Temps discret et temps continu

En dynamique mathématique, le temps discret et le temps continu sont deux cadres alternatifs dans lesquels sont modélisées les variables qui évoluent au cours du temps.

Le temps discret considère les valeurs des variables comme se produisant à des « points dans le temps » distincts et séparés, ou de manière équivalente comme étant inchangées dans chaque région de temps non nulle (« période de temps ») ; c'est-à-dire que le temps est considéré comme une variable discrète . Ainsi, une variable non temporelle passe d'une valeur à une autre lorsque le temps passe d'une période de temps à la suivante. Cette vision du temps correspond à une horloge numérique qui donne une lecture fixe de 10 h 37 pendant un certain temps, puis passe à une nouvelle lecture fixe de 10 h 38, etc. Dans ce cadre, chaque variable d'intérêt est mesurée une fois à chaque période de temps. Le nombre de mesures entre deux périodes de temps est fini. Les mesures sont généralement effectuées à des valeurs entières séquentielles de la variable « temps ».

Un signal discret ou un signal à temps discret est une série temporelle constituée d'une séquence de quantités.

Contrairement à un signal continu, un signal discret n'est pas une fonction d'un argument continu ; cependant, il peut avoir été obtenu par échantillonnage à partir d'un signal continu. Lorsqu'un signal discret est obtenu en échantillonnant une séquence à des instants uniformément espacés, il est associé à une fréquence d'échantillonnage .

Les signaux à temps discret peuvent avoir plusieurs origines, mais peuvent généralement être classés dans l'un des deux groupes suivants :

• En acquérant des valeurs d'un signal analogique à un taux constant ou variable. Ce processus est appelé échantillonnage .
• En observant un processus intrinsèquement discret dans le temps, comme la valeur maximale hebdomadaire d’un indicateur économique particulier.

En revanche, le temps continu considère que les variables n'ont une valeur particulière que pour une durée infinitésimale . Entre deux points dans le temps, il existe un nombre infini d'autres points dans le temps. La variable « temps » s'étend sur toute la droite des nombres réels ou, selon le contexte, sur un sous-ensemble de celle-ci, comme les nombres réels non négatifs. Le temps est donc considéré comme une variable continue .

Un signal continu ou un signal à temps continu est une quantité variable (un signal ) dont le domaine, qui est souvent le temps, est un continuum (par exemple, un intervalle connexe des nombres réels ). Autrement dit, le domaine de la fonction est un ensemble indénombrable . La fonction elle-même n'a pas besoin d'être continue . En revanche, un signal à temps discret a un domaine dénombrable , comme les nombres naturels .

Un signal d'amplitude et de durée continues est appelé signal continu ou signal analogique . Ce signal aura une certaine valeur à chaque instant. Les signaux électriques dérivés en proportion des quantités physiques telles que la température, la pression, le son, etc. sont généralement des signaux continus. D'autres exemples de signaux continus sont les ondes sinusoïdales, les ondes cosinusoïdales, les ondes triangulaires, etc.

Le signal est défini sur un domaine, qui peut être fini ou non, et il existe une correspondance fonctionnelle entre le domaine et la valeur du signal. La continuité de la variable temporelle, en lien avec la loi de densité des nombres réels , signifie que la valeur du signal peut être trouvée à n'importe quel instant arbitraire.

Un exemple typique d'un signal de durée infinie est :

Une contrepartie à durée finie du signal ci-dessus pourrait être :

La valeur d'un signal de durée finie (ou infinie) peut être finie ou non. Par exemple,

est un signal de durée finie mais il prend une valeur infinie pour .

Dans de nombreuses disciplines, la convention est qu'un signal continu doit toujours avoir une valeur finie, ce qui a plus de sens dans le cas de signaux physiques.

Pour certaines applications, les singularités infinies sont acceptables à condition que le signal soit intégrable sur tout intervalle fini (par exemple, le signal n'est pas intégrable à l'infini, mais l'est).

Tout signal analogique est continu par nature. Les signaux à temps discret , utilisés dans le traitement numérique du signal , peuvent être obtenus par échantillonnage et quantification de signaux continus.

Un signal continu peut également être défini sur une variable indépendante autre que le temps. Une autre variable indépendante très courante est l'espace, particulièrement utile dans le traitement d'images , où deux dimensions spatiales sont utilisées.

Le temps discret est souvent utilisé dans les mesures empiriques , car il n'est normalement possible de mesurer les variables que de manière séquentielle. Par exemple, alors que l'activité économique se déroule en fait de manière continue, il n'existe aucun moment où l'économie est totalement en pause, il n'est possible de mesurer l'activité économique que de manière discrète. Pour cette raison, les données publiées sur, par exemple, le produit intérieur brut présenteront une séquence de valeurs trimestrielles .

Lorsqu'on tente d'expliquer empiriquement ces variables en termes d'autres variables et/ou de leurs propres valeurs antérieures, on utilise des méthodes de séries chronologiques ou de régression dans lesquelles les variables sont indexées avec un indice indiquant la période de temps pendant laquelle l'observation a eu lieu. Par exemple, y _t peut faire référence à la valeur du revenu observée pendant une période de temps non spécifiée t , y ₃ à la valeur du revenu observée pendant la troisième période de temps, etc.

De plus, lorsqu’un chercheur tente de développer une théorie pour expliquer ce qui est observé en temps discret, la théorie elle-même est souvent exprimée en temps discret afin de faciliter le développement d’une série chronologique ou d’un modèle de régression.

D'un autre côté, il est souvent plus facile mathématiquement de construire des modèles théoriques en temps continu, et souvent, dans des domaines comme la physique, une description exacte nécessite l'utilisation du temps continu. Dans un contexte de temps continu, la valeur d'une variable y à un instant indéterminé est notée y ( t ) ou, lorsque la signification est claire, simplement y .

Le temps discret utilise des équations aux différences , également appelées relations de récurrence. Un exemple, connu sous le nom de carte logistique ou équation logistique, est

où r est un paramètre compris entre 2 et 4 inclus, et x est une variable comprise entre 0 et 1 inclus, dont la valeur à la période t affecte de manière non linéaire sa valeur à la période suivante, t + 1. Par exemple, si et , alors pour t = 1 nous avons , et pour t = 2 nous avons .

Un autre exemple modélise l'ajustement d'un prix P en réponse à une demande excédentaire non nulle pour un produit comme

où est le paramètre de vitesse d'ajustement positif qui est inférieur ou égal à 1, et où est la fonction de demande excédentaire .

Le temps continu utilise des équations différentielles . Par exemple, l'ajustement d'un prix P en réponse à une demande excédentaire non nulle pour un produit peut être modélisé en temps continu comme

où le côté gauche est la première dérivée du prix par rapport au temps (c'est-à-dire le taux de variation du prix), est le paramètre de vitesse d'ajustement qui peut être n'importe quel nombre fini positif, et est à nouveau la fonction de demande excédentaire.

Une variable mesurée en temps discret peut être représentée sous la forme d'une fonction en escalier , dans laquelle à chaque période de temps correspond une région sur l' axe horizontal de la même longueur que toutes les autres périodes de temps, et la variable mesurée est représentée sous la forme d'une hauteur qui reste constante sur toute la région de la période de temps. Dans cette technique graphique, le graphique apparaît sous la forme d'une séquence d'escaliers horizontaux. Alternativement, chaque période de temps peut être considérée comme un point détaché dans le temps, généralement à une valeur entière sur l'axe horizontal, et la variable mesurée est représentée sous la forme d'une hauteur au-dessus de ce point de l'axe du temps. Dans cette technique, le graphique apparaît sous la forme d'un ensemble de points.

Les valeurs d'une variable mesurée en temps continu sont représentées comme une fonction continue , puisque le domaine du temps est considéré comme l'ensemble de l'axe réel ou au moins une partie connexe de celui-ci.