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Groupe de cercle
La multiplication sur le groupe du cercle équivaut à l'addition d'angles. En mathématiques , le groupe du cercle , noté ou , est le groupe multiplicatif de tous les nombres ...
En mathématiques , le groupe du cercle , noté ou , est le groupe multiplicatif de tous les nombres complexes de valeur absolue 1, c'est-à-dire le cercle unité dans le plan complexe ou simplement les nombres complexes unités
Le groupe du cercle forme un sous-groupe de , le groupe multiplicatif de tous les nombres complexes non nuls. Comme est abélien , il s'ensuit que l'est aussi.
Un nombre complexe unitaire dans le groupe des cercles représente une rotation du plan complexe autour de l'origine et peut être paramétré par la mesure d'angle :
Il s'agit de la carte exponentielle du groupe circulaire.
Le groupe du cercle joue un rôle central dans la dualité de Pontryagin et dans la théorie des groupes de Lie .
La notation du groupe des cercles vient du fait que, dans la topologie standard (voir ci-dessous), le groupe des cercles est un tore de type 1. Plus généralement, (le produit direct de avec lui-même fois) est géométriquement un tore de type 1.
Le groupe du cercle est isomorphe au groupe orthogonal spécial .
Introduction élémentaire
Une façon de penser au groupe des cercles est de voir comment additionner des angles , où seuls les angles compris entre 0° et 360° ou ou sont autorisés. Par exemple, le diagramme illustre comment additionner 150° à 270°. La réponse est 150° + 270° = 420° , mais lorsque l'on pense en termes de groupe des cercles, on peut « oublier » le fait que nous avons fait le tour du cercle une fois. Par conséquent, nous ajustons notre réponse de 360°, ce qui donne 420° ≡ 60° ( mod 360° ).
Une autre description est en termes d'addition ordinaire (réelle), où seuls les nombres entre 0 et 1 sont autorisés (1 correspondant à une rotation complète : 360° ou ), c'est-à-dire les nombres réels modulo les entiers : . Cela peut être réalisé en supprimant les chiffres se trouvant avant la virgule décimale. Par exemple, lorsque nous calculons 0,4166... + 0,75, la réponse est 1,1666..., mais nous pouvons supprimer le 1 de tête, de sorte que la réponse (dans le groupe de cercles) est juste avec une certaine préférence pour 0,166..., car .
Structure topologique et analytique
Le groupe des cercles est plus qu'un simple objet algébrique abstrait. Il possède une topologie naturelle lorsqu'il est considéré comme un sous-espace du plan complexe. Puisque la multiplication et l'inversion sont des fonctions continues sur , le groupe des cercles a la structure d'un groupe topologique . De plus, puisque le cercle unité est un sous-ensemble fermé du plan complexe, le groupe des cercles est un sous-groupe fermé de (lui-même considéré comme un groupe topologique).
On peut même en dire plus. Le cercle est une variété réelle unidimensionnelle , et la multiplication et l'inversion sont des applications réelles-analytiques sur le cercle. Cela donne au groupe du cercle la structure d'un groupe à un paramètre , une instance d'un groupe de Lie . En fait, à isomorphisme près, c'est l'unique groupe de Lie unidimensionnel compact et connexe . De plus, tout groupe de Lie abélien compact et connexe de dimension .
Isomorphismes
Le groupe du cercle apparaît sous diverses formes en mathématiques. Nous énumérons ici certaines des formes les plus courantes. Plus précisément, nous montrons que
Notez que la barre oblique (/) désigne ici le groupe quotient .
L'ensemble de toutes les matrices unitaires 1×1 coïncide clairement avec le groupe du cercle ; la condition unitaire est équivalente à la condition que son élément ait une valeur absolue de 1. Par conséquent, le groupe du cercle est canoniquement isomorphe à , le premier groupe unitaire .
La fonction exponentielle donne lieu à un homomorphisme de groupe des nombres réels additifs vers le groupe du cercle via l'application
La dernière égalité est la formule d'Euler ou l'exponentielle complexe. Le nombre réel θ correspond à l'angle (en radians ) sur le cercle unité mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l' axe des x positifs . Le fait que cette application soit un homomorphisme résulte du fait que la multiplication de nombres complexes unitaires correspond à l'addition d'angles :
Cette application exponentielle est clairement une fonction surjective de à . Cependant, elle n'est pas injective . Le noyau de cette application est l'ensemble de tous les multiples entiers de . Par le premier théorème d'isomorphisme, nous avons alors que
Après avoir redimensionné, nous pouvons également dire que est isomorphe à .
Si les nombres complexes sont réalisés sous forme de matrices réelles 2×2 (voir nombre complexe ), les nombres complexes unitaires correspondent à des matrices orthogonales 2×2 de déterminant unitaire . Plus précisément, nous avons
Cette fonction montre que le groupe du cercle est isomorphe au groupe orthogonal spécial puisque où est la multiplication matricielle.
Cet isomorphisme a pour interprétation géométrique que la multiplication par un nombre complexe unitaire est une rotation propre dans le plan complexe (et réel), et que toute rotation de ce type est de cette forme.
Propriétés
Tout groupe de Lie compact de dimension > 0 possède un sous-groupe isomorphe au groupe des cercles. Cela signifie que, si l'on raisonne en termes de symétrie , on peut s'attendre à ce qu'un groupe de symétrie compact agissant en continu possède des sous-groupes des cercles à un paramètre agissant ; les conséquences dans les systèmes physiques sont visibles, par exemple, en cas d'invariance rotationnelle et de brisure spontanée de symétrie .
Le groupe du cercle comporte de nombreux sous-groupes , mais ses seuls sous-groupes fermés propres sont constitués de racines de l'unité : Pour chaque entier 
De la même manière que les nombres réels sont un complément des rationnels b -adiques pour tout nombre naturel , le groupe du cercle est le complément du groupe de Prüfer pour , donné par la limite directe .
Représentations
Les représentations du groupe des cercles sont faciles à décrire. Il résulte du lemme de Schur que les représentations complexes irréductibles d'un groupe abélien sont toutes unidimensionnelles. Comme le groupe des cercles est compact, toute représentation doit prendre des valeurs dans . Par conséquent, les représentations irréductibles du groupe des cercles ne sont que les homomorphismes du groupe des cercles vers lui-même.
Pour chaque entier, nous pouvons définir une représentation du groupe circulaire par . Ces représentations sont toutes inéquivalentes. La représentation est conjuguée à :
Ces représentations ne sont que les caractères du groupe circulaire. Le groupe de caractères de est clairement un groupe cyclique infini engendré par :
Les représentations réelles irréductibles du groupe des cercles sont la représentation triviale (qui est unidimensionnelle) et les représentations prenant des valeurs dans . Ici nous n'avons que des entiers positifs , puisque la représentation est équivalente à .
Structure du groupe
Le groupe du cercle est un groupe divisible . Son sous-groupe de torsion est donné par l'ensemble de toutes les racines -ièmes de l'unité pour tout et est isomorphe à . Le théorème de structure pour les groupes divisibles et l' axiome du choix nous indiquent ensemble que est isomorphe à la somme directe de avec un nombre de copies de .
Le nombre de copies de doit être (la cardinalité du continuum ) pour que la cardinalité de la somme directe soit correcte. Mais la somme directe des copies de est isomorphe à , comme l'est un espace vectoriel de dimension supérieure à . Ainsi
L'isomorphisme peut être démontré de la même manière, car est également un groupe abélien divisible dont le sous-groupe de torsion est le même que le sous-groupe de torsion de .