Nombre hyperréel

En mathématiques , les nombres hyperréels sont une extension des nombres réels pour inclure certaines classes de nombres infinis et infinitésimaux . Un nombre hyperréel est dit fini si, et seulement si, pour un certain entier . est dit infinitésimal si, et seulement si, pour tous les entiers positifs . Le terme « hyperréel » a été introduit par Edwin Hewitt en 1948.

Les nombres hyperréels satisfont au principe de transfert , une version rigoureuse de la loi heuristique de continuité de Leibniz . Le principe de transfert stipule que les énoncés du premier ordre vrais sur R sont également valables dans * R. Par exemple, la loi commutative de l'addition, x  +  y = y  +  x , est valable pour les hyperréels tout comme pour les réels ; puisque R est un corps réel fermé , il en est de même pour * R. Puisque pour tout entier n , on a aussi pour tout hyperentier . Le principe de transfert pour les ultrapuissances est une conséquence du théorème de Łoś de 1955.

Les inquiétudes concernant la solidité des arguments impliquant des infinitésimaux remontent aux mathématiques grecques antiques, Archimède remplaçant ces preuves par d'autres utilisant d'autres techniques telles que la méthode d'exhaustion . Dans les années 1960, Abraham Robinson a prouvé que les hyperréels étaient logiquement cohérents si et seulement si les réels l'étaient. Cela a mis fin à la crainte que toute preuve impliquant des infinitésimaux puisse être erronée, à condition qu'ils soient manipulés selon les règles logiques définies par Robinson.

L'application des nombres hyperréels et en particulier du principe de transfert aux problèmes d' analyse est appelée analyse non standard . Une application immédiate est la définition des concepts de base de l'analyse tels que la dérivée et l'intégrale de manière directe, sans passer par les complications logiques de quantificateurs multiples. Ainsi, la dérivée de f ( x ) devient pour un infinitésimal , où st(⋅) désigne la fonction partie standard , qui « arrondit » chaque hyperréel fini au réel le plus proche. De même, l'intégrale est définie comme la partie standard d'une somme infinie appropriée .

L'idée du système hyperréel est d'étendre les nombres réels R pour former un système * R qui inclut des nombres infinitésimaux et infinis, mais sans changer aucun des axiomes élémentaires de l'algèbre. Toute déclaration de la forme « pour tout nombre x ... » qui est vraie pour les réels est également vraie pour les hyperréels. Par exemple, l'axiome qui stipule « pour tout nombre x , x + 0 = x » s'applique toujours. Il en va de même pour la quantification sur plusieurs nombres, par exemple, « pour tout nombre x et y , xy = yx ». Cette capacité à transférer des déclarations des réels aux hyperréels est appelée principe de transfert . Cependant, les déclarations de la forme « pour tout ensemble de nombres S ... » peuvent ne pas être transférées. Les seules propriétés qui diffèrent entre les réels et les hyperréels sont celles qui reposent sur la quantification sur des ensembles , ou d'autres structures de niveau supérieur telles que des fonctions et des relations, qui sont généralement construites à partir d'ensembles. Chaque ensemble, fonction et relation réels a son extension hyperréelle naturelle, satisfaisant les mêmes propriétés de premier ordre. Les types de phrases logiques qui obéissent à cette restriction de quantification sont appelés énoncés dans la logique du premier ordre .

Le principe de transfert ne signifie cependant pas que R et * R ont un comportement identique. Par exemple, dans * R il existe un élément ω tel que

mais il n'existe pas de tel nombre dans R . (En d'autres termes, * R n'est pas archimédien .) Ceci est possible parce que la non-existence de ω ne peut pas être exprimée comme une affirmation du premier ordre.

Les notations informelles pour les quantités non réelles sont historiquement apparues en calcul dans deux contextes : comme infinitésimaux, comme dx , et comme le symbole ∞, utilisé, par exemple, dans les limites d'intégration des intégrales impropres .

À titre d'exemple du principe de transfert, l'affirmation selon laquelle pour tout nombre x non nul , 2x ≠ x , est vraie pour les nombres réels, et elle est sous la forme requise par le principe de transfert, donc elle est également vraie pour les nombres hyperréels. Cela montre qu'il n'est pas possible d'utiliser un symbole générique tel que ∞ pour toutes les quantités infinies du système hyperréel ; les quantités infinies diffèrent en grandeur des autres quantités infinies, et les infinitésimaux des autres infinitésimaux.

De même, l'utilisation courante de 1/0 = ∞ n'est pas valide, car le principe de transfert s'applique à l'affirmation selon laquelle zéro n'a pas d'inverse multiplicatif. La contrepartie rigoureuse d'un tel calcul serait que si ε est un infinitésimal non nul, alors 1/ε est infini.

Pour tout nombre hyperréel fini x , la partie standard , st( x ), est définie comme l'unique nombre réel le plus proche de x ; elle ne diffère nécessairement de x que de manière infinitésimale. La fonction partie standard peut également être définie pour les nombres hyperréels infinis comme suit : si x est un nombre hyperréel infini positif, définissez st( x ) comme étant le nombre réel étendu , et de même, si x est un nombre hyperréel infini négatif, définissez st( x ) comme étant (l'idée est qu'un nombre hyperréel infini devrait être plus petit que l'infini absolu « véritable » mais plus proche de lui que ne l'est tout nombre réel).

L’une des utilisations clés du système de nombres hyperréels est de donner un sens précis à l’opérateur différentiel d tel qu’il est utilisé par Leibniz pour définir la dérivée et l’intégrale.

Pour toute fonction à valeur réelle, le différentiel est défini comme une application qui envoie chaque paire ordonnée (où est réel et est infinitésimal non nul) à un infinitésimal

Notez que la notation même « » utilisée pour désigner tout infinitésimal est cohérente avec la définition ci-dessus de l'opérateur car si l'on interprète (comme cela est couramment fait) comme étant la fonction alors pour tout le différentiel sera égal à l'infinitésimal .

Une fonction à valeur réelle est dite différentiable en un point si le quotient

est le même pour tous les infinitésimaux non nuls. Si tel est le cas, ce quotient est appelé la dérivée de en .

Par exemple, pour trouver la dérivée de la fonction , soit un infinitésimal non nul. Alors,

L'utilisation de la partie standard dans la définition de la dérivée est une alternative rigoureuse à la pratique traditionnelle consistant à négliger le carré d'une quantité infinitésimale. Les nombres duaux sont un système numérique basé sur cette idée. Après la troisième ligne de la différentiation ci-dessus, la méthode typique de Newton jusqu'au 19e siècle aurait simplement consisté à écarter le terme dx ² . Dans le système hyperréel, dx ² ≠ 0, puisque dx est non nul, et le principe de transfert peut être appliqué à l'affirmation selon laquelle le carré de tout nombre non nul est non nul. Cependant, la quantité dx ² est infinitésimale par rapport à dx ; c'est-à-dire que le système hyperréel contient une hiérarchie de quantités infinitésimales.

L'utilisation de nombres hyperréels pour la différentiation permet une approche plus algébriquement manipulable des dérivées. Dans la différentiation standard, les dérivées partielles et les différentielles d'ordre supérieur ne sont pas manipulables indépendamment par des techniques algébriques. Cependant, en utilisant les nombres hyperréels, un système peut être établi pour le faire, bien que cela donne lieu à une notation légèrement différente .

Une autre utilisation clé du système de nombres hyperréels est de donner un sens précis au signe intégral ∫ utilisé par Leibniz pour définir l'intégrale définie.

Pour toute fonction infinitésimale, on peut définir l'intégrale comme une application envoyant tout triplet ordonné (où et sont réels, et est infinitésimal de même signe que ) à la valeur

où est un nombre hyperentier satisfaisant

Une fonction à valeur réelle est alors dite intégrable sur un intervalle fermé si pour tout infinitésimal non nul l'intégrale

est indépendante du choix de Si tel est le cas, cette intégrale est appelée intégrale définie (ou primitive) de sur

Cela montre qu'en utilisant des nombres hyperréels, la notation de Leibniz pour l'intégrale définie peut en fait être interprétée comme une expression algébrique significative (tout comme la dérivée peut être interprétée comme un quotient significatif).

Les hyperréels * R forment un corps ordonné contenant les réels R comme sous-corps . Contrairement aux réels, les hyperréels ne forment pas un espace métrique standard , mais en vertu de leur ordre ils portent une topologie d'ordre .

L'utilisation de l'article défini dans l'expression les nombres hyperréels est quelque peu trompeuse dans la mesure où il n'existe pas de corps ordonné unique auquel il est fait référence dans la plupart des traitements. Cependant, un article de 2003 de Vladimir Kanovei et Saharon Shelah montre qu'il existe une extension élémentaire définissable et dénombrable (c'est-à-dire ω-saturée mais non dénombrable ) des réels, qui a donc de bonnes prétentions au titre de nombres hyperréels. De plus, le corps obtenu par la construction ultrapuissance à partir de l'espace de toutes les suites réelles est unique à isomorphisme près si l'on suppose l' hypothèse du continuum .

La condition d'être un corps hyperréel est plus forte que celle d'être un corps réel fermé contenant strictement R . Elle est également plus forte que celle d'être un corps surréel au sens de Dales et Woodin .

Les hyperréels peuvent être développés soit de manière axiomatique, soit par des méthodes plus constructives. L'essence de l'approche axiomatique est d'affirmer (1) l'existence d'au moins un nombre infinitésimal, et (2) la validité du principe de transfert. Dans la sous-section suivante, nous donnons un aperçu détaillé d'une approche plus constructive. Cette méthode permet de construire les hyperréels si l'on dispose d'un objet de la théorie des ensembles appelé ultrafiltre , mais l'ultrafiltre lui-même ne peut pas être construit explicitement.

FrançaisLorsque Newton et (plus explicitement) Leibniz introduisirent les différentielles, ils utilisèrent des infinitésimaux et ceux-ci furent encore considérés comme utiles par des mathématiciens ultérieurs tels qu'Euler et Cauchy . Néanmoins, ces concepts furent dès le début considérés comme suspects, notamment par George Berkeley . La critique de Berkeley se concentra sur un changement perçu d'hypothèse dans la définition de la dérivée en termes d'infinitésimaux (ou fluxions), où dx est supposé non nul au début du calcul et disparaître à sa fin (voir Ghosts of departed quantity pour plus de détails). Lorsque dans les années 1800 le calcul fut mis sur des bases solides grâce au développement de la définition (ε, δ) de la limite par Bolzano , Cauchy, Weierstrass et d'autres, les infinitésimaux furent largement abandonnés, bien que les recherches dans les domaines non archimédiens se poursuivirent (Ehrlich 2006).

Cependant, dans les années 1960, Abraham Robinson a montré comment les nombres infiniment grands et infinitésimaux peuvent être rigoureusement définis et utilisés pour développer le domaine de l'analyse non standard . Robinson a développé sa théorie de manière non constructive , en utilisant la théorie des modèles ; cependant, il est possible de procéder en utilisant uniquement l'algèbre et la topologie , et en prouvant le principe de transfert comme conséquence des définitions. En d'autres termes, les nombres hyperréels en soi , à part leur utilisation dans l'analyse non standard, n'ont pas de relation nécessaire avec la théorie des modèles ou la logique du premier ordre, bien qu'ils aient été découverts par l'application de techniques de théorie des modèles issues de la logique. Les champs hyperréels ont en fait été introduits à l'origine par Hewitt (1948) par des techniques purement algébriques, en utilisant une construction ultra-puissante.

Nous allons construire un corps hyperréel via des suites de réels. En fait, nous pouvons additionner et multiplier des suites composante par composante ; par exemple :

et de manière analogue pour la multiplication. Cela transforme l'ensemble de telles suites en un anneau commutatif , qui est en fait une algèbre réelle A. Nous avons un encastrement naturel de R dans A en identifiant le nombre réel r avec la suite ( r , r , r , …) et cette identification préserve les opérations algébriques correspondantes des réels. La motivation intuitive est, par exemple, de représenter un nombre infinitésimal en utilisant une suite qui tend vers zéro. L'inverse d'une telle suite représenterait un nombre infini. Comme nous le verrons plus loin, les difficultés naissent du besoin de définir des règles pour comparer de telles suites d'une manière qui, bien qu'inévitablement quelque peu arbitraire, doit être cohérente et bien définie. Par exemple, nous pouvons avoir deux suites qui diffèrent par leurs n premiers membres, mais sont égales après cela ; de telles suites doivent clairement être considérées comme représentant le même nombre hyperréel. De même, la plupart des séquences oscillent de manière aléatoire pour toujours, et nous devons trouver un moyen de prendre une telle séquence et de l’interpréter comme, disons, , où est un certain nombre infinitésimal.

Comparer des séquences est donc une affaire délicate. On pourrait par exemple essayer de définir une relation entre des séquences de manière composante par composante :

mais ici nous rencontrons un problème, car certaines entrées de la première séquence peuvent être plus grandes que les entrées correspondantes de la seconde séquence, et d'autres peuvent être plus petites. Il s'ensuit que la relation définie de cette manière n'est qu'un ordre partiel . Pour contourner cela, nous devons spécifier quelles positions importent. Comme il y a une infinité d'indices, nous ne voulons pas que des ensembles finis d'indices importent. Un choix cohérent d'ensembles d'indices qui importent est donné par tout ultrafiltre libre U sur les nombres naturels ; ceux-ci peuvent être caractérisés comme des ultrafiltres qui ne contiennent aucun ensemble fini. (La bonne nouvelle est que le lemme de Zorn garantit l'existence de nombreux U de ce type ; la mauvaise nouvelle est qu'ils ne peuvent pas être explicitement construits.) Nous pensons que U isole les ensembles d'indices qui « comptent » : Nous écrivons ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) si et seulement si l'ensemble des nombres naturels { n : a _n ≤ b _n } est dans U .

C'est un préordre total et il se transforme en ordre total si l'on accepte de ne pas distinguer deux suites a et b si a ≤ b et b ≤ a . Avec cette identification, on construit le corps ordonné *R des hyperréels. D'un point de vue algébrique, U permet de définir un idéal maximal correspondant I dans l'anneau commutatif A (à savoir, l'ensemble des suites qui s'annulent en un élément de U ), puis de définir *R comme A / I ; comme quotient d'un anneau commutatif par un idéal maximal, *R est un corps. On note aussi A / U , directement en termes de l'ultrafiltre libre U ; les deux sont équivalents. La maximalité de I résulte de la possibilité, étant donnée une suite a , de construire une suite b en inversant les éléments non nuls de a et en ne modifiant pas ses éléments nuls. Si l'ensemble sur lequel a s'annule n'est pas dans U , le produit ab s'identifie au nombre 1, et tout idéal contenant 1 doit être A . Dans le champ résultant, ces a et b sont inverses.

Le corps A / U est une ultrapuissance de R . Puisque ce corps contient R il a un cardinal au moins égal à celui du continu . Puisque A a un cardinal

il n'est pas non plus plus grand que , et a donc la même cardinalité que R .

Une question que l'on pourrait se poser est de savoir si, si nous avions choisi un ultrafiltre libre différent V , le corps quotient A / U serait isomorphe en tant que corps ordonné à A / V . Cette question s'avère équivalente à l' hypothèse du continu ; dans ZFC avec l'hypothèse du continu nous pouvons prouver que ce corps est unique à isomorphisme d'ordre près , et dans ZFC avec la négation de l'hypothèse du continu nous pouvons prouver qu'il existe des paires de corps non isomorphes d'ordre qui sont tous deux des ultrapuissances dénombrablement indexées des réels.

Pour plus d'informations sur cette méthode de construction, voir ultraproduct .

Ce qui suit est une manière intuitive de comprendre les nombres hyperréels. L'approche adoptée ici est très proche de celle du livre de Goldblatt . Rappelons que les suites convergeant vers zéro sont parfois appelées infiniment petites. Ce sont presque des infinitésimaux dans un sens ; les véritables infinitésimaux incluent certaines classes de suites qui contiennent une suite convergeant vers zéro.

Voyons d'où viennent ces classes. Considérons d'abord les suites de nombres réels. Elles forment un anneau , c'est-à-dire qu'on peut les multiplier, les additionner et les soustraire, mais pas forcément les diviser par un élément non nul. Les nombres réels sont considérés comme les suites constantes, la suite est nulle si elle est identiquement nulle, c'est-à-dire un _n = 0 pour tout n .

Dans notre anneau de suites, on peut obtenir ab = 0 sans a = 0 ni b = 0. Ainsi, si pour deux suites on a ab = 0, au moins l'une d'entre elles doit être déclarée nulle. De manière assez surprenante, il existe une manière cohérente de le faire. En conséquence, les classes d'équivalence des suites qui diffèrent par une séquence déclarée nulle formeront un corps, qui est appelé corps hyperréel . Il contiendra les infinitésimaux en plus des nombres réels ordinaires, ainsi que les nombres infiniment grands (les réciproques des infinitésimaux, y compris ceux représentés par des suites divergeant vers l'infini). De plus, tout hyperréel qui n'est pas infiniment grand sera infiniment proche d'un réel ordinaire, en d'autres termes, il sera la somme d'un réel ordinaire et d'un infinitésimal.

Cette construction est parallèle à la construction des réels à partir des rationnels donnée par Cantor . Il part de l'anneau des suites de Cauchy des rationnels et déclare nulles toutes les suites qui convergent vers zéro. Le résultat est les réels. Pour continuer la construction des hyperréels, considérons les ensembles nuls de nos suites, c'est-à-dire les , c'est-à-dire est l'ensemble des indices pour lesquels . Il est clair que si , alors l'union de et est N (l'ensemble de tous les nombres naturels), donc :

1. L’une des séquences qui s’annulent sur deux ensembles complémentaires doit être déclarée nulle.
2. Si est déclaré nul, il doit être déclaré nul également, quoi qu'il en soit.
3. Si et sont tous deux déclarés nuls, alors doivent également être déclarés nuls.

L'idée est maintenant de sélectionner un ensemble U de sous-ensembles X de N et de déclarer que si et seulement si appartient à U . A partir des conditions ci-dessus, on peut voir que :

1. Parmi deux ensembles complémentaires, l'un appartient à U .
2. Tout ensemble ayant un sous-ensemble qui appartient à U , appartient également à U .
3. Une intersection de deux ensembles appartenant à U appartient à U .
4. Enfin, nous ne voulons pas que l’ ensemble vide appartienne à U car alors tout appartiendrait à U , car chaque ensemble a l’ensemble vide comme sous-ensemble.

Toute famille d'ensembles qui satisfait (2–4) est appelée un filtre (un exemple : les compléments aux ensembles finis, on l'appelle le filtre de Fréchet et il est utilisé dans la théorie limite habituelle). Si (1) est également vrai, U est appelé un ultrafiltre (car on ne peut plus lui ajouter d'ensembles sans le casser). Le seul exemple explicitement connu d'un ultrafiltre est la famille d'ensembles contenant un élément donné (dans notre cas, disons, le nombre 10). De tels ultrafiltres sont dits triviaux, et si on les utilise dans notre construction, on revient aux nombres réels ordinaires. Tout ultrafiltre contenant un ensemble fini est trivial. On sait que tout filtre peut être étendu à un ultrafiltre, mais la preuve utilise l' axiome du choix . L'existence d'un ultrafiltre non trivial (le lemme de l'ultrafiltre ) peut être ajoutée comme axiome supplémentaire, car il est plus faible que l'axiome du choix.

Maintenant, si nous prenons un ultrafiltre non trivial (qui est une extension du filtre de Fréchet) et faisons notre construction, nous obtenons les nombres hyperréels en résultat.

Si est une fonction réelle d'une variable réelle alors s'étend naturellement à une fonction hyperréelle d'une variable hyperréelle par composition :

où signifie « la classe d'équivalence de la séquence par rapport à notre ultrafiltre », deux séquences étant dans la même classe si et seulement si l'ensemble nul de leur différence appartient à notre ultrafiltre.

Toutes les expressions et formules arithmétiques ont un sens pour les hyperréels et sont vraies si elles sont vraies pour les réels ordinaires. Il s'avère que tout hyperréel fini (c'est-à-dire tel que pour un réel ordinaire ) sera de la forme où est un réel ordinaire (dit standard) et est un infinitésimal. On peut le prouver par la méthode de bissection utilisée pour prouver le théorème de Bolzano-Weierstrass, la propriété (1) des ultrafiltres s'avère cruciale.

Les éléments finis F de *R forment un anneau local , et en fait un anneau de valuation , dont l'unique idéal maximal S est constitué des infinitésimaux ; le quotient F / S est isomorphe aux réels. On a donc une application homomorphe , st( x ), de F dans R dont le noyau est constitué des infinitésimaux et qui renvoie tout élément x de F à un unique nombre réel dont la différence avec x est dans S ; c'est-à-dire est infinitésimale. Autrement dit, tout nombre réel non standard fini est « très proche » d'un unique nombre réel, au sens où si x est un réel non standard fini, alors il existe un et un seul nombre réel st( x ) tel que x – st( x ) soit infinitésimal. Ce nombre st( x ) est appelé la partie standard de x , conceptuellement la même que x au nombre réel le plus proche . Cette opération est un homomorphisme préservant l'ordre et se comporte donc bien à la fois algébriquement et théoriquement. Il préserve l'ordre bien que non isotonique ; c'est- à-dire qu'il implique , mais n'implique pas .

• Nous avons, si x et y sont tous deux finis,
• Si x est fini et non infinitésimal.
• x est réel si et seulement si

L'application st est continue par rapport à la topologie d'ordre sur les hyperréels finis ; en fait elle est localement constante .

Supposons que X soit un espace de Tychonoff , aussi appelé espace T _3.5 , et que C( X ) soit l'algèbre des fonctions continues à valeurs réelles sur X . Supposons que M soit un idéal maximal dans C( X ). Alors l' algèbre factorielle A = C( X )/ M est un corps totalement ordonné F contenant les réels. Si F contient strictement R alors M est appelé un idéal hyperréel (terminologie due à Hewitt (1948)) et F un corps hyperréel . Notons qu'aucune hypothèse n'est faite selon laquelle la cardinalité de F est supérieure à R ; elle peut en fait avoir la même cardinalité.

Un cas particulier important est celui où la topologie sur X est la topologie discrète ; dans ce cas X peut être identifié à un nombre cardinal κ et C( X ) à l'algèbre réelle R ^κ des fonctions de κ dans R . Les champs hyperréels que nous obtenons dans ce cas sont appelés ultrapuissances de R et sont identiques aux ultrapuissances construites via des ultrafiltres libres en théorie des modèles.