Modèle Debye

En thermodynamique et en physique du solide , le modèle de Debye est une méthode développée par Peter Debye en 1912 pour estimer la contribution des phonons à la chaleur spécifique ( capacité thermique ) dans un solide . Il traite les vibrations du réseau atomique (chaleur) comme des phonons dans une boîte, contrairement au modèle de photoélectrons d'Einstein , qui traite le solide comme de nombreux oscillateurs harmoniques quantiques individuels et non interactifs . Le modèle de Debye prédit correctement la dépendance à basse température de la capacité thermique des solides, qui est proportionnelle à – la loi T3 ^de Debye . De la même manière que le modèle de photoélectrons d'Einstein, il récupère la loi de Dulong-Petit à haute température. En raison d'hypothèses simplificatrices, sa précision souffre à des températures intermédiaires.

Le modèle de Debye traite les vibrations atomiques comme des phonons confinés dans le volume du solide. Il est analogue à la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir , qui traite le rayonnement électromagnétique comme un gaz de photons confiné dans un espace vide. La plupart des étapes de calcul sont identiques, car les deux sont des exemples de gaz de Bose sans masse avec une relation de dispersion linéaire .

Pour un cube de côté , les modes résonants des perturbations sonores (en considérant pour l'instant seulement celles alignées sur un axe), traités comme des particules dans une boîte , ont des longueurs d'onde données par

où est un entier. L'énergie d'un phonon est donnée par

où est la constante de Planck et est la fréquence du phonon. En faisant l'approximation que la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde,

dans laquelle est la vitesse du son à l'intérieur du solide. En trois dimensions, l'énergie peut être généralisée à

dans laquelle est la grandeur de l' impulsion tridimensionnelle du phonon, et , , et sont les composantes du mode de résonance le long de chacun des trois axes.

L'approximation selon laquelle la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde (donnant une vitesse du son constante ) est bonne pour les phonons de faible énergie mais pas pour ceux de haute énergie, ce qui constitue une limitation du modèle de Debye. Cette approximation conduit à des résultats erronés aux températures intermédiaires, alors que les résultats sont exacts aux limites de basse et haute température.

L'énergie totale dans la boîte, , est donnée par

où est le nombre de phonons dans la boîte avec l'énergie ; l'énergie totale est égale à la somme des énergies sur tous les niveaux d'énergie, et l'énergie à un niveau donné est trouvée en multipliant son énergie par le nombre de phonons avec cette énergie. En trois dimensions, chaque combinaison de modes dans chacun des trois axes correspond à un niveau d'énergie, ce qui donne l'énergie totale comme suit :

Le modèle de Debye et la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir diffèrent ici en ce qui concerne cette somme. Contrairement au rayonnement électromagnétique des photons dans une boîte, il existe un nombre fini d' états énergétiques des phonons car un phonon ne peut pas avoir une fréquence arbitrairement élevée. Sa fréquence est limitée par son milieu de propagation, le réseau atomique du solide . L'illustration suivante décrit les phonons transversaux dans un solide cubique à des fréquences variables :

Il est raisonnable de supposer que la longueur d'onde minimale d'un phonon est deux fois supérieure à la séparation atomique, comme le montre l'exemple le plus bas. Avec des atomes dans un solide cubique, chaque axe du cube mesure comme étant long de 1 atome. La séparation atomique est alors donnée par , et la longueur d'onde minimale est

faire le nombre de modes maximum :

Ceci contraste avec les photons, pour lesquels le nombre maximal de modes est infini. Ce nombre limite la limite supérieure de la somme d'énergie triple

Si est une fonction qui varie lentement par rapport à , les sommes peuvent être approximées par des intégrales :

Pour évaluer cette intégrale, la fonction , le nombre de phonons possédant une énergie doit également être connu. Les phonons obéissent à la statistique de Bose-Einstein , et leur distribution est donnée par la formule de la statistique de Bose-Einstein :

Étant donné qu'un phonon possède trois états de polarisation possibles (un longitudinal et deux transversaux , qui n'affectent approximativement pas son énergie), la formule ci-dessus doit être multipliée par 3,

La prise en compte des trois états de polarisation ensemble signifie également qu'une vitesse sonique effective doit être déterminée et utilisée comme valeur de la vitesse sonique standard. La température de Debye définie ci-dessous est proportionnelle à ; plus précisément, , où les vitesses des ondes sonores longitudinales et transversales sont moyennées, pondérées par le nombre d'états de polarisation. La température de Debye ou la vitesse sonique effective est une mesure de la dureté du cristal.

En remplaçant dans l'intégrale énergétique, on obtient

Ces intégrales sont facilement évaluées pour les photons car leur fréquence, au moins semi-classiquement, n'est pas liée. Il n'en va pas de même pour les phonons, donc pour approximer cette intégrale triple , Peter Debye a utilisé des coordonnées sphériques ,

et a approximé le cube avec un huitième de sphère ,

où est le rayon de cette sphère. Comme la fonction énergétique ne dépend d'aucun des angles, l'équation peut être simplifiée en

Le nombre de particules dans le cube d'origine et dans le huitième d'une sphère doit être équivalent. Le volume du cube est le volume d'une cellule unitaire ,

tel que le rayon doit être

La substitution de l’intégration sur une sphère à l’intégrale correcte sur un cube introduit une autre source d’inexactitude dans le modèle résultant.

Après avoir effectué la substitution sphérique et la substitution dans la fonction , l'intégrale d'énergie devient

En modifiant la variable d'intégration en ,

Pour simplifier l'apparence de cette expression, définissons la température de Debye

où est le volume de la boîte cubique de côté .

Certains auteurs décrivent la température de Debye comme un raccourci pour certaines constantes et variables dépendantes du matériau. Cependant, elle est à peu près égale à l'énergie des phonons du mode de longueur d'onde minimale, et nous pouvons donc interpréter la température de Debye comme la température à laquelle le mode de fréquence la plus élevée est excité. De plus, comme tous les autres modes ont une énergie inférieure à celle du mode de fréquence la plus élevée, tous les modes sont excités à cette température.

À partir de l'énergie totale, l'énergie interne spécifique peut être calculée :

où est la troisième fonction de Debye . La différenciation de cette fonction par rapport à produit la capacité thermique sans dimension :

Ces formules traitent le modèle de Debye à toutes les températures. Les formules plus élémentaires données plus bas donnent le comportement asymptotique dans la limite des basses et hautes températures. La raison essentielle de l'exactitude aux basses et hautes énergies est, respectivement, que le modèle de Debye donne la relation de dispersion exacte aux basses fréquences, et correspond à la densité d'états exacte aux hautes températures, concernant le nombre de vibrations par intervalle de fréquence.

Debye a dérivé son équation différemment et plus simplement. En utilisant la mécanique des milieux continus , il a découvert que le nombre d'états vibrationnels avec une fréquence inférieure à une valeur particulière était asymptotique à

dans laquelle est le volume et est un facteur qu'il a calculé à partir des coefficients d'élasticité et de la densité. En combinant cette formule avec l'énergie attendue d'un oscillateur harmonique à température (déjà utilisée par Einstein dans son modèle), on obtiendrait une énergie de

si les fréquences vibrationnelles continuaient à l'infini. Cette forme donne le comportement qui est correct à basse température. Mais Debye s'est rendu compte qu'il ne pouvait pas y avoir plus de états vibrationnels pour N atomes. Il a fait l'hypothèse que dans un solide atomique , le spectre des fréquences des états vibrationnels continuerait à suivre la règle ci-dessus, jusqu'à une fréquence maximale choisie de telle sorte que le nombre total d'états soit

Debye savait que cette hypothèse n'était pas tout à fait correcte (les fréquences les plus élevées sont plus rapprochées que prévu), mais elle garantit le bon comportement à haute température ( loi de Dulong-Petit ). L'énergie est alors donnée par

En remplacement de ,

où est la fonction qui recevra plus tard le nom de fonction Debye du troisième ordre .

Premièrement, la distribution de fréquence vibrationnelle est dérivée de l'annexe VI de l'ouvrage de Terrell L. Hill intitulé An Introduction to Statistical Mechanics . Considérons un solide élastique isotrope tridimensionnel avec N atomes en forme de parallélépipède rectangle dont les côtés ont une longueur de . L' onde élastique obéira à l' équation d'onde et sera des ondes planes ; considérons le vecteur d'onde et définissons , tel que

Les solutions à l' équation d'onde sont

et avec les conditions aux limites à ,

où sont des entiers positifs . En remplaçant ( 2 ) par ( 1 ) et en utilisant également la relation de dispersion ,

L'équation ci-dessus, pour une fréquence fixe , décrit un huitième d'une ellipse dans « l'espace des modes » (un huitième car sont positifs). Le nombre de modes avec une fréquence inférieure à est donc le nombre de points entiers à l'intérieur de l'ellipse, qui, dans la limite de (c'est-à-dire pour un très grand parallélépipède) peut être approximé au volume de l'ellipse. Par conséquent, le nombre de modes avec une fréquence dans la gamme est

où est le volume du parallélépipède. La vitesse des ondes dans la direction longitudinale est différente de la direction transversale et les ondes peuvent être polarisées dans un sens dans la direction longitudinale et dans les deux sens dans la direction transversale et peuvent être définies comme .

Suite à la dérivation d' un premier cours de thermodynamique , une limite supérieure à la fréquence de vibration est définie ; puisqu'il y a des atomes dans le solide, il y a des oscillateurs harmoniques quantiques (3 pour chaque direction x, y, z) oscillant sur la gamme de fréquences . peut être déterminé en utilisant

En définissant , où k est la constante de Boltzmann et h est la constante de Planck , et en substituant ( 4 ) dans ( 3 ),

cette définition est plus standard ; la contribution énergétique de tous les oscillateurs oscillant à la fréquence peut être trouvée. Les oscillateurs harmoniques quantiques peuvent avoir des énergies où et en utilisant les statistiques de Maxwell-Boltzmann , le nombre de particules avec de l'énergie est

La contribution énergétique des oscillateurs avec fréquence est alors

En notant que (car il existe des modes oscillant avec la fréquence ),

Ci-dessus, nous pouvons obtenir une expression pour 1/A ; en la remplaçant dans ( 6 ),

L'intégration par rapport à ν donne

La température d'un solide de Debye est dite basse si , conduisant à

Cette intégrale définie peut être évaluée exactement :

Dans la limite de basse température, les limitations du modèle de Debye mentionnées ci-dessus ne s'appliquent pas, et il donne une relation correcte entre la capacité thermique (phononique) , la température , les coefficients élastiques et le volume par atome (ces dernières quantités étant contenues dans la température de Debye).

La température d'un solide de Debye est dite élevée si . L'utilisation de si conduit à

qui après intégration donne

Il s'agit de la loi de Dulong-Petit , assez précise bien qu'elle ne tienne pas compte de l'anharmonicité , qui fait encore augmenter la capacité thermique . La capacité thermique totale du solide, s'il s'agit d'un conducteur ou d'un semi-conducteur , peut également contenir une contribution non négligeable des électrons.

Les modèles de Debye et d'Einstein correspondent étroitement aux données expérimentales, mais le modèle de Debye est correct à basse température alors que le modèle d'Einstein ne l'est pas. Pour visualiser la différence entre les modèles, on tracerait naturellement les deux sur le même ensemble d'axes, mais cela n'est pas immédiatement possible car les modèles d'Einstein et de Debye fournissent tous deux une forme fonctionnelle pour la capacité thermique. En tant que modèles, ils nécessitent des échelles pour les relier à leurs homologues du monde réel. On peut voir que l'échelle du modèle d'Einstein est donnée par :

L'échelle du modèle de Debye est , la température de Debye. Les deux sont généralement trouvées en ajustant les modèles aux données expérimentales. (La température de Debye peut théoriquement être calculée à partir de la vitesse du son et des dimensions du cristal.) Étant donné que les deux méthodes abordent le problème à partir de directions différentes et de géométries différentes, les échelles d'Einstein et de Debye ne sont pas les mêmes, c'est-à-dire

ce qui signifie que les représenter sur le même ensemble d'axes n'a aucun sens. Ce sont deux modèles de la même chose, mais d'échelles différentes. Si l'on définit la température de condensation d'Einstein comme

alors on peut dire

et, pour relier les deux, on utilise le ratio.

Le solide d'Einstein est composé d' oscillateurs harmoniques quantiques à fréquence unique , . Cette fréquence, si elle existait effectivement, serait liée à la vitesse du son dans le solide. Si l'on imagine la propagation du son comme une séquence d'atomes se heurtant les uns aux autres, alors la fréquence d'oscillation doit correspondre à la longueur d'onde minimale supportée par le réseau atomique, , où

ce qui fait la température d'Einstein et le rapport recherché est donc

En utilisant le rapport, les deux modèles peuvent être représentés sur le même graphique. Il s'agit de la racine cubique du rapport entre le volume d'un octant d'une sphère tridimensionnelle et le volume du cube qui le contient, ce qui est simplement le facteur de correction utilisé par Debye pour approximer l'intégrale énergétique ci-dessus. Alternativement, le rapport des deux températures peut être considéré comme le rapport entre la fréquence unique d'Einstein à laquelle tous les oscillateurs oscillent et la fréquence maximale de Debye. La fréquence unique d'Einstein peut alors être considérée comme une moyenne des fréquences disponibles pour le modèle de Debye.

Bien que le modèle de Debye ne soit pas complètement correct, il donne une bonne approximation de la capacité thermique à basse température des solides cristallins isolants où les autres contributions (comme les électrons de conduction hautement mobiles) sont négligeables. Pour les métaux, la contribution des électrons à la chaleur est proportionnelle à , qui à basse température domine le résultat de Debye pour les vibrations du réseau. Dans ce cas, on peut seulement dire que le modèle de Debye se rapproche de la contribution du réseau à la chaleur spécifique. Le tableau suivant répertorie les températures de Debye pour plusieurs éléments purs et le saphir :

L'ajustement du modèle de Debye aux données expérimentales est souvent amélioré phénoménologiquement en permettant à la température de Debye de devenir dépendante de la température ; par exemple, la valeur pour la glace augmente d'environ 222 K à 300 K lorsque la température passe du zéro absolu à environ 100 K.

Pour d'autres quasi-particules bosoniques , par exemple les magnons (ondes de spin quantifiées) dans les ferromagnétiques au lieu des phonons (ondes sonores quantifiées), on peut obtenir des résultats analogues. Dans ce cas, à basse fréquence, on a des relations de dispersion différentes de l'impulsion et de l'énergie, par exemple dans le cas des magnons, au lieu de pour les phonons (avec ). On a également une densité d'états différente (par exemple, ). En conséquence, dans les ferromagnétiques, on obtient une contribution des magnons à la capacité thermique, , qui domine à des températures suffisamment basses la contribution des phonons, . Dans les métaux, en revanche, la principale contribution à basse température à la capacité thermique, , provient des électrons. Elle est fermionique et est calculée par différentes méthodes remontant au modèle des électrons libres de Sommerfeld .

On a longtemps pensé que la théorie des phonons n'était pas en mesure d'expliquer la capacité thermique des liquides, puisque les liquides ne supportent que des phonons longitudinaux, mais pas des phonons transversaux, qui dans les solides sont responsables de 2/3 de la capacité thermique. Cependant, des expériences de diffusion Brillouin avec des neutrons et des rayons X , confirmant une intuition de Yakov Frenkel , ont montré que les phonons transversaux existent dans les liquides, bien que limités à des fréquences supérieures à un seuil appelé fréquence de Frenkel. Comme la majeure partie de l'énergie est contenue dans ces modes à haute fréquence, une simple modification du modèle de Debye suffit à donner une bonne approximation des capacités thermiques expérimentales des liquides simples. Plus récemment, il a été montré que les modes normaux instantanés associés aux relaxations des points de selle dans le paysage énergétique des liquides, qui dominent le spectre de fréquence des liquides à basse fréquence, peuvent déterminer la chaleur spécifique des liquides en fonction de la température sur une large plage.

La fréquence de Debye (symbole : ou ) est un paramètre du modèle de Debye qui fait référence à une fréquence angulaire de coupure pour les ondes d'une chaîne harmonique de masses, utilisée pour décrire le mouvement des ions dans un réseau cristallin et plus spécifiquement, pour prédire correctement que la capacité thermique dans ces cristaux est constante à haute température (loi de Dulong-Petit). Le concept a été introduit pour la première fois par Peter Debye en 1912.

Tout au long de cette section, des conditions limites périodiques sont supposées.

En supposant que la relation de dispersion est

avec la vitesse du son dans le cristal et k le vecteur d'onde, la valeur de la fréquence de Debye est la suivante :

Pour une chaîne monoatomique unidimensionnelle, la fréquence de Debye est égale à

avec comme distance entre deux atomes voisins dans la chaîne lorsque le système est dans son état fondamental d'énergie, ici aucun des atomes ne se déplace par rapport à un autre ; le nombre total d'atomes dans la chaîne ; la taille du système, qui est la longueur de la chaîne ; et la densité numérique linéaire . Pour , , et , la relation est vraie.

Pour un réseau carré monoatomique bidimensionnel, la fréquence de Debye est égale à

avec est la taille (aire) de la surface et la densité numérique de la surface .

Pour un cristal cubique primitif monoatomique tridimensionnel , la fréquence de Debye est égale à

avec la taille du système et la densité du volume .

La formule générale de la fréquence de Debye en fonction de , le nombre de dimensions pour un réseau (hyper)cubique est

avec étant la fonction gamma .

La vitesse du son dans le cristal dépend de la masse des atomes, de la force de leur interaction, de la pression exercée sur le système et de la polarisation de l'onde de spin (longitudinale ou transversale), entre autres. Dans ce qui suit, la vitesse du son est supposée être la même pour toute polarisation, bien que cela limite l'applicabilité du résultat.

La relation de dispersion supposée est facilement prouvée comme inexacte pour une chaîne de masses unidimensionnelle, mais dans le modèle de Debye, cela ne s'avère pas problématique.

La température de Debye , un autre paramètre du modèle de Debye, est liée à la fréquence de Debye par la relation où est la constante de Planck réduite et est la constante de Boltzmann .

Dans la dérivation de la capacité thermique de Debye , il additionne tous les modes possibles du système, en tenant compte des différentes directions et polarisations. Il a supposé que le nombre total de modes par polarisation était de , la quantité de masses dans le système et le total était de

avec trois polarisations par mode. La somme porte sur tous les modes sans distinction entre les différentes polarisations, puis compte le nombre total de combinaisons polarisation-mode. Debye a fait cette hypothèse en se basant sur une hypothèse de la mécanique classique selon laquelle le nombre de modes par polarisation dans une chaîne de masses doit toujours être égal au nombre de masses dans la chaîne.

Le côté gauche peut être explicité pour montrer comment il dépend de la fréquence de Debye, introduite d'abord comme fréquence de coupure au-delà de laquelle aucune fréquence n'existe. En reliant la fréquence de coupure au nombre maximal de modes, une expression de la fréquence de coupure peut être dérivée.

Tout d'abord, en supposant qu'il soit très grand ( ≫ 1, avec la taille du système dans l'une des trois directions), le plus petit vecteur d'onde dans n'importe quelle direction pourrait être approximé par : , avec . Des vecteurs d'onde plus petits ne peuvent pas exister en raison des conditions aux limites périodiques . Ainsi, la sommation deviendrait

où ; est la taille du système ; et l'intégrale est (comme la somme) sur tous les modes possibles, qui sont supposés être une région finie (délimitée par la fréquence de coupure).

L'intégrale triple pourrait être réécrite comme une intégrale simple sur toutes les valeurs possibles de la valeur absolue de (voir Jacobian pour les coordonnées sphériques ). Le résultat est

avec la valeur absolue du vecteur d'onde correspondant à la fréquence de Debye, donc .

Puisque la relation de dispersion est , elle peut s'écrire comme une intégrale sur tous les possibles :

Après avoir résolu l'intégrale, on l'assimile à nouveau pour trouver

Il peut être réorganisé en

La même dérivation pourrait être faite pour une chaîne d'atomes unidimensionnelle. Le nombre de modes reste inchangé, car il y a toujours trois polarisations, donc

Le reste de la dérivation est analogue au précédent, donc le côté gauche est réécrit par rapport à la fréquence de Debye :

La dernière étape est multipliée par deux car l'intégrande de la première intégrale est paire et les bornes de l'intégration sont symétriques par rapport à l'origine, donc l'intégrale peut être réécrite de 0 à après mise à l'échelle par un facteur de 2. Cela équivaut également à l'affirmation selon laquelle le volume d'une balle unidimensionnelle est le double de son rayon. En appliquant une modification une substitution de , nos bornes sont maintenant de 0 à , ce qui nous donne notre intégrale la plus à droite. Nous continuons ;

Conclusion:

La même dérivation pourrait être effectuée pour un cristal bidimensionnel. Le nombre de modes reste inchangé, car il y a toujours trois polarisations. La dérivation est analogue aux deux précédentes. Nous commençons par la même équation,

Et puis le côté gauche est réécrit et assimilé à

où est la taille du système.

Cela peut être réécrit comme

En réalité, les ondes longitudinales ont souvent une vitesse d'onde différente de celle des ondes transversales. Faire l'hypothèse que les vitesses sont égales simplifie le résultat final, mais réintroduire la distinction améliore la précision du résultat final.

La relation de dispersion devient , avec , chacun correspondant à l'une des trois polarisations. La fréquence de coupure , cependant, ne dépend pas de . Nous pouvons écrire le nombre total de modes comme , qui est à nouveau égal à . Ici, la somme sur les modes dépend maintenant de .

La sommation sur les modes est réécrite

Le résultat est

Ainsi la fréquence de Debye est trouvée

La vitesse effective calculée est la moyenne harmonique des vitesses pour chaque polarisation. En supposant que les deux polarisations transversales ont la même vitesse de phase et la même fréquence,

Le réglage récupère l'expression précédemment dérivée sous l'hypothèse que la vitesse est la même pour tous les modes de polarisation.

La même dérivation peut être effectuée pour un cristal bidimensionnel pour trouver

La vitesse effective calculée est la racine carrée de la moyenne harmonique des carrés des vitesses. En supposant que les deux polarisations transversales sont identiques,

Le réglage récupère l'expression précédemment dérivée sous l'hypothèse que la vitesse est la même pour tous les modes de polarisation.

La même dérivation peut être effectuée pour trouver un cristal tridimensionnel (la dérivation est analogue aux dérivations précédentes)

La vitesse effective calculée est la racine cubique de la moyenne harmonique des cubes des vitesses. En supposant que les deux polarisations transversales sont les mêmes,

Le réglage récupère l'expression précédemment dérivée sous l'hypothèse que la vitesse est la même pour tous les modes de polarisation.

Ce problème pourrait être rendu plus applicable en assouplissant l'hypothèse de linéarité de la relation de dispersion. Au lieu d'utiliser la relation de dispersion , une relation de dispersion plus précise peut être utilisée. En mécanique classique, on sait que pour une chaîne équidistante de masses qui interagissent de manière harmonique les unes avec les autres, la relation de dispersion est

avec étant la masse de chaque atome, la constante de ressort pour l' oscillateur harmonique , et étant toujours l'espacement entre les atomes dans l'état fondamental. Après avoir tracé cette relation, l'estimation de Debye de la longueur d'onde de coupure basée sur l'hypothèse linéaire reste précise, car pour chaque nombre d'onde supérieur à (c'est-à-dire, pour est inférieur à ), un nombre d'onde inférieur à pourrait être trouvé avec la même fréquence angulaire. Cela signifie que la manifestation physique résultante pour le mode avec le plus grand nombre d'onde est indiscernable de celle avec le plus petit nombre d'onde. Par conséquent, l'étude de la relation de dispersion peut être limitée à la première zone de Brillouin sans aucune perte de précision ou d'information. Cela est possible car le système est constitué de points discrétisés , comme le montre l'image animée. En divisant la relation de dispersion par et en insérant pour , nous trouvons la vitesse d'une onde avec

En insérant simplement dans la relation de dispersion d'origine, nous trouvons

En combinant ces résultats, le même résultat est à nouveau trouvé

Cependant, pour toute chaîne plus complexe, y compris les chaînes diatomiques, la fréquence de coupure et la longueur d'onde associées ne sont pas très précises, car la longueur d'onde de coupure est deux fois plus grande et la relation de dispersion consiste en des branches supplémentaires, deux au total pour une chaîne diatomique. Il n'est pas non plus certain, à partir de ce résultat, que pour les systèmes de plus grande dimension, la fréquence de coupure ait été prédite avec précision par Debye en tenant compte de la relation de dispersion plus précise.

Pour une chaîne unidimensionnelle, la formule de la fréquence de Debye peut également être reproduite à l'aide d'un théorème de description du repliement . Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon est utilisé pour cette dérivation, la principale différence étant que dans le cas d'une chaîne unidimensionnelle, la discrétisation ne se fait pas dans le temps, mais dans l'espace.

La fréquence de coupure peut être déterminée à partir de la longueur d'onde de coupure. Grâce au théorème d'échantillonnage, nous savons que pour les longueurs d'onde inférieures à , ou deux fois la distance d'échantillonnage, chaque mode est une répétition d'un mode de longueur d'onde supérieure à , donc la longueur d'onde de coupure devrait être à . Cela donne à nouveau , ce qui rend

Peu importe la relation de dispersion utilisée, car la même fréquence de coupure serait calculée.