviter toute confusion entre les définitions contradictoires de « trapèze » et « trapézoïde » en anglais britannique et américain , les quadrilatères sans côtés parallèles sont parfois appelés quadrilatères irréguliers .
Cas particuliers
Un trapèze isocèle est un trapèze dont les angles à la base ont la même mesure. Par conséquent, ses deux côtés non parallèles sont également de même longueur et il possède une symétrie axiale . Ceci est possible pour les trapèzes aigus ou rectangles. Un trapèze aigu est un trapèze possédant deux angles aigus adjacents sur sa base la plus longue, et le trapèze isocèle en est un exemple. Le trapèze isocèle possède un cas particulier appelé trapèze à trois côtés, c'est-à-dire un trapèze dont deux côtés non parallèles ont la même longueur que sa base. Le trapèze isocèle est l' enveloppe convexe d'un antiparallélogramme , un type de quadrilatère croisé . Tout antiparallélogramme est formé à partir d'un tel trapèze en remplaçant deux côtés parallèles par ses deux diagonales.
En revanche, un trapèze obtus possède un angle aigu et un angle obtus sur chacune de ses bases. Un exemple est le parallélogramme dont les angles aigus sont égaux.
Un trapèze rectangle est un trapèze possédant deux angles droits adjacents . Un type particulier de trapèze rectangle est obtenu en formant trois triangles rectangles , structure utilisée par James Garfield pour démontrer le théorème de Pythagore .
Un trapèze tangentiel est un trapèze qui possède un cercle inscrit .
Condition d'existence
Quatre longueurs a , c , b , d peuvent constituer les côtés consécutifs d'un trapèze non parallélogramme avec a et b parallèles uniquement lorsque
Le quadrilatère est un parallélogramme lorsque
Caractérisations
Étant donné un quadrilatère convexe, les propriétés suivantes sont équivalentes, et chacune implique que le quadrilatère est un trapèze :
- Il possède deux angles adjacents supplémentaires , c'est-à-dire que leur somme est égale à 180 degrés .
- L'angle entre un côté et une diagonale est égal à l'angle entre le côté opposé et cette même diagonale.
- Les diagonales se coupent entre elles dans un même rapport (ce rapport est le même qu'entre les longueurs des côtés parallèles).
- Les diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles dont une paire opposée a des aires égales.
- Le produit des aires des deux triangles formés par une diagonale est égal au produit des aires des deux triangles formés par l'autre diagonale.
- Les aires S et T de deux triangles opposés parmi les quatre triangles formés par les diagonales satisfont l'équation
- où K est l'aire du quadrilatère.
- Les milieux de deux côtés opposés du trapèze et l'intersection des diagonales sont colinéaires .
- Les angles du quadrilatère ABCD satisfont
- La somme des cosinus de deux angles adjacents est égale à 0, de même que celle des cosinus des deux autres angles.
- La somme des cotangentes de deux angles adjacents est égale à 0, de même que celle des cotangentes des deux autres angles adjacents.
- Une bimédiane divise le quadrilatère en deux quadrilatères d'aires égales.
- Le double de la longueur de la bimédiane reliant les milieux de deux côtés opposés est égal à la somme des longueurs des autres côtés.
De plus, les propriétés suivantes sont équivalentes, et chacune implique que les côtés opposés a et b sont parallèles :
- Les côtés consécutifs a , c , b , d et les diagonales p , q satisfont l'équation
- La distance v entre les milieux des diagonales satisfait l'équation
Propriétés
Segment médian et taille
Le segment médian d'un trapèze est le segment qui relie les milieux des côtés de l'angle droit . Il est parallèle aux bases. Sa longueur m est égale à la moyenne des longueurs des bases a et b du trapèze,
Le segment médian d'un trapèze est l'une des deux bimédianes (l'autre bimédiane divise le trapèze en deux parties égales).
La hauteur (ou altitude) est la distance perpendiculaire entre les bases. Dans le cas où les deux bases ont des longueurs différentes ( a ≠ b ), la hauteur h d'un trapèze peut être déterminée par la longueur de ses quatre côtés à l'aide de la formule
où c et d sont les longueurs des jambes et
Zone
La zone
Le mathématicien indien Bhāskara Ier, du VIIe siècle, a établi la formule suivante pour l'aire d'un trapèze à côtés consécutifs.
a Lorsque l'un des côtés parallèles s'est réduit à un point (par exemple a = 0), cette formule se réduit à la formule de Héron pour l'aire d'un triangle.
Une autre formule équivalente pour l'aire, qui ressemble davantage à la formule de Héron, est
où
La formule de Bretschneider implique que
La bimédiane reliant les côtés parallèles divise l'aire en deux. Plus généralement, toute droite passant par le milieu de la médiane et parallèle aux bases, et coupant ces bases, divise l'aire en deux. Tout triangle reliant les extrémités d'un côté de l'angle droit au milieu de l'autre côté de l'angle droit représente également la moitié de l'aire.
Diagonales
Les longueurs des diagonales sont
Si le trapèze est divisé en quatre triangles par ses diagonales AC et BD (comme indiqué à droite), qui se coupent en O , alors l'aire de est égal à celui de , et le produit des zones de et est égal à celui de et . Le rapport des aires de chaque paire de triangles adjacents est le même que celui entre les longueurs des côtés parallèles.
Si est la longueur du segment de droite parallèle aux bases, passant par l'intersection des diagonales, avec une extrémité sur chaque côté, alors la moyenne harmonique des longueurs des bases :
La ligne qui passe à la fois par le point d'intersection des côtés non parallèles prolongés et par le point d'intersection des diagonales, divise chaque base en deux.
Autres propriétés
Le centre de surface ( centre de masse pour une lamelle uniforme ) se situe le long du segment de ligne joignant les milieux des côtés parallèles, à une distance perpendiculaire x du côté le plus long b donnée par
Le centre de la zone divise ce segment dans le rapport (lorsqu'il est pris du côté court au côté long)
Si les bissectrices des angles A et B se coupent en P , et les bissectrices des angles C et D se coupent en Q , alors
Applications
En calcul différentiel et intégral , l' intégrale définie d'une fonction
Lorsqu'un rectangle est observé en perspective depuis un point centré sur un axe mais pas sur l'autre, il apparaît comme un trapèze isocèle, un phénomène appelé effet de clé de voûte , car les clés de voûte des arcs sont souvent trapézoïdales. Par exemple, lorsqu'on photographie la façade d'un bâtiment rectangulaire depuis le sol, face au bâtiment, à l'aide d'un objectif rectiligne , l'image obtenue est un trapèze isocèle. Ces photographies subissent parfois une « transformation de clé de voûte » pour retrouver leur forme rectangulaire. Les vidéoprojecteurs appliquent parfois cette transformation à l'image enregistrée avant la projection, afin que l'image projetée sur un écran plat ne soit pas déformée.
Les portes et fenêtres trapézoïdales étaient le style standard chez les Incas , bien que ce style soit également utilisé par des cultures antérieures de la même région et ne leur soit pas nécessairement propre. L'almena, un élément crénelé caractéristique de l'architecture mauresque , est de forme trapézoïdale. La réorganisation de la Piazza del Campidoglio par Michel-Ange (voir photographie à droite) intègre un trapèze entourant une ellipse, donnant l'illusion d'un carré entourant un cercle en perspective. Le cinéma exploite les trapèzes de manière inverse, pour produire un effet de raccourci excessif du point de vue de la caméra, donnant l'illusion d'une plus grande profondeur à une pièce dans un studio de cinéma que celle réelle du décor. Les trapèzes ont également été utilisés pour produire les distorsions visuelles du Caligarisme . Les canaux et les fossés de drainage ont généralement une section transversale trapézoïdale.
En biologie, et plus particulièrement en morphologie et en taxonomie , des termes tels que trapézoïdal ou trapézoïdal sont couramment utilisés dans la description d'organes ou de formes particuliers.
Le trapèze est parfois utilisé comme symbole graphique. Dans les schémas de circuits , il représente un multiplexeur . Un trapèze isocèle est utilisé pour la forme des panneaux de signalisation routière, par exemple sur les routes secondaires de l'Ontario , au Canada.
Géométrie non euclidienne
En géométrie sphérique ou hyperbolique , la somme des angles internes d'un quadrilatère ne vaut pas 360°, mais on peut tout de même définir des quadrilatères analogues aux trapèzes, aux parallélogrammes et aux rectangles, et il existe en outre quelques nouveaux types de quadrilatères qui ne sont pas distingués dans le cas euclidien.
Un trapèze sphérique ou hyperbolique est un quadrilatère dont deux côtés opposés, les côtés non parallèles, ont chacun deux angles adjacents dont la somme est égale ; les deux autres côtés sont les bases. Comme en géométrie euclidienne, on trouve comme cas particuliers les trapèzes isocèles dont les côtés non parallèles sont égaux (de même que les angles adjacents à chaque base), les parallélogrammes ayant deux paires d’angles opposés égaux et deux paires de côtés opposés égaux, les losanges ayant deux paires d’angles opposés égaux et quatre côtés égaux, les rectangles ayant quatre angles égaux (non droits) et deux paires de côtés opposés égaux, et les carrés ayant quatre angles égaux (non droits) et quatre côtés égaux.
Lorsqu'un rectangle est coupé en deux selon la droite passant par les milieux de deux côtés opposés, chacun des deux morceaux obtenus est un trapèze isocèle à deux angles droits, appelé quadrilatère de Saccheri . Lorsqu'un rectangle est coupé en quatre selon les deux droites passant par les milieux de paires de côtés opposés, chacun des quatre morceaux obtenus est un quadrilatère à trois angles droits, appelé quadrilatère de Lambert . En géométrie euclidienne, les quadrilatères de Saccheri et de Lambert sont simplement des rectangles.
Sujets connexes
Un nombre trapézoïdal est un ensemble d' entiers positifs obtenu en additionnant consécutivement deux ou plusieurs entiers positifs supérieurs à un, formant un motif trapézoïdal.
Le problème des échelles croisées est le problème de trouver la distance entre les côtés parallèles d'un trapèze droit, étant donné les longueurs des diagonales et la distance de la jambe perpendiculaire à l'intersection des diagonales.