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Géométrie finie

Plan affine fini d'ordre 2, contenant 4 "points" et 6 "droites". Les droites de même couleur sont "parallèles". Le centre de la figure n'est pas un "point" de ce plan affine, do...

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Une géométrie finie est un système géométrique qui ne possède qu'un nombre fini de points . La géométrie euclidienne familière n'est pas finie, car une ligne euclidienne contient une infinité de points. Une géométrie basée sur les graphiques affichés sur un écran d'ordinateur, où les pixels sont considérés comme les points, serait une géométrie finie. Bien qu'il existe de nombreux systèmes qui pourraient être qualifiés de géométries finies, l'attention est principalement portée sur les espaces projectifs et affines finis en raison de leur régularité et de leur simplicité. D'autres types importants de géométrie finie sont les plans de Möbius finis ou inversifs et les plans de Laguerre , qui sont des exemples d'un type général appelé plans de Benz , et leurs analogues de dimension supérieure tels que les géométries inversives finies supérieures .

Les géométries finies peuvent être construites par algèbre linéaire , à partir d' espaces vectoriels sur un corps fini ; les plans affine et projectif ainsi construits sont appelés géométries de Galois . Les géométries finies peuvent également être définies de manière purement axiomatique. Les géométries finies les plus courantes sont des géométries de Galois, car tout espace projectif fini de dimension trois ou plus est isomorphe à un espace projectif sur un corps fini (c'est-à-dire la projectivisation d'un espace vectoriel sur un corps fini). Cependant, la dimension deux a des plans affine et projectif qui ne sont pas isomorphes aux géométries de Galois, à savoir les plans non-Desarguesiens . Des résultats similaires s'appliquent à d'autres types de géométries finies.

Les remarques suivantes ne s'appliquent qu'aux plans finis . Il existe deux principaux types de géométrie plane finie : affine et projective . Dans un plan affine , le sens normal des lignes parallèles s'applique. Dans un plan projectif , au contraire, deux lignes quelconques se coupent en un point unique, de sorte que les lignes parallèles n'existent pas. La géométrie plane affine finie et la géométrie plane projective finie peuvent toutes deux être décrites par des axiomes assez simples .

Une géométrie plane affine est un ensemble non vide X (dont les éléments sont appelés « points »), ainsi qu'une collection non vide L de sous-ensembles de X (dont les éléments sont appelés « lignes »), tels que :

1. Pour deux points distincts, il existe exactement une ligne qui contient les deux points.
2. Axiome de Playfair : Étant donné une droite et un point non situé sur , il existe exactement une droite contenant telle que
3. Il existe un ensemble de quatre points, dont aucun n'appartient à la même ligne.

Le dernier axiome garantit que la géométrie n’est pas triviale (soit vide , soit trop simple pour être intéressante, comme une seule ligne avec un nombre arbitraire de points dessus), tandis que les deux premiers précisent la nature de la géométrie.

Le plan affine le plus simple ne contient que quatre points ; on l'appelle plan affine d'ordre 2. (L'ordre d'un plan affine est le nombre de points sur une ligne, voir ci-dessous.) Comme aucun de ces trois points n'est colinéaire, toute paire de points détermine une ligne unique, et donc ce plan contient six lignes. Il correspond à un tétraèdre où les arêtes non sécantes sont considérées comme « parallèles », ou à un carré où non seulement les côtés opposés, mais aussi les diagonales sont considérées comme « parallèles ».

Le plan affine d'ordre 3 est connu sous le nom de configuration de Hesse .

Plus généralement, un plan affine fini d'ordre n possède n ² points et n ² + n lignes ; chaque ligne contient n points, et chaque point est sur n + 1 lignes.

Une géométrie plane projective est un ensemble non vide X (dont les éléments sont appelés « points »), ainsi qu'une collection non vide L de sous-ensembles de X (dont les éléments sont appelés « lignes »), tels que :

1. Pour deux points distincts, il existe exactement une ligne qui contient les deux points.
2. L'intersection de deux lignes distinctes contient exactement un point.
3. Il existe un ensemble de quatre points, dont aucun n'appartient à la même ligne.

Un examen des deux premiers axiomes montre qu'ils sont presque identiques, à l'exception du fait que les rôles des points et des lignes ont été intervertis. Cela suggère le principe de dualité pour les géométries planes projectives, ce qui signifie que toute affirmation vraie valable dans toutes ces géométries reste vraie si nous échangeons les points contre des lignes et les lignes contre des points. La plus petite géométrie satisfaisant les trois axiomes contient sept points. Dans ce plan projectif le plus simple, il y a également sept lignes ; chaque point est sur trois lignes, et chaque ligne contient trois points.

Ce plan projectif particulier est parfois appelé plan de Fano . Si l'on retire du plan l'une des lignes, ainsi que les points sur cette ligne, la géométrie résultante est le plan affine d'ordre 2. Le plan de Fano est appelé plan projectif d'ordre 2 car il est unique (à isomorphisme près). En général, le plan projectif d'ordre n a n ² + n + 1 points et le même nombre de lignes ; chaque ligne contient n + 1 points, et chaque point est sur n + 1 lignes.

Une permutation des sept points du plan de Fano qui conduit des points colinéaires (points situés sur la même ligne) à des points colinéaires est appelée une collinéation du plan. Le groupe de collinéation complet est d'ordre 168 et est isomorphe au groupe PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), qui dans ce cas particulier est aussi isomorphe au groupe linéaire général GL(3,2) ≈ PGL(3,2) .

Un plan fini d' ordre n est un plan tel que chaque droite possède n points (pour un plan affine), ou tel que chaque droite possède n + 1 points (pour un plan projectif). Une question majeure ouverte en géométrie finie est :

L'ordre d'un plan fini est-il toujours une puissance première ?

On suppose que c'est vrai.

Des plans affines et projectifs d'ordre n existent lorsque n est une puissance première (un nombre premier élevé à un exposant entier positif ), en utilisant des plans affines et projectifs sur le corps fini avec n = p ^k éléments. Des plans non dérivés de corps finis existent également (par exemple pour ), mais tous les exemples connus ont pour ordre une puissance première.

Le meilleur résultat général à ce jour est le théorème de Bruck-Ryser de 1949, qui stipule :

Si n est un entier positif de la forme 4 k + 1 ou 4 k + 2 et n n'est pas égal à la somme de deux carrés entiers , alors n n'apparaît pas comme l'ordre d'un plan fini.

Le plus petit entier qui n'est pas une puissance première et qui n'est pas couvert par le théorème de Bruck-Ryser est 10 ; 10 est de la forme 4 k + 2 , mais il est égal à la somme des carrés 1 ² + 3 ² . L'inexistence d'un plan fini d'ordre 10 a été prouvée dans une preuve assistée par ordinateur qui s'est achevée en 1989 – voir (Lam 1991) pour plus de détails.

Le nombre le plus petit à considérer est 12, pour lequel aucun résultat positif ou négatif n’a été prouvé.

Des exemples individuels peuvent être trouvés dans les travaux de Thomas Penyngton Kirkman (1847) et dans le développement systématique de la géométrie projective finie donné par von Staudt (1856).

Le premier traitement axiomatique de la géométrie projective finie a été développé par le mathématicien italien Gino Fano . Dans son travail sur la preuve de l'indépendance de l'ensemble des axiomes pour l'espace projectif n qu'il a développé, il a considéré un espace tridimensionnel fini avec 15 points, 35 lignes et 15 plans (voir schéma), dans lequel chaque ligne n'avait que trois points.

En 1906, Oswald Veblen et WH Bussey ont décrit la géométrie projective en utilisant des coordonnées homogènes avec des entrées du corps de Galois GF( q ). Lorsque des coordonnées n + 1 sont utilisées, la géométrie finie n -dimensionnelle est notée PG( n, q ). Elle apparaît en géométrie synthétique et possède un groupe de transformation associé .

Pour quelques différences importantes entre la géométrie plane finie et la géométrie des espaces finis de dimension supérieure, voir espace projectif axiomatique . Pour une discussion des espaces finis de dimension supérieure en général, voir, par exemple, les travaux de JWP Hirschfeld . L'étude de ces espaces de dimension supérieure ( n ≥ 3 ) a de nombreuses applications importantes dans les théories mathématiques avancées.

Un espace projectif S peut être défini axiomatiquement comme un ensemble P (l'ensemble des points), ainsi qu'un ensemble L de sous-ensembles de P (l'ensemble des lignes), satisfaisant ces axiomes :

• Chacun des deux points distincts p et q sont exactement sur la même ligne.
• Axiome de Veblen : Si a , b , c , d sont des points distincts et que les droites passant par ab et cd se rencontrent, alors les droites passant par ac et bd se rencontrent également .
• Toute ligne comporte au moins 3 points.

Le dernier axiome élimine les cas réductibles qui peuvent être écrits comme une union disjointe d'espaces projectifs avec des lignes à 2 points joignant deux points quelconques dans des espaces projectifs distincts. De manière plus abstraite, on peut le définir comme une structure d'incidence ( P , L , I ) constituée d'un ensemble P de points, d'un ensemble L de lignes et d'une relation d'incidence I indiquant quels points se trouvent sur quelles lignes.

L'obtention d'un espace projectif fini nécessite un axiome supplémentaire :

• L'ensemble des points P est un ensemble fini.

Dans tout espace projectif fini, chaque ligne contient le même nombre de points et l' ordre de l'espace est défini comme étant inférieur de un à ce nombre commun.

Un sous-espace de l'espace projectif est un sous-ensemble X tel que toute droite contenant deux points de X soit un sous-ensemble de X (c'est-à-dire entièrement contenu dans X ). L'espace plein et l'espace vide sont toujours des sous-espaces.

La dimension géométrique de l'espace est dite n si c'est le plus grand nombre pour lequel il existe une chaîne strictement ascendante de sous-espaces de cette forme :

Une construction algébrique standard de systèmes satisfait ces axiomes. Pour un anneau de division D, construisons un espace vectoriel de dimension ( n + 1) sur D (la dimension de l'espace vectoriel est le nombre d'éléments dans une base). Soient P les sous-espaces à une dimension (un seul générateur) et L les sous-espaces à deux dimensions (deux générateurs indépendants) (fermés par addition vectorielle) de cet espace vectoriel. L'incidence est le confinement. Si D est fini, il doit être un corps fini GF( q ), car d'après le petit théorème de Wedderburn, tous les anneaux de division finis sont des corps. Dans ce cas, cette construction produit un espace projectif fini. De plus, si la dimension géométrique d'un espace projectif est d'au moins trois, il existe un anneau de division à partir duquel l'espace peut être construit de cette manière. Par conséquent, tous les espaces projectifs finis de dimension géométrique d'au moins trois sont définis sur des corps finis. Un espace projectif fini défini sur un tel corps fini a q + 1 points sur une ligne, donc les deux concepts d'ordre coïncident. Un tel espace projectif fini est noté PG( n , q ) , où PG représente la géométrie projective, n est la dimension géométrique de la géométrie et q est la taille (ordre) du corps fini utilisé pour construire la géométrie.

En général, le nombre de sous-espaces k -dimensionnels de PG( n , q ) est donné par le produit :

qui est un coefficient binomial gaussien , un analogue q d'un coefficient binomial .

• Dimension 0 (pas de lignes) : L'espace est un point unique et est si dégénéré qu'il est généralement ignoré.
• Dimension 1 (exactement une ligne) : Tous les points se trouvent sur une ligne unique, appelée ligne projective .
• Dimension 2 : Il y a au moins 2 droites, et deux droites quelconques se rencontrent. Un espace projectif pour n = 2 est un plan projectif . Ceux-ci sont beaucoup plus difficiles à classer, car ils ne sont pas tous isomorphes avec un PG( d , q ) . Les plans desarguesiens (ceux qui sont isomorphes avec un PG(2, q ) ) satisfont le théorème de Desargues et sont des plans projectifs sur des corps finis, mais il existe de nombreux plans non-desarguesiens .
• Dimension au moins égale à 3 : il existe deux droites non sécantes. Le théorème de Veblen-Young énonce que dans le cas fini, tout espace projectif de dimension géométrique n ≥ 3 est isomorphe à un PG( n , q ) , l' espace projectif de dimension n sur un corps fini GF( q ).

Le plus petit espace projectif tridimensionnel est sur le corps GF(2) et est noté PG(3,2) . Il possède 15 points, 35 lignes et 15 plans. Chaque plan contient 7 points et 7 lignes. Chaque ligne contient 3 points. En tant que géométries, ces plans sont isomorphes au plan de Fano .

Chaque point est contenu dans 7 lignes. Chaque paire de points distincts est contenue dans exactement une ligne et chaque paire de plans distincts se coupe dans exactement une ligne.

En 1892, Gino Fano fut le premier à considérer une telle géométrie finie.

PG(3,2) apparaît comme l'arrière-plan d'une solution au problème des écolières de Kirkman , qui stipule : « Quinze écolières marchent chaque jour en cinq groupes de trois. Organisez la marche des filles pendant une semaine de sorte que pendant ce temps, chaque paire de filles marche ensemble dans un groupe une seule fois. » Il existe 35 combinaisons différentes pour que les filles marchent ensemble. Il y a aussi 7 jours de la semaine et 3 filles dans chaque groupe. Deux des sept solutions non isomorphes à ce problème peuvent être énoncées en termes de structures dans l'espace Fano 3, PG(3,2), connues sous le nom de paquetages . Une répartition d'un espace projectif est une partition de ses points en lignes disjointes, et un paquetage est une partition des lignes en paquetages disjoints. Dans PG(3,2), un paquetage serait une partition des 15 points en 5 lignes disjointes (avec 3 points sur chaque ligne), correspondant ainsi à la disposition des écolières un jour particulier. Un emballage de PG(3,2) est constitué de sept étalements disjoints et correspond donc à une semaine complète d'arrangements.