Apportez du radical

En algèbre , le radical ou l'ultradical Bring d'un nombre réel a est l'unique racine réelle du polynôme

Le radical de Bring d'un nombre complexe a est soit l'une des cinq racines du polynôme ci-dessus (il est donc multivalué ), soit une racine spécifique, qui est généralement choisie de telle sorte que le radical de Bring soit à valeur réelle pour un nombre réel a et soit une fonction analytique dans un voisinage de la droite réelle. En raison de l'existence de quatre points de ramification , le radical de Bring ne peut pas être défini comme une fonction continue sur tout le plan complexe , et son domaine de continuité doit exclure quatre coupures de ramification .

George Jerrard a montré que certaines équations quintiques peuvent être résolues sous forme fermée en utilisant des radicaux et des radicaux de Bring, qui ont été introduits par Erland Bring .

Dans cet article, le radical Bring de a est noté Pour un argument réel, il est impair, décroissant de façon monotone et non borné, avec un comportement asymptotique pour les grands .

L'équation quintique est assez difficile à résoudre directement, avec cinq coefficients indépendants dans sa forme la plus générale :

Les différentes méthodes de résolution de la quintique qui ont été développées tentent généralement de simplifier la quintique en utilisant des transformations de Tschirnhaus pour réduire le nombre de coefficients indépendants.

La quintique générale peut être réduite à ce qu'on appelle la forme quintique principale , les termes quartique et cubique étant supprimés :

Si les racines d'une quintique générale et d'une quintique principale sont reliées par une transformation quadratique de Tschirnhaus, les coefficients et peuvent être déterminés en utilisant la résultante , ou au moyen des sommes de puissance des racines et des identités de Newton . Cela conduit à un système d'équations en et constitué d'une équation quadratique et d'une équation linéaire, et l'un ou l'autre des deux ensembles de solutions peut être utilisé pour obtenir les trois coefficients correspondants de la forme quintique principale.

Cette forme est utilisée par la solution de Felix Klein à la quintique.

Il est possible de simplifier encore davantage la quintique et d'éliminer le terme quadratique, ce qui produit la forme normale de Bring-Jerrard : Utiliser à nouveau les formules de somme de puissance avec une transformation cubique comme Tschirnhaus l'a essayé ne fonctionne pas, car le système d'équations résultant donne une équation du sixième degré. Mais en 1796, Bring a trouvé un moyen de contourner ce problème en utilisant une transformation quartique de Tschirnhaus pour relier les racines d'une quintique principale à celles d'une quintique de Bring-Jerrard :

Le paramètre supplémentaire fourni par cette transformation de quatrième ordre a permis à Bring de diminuer les degrés des autres paramètres. Cela conduit à un système de cinq équations à six inconnues, qui nécessite ensuite la résolution d'une équation cubique et d'une équation quadratique. Cette méthode a également été découverte par Jerrard en 1852, mais il est probable qu'il n'était pas au courant des travaux antérieurs de Bring dans ce domaine. La transformation complète peut facilement être réalisée à l'aide d'un logiciel d'algèbre informatique tel que Mathematica ou Maple . Comme on pouvait s'y attendre compte tenu de la complexité de ces transformations, les expressions résultantes peuvent être énormes, en particulier lorsqu'on les compare aux solutions en radicaux pour les équations de degré inférieur, prenant plusieurs mégaoctets de stockage pour une quintique générale avec des coefficients symboliques.

Considérée comme une fonction algébrique, les solutions de impliquent deux variables, d ₁ et d ₀ ; cependant, la réduction se fait en fait à une fonction algébrique d'une variable, très analogue à une solution en radicaux, puisque nous pouvons réduire encore la forme de Bring-Jerrard. Si nous posons par exemple alors nous réduisons l'équation à la forme qui implique z comme fonction algébrique d'une seule variable , où . Cette forme est requise par la méthode d'Hermite-Kronecker-Brioschi, la méthode de Glasser et la méthode de Cockle-Harley des résolvantes différentielles décrites ci-dessous.

Une forme alternative est obtenue en définissant de telle sorte que où . Cette forme est utilisée pour définir le radical Bring ci-dessous.

Il existe une autre forme normale à un paramètre pour l'équation quintique, connue sous le nom de forme normale de Brioschi , qui peut être dérivée en utilisant la transformation rationnelle de Tschirnhaus pour relier les racines d'une quintique générale à une quintique de Brioschi. Les valeurs des paramètres et peuvent être dérivées en utilisant des fonctions polyédriques sur la sphère de Riemann , et sont liées à la partition d'un objet de symétrie icosaédrique en cinq objets de symétrie tétraédrique .

Cette transformation de Tschirnhaus est plus simple que celle, plus difficile, utilisée pour transformer une quintique principale en forme de Bring–Jerrard. Cette forme normale est utilisée par la méthode d'itération de Doyle–McMullen et la méthode de Kiepert.

Une série de Taylor pour les radicaux Bring, ainsi qu'une représentation en termes de fonctions hypergéométriques peuvent être dérivées comme suit. L'équation peut être réécrite comme suit : En définissant la solution souhaitée est puisque est impaire.

La série pour peut alors être obtenue par inversion de la série de Taylor pour (qui est simplement ), donnant où les valeurs absolues des coefficients forment la séquence A002294 dans l' OEIS . Le rayon de convergence de la série est

Sous forme hypergéométrique , le radical Bring peut s'écrire comme

Il peut être intéressant de comparer avec les fonctions hypergéométriques qui apparaissent ci-dessous dans la dérivation de Glasser et la méthode des résolvantes différentielles.

Les racines du polynôme peuvent être exprimées en termes du radical de Bring comme et de ses quatre conjugués . Le problème est maintenant réduit à la forme de Bring-Jerrard en termes d'équations polynomiales résolubles, et en utilisant des transformations impliquant des expressions polynomiales dans les racines uniquement jusqu'au quatrième degré, ce qui signifie que l'inversion de la transformation peut être effectuée en trouvant les racines d'un polynôme résoluble dans les radicaux. Cette procédure donne des solutions étrangères, mais lorsque les bonnes ont été trouvées par des moyens numériques, les racines de la quintique peuvent être écrites en termes de racines carrées, de racines cubiques et du radical de Bring, qui est donc une solution algébrique en termes de fonctions algébriques (définies au sens large pour inclure les radicaux de Bring) d'une seule variable — une solution algébrique de la quintique générale.

De nombreuses autres caractérisations du radical de Bring ont été développées, la première étant en termes de « transcendantes elliptiques » (liées aux fonctions elliptiques et modulaires ) par Charles Hermite en 1858, et d'autres méthodes développées plus tard par d'autres mathématiciens.

En 1858, Charles Hermite a publié la première solution connue à l'équation quintique générale en termes de « transcendantes elliptiques », et à peu près à la même époque, Francesco Brioschi et Leopold Kronecker ont trouvé des solutions équivalentes. Hermite est arrivé à cette solution en généralisant la solution bien connue à l' équation cubique en termes de fonctions trigonométriques et trouve la solution à une quintique sous la forme de Bring–Jerrard :

dans laquelle toute équation quintique peut être réduite au moyen de transformations de Tschirnhaus comme cela a été montré. Il a observé que les fonctions elliptiques avaient un rôle analogue à jouer dans la solution de la quintique de Bring-Jerrard comme les fonctions trigonométriques pour la cubique. Pour et écrivons-les comme les intégrales elliptiques complètes de première espèce : où Définissons les deux « transcendantes elliptiques » : Elles peuvent être définies de manière équivalente par des séries infinies : $0\phi \left(\tau \right)=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh \frac{(2j-1)\pi \mathrm{je}}{2\tau }=\sqrt{2}{\mathrm{et}}^{\pi \mathrm{je}\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }\frac{1+{\mathrm{et}}^{2j\pi \mathrm{je}\tau }}{1+{\mathrm{et}}^{(2j-1)\pi \mathrm{je}\tau }},\mathrm{Je\; suis}\tau >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99af4cf1e3a3e768f9ac6a2b786317954a9e8dc"> $0\psi \left(\tau \right)=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh \frac{(2j-1)\pi \tau }{2\mathrm{je}},\mathrm{Je\; suis}\tau >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528094839905029caf4c81f6d1b8edaf9cb48404"> 0\\\psi ( au )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{ 2}\pi i au }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i au }}}\\&=1-2e^{\pi i au }+2e^{2\pi i au }-4e^{3\pi i au }+6e^{4\pi i au }-8e^{5\pi i au }+12e ^{6\pi i au }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} au >0\end{aligned}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ebd47c629ae1fa18194e03e4dde788b300d00e">

Si n est un nombre premier , nous pouvons définir deux valeurs et comme suit : et

Lorsque n est un nombre premier impair, les paramètres et sont liés par une équation de degré n + 1 dans , , appelée équation modulaire , dont les racines dans sont données par : et où vaut 1 ou −1 selon que 2 est un résidu quadratique modulo n ou non, respectivement, et . Pour n = 5, nous avons l'équation modulaire : avec six racines dans comme indiqué ci-dessus.

L'équation modulaire avec peut être liée à la quintique de Bring-Jerrard par la fonction suivante des six racines de l'équation modulaire (Dans Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré d'Hermite , le premier facteur est incorrectement donné comme ):

Alternativement, la formule est utile pour l'évaluation numérique de . Selon Hermite, le coefficient de dans le développement est nul pour chaque .

Les cinq quantités , , , , sont les racines d'une équation quintique à coefficients rationnels dans : qui peut être facilement convertie en forme de Bring-Jerrard par la substitution : conduisant à la quintique de Bring-Jerrard : où

La méthode Hermite–Kronecker–Brioschi revient alors à trouver une valeur de qui correspond à la valeur de , puis à utiliser cette valeur de pour obtenir les racines de l'équation modulaire correspondante. Nous pouvons utiliser des algorithmes de recherche de racines pour trouver à partir de l'équation (*) (c'est-à-dire calculer un inverse partiel de ). La mise au carré de (*) donne une quartique uniquement dans (en utilisant ). Chaque solution (dans ) de (*) est une solution de la quartique mais chaque solution de la quartique n'est pas une solution de (*).

Les racines de la quintique de Bring–Jerrard sont alors données par : pour .

Une approche alternative, « intégrale », est la suivante :

Considérez où Alors est une solution de où

Les racines de l'équation (**) sont : où (notons que certaines références importantes la donnent par erreur comme ). L'une de ces racines peut être utilisée comme module elliptique .

Les racines de la quintique de Bring–Jerrard sont alors données par : pour .

On peut voir que ce processus utilise une généralisation de la racine n-ième , qui peut être exprimée comme : ou plus précisément, comme La méthode Hermite–Kronecker–Brioschi remplace essentiellement l'exponentielle par une « transcendante elliptique », et l'intégrale (ou l'inverse de sur la droite réelle) par une intégrale elliptique (ou par une inverse partielle d'une « transcendante elliptique »). Kronecker pensait que cette généralisation était un cas particulier d'un théorème encore plus général, qui serait applicable à des équations de degré arbitrairement élevé. Ce théorème, connu sous le nom de formule de Thomae , a été pleinement exprimé par Hiroshi Umemura en 1984, qui a utilisé des formes modulaires de Siegel à la place des transcendantes exponentielles/elliptiques, et a remplacé l'intégrale par une intégrale hyperelliptique .

Cette dérivation due à M. Lawrence Glasser généralise la méthode des séries présentée plus tôt dans cet article pour trouver une solution à toute équation trinomiale de la forme :

En particulier, l'équation quintique peut être réduite à cette forme par l'utilisation des transformations de Tschirnhaus comme indiqué ci-dessus. Soit , la forme générale devient : où

Une formule due à Lagrange énonce que pour toute fonction analytique , au voisinage d'une racine de l'équation générale transformée en termes de , ci-dessus peut s'exprimer comme une série infinie :

Si nous laissons cette formule entrer, nous pouvons obtenir la racine :

En utilisant le théorème de multiplication de Gauss, la série infinie ci-dessus peut être décomposée en une série finie de fonctions hypergéométriques :

et le trinôme de la forme a des racines

Une racine de l'équation peut ainsi être exprimée comme la somme d'au plus des fonctions hypergéométriques. En appliquant cette méthode à la quintique de Bring-Jerrard réduite, on définit les fonctions suivantes : qui sont les fonctions hypergéométriques qui apparaissent dans la formule de la série ci-dessus. Les racines de la quintique sont donc :

Il s’agit essentiellement du même résultat que celui obtenu par la méthode suivante.

James Cockle et Robert Harley ont développé, en 1860, une méthode de résolution de la quintique au moyen d'équations différentielles. Ils considèrent les racines comme des fonctions des coefficients et calculent une résolvante différentielle basée sur ces équations. La quintique de Bring-Jerrard s'exprime sous la forme d'une fonction : et une fonction doit être déterminée telle que :

La fonction doit également satisfaire les quatre équations différentielles suivantes :

En les développant et en les combinant ensemble, on obtient la résolvante différentielle :

La solution de la résolvante différentielle, étant une équation différentielle ordinaire du quatrième ordre, dépend de quatre constantes d'intégration , qui doivent être choisies de manière à satisfaire la quintique d'origine. Il s'agit d'une équation différentielle ordinaire fuchsienne de type hypergéométrique, dont la solution s'avère identique à la série de fonctions hypergéométriques qui a surgi dans la dérivation de Glasser ci-dessus.

Cette méthode peut également être généralisée à des équations de degré arbitrairement élevé, avec des résolvantes différentielles qui sont des équations aux dérivées partielles , dont les solutions impliquent des fonctions hypergéométriques de plusieurs variables. Une formule générale pour les résolvantes différentielles de polynômes univariés arbitraires est donnée par la formule de somme des puissances de Nahay.

En 1989, Peter Doyle et Curt McMullen ont dérivé une méthode d'itération qui résout une quintique sous forme normale de Brioschi : L'algorithme d'itération se déroule comme suit :

1. Ensemble
2. Calculer la fonction rationnelle où est une fonction polynomiale donnée ci-dessous, et est la dérivée de par rapport à
3. Itérer sur une hypothèse de départ aléatoire jusqu'à ce qu'elle converge. Appelez le point limite et laissez .
4. Calculez où se trouve une fonction polynomiale donnée ci-dessous. Faites ceci pour et .
5. Enfin, calculons pour i = 1, 2. Ce sont deux des racines de la quintique de Brioschi.

Les deux fonctions polynomiales et sont les suivantes :

Cette méthode d'itération produit deux racines de la quintique. Les trois racines restantes peuvent être obtenues en utilisant une division synthétique pour diviser les deux racines, produisant une équation cubique. En raison de la manière dont l'itération est formulée, cette méthode semble toujours trouver deux racines conjuguées complexes de la quintique même lorsque tous les coefficients quintiques sont réels et que l'estimation de départ est réelle. Cette méthode d'itération est dérivée des symétries de l' icosaèdre et est étroitement liée à la méthode que Felix Klein décrit dans son livre.