Ensemble vide

En mathématiques , l' ensemble vide ou ensemble vide est l'unique ensemble ne comportant aucun élément ; sa taille ou cardinalité (nombre d'éléments dans un ensemble) est nulle . Certaines théories axiomatiques des ensembles garantissent l'existence de l'ensemble vide en incluant un axiome d'ensemble vide , tandis que dans d'autres théories, son existence peut être déduite. De nombreuses propriétés possibles des ensembles sont vainement vraies pour l'ensemble vide.

Tout ensemble autre que l’ensemble vide est dit non vide.

Dans certains manuels et ouvrages de vulgarisation, l'ensemble vide est appelé « ensemble nul ». Cependant, l' ensemble nul est une notion distincte dans le contexte de la théorie de la mesure , dans laquelle il décrit un ensemble de mesure zéro (qui n'est pas nécessairement vide).

Les notations courantes pour l'ensemble vide incluent « { } », « » et « ∅ ». Ces deux derniers symboles ont été introduits par le groupe Bourbaki (plus précisément André Weil ) en 1939, inspirés par la lettre Ø ( U+00D8 Ø LETTRE MAJUSCULE LATINE O BARRÉ ) dans les alphabets danois et norvégien . Dans le passé, « 0 » (le chiffre zéro ) était parfois utilisé comme symbole pour l'ensemble vide, mais cela est maintenant considéré comme une utilisation impropre de la notation.

Le symbole ∅ est disponible au point Unicode U+2205 ∅ EMPTY SET . Il peut être codé en HTML comme et comme ou comme . Il peut être codé en LaTeX comme . Le symbole est codé en LaTeX comme . ∅∅∅\varnothing\emptyset

Lors de l'écriture dans des langues telles que le danois et le norvégien, où le caractère d'ensemble vide peut être confondu avec la lettre alphabétique Ø (comme lors de l'utilisation du symbole en linguistique), le caractère Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ peut être utilisé à la place.

Dans la théorie axiomatique standard des ensembles , selon le principe d'extensionnalité , deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments (c'est-à-dire qu'aucun des deux n'a d'élément qui ne soit pas dans l'autre). Par conséquent, il ne peut y avoir qu'un seul ensemble sans éléments, d'où l'utilisation de « l'ensemble vide » plutôt que « un ensemble vide ».

Le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même ; de manière équivalente, l' ensemble des puissances de l'ensemble vide est l'ensemble contenant uniquement l'ensemble vide. Le nombre d'éléments de l'ensemble vide (c'est-à-dire sa cardinalité ) est nul. L'ensemble vide est le seul ensemble possédant l'une ou l'autre de ces propriétés.

Pour tout ensemble A :

• L'ensemble vide est un sous-ensemble de A
• L' union de A avec l'ensemble vide est A
• L' intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide
• Le produit cartésien de A et de l'ensemble vide est l'ensemble vide

Pour toute propriété P :

• Pour tout élément de , la propriété P est vérifiée ( vérité vide ).
• Il n'y a aucun élément de pour lequel la propriété P soit vérifiée.

Inversement, si pour une propriété P et un ensemble V , les deux affirmations suivantes sont vraies :

• Pour chaque élément de V, la propriété P est vraie
• Il n'y a aucun élément de V pour lequel la propriété P est vraie

alors

Par définition de sous-ensemble , l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble A. Autrement dit, tout élément x de appartient à A. En effet, s'il n'était pas vrai que tout élément de est dans A , alors il y aurait au moins un élément de qui ne soit pas présent dans A. Puisqu'il n'y a aucun élément de du tout, il n'y a aucun élément de qui ne soit pas dans A. Toute déclaration qui commence par « pour tout élément de » n'est pas une affirmation de fond ; c'est une vérité creuse . Cela est souvent paraphrasé comme « tout est vrai des éléments de l'ensemble vide ».

Dans la définition habituelle de la théorie des ensembles des nombres naturels , zéro est modélisé par l'ensemble vide.

Lorsque l'on parle de la somme des éléments d'un ensemble fini, on est inévitablement amené à la convention selon laquelle la somme des éléments de l'ensemble vide (la somme vide ) est nulle. La raison en est que zéro est l' élément neutre pour l'addition. De même, le produit des éléments de l'ensemble vide (le produit vide ) doit être considéré comme égal à un , puisque un est l'élément neutre pour la multiplication.

Un dérangement est une permutation d'un ensemble sans points fixes . L'ensemble vide peut être considéré comme un dérangement de lui-même, car il n'a qu'une seule permutation ( ), et il est vide de sens qu'aucun élément (de l'ensemble vide) ne peut être trouvé qui conserve sa position d'origine.

Puisque l'ensemble vide n'a aucun membre lorsqu'il est considéré comme un sous-ensemble d'un ensemble ordonné , chaque membre de cet ensemble sera une borne supérieure et une borne inférieure pour l'ensemble vide. Par exemple, lorsqu'il est considéré comme un sous-ensemble des nombres réels, avec son ordre habituel, représenté par la droite des nombres réels , chaque nombre réel est à la fois une borne supérieure et une borne inférieure pour l'ensemble vide. Lorsqu'il est considéré comme un sous-ensemble des nombres réels étendus formé en ajoutant deux « nombres » ou « points » aux nombres réels (à savoir l'infini négatif , noté qui est défini comme étant inférieur à tout autre nombre réel étendu, et l'infini positif , noté qui est défini comme étant supérieur à tout autre nombre réel étendu), nous avons que : et

Autrement dit, la plus petite borne supérieure (sup ou supremum ) de l'ensemble vide est l'infini négatif, tandis que la plus grande borne inférieure (inf ou infimum ) est l'infini positif. Par analogie avec ce qui précède, dans le domaine des réels étendus, l'infini négatif est l'élément d'identité pour les opérateurs maximum et supremum, tandis que l'infini positif est l'élément d'identité pour les opérateurs minimum et infimum.

Dans tout espace topologique X , l'ensemble vide est ouvert par définition, comme l'est X . Comme le complémentaire d'un ensemble ouvert est fermé et que l'ensemble vide et X sont complémentaires l'un de l'autre, l'ensemble vide est également fermé, ce qui en fait un ensemble clopen . De plus, l'ensemble vide est compact du fait que tout ensemble fini est compact.

La fermeture de l'ensemble vide est vide. C'est ce qu'on appelle la « préservation des unions nulles ».

Si est un ensemble, alors il existe exactement une fonction de vers la fonction vide . Par conséquent, l'ensemble vide est l'unique objet initial de la catégorie des ensembles et des fonctions.

L'ensemble vide peut être transformé en un espace topologique , appelé espace vide, d'une seule manière : en définissant l'ensemble vide comme étant ouvert . Cet espace topologique vide est l'unique objet initial dans la catégorie des espaces topologiques à applications continues . En fait, il s'agit d'un objet initial strict : seul l'ensemble vide a une fonction sur l'ensemble vide.

Dans la construction de von Neumann des ordinaux , 0 est défini comme l'ensemble vide et le successeur d'un ordinal est défini comme . Ainsi, nous avons , , , et ainsi de suite. La construction de von Neumann, ainsi que l' axiome de l'infini , qui garantit l'existence d'au moins un ensemble infini, peuvent être utilisés pour construire l'ensemble des nombres naturels, , tels que les axiomes de Peano de l'arithmétique soient satisfaits.

Dans le contexte des ensembles de nombres réels, Cantor avait l'habitude de désigner « ne contient aucun point unique ». Cette notation était utilisée dans les définitions ; par exemple, Cantor définissait deux ensembles comme étant disjoints si leur intersection avait une absence de points ; cependant, il est discutable de savoir si Cantor le considérait comme un ensemble existant en soi, ou si Cantor l'utilisait simplement comme un prédicat de vide. Zermelo s'acceptait comme un ensemble, mais le considérait comme un « ensemble impropre ».

Dans la théorie des ensembles de Zermelo , l'existence de l'ensemble vide est assurée par l' axiome d'ensemble vide , et son unicité résulte de l' axiome d'extensionnalité . Cependant, l'axiome d'ensemble vide peut être montré redondant d'au moins deux manières :

• La logique standard du premier ordre implique, simplement à partir des axiomes logiques , que quelque chose existe, et dans le langage de la théorie des ensembles, cette chose doit être un ensemble. Or, l'existence de l'ensemble vide découle facilement de l' axiome de séparation .
• Même en utilisant la logique libre (qui n'implique pas logiquement que quelque chose existe), il existe déjà un axiome impliquant l'existence d'au moins un ensemble, à savoir l' axiome de l'infini .

Bien que l'ensemble vide soit un concept mathématique standard et largement accepté, il reste une curiosité ontologique , dont la signification et l'utilité sont débattues par les philosophes et les logiciens.

L'ensemble vide n'est pas la même chose que rien ; c'est plutôt un ensemble qui ne contient rien et un ensemble est toujours quelque chose . Ce problème peut être surmonté en considérant un ensemble comme un sac – un sac vide existe sans aucun doute toujours. Darling (2004) explique que l'ensemble vide n'est pas rien, mais plutôt « l'ensemble de tous les triangles à quatre côtés, l'ensemble de tous les nombres qui sont plus grands que neuf mais plus petits que huit, et l'ensemble de tous les coups d'ouverture aux échecs qui impliquent un roi ».

Le syllogisme populaire

Rien n'est meilleur que le bonheur éternel ; un sandwich au jambon est meilleur que rien ; par conséquent, un sandwich au jambon est meilleur que le bonheur éternel

est souvent utilisé pour démontrer la relation philosophique entre le concept de rien et l'ensemble vide. Darling écrit que le contraste peut être vu en réécrivant les affirmations « Rien n'est meilleur que le bonheur éternel » et « [Un] sandwich au jambon est meilleur que rien » sur un ton mathématique. Selon Darling, le premier est équivalent à « L'ensemble de toutes les choses qui sont meilleures que le bonheur éternel est » et le second à « L'ensemble {sandwich au jambon} est meilleur que l'ensemble ». Le premier compare les éléments d'ensembles, tandis que le second compare les ensembles eux-mêmes.

Jonathan Lowe soutient que si l'ensemble vide

a sans aucun doute constitué une étape importante dans l’histoire des mathématiques, … nous ne devrions pas supposer que son utilité dans le calcul dépend du fait qu’il désigne réellement un objet.

il est également vrai que :

« Tout ce que l'on nous dit à propos de l'ensemble vide, c'est qu'il (1) est un ensemble, (2) n'a pas de membres, et (3) est unique parmi les ensembles en n'ayant pas de membres. Cependant, il y a de très nombreuses choses qui « n'ont pas de membres », au sens de la théorie des ensembles, à savoir tous les non-ensembles. Il est parfaitement clair pourquoi ces choses n'ont pas de membres, car ce ne sont pas des ensembles. Ce qui n'est pas clair, c'est comment il peut y avoir, de manière unique parmi les ensembles, un ensemble qui n'a pas de membres. Nous ne pouvons pas faire exister une telle entité par simple stipulation. »

George Boolos a soutenu qu'une grande partie de ce qui a été obtenu jusqu'à présent par la théorie des ensembles peut tout aussi facilement être obtenu par quantification plurielle sur des individus, sans réifier les ensembles en tant qu'entités singulières ayant d'autres entités comme membres.