Sénateur

Un système de numération sénaire ( / ˈ s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ) (également appelé base 6 , hexadécimale ou seximale ) a six comme base . Il a été adopté indépendamment par un petit nombre de cultures. Comme la base décimale 10, la base est un nombre semi-premier , bien qu'il soit unique en tant que produit des deux seuls nombres consécutifs qui sont tous deux premiers (2 et 3). Comme six est un nombre hautement composé supérieur , de nombreux arguments avancés en faveur du système duodécimal s'appliquent également au système sénaire.

L' ensemble standard de chiffres dans le système sénaire est , avec l' ordre linéaire . Soit la fermeture de Kleene de , où est l'opération de concaténation de chaînes pour . Le système sénaire pour les nombres naturels est l' ensemble quotient muni d'un ordre shortlex , où la classe d'équivalence est . Comme a un ordre shortlex, il est isomorphe aux nombres naturels .

Lorsqu'ils sont exprimés en sénaire, tous les nombres premiers autres que 2 et 3 ont 1 ou 5 comme chiffre final. En sénaire, les nombres premiers s'écrivent :

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (séquence A004680 dans l' OEIS )

C'est-à-dire que pour tout nombre premier p supérieur à 3, on a les relations arithmétiques modulaires selon lesquelles soit p ≡ 1, soit 5 (mod 6) (c'est-à-dire que 6 divise soit p − 1, soit p − 5) ; le chiffre final est un 1 ou un 5. Ceci se prouve par l'absurde.

Pour tout entier n :

• Si n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Si n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Si n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Si n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

De plus, comme les quatre plus petits nombres premiers (2, 3, 5, 7) sont soit des diviseurs, soit des voisins de 6, Senary dispose de tests de divisibilité simples pour de nombreux nombres.

De plus, tous les nombres pairs parfaits, à l'exception de 6, ont 44 comme deux derniers chiffres lorsqu'ils sont exprimés en sénaire, ce qui est prouvé par le fait que tout nombre pair parfait est de la forme 2 ^{p – 1} (2 ^p – 1) , où 2 ^p − 1 est premier.

Senary est également la plus grande base de nombres r qui n'a pas d' autres totatifs que 1 et r − 1, ce qui rend sa table de multiplication très régulière pour sa taille, minimisant ainsi l'effort nécessaire pour mémoriser sa table. Cette propriété maximise la probabilité que le résultat d'une multiplication d'entiers se termine par zéro, étant donné qu'aucun de ses facteurs ne le fait.

Si un nombre est divisible par 2, alors le dernier chiffre de ce nombre, exprimé en sénaire, est 0, 2 ou 4. Si un nombre est divisible par 3, alors le dernier chiffre de ce nombre en sénaire est 0 ou 3. Un nombre est divisible par 4 si son avant-dernier chiffre est impair et son dernier chiffre est 2, ou si son avant-dernier chiffre est pair et son dernier chiffre est 0 ou 4. Un nombre est divisible par 5 si la somme de ses chiffres sénaires est divisible par 5 (l'équivalent de la suppression des neufs en décimal). Si un nombre est divisible par 6, alors le dernier chiffre de ce nombre est 0. Pour déterminer si un nombre est divisible par 7, on peut additionner ses chiffres alternatifs et soustraire ces sommes ; si le résultat est divisible par 7, le nombre est divisible par 7, de manière similaire au test de divisibilité « 11 » en décimal.

Étant donné que six est le produit des deux premiers nombres premiers et est adjacent aux deux nombres premiers suivants, de nombreuses fractions sénaires ont des représentations simples :

On peut dire que chaque main humaine ordinaire possède six positions sans ambiguïté : un poing, un doigt étendu, deux, trois, quatre, puis les cinq doigts étendus.

Si la main droite est utilisée pour représenter une unité (de 0 à 5) et la gauche pour représenter les multiples de 6, il devient alors possible pour une personne de représenter les valeurs de zéro à 55 _sénaires (35 _décimaux ) avec ses doigts, plutôt que les dix habituels obtenus dans le comptage digital standard. Par exemple, si trois doigts sont étendus sur la main gauche et quatre sur la droite, 34 _sénaires sont représentés. Cela équivaut à 3 × 6 + 4 , soit 22 _décimaux .

De plus, cette méthode est la façon la moins abstraite de compter avec les deux mains, ce qui reflète le concept de notation positionnelle , car le mouvement d'une position à l'autre s'effectue en passant d'une main à l'autre. Alors que la plupart des cultures développées comptent avec les doigts jusqu'à 5 de manière très similaire, au-delà de 5, les cultures non occidentales s'écartent des méthodes occidentales, comme avec les gestes numériques chinois . Comme le comptage des doigts sénaires ne s'écarte également que de 5, cette méthode de comptage rivalise avec la simplicité des méthodes de comptage traditionnelles, un fait qui peut avoir des implications pour l'enseignement de la notation positionnelle aux jeunes étudiants.

Le choix de la main utilisée pour les « six » et les unités dépend de la préférence du compteur. Cependant, du point de vue du compteur, l'utilisation de la main gauche comme chiffre le plus significatif correspond à la représentation écrite du même nombre sénaire. Le fait de retourner la main des « six » vers l'arrière peut aider à clarifier davantage quelle main représente les « six » et laquelle représente les unités. L'inconvénient du comptage sénaire est cependant que, sans accord préalable, les deux parties ne pourraient pas utiliser ce système, car elles ne sauraient pas quelle main représente les six et quelle main représente les unités, alors que le comptage décimal (avec des nombres au-delà de 5 exprimés par une paume ouverte et des doigts supplémentaires) étant essentiellement un système unaire, l'autre partie doit seulement compter le nombre de doigts étendus.

Dans le basket-ball de la NCAA , les numéros d'uniforme des joueurs sont limités à des numéros sénaires d'au plus deux chiffres, afin que les arbitres puissent signaler quel joueur a commis une infraction en utilisant ce système de comptage des doigts.

Des systèmes de comptage des doigts plus abstraits , comme le chisanbop ou le binaire des doigts , permettent de compter jusqu'à 99, 1023, voire plus selon la méthode (bien que pas nécessairement de nature sénaire). Le moine et historien anglais Bède , décrit dans le premier chapitre de son ouvrage De temporum ratione (725), intitulé « Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum », un système qui permet de compter jusqu'à 9 999 sur deux mains.

Malgré la rareté des cultures qui regroupent de grandes quantités par 6, un examen du développement des systèmes numériques suggère un seuil de numérotation à 6 (qui peut être conceptualisé comme « entier », « poing » ou « au-delà de cinq doigts » ), les nombres de 1 à 6 étant souvent des formes pures, et les nombres étant ensuite construits ou empruntés.

La langue Ndom de la Nouvelle-Guinée indonésienne aurait des chiffres sénaires. Mer signifie 6, mer an thef signifie 6 × 2 = 12, nif signifie 36 et nif thef signifie 36 × 2 = 72.

Un autre exemple de Papouasie-Nouvelle-Guinée est celui des langues Yam . Dans ces langues, le comptage est lié au comptage ritualisé des yams. Ces langues comptent à partir d'une base de six, en utilisant des mots pour les puissances de six, allant jusqu'à 6 ⁶ pour certaines langues. Un exemple est le Komnzo avec les nombres suivants : nibo (6 ¹ ), fta (6 ² [36]), taruba (6 ³ [216]), damno (6 ⁴ [1296]), wärämäkä (6 ⁵ [7776]), wi (6 ⁶ [46656]).

Certaines langues nigéro-congolaises utiliseraient un système de numération sénaire, généralement en plus d'un autre, tel que décimal ou vigésimal .

On a également soupçonné que le proto-ouralien avait des nombres sénaires, un nombre pour 7 ayant été emprunté plus tard, bien que les preuves de la construction de nombres plus grands (8 et 9) par soustraction à partir de dix suggèrent que ce n'est peut-être pas le cas.

Pour certains usages, la base sénaire peut être trop petite pour être pratique. Cela peut être contourné en utilisant son carré, base 36 (hexatrigésimal), car la conversion est alors facilitée en effectuant simplement les remplacements suivants :

Ainsi, le nombre en base 36 3ARK ₃₆ est égal au nombre sénaire 3144332 ₆ . En décimal, cela donne 153 920.

Le choix de 36 comme base est pratique dans la mesure où les chiffres peuvent être représentés à l'aide des chiffres arabes 0 à 9 et des lettres latines A à Z ; ce choix est la base du schéma de codage en base 36. L'effet de compression du fait que 36 est le carré de 6 fait que de nombreux modèles et représentations sont plus courts en base 36 :

⁠1/9 ₁₀= 0,04 ₆ = 0,4 ₃₆

⁠1/16 ₁₀= 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

⁠1/5 ₁₀= 0,16 = 0,736​_​​

⁠1/7 ₁₀= 0,05 ₆ = 0,5 ₃₆​