Fonction delta de Dirac

{ displaystyle { boldsymbol { delta </span referrerpolicy=

La distribution (ou impulsion unitaire ) est une fonction généralisée sur les nombres réels , qui s'annule partout sauf en zéro, où elle est infinie, et dont l'intégrale sur toute la droite réelle est égale à un. Elle peut donc être représentée heuristiquement comme

{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x eq 0\\{\infty },&x=0\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>x</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>∞</mi></mrow><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x eq 0\\{\infty },&x=0\end{cases}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Puisqu’aucune fonction ne possède cette propriété, la modélisation rigoureuse de la « fonction » delta implique l’utilisation de limites ou, comme c’est souvent le cas en mathématiques, de la théorie de la mesure et de la théorie des distributions .

La fonction delta, nommée d'après le physicien Paul Dirac , est couramment utilisée en physique et en ingénierie pour modéliser les masses ponctuelles et les charges concentrées. Elle est appelée fonction delta car elle est l'analogue continu de la fonction delta de Kronecker . La rigueur mathématique de la fonction delta a été contestée jusqu'à ce que Laurent Schwartz développe la théorie des distributions, où elle est définie comme une forme linéaire agissant sur les fonctions.

Motivation et aperçu

On considère généralement que le graphique du delta de Dirac suit l'ensemble ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$ impulsionnelle (une fonction en pic étroit et long ), ainsi que d'autres abstractions similaires telles qu'une charge ponctuelle ou une masse ponctuelle . Par exemple, pour calculer la dynamique d'une boule de billard frappée, on peut approximer la force de l'impact par une fonction delta de Dirac. Ce faisant, on peut simplifier les équations et calculer le mouvement de la boule en ne considérant que l'impulsion totale de la collision.

En mathématiques appliquées, la fonction delta est souvent utilisée comme une sorte de limite ( limite faible ) d'une suite de fonctions dont chaque terme présente un pic important à l'origine : par exemple, une suite de distributions gaussiennes centrées à l'origine et dont la variance tend vers zéro. (Cependant, même dans certaines applications, des fonctions fortement oscillatoires sont utilisées comme approximations de la fonction delta, voir ci-dessous .)

Le delta de Dirac, compte tenu des propriétés souhaitées décrites ci-dessus, ne peut pas être une fonction dont le domaine et l'image sont des nombres réels . Par exemple, les objets ${\displaystyle f(x)=\delta (x) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\delta (x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g(x)=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g(x)=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f=g <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f=g}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g}</annotation></semantics></math><img src=$

Histoire

Dans le cadre de son développement de la mécanique quantique , Paul Dirac a introduit le ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ *Les Principes de la mécanique quantique * . Il l'a nommée « fonction delta » car il l'utilisait comme analogue continu de la fonction delta de Kronecker discrète . Cependant, elle avait déjà été utilisée par de nombreux mathématiciens au XIXe siècle. Graham Farmelo , biographe de Dirac, a supposé qu'Oliver Heaviside avait probablement exercé une influence directe sur Dirac, compte tenu de la formation de ce dernier en ingénierie. En effet, Heaviside a introduit la fonction delta. ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$

La première utilisation connue de ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ , <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>α</mi><mspace></mspace><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mtext> </mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>d</mi><mi>p</mi><mtext> </mtext><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mi>α</mi><mo>)</mo><mtext> </mtext><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ . <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>d</mi><mi>p</mi><mtext> </mtext><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mi>α</mi><mo>)</mo><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus tard, une formule infinitésimale pour une fonction delta d'impulsion unitaire infiniment grande (version infinitésimale de la distribution de Cauchy ) apparaît explicitement dans un texte de 1827 d' Augustin-Louis Cauchy . Cauchy a exprimé le théorème en utilisant des exponentielles : ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha ight)\,dp. <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mtext> </mtext><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>x</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>α</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>p</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha ight)\,dp.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cauchy a souligné que, dans certaines circonstances, l' ordre d'intégration est significatif dans ce résultat (contrairement au théorème de Fubini ).

Comme le justifie la théorie des distributions , l'équation de Cauchy peut être réarrangée pour ressembler à la formulation originale de Fourier et mettre en évidence ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha ight)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp ight)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>x</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>α</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>p</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>x</mi></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>p</mi><mi>α</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>p</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha ight)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp ight)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ . <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>p</mi><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}</annotation></semantics></math><img src=$

Siméon Denis Poisson et Charles Hermite ont introduit le ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$

Une interprétation rigoureuse de la forme exponentielle et des diverses limitations de la fonction ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$

Définitions

La fonction delta de Dirac ${\displaystyle \delta (x) <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x eq 0\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≃</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>x</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x eq 0\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}</annotation></semantics></math><img src=$

Il s'agit simplement d'une caractérisation heuristique . Le delta de Dirac n'est pas une fonction au sens traditionnel, car aucune fonction à valeurs réelles étendue définie sur les nombres réels ne possède ces propriétés.

En tant que mesure

Une façon de saisir rigoureusement la notion de fonction delta de Dirac consiste à définir une mesure , appelée mesure de Dirac , qui accepte un sous-ensemble ${\displaystyle A <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (A)=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (A)=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 0\in A <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>∈</mo><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0\in A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (A)=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (A)=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta (A) <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (A)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}</annotation></semantics></math><img src=$

En tant que mesure de probabilité sur ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{ ext{if }}x\geq 0\\0&{ ext{if }}x<0.\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0.</mn></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{ ext{if }}x\geq 0\\0&{ ext{if }}x<0.\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{(-\infty ,x] <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>]</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {1} _{(-\infty ,x]}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x] ight), <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow></msub><msub><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>]</mo></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mspace></mspace><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>]</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x] ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x). <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}</annotation></semantics></math><img src=$

Tous les moments supérieurs de ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$

En tant que distribution

Dans la théorie des distributions , une fonction généralisée est considérée non pas comme une fonction en soi, mais uniquement par son influence sur d'autres fonctions lorsqu'elle est « intégrée » par rapport à celles-ci. Conformément à cette approche, pour définir correctement la fonction delta, il suffit de préciser ce que vaut son « intégrale » par rapport à une fonction test suffisamment « pertinente ». ${\displaystyle \varphi <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation></semantics></math><img src=$

Un espace typique de fonctions de test est constitué de toutes les fonctions lisses sur ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

pour chaque fonction de test ${\displaystyle \varphi <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation></semantics></math><img src=$

Pour ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M_{N <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{N}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{N <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{N}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varphi <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left|S[\varphi ] ight|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x) ight| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>S</mi><mo>[</mo><mi>φ</mi><mo>]</mo></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><msub><mi>M</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mrow></munderover><munder><mo>souper</mo><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo>[</mo><mo>−</mo><mi>N</mi><mo>,</mo><mi>N</mi><mo>]</mo></mrow></munder><mrow><mo>|</mo><mrow><msup><mi>φ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left|S[\varphi ] ight|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x) ight|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sup <semantics><mrow><mstyle><mo>souper</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sup }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{N}=1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{N}=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M_{N}=0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>M</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M_{N}=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \delta <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \{0\ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{0\}}</annotation></semantics></math><img src=$

La distribution delta peut également être définie de plusieurs manières équivalentes. Par exemple, elle correspond à la dérivée distributionnelle de la fonction de Heaviside . Cela signifie que pour toute fonction test ${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx. </span referrerpolicy=$

Intuitivement, si l'intégration par parties était autorisée, alors cette dernière intégrale devrait se simplifier en ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx, <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><msup><mi>H</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x). <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>φ</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>H</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cadre de la théorie de la mesure, la mesure de Dirac induit une distribution par intégration. Réciproquement, l'équation ( 1 ) définit une intégrale de Daniell sur l'espace de toutes les fonctions continues à support compact. ${\displaystyle \varphi <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varphi <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation></semantics></math><img src=$

Généralement, lorsqu'on emploie le terme « fonction delta de Dirac » , on le fait au sens de distribution plutôt que de mesure, la mesure de Dirac étant l'un des termes utilisés en théorie de la mesure pour désigner la notion correspondante. Certaines sources emploient également le terme « distribution delta de Dirac » .

Généralisations

La fonction delta peut être définie dans l'espace euclidien comme la mesure telle que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></msub><mi>f</mi><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}</annotation></semantics></math><img src=$

pour toute fonction continue à support compact -dimensionnelle est la mesure produit des fonctions delta unidimensionnelles dans chaque variable séparément. Ainsi, formellement, avec , on a

La fonction delta peut également être définie au sens des distributions exactement comme ci-dessus dans le cas unidimensionnel. Cependant, malgré son utilisation répandue dans les contextes d'ingénierie, ( 2 ) doit être manipulée avec précaution, car le produit de distributions ne peut être défini que dans des circonstances assez restreintes.

La notion de mesure de Dirac est valable sur tout ensemble. Ainsi, si est un point marqué, et , alors la mesure définie sur les ensembles par

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{ ext{if }}x_{0}\in A\\0&{ ext{if }}x_{0} otin A\end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>UN</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∉</mo><mi>UN</mi></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{ ext{if }}x_{0}\in A\\0&{ ext{if }}x_{0} otin A\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

est la mesure delta ou la masse unitaire concentrée à .

Une autre généralisation courante de la fonction delta consiste à l'étendre à une variété différentiable où la plupart de ses propriétés de distribution peuvent également être exploitées grâce à sa structure différentiable . La fonction delta sur une variété est définie comme la distribution suivante :

pour toutes les fonctions lisses à valeurs réelles à support compact . Un cas particulier courant de cette construction est un cas dans lequel .

Sur un espace de Hausdorff localement compact est la mesure de Radon associée à l'intégrale de Daniell ( 3 ) sur les fonctions continues ${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0 </span referrerpolicy=$ est un plongement continu de , muni de sa topologie vague . De plus, l' enveloppe convexe de l'image de

Propriétés

Échelle et symétrie

La fonction delta satisfait la propriété d'échelle suivante pour un scalaire non nul ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha | <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>α</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>vous</mi></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha |}}}</annotation></semantics></math><img src=$

et ainsi

En particulier, la fonction delta est une distribution uniforme (symétrie), au sens où

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x) <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}</annotation></semantics></math><img src=$

qui est homogène de degré 1 .

propriétés algébriques

Le produit distributionnel de est égal à zéro :

${\displaystyle x\,\delta (x)=0. <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\,\delta (x)=0.}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus généralement, ${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Réciproquement, si , où sont des distributions, alors

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}</annotation></semantics></math><img src=$

pour une certaine constante ${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T) </span referrerpolicy=$ est

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T). <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}</annotation></semantics></math><img src=$

On parle parfois de la propriété de tamisage ou de la d'échantillonnage . On dit que la fonction delta « tamise » la valeur de f(t) à t = T. ]

Il s'ensuit que l'effet de la convolution d'une fonction avec le delta de Dirac retardé dans le temps est de retarder de la même quantité :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f( au )\,\delta (t-T- au )\,d au \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f( au )\,\delta ( au -(t-T))\,d au \qquad { ext{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{ ext{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>∗</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>T</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mtext> </mtext></mtd><mtd><mi></mi><mrow><mrow><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi></mrow></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>T</mi><mo>−</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>−</mo><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi><mspace></mspace><mrow><mtext>depuis</mtext></mrow><mtext> </mtext><mi>δ</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mtext>par (4)</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f( au )\,\delta (t-T- au )\,d au \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f( au )\,\delta ( au -(t-T))\,d au \qquad { ext{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{ ext{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La propriété de tamisage est valable sous la condition précise que ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ). </span referrerpolicy=$

Composition avec fonction

Plus généralement, la distribution delta peut être composée avec une fonction lisse de telle sorte que la formule de changement de variables habituelle soit valable (où ${\displaystyle u=g(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>vous</mi><mo>=</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u=g(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x) ight|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow></msub><mi>δ</mi><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mi>f</mi><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><msup><mi>g</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></msub><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>vous</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x) ight|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}</annotation></semantics></math><img src=$

à condition que non nulle. Autrement dit, il existe une manière unique d’interpréter la distribution ${\displaystyle \delta \circ g <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>∘</mo><mi>g</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta \circ g}</annotation></semantics></math><img src=$ Cette distribution satisfait si admet une racine réelle en alors

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msup><mi>g</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Il est donc naturel de $simples . Ainsi, par exemple$

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2} ight)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha ight)+\delta \left(x-\alpha ight){\Big ]}. <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mrow><mo>[</mo></mrow></mrow><mi>δ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>δ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2} ight)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha ight)+\delta \left(x-\alpha ight){\Big ]}.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Sous forme intégrale, la propriété d'échelle généralisée peut s'écrire comme suit :$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msup><mi>g</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Intégrale indéfinie$

${\displaystyle a\in \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\in \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

$Propriétés en dimensions n$

${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~, </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \delta ( ho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~. </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}}) ight|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></msub><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mo>det</mo><msup><mi>g</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow><mi>d</mi><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></msub><mi>δ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mrow><mi>vous</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}}) ight|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}) </span referrerpolicy=$

${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}), </span referrerpolicy=$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=(\sin heta _{0}\cos \phi _{0},\sin heta _{0}\sin \phi _{0},\cos heta _{0})r_{0 </span referrerpolicy=$

$0;\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin heta }}\delta (r-r_{0})\delta ( heta - heta _{0}),&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}=\pm r_{0} eq 0;\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0}),&x_{0}=y_{0}=z_{0}=r_{0}=0.\end{cases δ (r - r_{0}) = {\begin{matrix} \frac{1}{r^{2} péché θ} δ (r - r_{0}) δ (θ - θ_{0}) δ (ϕ - ϕ_{0}), & x_{0}^{2} + y_{0}^{2} > 0; \\ \frac{1}{2 π r^{2} péché θ} δ (r - r_{0}) δ (θ - θ_{0}), & x_{0} = y_{0} = 0, z_{0} = \pm r_{0} \neq 0; \\ \frac{1}{4 π r^{2}} δ (r - r_{0}), & x_{0} = y_{0} = z_{0} = r_{0} = 0. \end{matrix}$

$Dérivés$

${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0). </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0). </span referrerpolicy=$

$Par récurrence, la dérivée est définie de manière similaire à la distribution donnée sur les fonctions de test par$

${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0). <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>δ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>[</mo><mi>φ</mi><mo>]</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mi>φ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h o 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}. </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \delta '=\lim _{h o 0}{\frac {1}{h}}( au _{h}\delta -\delta ) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>δ</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>h</mi></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mi>τ</mi><mrow><mi>h</mi></mrow></msub><mi>δ</mi><mo>−</mo><mi>δ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta '=\lim _{h o 0}{\frac {1}{h}}( au _{h}\delta -\delta )}</annotation></semantics></math><img src=$

$Dans la théorie de l'électromagnétisme, la dérivée première de la fonction delta représente un dipôle magnétique ponctuel situé à l'origine. En conséquence, elle est appelée dipôle ou fonction doublet .$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>δ</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>δ</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><msup><mi>δ</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f', </span referrerpolicy=$

$ce qui découle des propriétés de la dérivée distributionnelle d'une convolution.$

$Dimensions supérieures$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi ight angle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi ight angle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad { ext{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>⟨</mo><mrow><msup><mi>∂</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>φ</mi></mrow><mo>⟩</mo></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mrow><mo>⟨</mo><mrow><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msup><mi>∂</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>φ</mi></mrow><mo>⟩</mo></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><msup><mi>∂</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>un</mi></mrow></msub><mspace></mspace><mrow><mtext> pour tous </mtext></mrow><mi>φ</mi><mo>∈</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>U</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi ight angle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi ight angle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad { ext{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Autrement dit, la dérivée est la distribution dont la valeur sur toute fonction test (avec le signe positif ou négatif approprié).$

$Les dérivées partielles premières de la fonction delta sont considérées comme des bicouches le long des plans de coordonnées. Plus généralement, la dérivée normale d'une monocouche supportée par une surface est une bicouche supportée par cette surface et représente un monopole magnétique laminaire. Les dérivées d'ordre supérieur de la fonction delta sont appelées multipôles en physique .$

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}. <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>α</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mi>m</mi></mrow></munder><msub><mi>c</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><msup><mi>∂</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Représentations$

$La fonction delta peut être vue comme la limite d'une suite de fonctions$

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon o 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x). <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>ε</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mrow><mo>+</mo></mrow></msup></mrow></munder><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon o 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Pour toutes les fonctions continues à support compact. La première propriété correspond à la convergence au sens de la topologie vague des mesures, et la seconde à la convergence au sens des distributions .$

$Approximations de l'identité$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }} ight). </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }} ight). </span referrerpolicy=$

$Un simple changement de variables montre alors que a également une intégrale , et donc converge faiblement vers ainsi construits sont appelés une approximation de l'identité . Cette terminologie s'explique par le fait que l'espace des fonctions absolument intégrables est stable par convolution : f que appartiennent à . Cependant, il n'existe pas d'identité dans pour le produit de convolution : aucun élément pour tout approche une telle identité au sens où$

${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon } o f\quad { ext{as }}\varepsilon o 0. <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>∗</mo><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>→</mo><mi>f</mi><mspace></mspace><mrow><mtext>comme </mtext></mrow><mi>ε</mi><mo>→</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f*\eta _{\varepsilon } o f\quad { ext{as }}\varepsilon o 0.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Cette limite est valable au sens de la convergence moyenne (convergence dans ). D'autres conditions sur , par exemple qu'il s'agisse d'un régulariseur associé à une fonction à support compact, sont nécessaires pour assurer la convergence ponctuelle presque partout .$

${\displaystyle I_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

$comme l'analyse numérique, une approximation linéaire par morceaux l'identité est souhaitable. On peut l'obtenir en choisissant comme fonction chapeau . Avec ce choix de , on a$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }} ight|,0 ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>ε</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>max</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }} ight|,0 ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

$qui sont toutes continues et supportées de manière compacte, bien que non lisses et donc ne constituant pas un adoucisseur d'air.$

$Considérations probabilistes$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }} ight)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{ ext{otherwise}}.\end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mi>droit</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd><mtd><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>ε</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mrow><mfrac><mi>ε</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mrow><mtext>sinon</mtext></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }} ight)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{ ext{otherwise}}.\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{ ext{otherwise}}.\end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>π</mi><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><msqrt><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo>,</mo></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>ε</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>ε</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mrow><mtext>sinon</mtext></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{ ext{otherwise}}.\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$Il s'agit d'un support continu et compact, mais ce n'est pas un adoucisseur car il n'est pas lisse.$

$Semi-groupes$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>∗</mo><msub><mi>η</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi><mo>+</mo><mi>δ</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}</annotation></semantics></math><img src=$

$pour tout . Les semi-groupes de convolution dans qui approximent la fonction delta sont toujours une approximation de l'identité au sens ci-dessus, cependant la condition de semi-groupe est une restriction assez forte.$

$En pratique, les semi-groupes approchant la fonction delta apparaissent comme solutions fondamentales, ou fonctions de Green, d'équations aux dérivées partielles elliptiques ou paraboliques physiquement motivées . Dans le contexte des mathématiques appliquées, les semi-groupes apparaissent comme solution d'un système linéaire invariant dans le temps . De manière abstraite, si A est un opérateur linéaire agissant sur des fonctions de x, alors un semi-groupe de convolution est obtenu en résolvant le problème de Cauchy.$

$0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t o 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases {\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} η (t, x) = UN η (t, x), t > 0 \\ \underset{t \to 0^{+}}{limite} η (t, x) = δ (x) \end{matrix}$

$où la limite est, comme d'habitude, comprise au sens faible. En posant on obtient la fonction delta approchée associée.$

$Voici quelques exemples de semi-groupes de convolution physiquement importants découlant d'une telle solution fondamentale.$

$Le noyau de chaleur$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>ε</mi></msqrt></mfrac></mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mn>2</mn><mi>ε</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le delta de Dirac à la limite ${\displaystyle a o 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a o 0}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a ight|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow><mrow><msqrt><mi>π</mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>un</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a ight|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}}</annotation></semantics></math></span><img src=$

$En théorie des probabilités, suit une loi normale de variance Elle représente la densité de probabilité, à l'instant de la position d'une particule partant de l'origine et suivant un mouvement brownien standard . Dans ce contexte, la condition de semi-groupe exprime alors la propriété markovienne du mouvement brownien.$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>ε</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ε</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}</annotation></semantics></math><img src=$

$The Poisson kernel$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }} ight\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mo>{</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mi>i</mi></mrow><mi>ε</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>}</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>ε</mi><mrow><msup><mi>ε</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mi>ξ</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>ε</mi><mi>ξ</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>ξ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }} ight\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} ight)^{\frac {1}{2}}u(t,x) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} ight)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} ight)^{\frac {1}{2}}f ight](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><mi>f</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>ξ</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} ight)^{\frac {1}{2}}f ight](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Oscillatory integrals$

${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3} ight). <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>ε</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mi>Ai</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><msup><mi>ε</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Although using the Fourier transform, it is easy to see that this generates a semigroup in some sense—it is not absolutely integrable and so cannot define a semigroup in the above strong sense. Many approximate delta functions constructed as oscillatory integrals only converge in the sense of distributions (an example is the Dirichlet kernel below), rather than in the sense of measures.$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad { ext{for }}t=0.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>c</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mi>Δ</mi><mi>u</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>δ</mi></mtd><mtd><mspace></mspace><mrow><mtext>for </mtext></mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0.</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad { ext{for }}t=0.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }} ight)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }} ight). <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>η</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>ε</mi></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>ε</mi></mfrac></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Plane wave decomposition$

${\displaystyle L[u]=f, <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi><mo>[</mo><mi>u</mi><mo>]</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L[u]=f,}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle L[u]=\delta . <semantics><mrow><mstyle><mi>L</mi><mo>[</mo><mi>vous</mi><mo>]</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle L[u]=\delta .}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle L[u]=h </span referrerpolicy=$

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi ) </span referrerpolicy=$

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}} ight]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{ ext{ impair}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{ ext{ pair.}}\end{cases </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }. <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>Δ</mi><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>ξ</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((xy)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }. </span referrerpolicy=$

${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd></mtd><mtd><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msubsup><mi>Δ</mi><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></msubsup><msub><mo>∬</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>⋅</mo><mi>ξ</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>ξ</mi></mrow></msub><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>y</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mspace></mspace><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msubsup><mi>Δ</mi><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mspace></mspace><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>ξ</mi></mrow></msub><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>p</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>R</mi><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>p</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x. </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{ ext{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{ ext{ odd}}.\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mi>ξ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>ξ</mi></mrow></msub></mstyle></mtd><mtd><mi>n</mi><mrow><mtext> même</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mstyle><msub><mo>∫</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msub><msup><mi>δ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><msub><mi>ω</mi><mrow><mi>ξ</mi></mrow></msub></mstyle></mtd><mtd><mi>n</mi><mrow><mtext> impair</mtext></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{ ext{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{ ext{ odd}}.\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$Transformée de Fourier$

$La fonction delta est une distribution tempérée et possède donc une transformée de Fourier bien définie . Formellement, on trouve$

${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>δ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>x</mi><mi>ξ</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot angle <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mo>⋅</mo><mo>,</mo><mo>⋅</mo><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot angle }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi angle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }} angle <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><mrow><mrow><mover><mi>δ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mi>φ</mi><mo>⟩</mo><mo>=</mo><mo>⟨</mo><mi>δ</mi><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>φ</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>⟩</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi angle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }} angle }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\widehat {\delta}}=1. </span referrerpolicy=$

$Du fait de cette identité, la convolution de la fonction delta avec toute autre distribution tempérée :$

${\displaystyle S*\delta =S. <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>∗</mo><mi>δ</mi><mo>=</mo><mi>S</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S*\delta =S.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Autrement dit, et, une fois connue, elle caractérise complètement le système. Voir Réponse impulsionnelle et convolution » .$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mn>1</mn><mo>⋅</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>x</mi><mi>ξ</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>ξ</mi><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t} ight]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}). <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>[</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>(</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t} ight]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>t</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>un</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}</annotation></semantics></math><img src=$

$Noyaux de Fourier$

{\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}} ight)x ight)}{\sin(x/2)}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>D</mi><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>N</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}} ight)x ight)}{\sin(x/2)}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

$Fonctions delta infinitésimales$

${ extstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0) <semantics><mrow><mstyle><mo>∫</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}</annotation></semantics></math><img src=$

${ extstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0) </span referrerpolicy=$

$peigne Dirac$

${\displaystyle \operatorname { ext{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n), <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Ш</mtext></mrow><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname { ext{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle (f*\operatorname { ext{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>∗</mo><mrow><mtext>Ш</mtext></mrow><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (f*\operatorname { ext{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Théorème de Sokhotski-Plemelj$

$Le théorème de Sokhotski-Plemelj, important en mécanique quantique, relie la fonction delta à la distribution la valeur principale de Cauchy la fonction définie par$

$\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx. ⟨ p . v . \frac{1}{x}, φ ⟩ = \underset{ε \to 0^{+}}{limite} \int_{| x | > ε} \frac{φ (x)}{x} d x .$

$La formule de Sokhotsky stipule que$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon o 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x), <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>ε</mi><mo>→</mo><msup><mn>0</mn><mrow><mo>+</mo></mrow></msup></mrow></munder><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>x</mi><mo>±</mo><mi>je</mi><mi>ε</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>p</mi><mo>.</mo><mi>v</mi><mo>.</mo></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>∓</mo><mi>je</mi><mi>π</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{\varepsilon o 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}</annotation></semantics></math><img src=$

$Ici, la limite est comprise au sens de la distribution, c'est-à-dire que pour toutes les fonctions lisses à support compact \varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$

$Lien avec le delta de Kronecker$

$Le delta de Kronecker est la quantité définie par$

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i ot =j\end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mi>je</mi><mo>=</mo><mi>j</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi>je</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i ot =j\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}. </span referrerpolicy=$

$, le delta de Dirac satisfait la propriété de tamisage$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}). <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Ceci montre que la fonction delta de Kronecker est un analogue discret de la fonction delta de Dirac.$

$Applications$

$Théorie des probabilités$

{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}). <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>p</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}</annotation></semantics></math></span><img src=

$Mécanique quantique$

$La fonction delta est utile en mécanique quantique . La fonction d'onde d'une particule donne l' amplitude de probabilité de trouver cette particule dans une région donnée de l'espace. Les fonctions d'onde sont supposées être des éléments de l'espace de Hilbert fonctions de carré intégrable , et la probabilité totale de trouver une particule dans un intervalle donné est l'intégrale du carré du module de onde sur cet intervalle. Un ensemble | φₙ⟩} de fonctions d'onde est orthonormé si$

${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m} angle =\delta _{nm}, <semantics><mrow><mstyle><mo>⟨</mo><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∣</mo><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>⟩</mo><mo>=</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m} angle =\delta _{nm},}</annotation></semantics></math><img src=$

$où est le symbole de Kronecker. Un ensemble de fonctions d'onde orthonormées est complet dans l'espace des fonctions de carré intégrable si toute fonction d'onde ψ ⟩ peut être exprimée comme une combinaison linéaire des | φ n ⟩} à coefficients complexes :$

${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n}, <semantics><mrow><mstyle><mi>ψ</mi><mo>=</mo><mo>∑</mo><msub><mi>c</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}</annotation></semantics></math><img src=$

$où n | ψ⟩ . Les systèmes orthonormés complets de fonctions d'onde apparaissent naturellement comme fonctions propres de l' hamiltonien (d'un système lié) en mécanique quantique, qui mesure les niveaux d'énergie, appelés valeurs propres. L'ensemble des valeurs propres est alors connu sous le nom de spectre de l'hamiltonien. En notation bra-ket, cette égalité implique la résolution de l'identité :$

${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n} angle \langle \varphi _{n}|. <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>=</mo><mo>∑</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>⟩</mo><mo>⟨</mo><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I=\sum |\varphi _{n} angle \langle \varphi _{n}|.}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (xy). </span referrerpolicy=$

$Les fonctions propres généralisées de l'opérateur de position sont appelées les eigenkets et sont notées y ⟩ .$

$Des considérations similaires s'appliquent à tout autre opérateur auto-adjoint (non borné) à spectre continu et sans valeurs propres dégénérées, tel que l' opérateur moment de nombres réels (le spectre) et une collection de distributions avec tels que$

${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}. <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'} angle =\delta (yy'), </span referrerpolicy=$

${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy </span referrerpolicy=$

$où = ⟨ψ, φy⟩ . Autrement dit il existe une résolution de l'identité$

${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y} angle \,\langle \varphi _{y}|\,dy <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>=</mo><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>Ω</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>⟩</mo><mspace></mspace><mo>⟨</mo><msub><mi>φ</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y} angle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t), <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>k</mi><mi>ξ</mi><mo>=</mo><mi>je</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}</annotation></semantics></math><img src=$

$où est la flèche, est la répartition de la charge. Si une poutre est soumise à une force ponctuelle , la répartition de la charge s'écrit$

${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}). <semantics><mrow><mstyle><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}</annotation></semantics></math><img src=$

$Comme l'intégration de la fonction delta donne la fonction échelon de Heaviside, il s'ensuit que la déflexion statique d'une poutre mince soumise à de multiples charges ponctuelles est décrite par un ensemble de polynômes par morceaux .$

$De plus, un moment ponctuel agissant sur une poutre peut être décrit par des fonctions delta. Considérons deux forces ponctuelles opposées . Elles produisent alors un moment agissant sur la poutre. Supposons maintenant que la distance restant constant. La distribution de la charge, en supposant un moment dans le sens horaire agissant en , s'écrit :$

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d o 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d o 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d) ight)\\[4pt]&=M\lim _{d o 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>d</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>F</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>F</mi><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>d</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>M</mi><mi>d</mi></mfrac></mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>M</mi><mi>d</mi></mfrac></mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>M</mi><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>d</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>M</mi><msup><mi>δ</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d o 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d o 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d) ight)\\[4pt]&=M\lim _{d o 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

$Les moments ponctuels peuvent ainsi être représentés par la dérivée de la fonction delta. L'intégration de l'équation de la poutre conduit à nouveau à une déflexion polynomiale par morceaux .$

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