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Si est un point de la circonférence du cercle unité , alors x | et y | sont les longueurs des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 1. Ainsi, d'après le théorème de Pythagore , et satisfont l'équation
Puisque pour tout , et puisque la réflexion de n'importe quel point sur le cercle unité autour de l' axe ou est également sur le cercle unité, l'équation ci-dessus est valable pour tous les points sur le cercle unité, et pas seulement ceux du premier quadrant.
L'intérieur du cercle unité est appelé disque unité ouvert , tandis que l'intérieur du cercle unité combiné au cercle unité lui-même est appelé disque unité fermé.
On peut également utiliser d'autres notions de « distance » pour définir d'autres « cercles unitaires », tels que le cercle riemannien ; voir l'article sur les normes mathématiques pour des exemples supplémentaires.
Dans le plan complexe
Dans le plan complexe , les nombres de magnitude unitaire sont appelés les nombres complexes unitaires . Il s'agit de l'ensemble des nombres complexes Lorsqu'on les décompose en éléments réels et imaginaires
Lorsqu'on les décompose en éléments réels et imaginairesLe cercle unité complexe peut être paramétré par la mesure d'un angle
Dans l'opération de multiplication complexe, les nombres complexes unitaires forment un groupe appelé groupe du cercle , généralement noté
Fonctions trigonométriques sur le cercle unité
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus de l'angle sont définies à l'aide du cercle unité.
Dans cette construction géométrique, l'angle est formé par deux demi-droites : la demi-droite initiale , fixe sur l' axe positifs , et la demi-droite terminale , reliant l'origine à un point de la circonférence du cercle unité. La valeur de représente la mesure de la rotation entre la demi-droite initiale et la demi-droite terminale ; une rotation dans le sens antihoraire est considérée comme positive et une rotation dans le sens horaire comme négative. Par conséquent, les fonctions trigonométriques sont définies par les coordonnées du point d'intersection de la demi-droite terminale avec le cercle.
L'équation la
Le cercle trigonométrique démontre également que le sinus et le cosinus sont des fonctions périodiques , avec les identités suivantes :
triangles construits sur le cercle unité peuvent également servir à illustrer la périodicité des fonctions trigonométriques. Construisons d'abord un rayon à un point du cercle unité, de sorte qu'il forme un angle avec 0 < t < π/2 avec le côté positif de l' des un point Q x₁ les segments PQ tel que . Puisque , longueur et et Ces équivalences étant établies, considérons un autre rayon cercle, de sorte qu'il forme le même angle le côté négatif de l' axe . Considérons maintenant un point et les segments avec . On constate ainsi que, puisque , de la même manière que P est de la position équivalent à est équivalent à , alors On peut en déduire de manière similaire que , puisque y 1 / x 1 et y 1 / − x 1 π / 4 ) = sin( 3π / 4 ) = 1 / √ 2 .
Lorsqu'on travaille avec des triangles rectangles, le sinus, le cosinus et les autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre zéro et π / 2 . Cependant, définies à l'aide du cercle trigonométrique, ces fonctions produisent des valeurs significatives pour tout angle réel , même supérieur à 2π
En utilisant le cercle trigonométrique, les valeurs de toute fonction trigonométrique pour de nombreux angles autres que ceux indiqués peuvent être facilement calculées à la main à l'aide des formules de somme et de différence d'angles .
est un cercle unité. C'est le cas le plus simple, il est donc largement utilisé dans l'étude des systèmes dynamiques.