La fonction de Green

En mathématiques , une fonction de Green (ou fonction de Green ) est la réponse impulsionnelle d'un opérateur différentiel linéaire inhomogène défini sur un domaine avec des conditions initiales ou des conditions aux limites spécifiées.

Cela signifie que si est un opérateur différentiel linéaire, alors

• la fonction de Green est la solution de l'équation , où est la fonction delta de Dirac ;
• la solution du problème de valeur initiale est la convolution ( ).

Grâce au principe de superposition , étant donnée une équation différentielle ordinaire (EDO) linéaire , on peut d'abord résoudre , pour chaque s , et en réalisant que, puisque la source est une somme de fonctions delta , la solution est également une somme de fonctions de Green, par linéarité de L .

Les fonctions de Green doivent leur nom au mathématicien britannique George Green , qui a développé le concept pour la première fois dans les années 1820. Dans l'étude moderne des équations aux dérivées partielles linéaires , les fonctions de Green sont plutôt étudiées du point de vue des solutions fondamentales .

Dans la théorie à plusieurs corps , le terme est également utilisé en physique , notamment en théorie quantique des champs , en aérodynamique , en aéroacoustique , en électrodynamique , en sismologie et en théorie statistique des champs , pour désigner divers types de fonctions de corrélation , même celles qui ne correspondent pas à la définition mathématique. Dans la théorie quantique des champs, les fonctions de Green jouent le rôle de propagateurs .

Une fonction de Green, G ( x , s ) , d'un opérateur différentiel linéaire L = L ( x ) agissant sur des distributions sur un sous-ensemble de l' espace euclidien , en un point s , est toute solution de

où δ est la fonction delta de Dirac . Cette propriété d'une fonction de Green peut être exploitée pour résoudre des équations différentielles de la forme

Si le noyau de L n'est pas trivial, alors la fonction de Green n'est pas unique. Cependant, en pratique, une combinaison de symétrie , de conditions aux limites et/ou d'autres critères imposés de l'extérieur donnera une fonction de Green unique. Les fonctions de Green peuvent être classées, selon le type de conditions aux limites satisfaites, par un numéro de fonction de Green . De plus, les fonctions de Green sont en général des distributions , pas nécessairement des fonctions d'une variable réelle.

Les fonctions de Green sont également des outils utiles pour résoudre les équations d'ondes et les équations de diffusion . En mécanique quantique , la fonction de Green de l' hamiltonien est un concept clé ayant des liens importants avec le concept de densité d'états .

La fonction de Green telle qu'elle est utilisée en physique est généralement définie avec le signe opposé. En d'autres termes, cette définition ne modifie pas de manière significative les propriétés de la fonction de Green en raison de la régularité de la fonction delta de Dirac.

Si l'opérateur est invariant par translation , c'est-à-dire lorsqu'il a des coefficients constants par rapport à x , alors la fonction de Green peut être considérée comme un noyau de convolution , c'est-à-dire. Dans ce cas, la fonction de Green est la même que la réponse impulsionnelle de la théorie des systèmes linéaires invariants dans le temps .

En gros, si une telle fonction G peut être trouvée pour l'opérateur L , alors, si nous multiplions l'équation 1 de la fonction de Green par f ( s ) , puis intégrons par rapport à s , nous obtenons, Parce que l'opérateur est linéaire et agit uniquement sur la variable x (et non sur la variable d'intégration s ), on peut prendre l'opérateur en dehors de l'intégration, ce qui donne Cela signifie que

est une solution à l'équation

Ainsi, on peut obtenir la fonction u ( x ) grâce à la connaissance de la fonction de Green dans l'équation 1 et du terme source du membre de droite dans l'équation 2. Ce processus repose sur la linéarité de l'opérateur L .

En d'autres termes, la solution de l'équation 2 , u ( x ) , peut être déterminée par l'intégration donnée dans l'équation 3 . Bien que f ( x ) soit connue, cette intégration ne peut être effectuée que si G est également connu. Le problème consiste maintenant à trouver la fonction de Green G qui satisfait l'équation 1 . Pour cette raison, la fonction de Green est aussi parfois appelée la solution fondamentale associée à l'opérateur L .

Tous les opérateurs n'admettent pas de fonction de Green. Une fonction de Green peut également être considérée comme une inverse à droite de L . Outre les difficultés de trouver une fonction de Green pour un opérateur particulier, l'intégrale de l'équation 3 peut être assez difficile à évaluer. Cependant, la méthode donne un résultat théoriquement exact.

Cela peut être considéré comme un développement de f selon une base de fonction delta de Dirac (projetant f sur ; et une superposition de la solution sur chaque projection . Une telle équation intégrale est connue sous le nom d' équation intégrale de Fredholm , dont l'étude constitue la théorie de Fredholm .

L'utilisation principale des fonctions de Green en mathématiques est la résolution de problèmes aux limites non homogènes . En physique théorique moderne , les fonctions de Green sont également généralement utilisées comme propagateurs dans les diagrammes de Feynman ; le terme fonction de Green est souvent utilisé pour toute fonction de corrélation .

Soit l' opérateur de Sturm–Liouville , un opérateur différentiel linéaire de la forme et soit l' opérateur de conditions aux limites à valeurs vectorielles

Soit une fonction continue dans . Supposons en outre que le problème soit « régulier », c'est-à-dire que la seule solution pour pour tout x soit .

Il existe une et une seule solution qui satisfait et elle est donnée par où est une fonction de Green satisfaisant les conditions suivantes :

2. Pour , .
3. Pour , .
4. Dérivé « saut » : .
5. Symétrie : .

La fonction de Green n'est pas nécessairement unique puisque l'addition d'une solution de l'équation homogène à une fonction de Green donne une autre fonction de Green. Par conséquent, si l'équation homogène a des solutions non triviales, il existe plusieurs fonctions de Green. Dans certains cas, il est possible de trouver une fonction de Green qui n'est nulle que pour , appelée fonction de Green retardée, et une autre fonction de Green qui n'est nulle que pour , appelée fonction de Green avancée. Dans de tels cas, toute combinaison linéaire des deux fonctions de Green est également une fonction de Green valide. La terminologie avancée et retardée est particulièrement utile lorsque la variable x correspond au temps. Dans de tels cas, la solution fournie par l'utilisation de la fonction de Green retardée ne dépend que des sources passées et est causale tandis que la solution fournie par l'utilisation de la fonction de Green avancée ne dépend que des sources futures et est acausale. Dans ces problèmes, il arrive souvent que la solution causale soit celle qui est physiquement importante. L'utilisation de la fonction de Green avancée et retardée est particulièrement courante pour l'analyse des solutions de l' équation des ondes électromagnétiques inhomogènes .

Bien qu'elle ne fixe pas de manière unique la forme que prendra la fonction de Green, effectuer une analyse dimensionnelle pour trouver les unités que doit avoir une fonction de Green est un contrôle de cohérence important sur toute fonction de Green trouvée par d'autres moyens. Un examen rapide de l'équation de définition montre que les unités de dépendent non seulement des unités de mais aussi du nombre et des unités de l'espace dont les vecteurs de position et sont des éléments. Cela conduit à la relation : où est défini comme « les unités physiques de » , et est l' élément de volume de l'espace (ou espace-temps ).

Par exemple, si et le temps est la seule variable alors : Si , l' opérateur d'Alembert et l'espace ont 3 dimensions alors :

Si un opérateur différentiel L admet un ensemble de vecteurs propres Ψ _n ( x ) (c'est-à-dire un ensemble de fonctions Ψ _n et de scalaires λ _n tels que L Ψ _n = λ _n Ψ _n  ) qui est complet, alors il est possible de construire une fonction de Green à partir de ces vecteurs propres et de ces valeurs propres .

« Complet » signifie que l'ensemble des fonctions {Ψ _n } satisfait la relation de complétude suivante ,

Alors ce qui suit est vrai,

où représente une conjugaison complexe.

L’application de l’opérateur L à chaque côté de cette équation donne la relation de complétude qui a été supposée.

L'étude générale de la fonction de Green écrite sous la forme ci-dessus, et sa relation avec les espaces de fonctions formés par les vecteurs propres, est connue sous le nom de théorie de Fredholm .

Il existe plusieurs autres méthodes pour trouver les fonctions de Green, notamment la méthode des images , la séparation des variables et les transformées de Laplace .

Si l'opérateur différentiel peut être factorisé comme alors la fonction de Green de peut être construite à partir des fonctions de Green pour et : L'identité ci-dessus découle immédiatement du fait de prendre pour être la représentation de l'opérateur de droite inverse de , analogue à la façon dont pour l' opérateur linéaire inversible , défini par , est représenté par ses éléments de matrice .

Une autre identité suit pour les opérateurs différentiels qui sont des polynômes scalaires de la dérivée, . Le théorème fondamental de l'algèbre , combiné au fait que commute avec lui-même , garantit que le polynôme peut être factorisé, en le mettant sous la forme : où sont les zéros de . En prenant la transformée de Fourier de par rapport à et donne : La fraction peut ensuite être divisée en une somme en utilisant une décomposition en fractions partielles avant la transformation de Fourier de retour à et l'espace. Ce processus donne des identités qui relient les intégrales des fonctions de Green et les sommes de celles-ci. Par exemple, si alors une forme pour sa fonction de Green est : Bien que l'exemple présenté soit exploitable analytiquement, il illustre un processus qui fonctionne lorsque l'intégrale n'est pas triviale (par exemple, lorsque est l'opérateur dans le polynôme).

Le tableau suivant donne un aperçu des fonctions de Green des opérateurs différentiels fréquemment utilisés, où , , est la fonction échelon de Heaviside , est une fonction de Bessel , est une fonction de Bessel modifiée de première espèce et est une fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce . Lorsque le temps ( t ) apparaît dans la première colonne, la fonction de Green retardée (causale) est répertoriée.

Les fonctions de Green pour les opérateurs différentiels linéaires impliquant le Laplacien peuvent être facilement utilisées en utilisant la deuxième des identités de Green .

Pour dériver le théorème de Green, commencez par le théorème de divergence (autrement connu sous le nom de théorème de Gauss ),

Soit et substituons dans la loi de Gauss.

Calculer et appliquer la règle du produit pour l'opérateur ∇,

En intégrant cela au théorème de divergence, on obtient le théorème de Green ,

Supposons que l'opérateur différentiel linéaire L soit le Laplacien , ∇ ² , et qu'il existe une fonction de Green G pour le Laplacien. La propriété définissant la fonction de Green est toujours valable,

Laissez entrer la deuxième identité de Green, voir les identités de Green . Ensuite,

En utilisant cette expression, il est possible de résoudre l'équation de Laplace ∇ ² φ ( x ) = 0 ou l'équation de Poisson ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ) , sous réserve de conditions aux limites de Neumann ou de Dirichlet . En d'autres termes, nous pouvons résoudre φ ( x ) partout dans un volume où soit (1) la valeur de φ ( x ) est spécifiée sur la surface limite du volume (conditions aux limites de Dirichlet), soit (2) la dérivée normale de φ ( x ) est spécifiée sur la surface limite (conditions aux limites de Neumann).

Supposons que le problème consiste à résoudre φ ( x ) à l'intérieur de la région. Alors l'intégrale se réduit simplement à φ ( x ) en raison de la propriété définissant la fonction delta de Dirac et nous avons

Cette forme exprime la propriété bien connue des fonctions harmoniques , selon laquelle si la valeur ou la dérivée normale est connue sur une surface englobante, alors la valeur de la fonction à l'intérieur du volume est connue partout .

En électrostatique , φ ( x ) est interprété comme le potentiel électrique , ρ ( x ) comme la densité de charge électrique et la dérivée normale comme la composante normale du champ électrique.

Si le problème consiste à résoudre un problème aux limites de Dirichlet, la fonction de Green doit être choisie de telle sorte que G ( x , x ′) s'annule lorsque x ou x′ se trouve sur la surface limite. Ainsi, un seul des deux termes de l' intégrale de surface demeure. Si le problème consiste à résoudre un problème aux limites de Neumann, il peut sembler logique de choisir la fonction de Green de telle sorte que sa dérivée normale s'annule sur la surface limite. Cependant, l'application du théorème de Gauss à l'équation différentielle définissant la fonction de Green donne comme signification que la dérivée normale de G ( x , x ′) ne peut pas s'annuler sur la surface, car elle doit s'intégrer à 1 sur la surface.

La forme la plus simple que peut prendre la dérivée normale est celle d'une constante, à savoir 1/ S , où S est l'aire de la surface. Le terme de surface dans la solution devient où est la valeur moyenne du potentiel sur la surface. Ce nombre n'est pas connu en général, mais est souvent sans importance, car le but est souvent d'obtenir le champ électrique donné par le gradient du potentiel, plutôt que le potentiel lui-même.

Sans conditions aux limites, la fonction de Green pour le Laplacien ( fonction de Green pour l'équation de Laplace à trois variables ) est

En supposant que la surface de délimitation s'étende à l'infini et en insérant cette expression pour la fonction de Green, on obtient finalement l'expression standard du potentiel électrique en termes de densité de charge électrique comme

Trouvez la fonction Green pour le problème suivant, dont le numéro de fonction Green est X11 :

Première étape : La fonction de Green pour l'opérateur linéaire en question est définie comme la solution de

Si , alors la fonction delta donne zéro et la solution générale est

Pour , la condition limite à implique si et .

Pour , la condition limite à implique $sx>s$s}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e6f9baae82dfbdf5d8e76a51b673084446e5f8">

L'équation de est ignorée pour des raisons similaires.

Pour résumer les résultats obtenus jusqu'à présent :

Deuxième étape : La tâche suivante consiste à déterminer et .

Assurer la continuité dans la fonction des Verts implique

On peut assurer une discontinuité appropriée dans la première dérivée en intégrant l'équation différentielle de définition (c'est-à-dire l'équation * ) de à et en prenant la limite lorsque tend vers zéro. Notez que nous intégrons uniquement la seconde dérivée car le terme restant sera continu par construction.

Les deux équations de (dis)continuité peuvent être résolues pour et pour obtenir

La fonction de Green pour ce problème est donc :

• Soit n = 1 et soit le sous-ensemble entier de R . Soit L . Alors, la fonction échelon de Heaviside Θ( x − x ₀ ) est une fonction de Green de L en x ₀ .
• Soit n = 2 et soit le sous-ensemble le quart de plan {( x , y ) : x , y ≥ 0} et L le Laplacien . Supposons également qu'une condition limite de Dirichlet soit imposée à x = 0 et qu'une condition limite de Neumann soit imposée à y = 0. Alors la fonction de Green X10Y20 est
• Soit , et tous les trois sont des éléments des nombres réels. Alors, pour toute fonction ayant une dérivée -ième intégrable sur l'intervalle : La fonction de Green dans l'équation ci-dessus, , n'est pas unique. Comment l'équation est-elle modifiée si est ajoutée à , où satisfait pour tout (par exemple, avec ) ? Comparez également l'équation ci-dessus à la forme d'une série de Taylor centrée en .