Espace de probabilité

En théorie des probabilités , un espace de probabilités ou un triplet de probabilités est une construction mathématique qui fournit un modèle formel d'un processus aléatoire ou d'une « expérience ». Par exemple, on peut définir un espace de probabilités qui modélise le lancer d'un dé .

Un espace de probabilité se compose de trois éléments :

1. Un espace échantillon , , qui est l'ensemble de tous les résultats possibles .
2. Un espace d'événements , qui est un ensemble d' événements , un événement étant un ensemble de résultats dans l'espace d'échantillon.
3. Une fonction de probabilité , qui attribue, à chaque événement dans l'espace d'événements, une probabilité , qui est un nombre compris entre 0 et 1 (inclus).

Afin de fournir un modèle de probabilité, ces éléments doivent satisfaire les axiomes de probabilité .

Dans l'exemple du lancer d'un dé standard,

1. L'espace échantillon est généralement l'ensemble dans lequel chaque élément de l'ensemble est une étiquette qui représente le résultat de l'atterrissage du dé sur cette étiquette. Par exemple, représente le résultat de l'atterrissage du dé sur 1.
2. L'espace événementiel pourrait être l' ensemble de tous les sous-ensembles de l'espace échantillon, qui contiendrait alors des événements simples tels que (« le dé tombe sur 5 »), ainsi que des événements complexes tels que (« le dé tombe sur un nombre pair »).
3. La fonction de probabilité mapperait alors chaque événement au nombre de résultats de cet événement divisé par 6 – donc, par exemple, serait mappé à , et serait mappé à .

Lorsqu'une expérience est menée, elle produit exactement un résultat dans l'espace échantillon . Tous les événements de l'espace événementiel qui contiennent le résultat sélectionné sont dits « survenus ». La fonction de probabilité doit être définie de telle sorte que si l'expérience était répétée arbitrairement de nombreuses fois, le nombre d'occurrences de chaque événement en tant que fraction du nombre total d'expériences tendra très probablement vers la probabilité attribuée à cet événement.

Le mathématicien soviétique Andreï Kolmogorov a introduit la notion d'espace de probabilités et les axiomes de probabilité dans les années 1930. Dans la théorie moderne des probabilités, il existe des approches alternatives pour l'axiomatisation, telles que l' algèbre des variables aléatoires .

Un espace de probabilité est un triplet mathématique qui présente un modèle pour une classe particulière de situations du monde réel. Comme pour d'autres modèles, son auteur définit en fin de compte quels éléments , et contiendront.

• L' espace échantillon est l'ensemble de tous les résultats possibles. Un résultat est le résultat d'une seule exécution du modèle. Les résultats peuvent être des états de la nature, des possibilités, des résultats expérimentaux, etc. Chaque instance de la situation du monde réel (ou exécution de l'expérience) doit produire exactement un résultat. Si les résultats des différentes exécutions d'une expérience diffèrent d'une manière qui importe, ce sont des résultats distincts. Les différences qui comptent dépendent du type d'analyse que nous voulons effectuer. Cela conduit à des choix différents d'espace échantillon.
• L' algèbre σ est une collection de tous les événements que nous souhaitons prendre en compte. Cette collection peut inclure ou non chacun des événements élémentaires . Ici, un « événement » est un ensemble de zéro ou plusieurs résultats, c'est-à-dire un sous-ensemble de l'espace échantillon. Un événement est considéré comme s'étant « produit » au cours d'une expérience lorsque le résultat de ce dernier est un élément de l'événement. Étant donné qu'un même résultat peut être un élément de plusieurs événements, il est possible que plusieurs événements se soient produits à partir d'un seul résultat. Par exemple, lorsque l'essai consiste à lancer deux dés, l'ensemble de tous les résultats avec une somme de 7 pips peut constituer un événement, tandis que les résultats avec un nombre impair de pips peuvent constituer un autre événement. Si le résultat est l'élément de l'événement élémentaire de deux pips sur le premier dé et de cinq sur le second, alors les deux événements, « 7 pips » et « nombre impair de pips », sont dits s'être produits.
• La mesure de probabilité est une fonction d'ensemble renvoyant la probabilité d'un événement . Une probabilité est un nombre réel compris entre zéro (les événements impossibles ont une probabilité nulle, bien que les événements de probabilité nulle ne soient pas nécessairement impossibles) et un (l'événement se produit presque sûrement , avec une certitude presque totale). Ainsi, est une fonction La fonction de mesure de probabilité doit satisfaire deux exigences simples : Premièrement, la probabilité d'une union dénombrable d'événements mutuellement exclusifs doit être égale à la somme dénombrable des probabilités de chacun de ces événements. Par exemple, la probabilité de l'union des événements mutuellement exclusifs et dans l'expérience aléatoire d'un tirage au sort, , est la somme de la probabilité pour et de la probabilité pour , . Deuxièmement, la probabilité de l'espace d'échantillon doit être égale à 1 (ce qui tient compte du fait que, étant donné une exécution du modèle, un résultat doit se produire). Dans l'exemple précédent, la probabilité de l'ensemble des résultats doit être égale à un, car il est entièrement certain que le résultat sera soit ou (le modèle néglige toute autre possibilité) dans un seul tirage au sort.

Tous les sous-ensembles de l'espace échantillon ne doivent pas nécessairement être considérés comme des événements : certains sous-ensembles ne présentent tout simplement aucun intérêt, d'autres ne peuvent pas être « mesurés » . Cela n'est pas si évident dans un cas comme celui d'un tirage au sort. Dans un autre exemple, on pourrait considérer les longueurs de lancer de javelot, où les événements sont généralement des intervalles comme « entre 60 et 65 mètres » et des unions de tels intervalles, mais pas des ensembles comme les « nombres irrationnels entre 60 et 65 mètres ».

En bref, un espace de probabilité est un espace de mesure tel que la mesure de l’espace entier soit égale à un.

La définition élargie est la suivante : un espace de probabilité est un triplet constitué de :

• l' espace échantillon – un ensemble arbitraire non vide ,
• l' σ-algèbre (également appelée σ-corps) – un ensemble de sous-ensembles de , appelés événements , tels que :
  • • Le corollaire des deux propriétés précédentes et de la loi de De Morgan est que est également fermé sous des intersections dénombrables : si pour , alors aussi
• la mesure de probabilité – une fonction telle que :
  • P est dénombrable additif (également appelé σ-additif) : si est une collection dénombrable d' ensembles deux à deux disjoints , alors
  • la mesure de l'espace échantillon entier est égale à un : .

La théorie des probabilités discrètes n'a besoin que d'espaces d'échantillons dénombrables au maximum . Les probabilités peuvent être attribuées à des points de par la fonction de masse de probabilité telle que . Tous les sous-ensembles de peuvent être traités comme des événements (donc, est l' ensemble de puissance ). La mesure de probabilité prend la forme simple

La plus grande σ-algèbre décrit l'information complète. En général, une σ-algèbre correspond à une partition finie ou dénombrable , la forme générale d'un événement étant . Voir aussi les exemples.

Ce cas est autorisé par la définition, mais rarement utilisé, car il peut être exclu en toute sécurité de l'espace échantillon.

Si Ω est indénombrable , il peut néanmoins arriver que P ( ω )≠0 pour certains ω ; de tels ω sont appelés atomes . Il s'agit d'un ensemble au plus dénombrable (peut-être vide ), dont la probabilité est la somme des probabilités de tous les atomes. Si cette somme est égale à 1, alors tous les autres points peuvent être exclus sans risque de l'espace échantillon, ce qui nous ramène au cas discret. Sinon, si la somme des probabilités de tous les atomes est comprise entre 0 et 1, alors l'espace des probabilités se décompose en une partie discrète (atomique) (peut-être vide) et une partie non atomique .

Si P ( ω ) = 0 pour tout ω ∈ Ω (dans ce cas, Ω doit être indénombrable, car sinon P(Ω) = 1 ne pourrait pas être satisfait), alors l'équation ( ⁎ ) échoue : la probabilité d'un ensemble n'est pas nécessairement la somme des probabilités de ses éléments, car la sommation n'est définie que pour un nombre dénombrable d'éléments. Cela rend la théorie de l'espace des probabilités beaucoup plus technique. Une formulation plus forte que la sommation, la théorie de la mesure, est applicable. Dans un premier temps les probabilités sont attribuées à des ensembles "générateurs" (voir les exemples). Ensuite une procédure de limitation permet d'attribuer des probabilités à des ensembles qui sont des limites de suites d'ensembles générateurs, ou des limites de limites, et ainsi de suite. Tous ces ensembles sont la σ-algèbre . Pour les détails techniques voir le théorème d'extension de Carathéodory . Les ensembles appartenant à sont dits mesurables . En général ils sont beaucoup plus compliqués que les ensembles générateurs, mais bien meilleurs que les ensembles non mesurables .

On dit qu'un espace de probabilités est complet si pour tout avec et tout on possède . Souvent, l'étude des espaces de probabilités se limite aux espaces de probabilités complets.

Si l'expérience consiste simplement à lancer une pièce de monnaie , le résultat est soit pile, soit face : . L'algèbre σ contient des événements, à savoir : (« pile »), (« ni pile ni face ») et (« pile ou face ») ; en d'autres termes, . Il y a cinquante pour cent de chances d'obtenir pile et cinquante pour cent de chances d'obtenir face, donc la mesure de probabilité dans cet exemple est , , , .

La pièce de monnaie est lancée trois fois. Il y a 8 résultats possibles : Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (ici « HTH » par exemple signifie que la première fois la pièce est tombée sur pile, la deuxième fois sur pile et la dernière fois sur face). L'information complète est décrite par l'algèbre σ de 2 ⁸ = 256 événements, où chacun des événements est un sous-ensemble de Ω.

Alice ne connaît que le résultat du deuxième lancer. Ainsi, ses informations incomplètes sont décrites par la partition Ω = A ₁ ⊔ A ₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT} , où ⊔ est l' union disjointe , et la σ-algèbre correspondante . Bryan ne connaît que le nombre total de queues. Sa partition contient quatre parties : Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ B ₂ ⊔ B ₃ = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT} ; en conséquence, sa σ-algèbre contient 2 ⁴ = 16 événements.

Les deux σ-algèbres sont incomparables : ni l'une ni l'autre ; toutes deux sont des sous-σ-algèbres de 2 ^Ω .

Si l'on doit tirer au sort 100 électeurs parmi tous les électeurs de Californie et leur demander pour qui ils voteront, alors l'ensemble de toutes les séquences de 100 électeurs californiens serait l'espace d'échantillonnage Ω. Nous supposons que l'échantillonnage sans remise est utilisé : seules les séquences de 100 électeurs différents sont autorisées. Pour simplifier, un échantillon ordonné est considéré, c'est-à-dire une séquence (Alice, Bryan) différente de (Bryan, Alice). Nous tenons également pour acquis que chaque électeur potentiel connaît exactement son choix futur, c'est-à-dire qu'il ne choisit pas au hasard.

Alice sait seulement si Arnold Schwarzenegger a reçu au moins 60 votes. Ses informations incomplètes sont décrites par l'algèbre σ qui contient : (1) l'ensemble de toutes les séquences dans Ω où au moins 60 personnes votent pour Schwarzenegger ; (2) l'ensemble de toutes les séquences où moins de 60 personnes votent pour Schwarzenegger ; (3) l'espace d'échantillons entier Ω ; et (4) l'ensemble vide ∅.

Bryan connaît le nombre exact d'électeurs qui vont voter pour Schwarzenegger. Son information incomplète est décrite par la partition correspondante Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ ⋯ ⊔ B ₁₀₀ et la σ-algèbre est constituée de 2 ¹⁰¹ événements.

Dans ce cas, l'algèbre σ d'Alice est un sous-ensemble de celle de Bryan : . L'algèbre σ de Bryan est à son tour un sous-ensemble de l'algèbre σ « d'information complète » beaucoup plus grande 2 ^Ω composée de 2 ^{n ( n −1)⋯( n −99)} événements, où n est le nombre total d'électeurs potentiels en Californie.

On choisit au hasard, uniformément, un nombre compris entre 0 et 1. Ici Ω = [0,1], est la σ-algèbre des ensembles boréliens sur Ω, et P est la mesure de Lebesgue sur [0,1].

Dans ce cas, les intervalles ouverts de la forme ( a , b ) , où 0 < a < b < 1 , pourraient être pris comme ensembles générateurs. À chacun de ces ensembles peut être attribuée la probabilité de P (( a , b )) = ( b − a ) , qui génère la mesure de Lebesgue sur [0,1], et la σ-algèbre de Borel sur Ω.

On lance une pièce de monnaie sans fin. On peut ici prendre Ω = {0,1} ^∞ , l'ensemble de toutes les suites infinies de nombres 0 et 1. On peut utiliser comme ensembles générateurs des ensembles de cylindres {( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ Ω : x ₁ = a ₁ , ..., x _n = a _n } . Chacun de ces ensembles décrit un événement dans lequel les n premiers lancers ont donné lieu à une suite fixe ( a ₁ , ..., a _n ) , et le reste de la suite peut être arbitraire. On peut naturellement donner à chacun de ces événements la probabilité de 2 ^{− n} .

Ces deux exemples non atomiques sont étroitement liés : une suite ( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ {0,1} ^∞ conduit au nombre 2 ⁻¹ x ₁ + 2 ⁻² x ₂ + ⋯ ∈ [0,1] . Il ne s'agit cependant pas d'une correspondance bijective entre {0,1} ^∞ et [0,1] : il s'agit d'un isomorphisme modulo zéro , qui permet de traiter les deux espaces de probabilité comme deux formes d'un même espace de probabilité. En fait, tous les espaces de probabilité non atomiques non pathologiques sont identiques en ce sens. Ce sont des espaces de probabilité dits standards . Les applications de base des espaces de probabilité sont insensibles à la standardisation. Cependant, le conditionnement non discret est facile et naturel sur les espaces de probabilité standards, sinon il devient obscur.

Une variable aléatoire X est une fonction mesurable X : Ω → S de l'espace échantillon Ω vers un autre espace mesurable S appelé espace d'état .

Si A ⊂ S , la notation Pr( X ∈ A ) est une abréviation couramment utilisée pour .

Si Ω est dénombrable , on le définit presque toujours comme l' ensemble des puissances de Ω, c'est-à-dire qui est trivialement une σ-algèbre et la plus grande que l'on puisse créer en utilisant Ω. On peut donc omettre et simplement écrire (Ω,P) pour définir l'espace de probabilité.

Par contre, si Ω est indénombrable et que nous utilisons Ω , nous aurons du mal à définir notre mesure de probabilité P car elle est trop « grande », c'est-à-dire qu'il y aura souvent des ensembles auxquels il sera impossible d'attribuer une mesure unique. Dans ce cas, nous devons utiliser une σ-algèbre plus petite , par exemple l' algèbre de Borel de Ω, qui est la plus petite σ-algèbre qui rende tous les ouverts mesurables.

La définition des espaces de probabilité de Kolmogorov donne naissance au concept naturel de probabilité conditionnelle. Tout ensemble A ayant une probabilité non nulle (c'est-à-dire P ( A )>0 ) définit une autre mesure de probabilité sur l'espace. On prononce généralement cette expression comme la « probabilité de B étant donné A ».

Pour tout événement A tel que P ( A ) > 0 , la fonction Q définie par Q ( B ) = P ( B | A ) pour tout événement B est elle-même une mesure de probabilité.

Deux événements, A et B sont dits indépendants si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) .

Deux variables aléatoires, X et Y , sont dites indépendantes si tout événement défini en termes de X est indépendant de tout événement défini en termes de Y . Formellement, elles génèrent des σ-algèbres indépendantes, où deux σ-algèbres G et H , qui sont des sous-ensembles de F , sont dites indépendantes si tout élément de G est indépendant de tout élément de H .

Deux événements, A et B, sont dits mutuellement exclusifs ou disjoints si l'occurrence de l'un implique la non-occurrence de l'autre, c'est-à-dire que leur intersection est vide. Il s'agit d'une condition plus forte que la probabilité que leur intersection soit nulle.

Si A et B sont des événements disjoints, alors P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . Cela s'étend à une séquence (finie ou dénombrable infinie) d'événements. Cependant, la probabilité de l'union d'un ensemble indénombrable d'événements n'est pas la somme de leurs probabilités. Par exemple, si Z est une variable aléatoire normalement distribuée , alors P ( Z = x ) est 0 pour tout x , mais P ( Z ∈ R ) = 1 .

L'événement A ∩ B est appelé « A et B », et l'événement A ∪ B « A ou B ».