Parallèle (opérateur)

Interprétation graphique de l'opérateur parallèle avec . ${\displaystyle a\parallel b=c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallèle b=c}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

L' opérateur parallèle (prononcé « parallèle », suivant la notation des lignes parallèles de la géométrie ; également connu sous le nom de somme réduite , somme parallèle ou addition parallèle ) est une fonction mathématique qui est utilisée comme abréviation en génie électrique , mais est également utilisée en cinétique , en mécanique des fluides et en mathématiques financières . Le nom parallèle vient de l'utilisation de l'opérateur calculant la résistance combinée des résistances en parallèle . ${\displaystyle \| <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Aperçu

L'opérateur parallèle représente la valeur réciproque d'une somme de valeurs réciproques (parfois également appelée « formule réciproque » ou « somme harmonique ») et est défini par :

{\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>:=</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>un</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>un</mi> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab} {a+b}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où a , b et sont des éléments des nombres complexes étendus ${\displaystyle a\parallel b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallèle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mi>∞</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'opérateur donne la moitié de la moyenne harmonique de deux nombres a et b .

Comme cas particulier, pour tout nombre : ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={ frac {1}{2}}a. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>∥</mo> <mi>un</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>un</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>un</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={ frac {1}{2}}a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

De plus, pour tous les nombres distincts : ${\displaystyle a eq b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a eq b}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{ frac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )}, | a ∥ b | > \frac{1}{2} min (| a |, | b |),

{ frac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04473aa8f3a0a4778bc30423679ca1f9f0eb9a9c">

avec représentant la valeur absolue de , et signifiant le minimum (le plus petit élément) parmi x et y . ${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big | <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a\parallel b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallel b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \min(x,y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>min</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \min(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si et sont des nombres réels positifs distincts alors ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle { frac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>min</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo><</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo><</mo> <mo>min</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { frac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le concept a été étendu d'une opération scalaire aux matrices et encore plus généralisé .

Notation

L'opérateur a été introduit à l'origine comme somme réduite par Sundaram Seshu en 1956, étudié comme opérateur ∗par Kent E. Erickson en 1959, et popularisé par Richard James Duffin et William Niles Anderson, Jr. comme opérateur d'addition parallèle ou de somme parallèle: en mathématiques et en théorie des réseaux depuis 1966. Alors que certains auteurs continuent à utiliser ce symbole jusqu'à présent, par exemple, Sujit Kumar Mitra l'a utilisé ∙comme symbole en 1970. En électronique appliquée , un ∥signe est devenu plus courant comme symbole de l'opérateur vers 1974. Il était souvent écrit sous forme de double ligne verticale (||) disponible dans la plupart des jeux de caractères (parfois en italique comme // ), mais peut maintenant être représenté à l'aide du caractère Unicode U+2225 ( ∥ ) pour « parallèle à ». Dans LaTeX et les langages de balisage associés, les macros \|et \parallelsont souvent utilisées (et rarement \smallparallelutilisées) pour désigner le symbole de l'opérateur.

Propriétés

Soit représenter le plan complexe étendu excluant zéro, et la fonction bijective de à telle que On ait des identités ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mi>∞</mi> <mo>}</mo> <mo>∖</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varphi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varphi (z)=1/z. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi (z)=1/z.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>∥</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci implique immédiatement que est un corps où l'opérateur parallèle prend la place de l'addition, et que ce corps est isomorphe à ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {C} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les propriétés suivantes peuvent être obtenues en traduisant les propriétés correspondantes des nombres complexes. ${\displaystyle \varphi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés du champ

Comme tout domaine, il répond à une variété d’identités fondamentales. ${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\parallel ,\cdot ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo>∥</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\parallel ,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il est commutatif en parallèle et en multiplication :

{\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il est associatif sous parallèle et multiplication :

{\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>∥</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <mi>c</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les deux opérations ont un élément d'identité ; pour la parallèle, l'identité est 1 tandis que pour la multiplication, l'identité est 1 : ${\displaystyle \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>∞</mi> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tout élément de possède un inverse sous parallèle, égal à l'inverse additif sous addition. (Mais 0 n'a pas d'inverse sous parallèle.) ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle -a, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -a,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'élément d'identité est son propre inverse, ${\displaystyle \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∞</mi> <mo>∥</mo> <mi>∞</mi> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Chaque élément de possède un inverse multiplicatif : ${\displaystyle a eq \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a eq \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a^{-1}=1/a <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a^{-1}=1/a}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La multiplication est distributive sur parallèle :

{\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>k</mi> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>k</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>k</mi> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Parallèle répété

La répétition parallèle équivaut à une division,

{\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{ ext{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{ ext{ times}}}}}={\frac {a}{n}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mrow> <munder> <mrow> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <munder> <mrow> <munder> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{ ext{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{ ext{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ou, en multipliant les deux côtés par n ,

{\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{ ext{ times}}})=a. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <munder> <mrow> <munder> <mrow> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> times</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{ ext{ times}}})=a.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Contrairement à l'addition répétée , celle-ci ne commute pas : ${\displaystyle a/b eq b/a. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a/b eq b/a.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Développement du binôme

En utilisant deux fois la propriété distributive, le produit de deux binômes parallèles peut être développé comme

{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>∥</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>∥</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>∥</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le carré d'un binôme est

{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel { frac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel { frac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le cube d'un binôme est

{\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel { frac {1}{3}}a^{2}b\parallel { frac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>∥</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel { frac {1}{3}}a^{2}b\parallel { frac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En général, la n -ième puissance d'un binôme peut être développée en utilisant des coefficients binomiaux qui sont l'inverse de ceux sous addition, ce qui donne un analogue de la formule binomiale :

{\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>0</mn> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Logarithme et exponentiel

Les identités suivantes sont valables :

{\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}} ight)=\exp \left({\frac {1}{a}} ight)\exp \left({\frac {1}{b}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}} ight)=\exp \left({\frac {1}{a}} ight)\exp \left({\frac {1}{b}} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Fonctions parallèles

Une fonction parallèle est une fonction qui commute avec l'opération parallèle :

{\displaystyle f\left(a\parallel b ight)=f(a)\parallel f(b) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mo>∥</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\left(a\parallel b ight)=f(a)\parallel f(b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par exemple, est une fonction parallèle, car ${\displaystyle f(x)=cx <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x)=cx}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c(a\parallel b)=ca\parallel cb. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mi>c</mi> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c(a\parallel b)=ca\parallel cb.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Factorisation de polynômes parallèles

Comme avec un polynôme sous addition, un polynôme parallèle à coefficients dans (avec ) peut être factorisé en un produit de monômes : ${\displaystyle a_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle {\widetilde {\mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{0} eq \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{0} eq \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>⋯</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour certaines racines (éventuellement répétées) dans ${\displaystyle r_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Analogue aux polynômes sous addition, l'équation polynomiale

{\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>⋯</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

implique que pour un certain k . ${ extstyle x=r_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle x=r_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Formule quadratique

Une équation linéaire peut être facilement résolue via l'inverse parallèle :

{\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace></mspace> <mo>⟹</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Pour résoudre une équation quadratique parallèle, complétez le carré pour obtenir un analogue de la formule quadratique

{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}} ight)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}} ight)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{ frac {1}{4}}ac}{{ frac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{ frac {1}{4}}ac}}}{{ frac {1}{2}}a}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>∞</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∥</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace></mspace> <mo>⟹</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>∥</mo> <mo>±</mo> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}} ight)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}} ight)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{ frac {1}{4}}ac}{{ frac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{ frac {1}{4}}ac}}}{{ frac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Y compris zéro

Les nombres complexes étendus incluant zéro ne sont plus un corps sous parallèle et multiplication, car 0 n'a pas d'inverse sous parallèle. (C'est analogue à la façon dont 0 n'est pas un corps car il n'a pas d'inverse additif.) ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty , <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>∪</mo> <mi>∞</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>⋅</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \infty }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour tout a non nul ,

{\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>∥</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La quantité peut être laissée indéfinie (voir forme indéterminée ) ou définie comme égale à 0 . ${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>∥</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>∥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Priorité

En l'absence de parenthèses, l'opérateur parallèle est défini comme ayant la priorité sur l'addition ou la soustraction, de manière similaire à la multiplication.

Applications

L'opérateur parallèle trouve des applications en électronique, en optique et dans l'étude de la périodicité :

Analyse de circuit

En génie électrique , l'opérateur parallèle peut être utilisé pour calculer l'impédance totale de divers circuits électriques en série et en parallèle . Il existe une dualité entre la somme habituelle (en série) et la somme parallèle.

Par exemple, la résistance totale des résistances connectées en parallèle est l’inverse de la somme des inverses des résistances individuelles .

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{ ext{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{ ext{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mtext>eq</mtext> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mtext>eq</mtext> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <mo>⋯</mo> <mo>∥</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{ ext{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{ ext{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

De même pour la capacité totale des condensateurs en série .

Équation de lentille

En optique géométrique, approximation de la lentille mince à l'équation du fabricant de la lentille.

{\displaystyle f= ho _{virtual}\parallel ho _{object <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>ρ</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>t</mi> <mi>u</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <msub> <mi>ρ</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f= ho _{virtual}\parallel ho _{object}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Période synodique

Le temps entre les conjonctions de deux corps en orbite est appelé période synodique . Si la période du corps le plus lent est T ₂ et celle du corps le plus rapide est T ₁ , alors la période synodique est

{\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>y</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Exemples

Question:

Trois résistances , et sont connectées en parallèle . Quelle est leur résistance résultante ?

{\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>270</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>180</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>120</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Répondre:

{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>270</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>∥</mo> <mn>180</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>∥</mo> <mn>120</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>270</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>180</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>120</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>≈</mo> <mn>56.84</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Ω</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La résistance effectivement obtenue est d'environ 57 kΩ .

Question :

Un ouvrier du bâtiment élève un mur en 5 heures. Un autre ouvrier aurait besoin de 7 heures pour le même travail. Combien de temps faut-il pour construire le mur si les deux ouvriers travaillent en parallèle ?

Répondre:

{\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∥</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mo>∥</mo> <mn>7</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>5</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>7</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>2.92</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ils finiront dans près de 3 heures.

Mise en œuvre

WP 34S avec opérateur parallèle ( `∥`) sur la touche `g`+ .`÷`

Déjà proposé par Kent E. Erickson comme sous-programme dans les ordinateurs numériques en 1959, l'opérateur parallèle est implémenté comme opérateur de clavier sur les calculatrices scientifiques à notation polonaise inversée (RPN) WP 34S depuis 2008 ainsi que sur les WP 34C et WP 43S depuis 2015, permettant de résoudre même des problèmes en cascade avec quelques frappes de touches comme . 270↵ Enter180∥120∥

Vue projective

Étant donné un corps F, il existe deux plongements de F dans la droite projective P( F ) : z → [ z : 1] et z → [1 : z ]. Ces plongements se chevauchent sauf pour [0:1] et [1:0]. L'opérateur parallèle relie l'opération d'addition entre les plongements. En fait, les homographies sur la droite projective sont représentées par des matrices 2 x 2 M(2, F ), et les opérations de corps (+ et ×) sont étendues aux homographies. Chaque plongement a son addition a + b représentée par les multiplications matricielles suivantes dans M(2, A ) :

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les deux produits matriciels montrent qu'il existe deux sous-groupes de M(2, F ) isomorphes à ( F ,+), le groupe additif de F . Selon l'incorporation utilisée, une opération est +, l'autre est ${\displaystyle \parallel . <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∥</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \parallel .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Parallèle (opérateur)

Aperçu

Notation

Propriétés

Propriétés du champ

Parallèle répété

Développement du binôme

Logarithme et exponentiel

Fonctions parallèles

Factorisation de polynômes parallèles

Formule quadratique

Y compris zéro

Priorité

Applications

Analyse de circuit

Équation de lentille

Période synodique

Exemples

Mise en œuvre

Vue projective

Remarques

Lectures complémentaires