3-sphère

En mathématiques , une hypersphère , ou 3-sphère, est l'analogue quadridimensionnel d'une sphère , et plus précisément la n- sphère tridimensionnelle . Dans l'espace euclidien quadridimensionnel , elle désigne l'ensemble des points équidistants d'un centre fixe. L'intérieur d'une 3-sphère est appelé boule de dimension 4 .

On l'appelle 3-sphère car, topologiquement, sa surface est tridimensionnelle, bien qu'elle soit courbe dans la quatrième dimension. Par exemple, en se déplaçant sur une 3-sphère, on peut aller du nord au sud, d'est en ouest, ou suivre un troisième ensemble de points cardinaux. Cela signifie qu'une 3-sphère est un exemple de 3-variété .

Définition

En coordonnées une 3-sphère de centre et de rayon , à dimensions que

{\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}. <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></munderover><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La 3-sphère centrée à l'origine et de rayon 1 est appelée la 3-sphère unité et est généralement notée :

{\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1 ight\}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>:</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mo>}</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1 ight\}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Il est souvent commode de considérer comme l'espace à 2 complexes ( ) ou aux quaternions ( . La 3-sphère unité est alors donnée par

{\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1 ight\ <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>:</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mo>}</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1 ight\}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1 ight\}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>H</mi></mrow><mo>:</mo><mo>‖</mo><mi>q</mi><mo>‖</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mo>}</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H}</annotation></semantics></math>:|q|=1 ight\}.} </span><img src=

Cette description, en tant que quaternions de norme un, identifie la 3-sphère aux verseurs de l' anneau de division des quaternions . De même que le cercle unité est important pour les coordonnées polaires planes , la 3-sphère est importante dans la représentation polaire de l'espace à quatre dimensions intervenant dans la multiplication des quaternions. Voir la décomposition polaire d'un quaternion pour plus de détails sur ce développement de la 3-sphère. Cette représentation de la 3-sphère est à la base de l'étude de l'espace elliptique développée par Georges Lemaître .

Propriétés

Propriétés élémentaires

Le volume de surface tridimensionnel d'une 3-sphère de rayon ${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\, </span referrerpolicy=$

tandis que l'hypervolume quadridimensionnel (le contenu de la région quadridimensionnelle, ou boule, délimitée par la sphère tridimensionnelle) est

{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}. <semantics><mrow><mstyle><mi>H</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><msup><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>r</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Toute intersection non vide d'une 3-sphère avec un hyperplan tridimensionnel est une 2-sphère (sauf si l'hyperplan est tangent à la 3-sphère, auquel cas l'intersection est un point). Lorsqu'une 3-sphère traverse un hyperplan tridimensionnel donné, l'intersection est initialement un point, puis se transforme en une 2-sphère qui s'étend jusqu'à atteindre sa taille maximale lorsque l'hyperplan coupe l'« équateur » de la 3-sphère. Ensuite, la 2-sphère se réduit à un point lorsque la 3-sphère sort de l'hyperplan.

Dans un hyperplan tridimensionnel donné, une 3-sphère peut tourner autour d'un « plan équatorial » (analogue à une 2-sphère tournant autour d'un axe central), auquel cas elle apparaît comme une 2-sphère dont la taille est constante.

propriétés topologiques

Une 3-sphère est une variété compacte , connexe et tridimensionnelle sans bord. Elle est également simplement connexe . Autrement dit, au sens large, toute boucle, ou trajectoire circulaire, sur la 3-sphère peut être continûment réduite à un point sans sortir de la 3-sphère. La conjecture de Poincaré , démontrée en 2003 par Grigori Perelman , établit que la 3-sphère est la seule variété tridimensionnelle (à homéomorphisme près ) possédant ces propriétés.

La 3-sphère est homéomorphe à la compactification à un point de . En général, tout espace topologique homéomorphe à la 3-sphère est appelé une 3-sphère topologique .

Les groupes d'homologie de la 3-sphère sont les suivants : H₃ tous deux infinis , tandis que pour tout autre indice homologie est appelé une 3-sphère d'homologie Initialement, conjectura que toutes les 3-sphères d'homologie étaient homéomorphes à , mais il en construisit ensuite une qui ne l'était pas, aujourd'hui connue sous le nom de d'homologie de Poincaré On sait maintenant qu'il existe une infinité de sphères d'homologie. Par exemple, un remplissage de Dehn de pente / n sur tout nœud de la 3-sphère définit une sphère d'homologie ; généralement ces sphères ne sont pas homéomorphes à la 3-sphère.

Concernant les groupes d'homotopie , on et est cyclique infini. Les groupes d'homotopie d'ordre supérieur ( sont tous abéliens finis, présentent par ailleurs aucune régularité discernable. Pour plus de détails, voir l'article sur groupes d'homotopie des sphères .

propriétés géométriques

La 3-sphère est naturellement une variété différentiable , plus précisément une sous-variété fermée et plongée de . La métrique euclidienne sur induit une métrique sur la 3-sphère, lui conférant la structure d'une riemannienne . Comme toutes les sphères, la 3-sphère possède une courbure sectionnelle positive et constante à r² le -sphère, voir l'article « Champs de vecteurs sur les sphères » .

Il existe une action intéressante du groupe du cercle sur qui confère à la 3-sphère la structure d'un fibré principal du cercle, de Hopf Si l'on considère comme un sous-ensemble de , cette action est donnée par

{\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><mi>λ</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>λ</mi><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>λ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>∀</mi><mi>λ</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>T</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }</annotation></semantics></math></span><img src=

L' espace orbital de cette action est homéomorphe à la 2-sphère . Puisque n'est pas homéomorphe à , le fibré de Hopf est non trivial.

construction topologique

Il existe plusieurs constructions bien connues de la 3-sphère. Nous décrivons ici le collage d'une paire de 3-sphères, puis la compactification en un point.

Collage

On peut construire topologiquement une 3-sphère en « collant » les frontières de deux 3- boules . La frontière d'une 3-boule est une 2-sphère, et ces deux 2-sphères doivent être identifiées. Autrement dit, on imagine deux 3-boules de même taille, puis on les superpose de sorte que leurs frontières sphériques coïncident, et l'on considère que les paires de points identiques sur ces 2-sphères sont identiquement équivalentes. Par analogie avec le cas de la 2-sphère (voir ci-dessous), la surface de collage est appelée sphère équatoriale.

Il est important de noter que les intérieurs des 3-sphères ne sont pas collés. On peut concevoir la quatrième dimension comme une fonction continue à valeurs réelles des coordonnées tridimensionnelles de la 3-sphère, que l'on peut assimiler à sa « température ». On considère que la « température » est nulle le long de la 2-sphère de collage et on qualifie l'une des 3-sphères de « chaude » et l'autre de « froide ». La 3-sphère « chaude » peut être assimilée à l'« hémisphère supérieur » et la 3-sphère « froide » à l'« hémisphère inférieur ». La température est maximale/minimale au centre des deux 3-sphères.

Cette construction est analogue à celle d'une 2-sphère, obtenue en collant les bords de deux disques. Un disque est une 2-sphère, et son bord est un cercle (une 1-sphère). Considérons deux disques de même diamètre. Superposons-les et collons les points correspondants sur leurs bords. On peut alors concevoir la troisième dimension comme la température. De même, on peut gonfler la 2-sphère en déplaçant les deux disques pour former les hémisphères nord et sud.

Compactage en un point

Après avoir retiré un seul point de la sphère à deux dimensions, le plan restant est homéomorphe au plan euclidien. De même, le retrait d'un seul point de la sphère à trois dimensions donne naissance à l'espace tridimensionnel. Une méthode extrêmement utile pour visualiser ce phénomène est la projection stéréographique . Nous décrivons d'abord la version à dimensions inférieures.

Place le pôle sud d'une 2-sphère unité sur le plan de la sphère (sans le pôle nord à l'intersection de la droite sont envoyés au pôle Nord. Puisque le disque unité ouvert est homéomorphe au plan euclidien, il s'agit là encore d'une compactification à un point.

L'application exponentielle pour la 3-sphère est construite de manière similaire ; elle peut également être discutée en utilisant le fait que la 3-sphère est le groupe de Lie des quaternions unitaires.

Systèmes de coordonnées sur la 3-sphère

Les quatre coordonnées euclidiennes de car elles sont soumises à la condition variété tridimensionnelle, S³ devrait pouvoir être paramétrée 2 dimensions est paramétrée par deux coordonnées ( latitude et longitude par exemple ). Du fait de la topologie non triviale de nécessaire d'utiliser au moins deux systèmes de coordonnées Différents choix de coordonnées sont présentés ci-dessous.

Coordonnées hypersphériques

Il est commode d'utiliser des coordonnées hypersphériques sur par analogie avec les coordonnées sphériques usuelles sur Un choix possible — loin d'être unique — consiste à utiliser , où

{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos heta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin heta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin heta \sin \varphi \end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>φ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos heta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin heta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin heta \sin \varphi \end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où parcourent l'intervalle [0, parcourt l'intervalle [0, 2π , paramétrisent une 2-sphère de rayon . ${\displaystyle r\sin \psi <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r\sin \psi }</annotation></semantics></math></span><img src=$

La métrique ronde sur la 3-sphère dans ces coordonnées est donnée par

{\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d heta ^{2}+\sin ^{2} heta \,d\varphi ^{2} ight) ight] <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>d</mi><msup><mi>ψ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msup><mi>φ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d heta ^{2}+\sin ^{2} heta \,d\varphi ^{2} ight) ight]}</annotation></semantics></math></span><img src=

et la forme du volume par

{\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin heta ight)\,d\psi \wedge d heta \wedge d\varphi . <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><msup><mi>r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>ψ</mi><mspace></mspace><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>ψ</mi><mo>∧</mo><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>∧</mo><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin heta ight)\,d\psi \wedge d heta \wedge d\varphi .}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ces coordonnées admettent une description élégante à l'aide de quaternions . Tout quaternion unitaire ${\displaystyle q=e^{ au \psi }=\cos \psi + au \sin \psi </span referrerpolicy=$

où . Il s'agit de l'analogue quaternionique de la formule d'Euler . Or, tous les quaternions imaginaires unitaires appartiennent à la 2-sphère unité de , donc tout ${\displaystyle au =(\cos heta )i+(\sin heta \cos \varphi )j+(\sin heta \sin \varphi )k </span referrerpolicy=$

Avec est donné par

{\displaystyle q=e^{ au \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k <semantics><mrow><mstyle><mi>q</mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>τ</mi><mi>ψ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>je</mi><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle q=e^{ au \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}</annotation></semantics></math></span><img src=

où sont comme ci-dessus.

Lorsque à travers un angle de .

Coordonnées de Hopf

Pour un rayon unitaire, un autre choix de coordonnées hypersphériques, de C² En coordonnées complexes on écrit

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela pourrait également s'exprimer dans comme

{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ici, / 2 ] , et et peuvent prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 2π ${\displaystyle S^{1} o S^{3} o S^{2}.\, </span referrerpolicy=$

Pour toute valeur fixée de / 2 , les coordonnées ) paramétrisent un tore bidimensionnel . Les anneaux de valeurs constantes forment , lorsque / 2 , ces coordonnées décrivent un cercle .

La métrique ronde sur la 3-sphère dans ces coordonnées est donnée par

{\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>d</mi><msup><mi>η</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msubsup><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><msubsup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

et la forme du volume par

{\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}. <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>η</mi><mo>∧</mo><mi>d</mi><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∧</mo><mi>d</mi><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour obtenir les cercles imbriqués de la fibration de Hopf , effectuez une simple substitution dans les équations ci-dessus

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><mo>(</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><mo>(</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans ce cas , désignent le cercle considéré, et la position sur chaque cercle. Un aller-retour (de 0 à 2π un -retour du tore dans les deux directions respectives.

Coordonnées stéréographiques

On peut obtenir un autre système de coordonnées pratique par projection stéréographique de à partir d'un pôle sur l' hyperplan équatorial correspondant . Par exemple, si l'on projette à partir du point écrire un point comme

{\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}} ight)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mo>‖</mo><mi>vous</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>vous</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>vous</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}} ight)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où est un vecteur de ‖u‖² ( u₁² + u₂² + ^u₃²) à quaternionique est non commutative). S³

{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3} ight). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3} ight).}</annotation></semantics></math></span><img src=

On aurait tout aussi bien pu projeter à partir du point est donné par

{\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}} ight)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>v</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>v</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mrow><mi>v</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>‖</mo><mi>v</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}} ight)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où est un autre vecteur de inverse de cette sur ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3} ight). </span referrerpolicy=$

Notez que les coordonnées sont définies partout sauf en constitué de deux cartes de coordonnées, « patches », qui couvrent ensemble tout sur leur zone de chevauchement est donnée par

{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mo>‖</mo><mi>vous</mi><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>vous</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }</annotation></semantics></math></span><img src=

et vice versa.

structure du groupe

Considéré comme l'ensemble des quaternions unitaires , hérite d'une structure importante : celle de la multiplication quaternionique. Puisque l'ensemble des quaternions unitaires est stable par multiplication, comporte comme un groupe . De plus, la multiplication quaternionique étant lisse , peut être vu comme un groupe de Lie . C'est un groupe souvent noté ou .

Il s'avère que les seules sphères admettant une structure de groupe de Lie sont l'ensemble des nombres complexes unitaires , et , l'ensemble des quaternions unitaires (le cas dégénéré constitué des nombres réels 1 et −1, est également un groupe de Lie, mais de dimension 0). On pourrait penser que l'ensemble des octonions unitaires , formerait un groupe de Lie, mais cela n'est pas le cas car la multiplication des octonions est . La structure octonionique confère néanmoins une propriété importante : la parallélisabilité . Il s'avère que seules sphères parallélisables sont , et

En utilisant une représentation matricielle des quaternions, , on obtient une représentation matricielle de Les matrices de Pauli constituent un choix pratique :

{\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mi>je</mi><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mi>k</mi><mo>↦</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>x</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mi>je</mi><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette application définit un homomorphisme d'algèbre injectif de vers l'ensemble des matrices complexes 2 × 2. Elle possède la propriété que la valeur absolue d'un quaternion .

L'ensemble des quaternions unitaires est alors donné par des matrices de la forme ci-dessus et de déterminant unitaire. Ce sous-groupe de matrices est précisément le groupe unitaire spécial en tant que groupe de Lie, est isomorphe à pouvons alors écrire n'importe quel élément de

{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd><mtd><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd><mtd><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mspace></mspace><msub><mi>ξ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>η</mi></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Une autre façon d'énoncer ce résultat consiste à exprimer la représentation matricielle d'un élément de peut s'écrire comme

{\displaystyle U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i} ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></munderover><msub><mi>α</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mi>J</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i} ight).}</annotation></semantics></math></span><img src=

La condition selon laquelle le déterminant de sont contraints de se trouver sur une 3-sphère.

En littérature

Dans Flatland d' Edwin Abbott Abbott , publié en 1884, et dans Sphereland , une suite de Flatland de 1965 par Dionys Burger , la 3-sphère est appelée sursphère et la 4-sphère est appelée hypersphère .

Dans un article paru dans l’ American Journal of Physics , Mark A. Peterson décrit trois manières différentes de visualiser les 3-sphères et souligne un passage de la Divine Comédie qui suggère que Dante voyait l’Univers de la même façon ; Carlo Rovelli soutient la même idée.

Dans Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension , Stephen L. Lipscomb développe le concept des dimensions de l'hypersphère en relation avec l'art, l'architecture et les mathématiques.