Worldlex Wiki En topologie, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique, il est souvent important de déterminer le nombre de sections linéairement indépendantes d'un fibré vectoriel. Les classes de Chern fournissent des informations à ce sujet, notamment grâce au théorème de Riemann-Roch et au théorème de l'indice d'Atiyah-Singer .
Les classes de Chern sont également calculables en pratique. En géométrie différentielle (et dans certains types de géométrie algébrique), les classes de Chern peuvent être exprimées sous forme de polynômes en fonction des coefficients de la forme de courbure .
Construction
Il existe différentes manières d'aborder le sujet, chacune se concentrant sur un aspect légèrement différent de la classe de Chern.
L'approche initiale des classes de Chern s'appuyait sur la topologie algébrique : les classes de Chern apparaissent grâce à la théorie de l'homotopie , qui fournit une application associée à un fibré vectoriel sur un espace classifiant ( ici, une grassmannienne infinie). Pour tout fibré vectoriel complexe V sur une variété M , il existe une application f de M vers l'espace classifiant telle que le fibré V soit égal au produit fibré par f d'un fibré universel sur l'espace classifiant. Les classes de Chern de V peuvent donc être définies comme le produit fibré des classes de Chern du fibré universel. Ces classes de Chern universelles peuvent à leur tour être exprimées explicitement en termes de cycles de Schubert .
On peut démontrer que pour deux applications quelconques f et g de M vers l'espace classifiant dont les produits fibrés sont le même fibré V , ces applications sont homotopes. Par conséquent, le produit fibré par f ou g d'une classe de Chern universelle quelconque vers une classe de cohomologie de M est nécessairement la même classe. Ceci montre que les classes de Chern de V sont bien définies.
L'approche de Chern utilisait la géométrie différentielle, via l'approche de la courbure décrite principalement dans cet article. Il a démontré que la définition antérieure était en fait équivalente à la sienne. La théorie qui en résulte est connue sous le nom de théorie de Chern-Weil .
Il existe également une approche d' Alexander Grothendieck montrant qu'axiomatiquement, il suffit de définir le cas du faisceau en droites.
Les classes de Chern apparaissent naturellement en géométrie algébrique . Les classes de Chern généralisées en géométrie algébrique peuvent être définies pour les fibrés vectoriels (ou plus précisément, les faisceaux localement libres ) sur toute variété non singulière. Les classes de Chern algébriques-géométriques ne requièrent aucune propriété particulière du corps sous-jacent. En particulier, les fibrés vectoriels ne sont pas nécessairement complexes.
Quel que soit le paradigme considéré, la signification intuitive de la classe de Chern concerne les « zéros requis » d'une section d'un fibré vectoriel : par exemple, le théorème selon lequel on ne peut pas aplatir une boule poilue ( théorème de la boule poilue ). Bien qu'il s'agisse à proprement parler d'une question relative à un fibré vectoriel réel (les « poils » d'une boule étant en réalité des copies de la droite réelle), il existe des généralisations où les poils sont complexes (voir l'exemple du théorème de la boule poilue complexe ci-dessous), ou pour les espaces projectifs unidimensionnels sur de nombreux autres corps.
Voir la théorie de Chern-Simons pour plus de détails.
La classe de faisceaux de droites de Chern
Un cas particulier important se présente lorsque V est un fibré en droites . Alors la seule classe de Chern non triviale est la première classe de Chern, qui est un élément du second groupe de cohomologie de X. Comme il s'agit de la classe de Chern supérieure, elle est égale à la classe d'Euler du fibré.
La première classe de Chern s'avère être un invariant complet permettant de classifier topologiquement les fibrés en droites complexes. Autrement dit, il existe une bijection entre les classes d'isomorphisme des fibrés en droites sur X et les éléments de , qui associe à un fibré en droites sa première classe de Chern. De plus, cette bijection est un homomorphisme de groupes (donc un isomorphisme) : le produit tensoriel des fibrés en droites complexes correspond à l'addition dans le second groupe de cohomologie.
En géométrie algébrique, cette classification des (classes d'isomorphisme des) fibrés en droites complexes par la première classe de Chern est une approximation grossière de la classification des (classes d'isomorphisme des) fibrés en droites holomorphes par les classes d'équivalence linéaire des diviseurs .
Pour les fibrés vectoriels complexes de dimension supérieure à un, les classes de Chern ne constituent pas un invariant complet.
Constructions
Par le biais de la théorie de Chern-Weil
Par l'intermédiaire d'une classe d'Euler
On peut définir une classe de Chern à partir d'une classe d'Euler. C'est l'approche adoptée dans l'ouvrage de Milnor et Stasheff, qui met l'accent sur le rôle de l' orientation d'un fibré vectoriel .
L'observation fondamentale est qu'un fibré vectoriel complexe possède une orientation canonique, du fait de sa connexité. Par conséquent, on définit simplement la classe de Chern supérieure du fibré comme étant sa classe d'Euler (la classe d'Euler du fibré vectoriel réel sous-jacent) et on traite les classes de Chern inférieures par induction.
La construction précise est la suivante. L'idée est d'effectuer un changement de base pour obtenir un fibré de rang inférieur d'une unité. Soit un fibré vectoriel complexe sur un espace paracompact B. En considérant B comme plongé dans E comme section nulle, soit et définissons le nouveau fibré vectoriel : tel que chaque fibre soit le quotient d'une fibre F de E par la droite engendrée par un vecteur non nul v de F (un point de B′ est spécifié par une fibre F de E et un vecteur non nul de F ). Alors a un rang inférieur d'une unité à celui de E. D'après la suite de Gysin pour le fibré de fibres : on voit que est un isomorphisme pour . Soit .
Il faut ensuite vérifier que les axiomes des classes de Chern sont satisfaits pour cette définition.
Voir aussi : L'isomorphisme de Thom .
Exemples
Le fibré tangent complexe de la sphère de Riemann
Soit V la sphère de Riemann : un espace projectif complexe de dimension 1. Supposons que z soit une coordonnée locale holomorphe sur la sphère de Riemann. Soit V le fibré des vecteurs tangents complexes de la forme (V<sub>i</sub>, V<sub>i</sub>) en chaque point, où a est un nombre complexe . Nous démontrons la version complexe du théorème de la boule chevelue : V n'admet aucune section non nulle partout.
Pour cela, nous avons besoin du fait suivant : la première classe de Chern d'un fibré trivial est nulle, c'est-à-dire,
Ceci est démontré par le fait qu'un fibré trivial admet toujours une connexion plate. Nous allons donc montrer que
Considérons la métrique de Kähler
On montre aisément que la 2-forme de courbure est donnée par
De plus, par définition de la première classe de Chern
Il faut montrer que cette classe de cohomologie est non nulle. Il suffit de calculer son intégrale sur la sphère de Riemann : après passage aux coordonnées polaires . D'après le théorème de Stokes , une forme exacte s'intègre à 0, donc la classe de cohomologie est non nulle.
Cela prouve que ce n'est pas un fibré vectoriel trivial.
espace projectif complexe
Il existe une séquence exacte de faisceaux/fibres : où est le faisceau structurel (c'est-à-dire le fibré en ligne trivial), est le faisceau tordu de Serre (c'est-à-dire le fibré hyperplan ) et le dernier terme non nul est le faisceau/fibre tangent .
Il existe deux façons d'obtenir la séquence ci-dessus :
Par l'additivité de la classe de Chern totale (c'est-à-dire la formule de somme de Whitney), où a est le générateur canonique du groupe de cohomologie ; c'est-à-dire l'opposé de la première classe de Chern du fibré en droites tautologique (remarque : lorsque est le dual de E ).
En particulier, pour tout ,
polynôme de Chern
Un polynôme de Chern est une méthode pratique pour manipuler systématiquement les classes de Chern et les notions associées. Par définition, pour un fibré vectoriel complexe E , le polynôme de Chern c<sub> t</sub> de E est donné par :
Il ne s'agit pas d'un nouvel invariant : la variable formelle t suit simplement le degré de c k ( E ). En particulier, est entièrement déterminé par la classe de Chern totale de E : et réciproquement.
La formule de somme de Whitney, un des axiomes des classes de Chern (voir ci-dessous), stipule que c<sub> t</sub> est additif au sens suivant : Or, si E est une somme directe de fibrés en droites (complexes), alors il découle de la formule de somme que : où les σ<sub>k </sub> sont les premières classes de Chern. Les racines , appelées racines de Chern de E , déterminent les coefficients du polynôme : c'est-à-dire, où les σ<sub> k</sub> sont des polynômes symétriques élémentaires . Autrement dit, en considérant les a <sub>i</sub> comme des variables formelles, les c<sub> k</sub> « sont » des σ<sub> k</sub> . Un résultat fondamental sur les polynômes symétriques est que tout polynôme symétrique en, par exemple, les t <sub> i </sub> est un polynôme en polynômes symétriques élémentaires en les t <sub> i </sub>. Soit par le principe de décomposition , soit par la théorie des anneaux, tout polynôme de Chern se factorise en facteurs linéaires après agrandissement de l'anneau de cohomologie ; E n'a pas besoin d'être une somme directe de fibrés en droites dans la discussion précédente. La conclusion est
identités de Newton ). La somme est appelée le caractère de Chern de E , dont les premiers termes sont : (nous omettons E dans l’écriture).Formules de calcul
Soit E un fibré vectoriel de rang r et son polynôme de Chern.
- Pour le faisceau dual de , .
- Si L est un fibré en droites, alors et il en va de même pour les autres.
- Pour les racines de Chern de , En particulier,
- Par exemple, pour ,
- (cf. Segre classe#Exemple 2 .)
Applications des formules
Nous pouvons utiliser ces propriétés abstraites pour calculer les autres classes de Chern des fibrés en droites sur . Rappelons que . Ensuite, à l'aide des puissances tensorielles, nous pouvons les relier aux classes de Chern de pour tout entier .
Propriétés
Étant donné un fibré vectoriel complexe E sur un espace topologique X , les classes de Chern de E sont une suite d'éléments de la cohomologie de X. La k -ième classe de Chern de E , généralement notée c<sub> k</sub> ( E ), est un élément de la cohomologie de X à coefficients entiers . On peut également définir la classe de Chern totale.
Puisque les valeurs appartiennent à des groupes de cohomologie intégrale plutôt qu'à des groupes de cohomologie à coefficients réels, ces classes de Chern sont légèrement plus raffinées que celles de l'exemple riemannien.pour tous les E.
Approche axiomatique de Grothendieck
1958 ) a quant à lui remplacé ces axiomes par un ensemble légèrement plus petit :
- Naturalité : (Identique à ci-dessus)
- Additivité : Si est une séquence exacte de fibrés vectoriels, alors .
- Normalisation : Si E est un fibré en droites , alors où est la classe d'Euler du fibré vectoriel réel sous-jacent.
Il montre, à l'aide du théorème de Leray-Hirsch , que la classe de Chern totale d'un fibré vectoriel complexe de rang fini arbitraire peut être définie en termes de la première classe de Chern d'un fibré en droites défini tautologiquement.
En effet, on introduit la projectivisation du fibré vectoriel complexe de rang n E → B comme fibré sur B dont la fibre en tout point est l'espace projectif de la fibre E b . L'espace total de ce fibré est muni de son fibré en droites complexe tautologique, que l'on note , et la première classe de Chern se restreint sur chaque fibre à l'opposé de la classe (duale de Poincaré) de l'hyperplan, qui engendre la cohomologie de la fibre, compte tenu de la cohomologie des espaces projectifs complexes .
Les classes forment donc une famille de classes de cohomologie ambiante restreintes à une base de la cohomologie de la fibre. Le théorème de Leray-Hirsch stipule alors que toute classe de cette famille peut s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire des classes 1, a, a₂ , ... , aₙ₋₁ dont les coefficients sont des classes de la base.
En particulier, on peut définir les classes de Chern de E au sens de Grothendieck, notées en développant ainsi la classe , avec la relation :
On peut alors vérifier que cette définition alternative coïncide avec toute autre définition que l'on peut privilégier, ou utiliser la caractérisation axiomatique précédente.
La meilleure classe Chern
En fait, ces propriétés caractérisent de manière unique les classes de Chern. Elles impliquent, entre autres :
- Si n est le rang complexe de V , alors pour tout k > n . Ainsi, la classe de Chern totale se termine.
- La classe de Chern supérieure de V (c'est-à-dire , où n est le rang de V ) est toujours égale à la classe d'Euler du fibré vectoriel réel sous-jacent.
En géométrie algébrique
Description axiomatique
Il existe une autre construction de classes de Chern qui prennent des valeurs dans l'analogue algébrogéométrique de l'anneau de cohomologie, l' anneau de Chow .
Soit une variété quasi-projective non singulière de dimension . On peut montrer qu'il existe une unique théorie des classes de Chern qui associe un fibré vectoriel algébrique aux éléments appelés classes de Chern, avec un polynôme de Chern , satisfaisant ce qui suit (semblable à l'approche axiomatique de Grothendieck ).
- Si pour un diviseur de Cartier , nous avons , alors .
- Si est un morphisme, alors .
- Si est une suite exacte de fibrés vectoriels sur , la formule de somme de Whitney est valable : .
Séquence normale
Le calcul des classes caractéristiques de l'espace projectif constitue la base de nombreux calculs de classes caractéristiques, car pour toute sous-variété projective lisse, il existe une suite exacte courte
Quintique triple
Par exemple, considérons une variété quintique non singulière de dimension trois dans . Son fibré normal est donné par et nous avons la suite exacte courte
Soit la classe d'hyperplans dans . Alors la formule de somme de Whitney nous donne que
Comme le calcul de l'anneau de Chow d'une hypersurface est complexe, nous considérerons cette suite comme une suite de faisceaux cohérents dans . Ceci nous donne que
En utilisant le théorème de Gauss-Bonnet, on peut intégrer la classe pour calculer sa caractéristique d'Euler. On l'appelle traditionnellement la classe d'Euler , car cette classe peut être représentée par cinq points (d'après le théorème de Bézout ). La caractéristique d'Euler permet ensuite de calculer les nombres de Betti pour la cohomologie de cette classe, en utilisant sa définition et le théorème de l'hyperplan de Lefschetz.
hypersurfaces de degré d
Si est une hypersurface lisse de degré , on a la suite exacte courte donnant la relation , ce qui permet de calculer . On obtient alors la classe de Chern totale. En particulier, on peut trouver que est une variété de spin 4 si est pair, donc toute hypersurface lisse de degré est une variété de spin .
Notions de proximité
Le personnage de Chern
Les classes de Chern permettent de construire un homomorphisme d'anneaux de la K-théorie topologique d'un espace vers (le complété de) sa cohomologie rationnelle. Pour un fibré en droites L , le caractère de Chern ch est défini par
Plus généralement, si est une somme directe de fibrés en droites, avec les premières classes de Chern, le caractère de Chern est défini de manière additive
Cela peut être réécrit comme suit :
Cette dernière expression, justifiée par l'invocation du principe de division , est prise comme la définition ch (V) pour des fibrés vectoriels arbitraires V.
Si une connexion est utilisée pour définir les classes de Chern lorsque la base est une variété (c'est-à-dire la théorie de Chern-Weil ), alors la forme explicite du caractère de Chern est où courbure de la connexion.
Le caractère de Chern est utile notamment parce qu'il facilite le calcul de la classe de Chern d'un produit tensoriel. Plus précisément, il obéit aux identités suivantes :
Comme indiqué précédemment, en utilisant l'axiome d'additivité de Grothendieck pour les classes de Chern, la première de ces identités peut être généralisée pour affirmer que ch est un homomorphisme de groupes abéliens de la K-théorie K ( X ) dans la cohomologie rationnelle de X. La seconde identité établit que cet homomorphisme respecte également les produits dans K ( X ), et donc que ch est un homomorphisme d'anneaux.
Le caractère de Chern est utilisé dans le théorème de Hirzebruch–Riemann–Roch .
Nombres de Chern
Si l'on considère une variété orientée de dimension , tout produit de classes de Chern de degré total (c'est-à-dire que la somme des indices des classes de Chern du produit doit être égale à ) peut être associé à la classe d'homologie d'orientation (ou « intégrée sur la variété ») pour donner un entier, le nombre de Chern du fibré vectoriel. Par exemple, si la variété est de dimension 6, il existe trois nombres de Chern linéairement indépendants, notés , , et . Plus généralement, si la variété est de dimension , le nombre de nombres de Chern indépendants possibles est égal au nombre de partitions de .
Les nombres de Chern du fibré tangent d'une variété complexe (ou presque complexe) sont appelés les nombres de Chern de la variété et constituent des invariants importants.
Théories de cohomologie généralisées
Il existe une généralisation de la théorie des classes de Chern, où la cohomologie ordinaire est remplacée par une théorie de la cohomologie généralisée . Les théories pour lesquelles une telle généralisation est possible sont dites complexes orientables . Les propriétés formelles des classes de Chern restent inchangées, à une différence cruciale près : la règle qui calcule la première classe de Chern d’un produit tensoriel de fibrés en droites à partir des premières classes de Chern des facteurs n’est pas une addition (ordinaire), mais une loi de groupe formelle .
Géométrie algébrique
En géométrie algébrique, il existe une théorie similaire des classes de Chern de fibrés vectoriels. Plusieurs variantes existent selon les groupes auxquels appartiennent ces classes de Chern :
- Pour les variétés complexes, les classes de Chern peuvent prendre des valeurs dans la cohomologie ordinaire, comme ci-dessus.
- Pour les variétés sur des corps généraux, les classes de Chern peuvent prendre des valeurs dans des théories de cohomologie telles que la cohomologie étale ou la cohomologie l-adique .
- Pour les variétés V sur des corps généraux, les classes de Chern peuvent également prendre des valeurs dans des homomorphismes de groupes de Chow CH(V) : par exemple, la première classe de Chern d'un fibré en droites sur une variété V est un homomorphisme de CH( V ) à CH( V ) réduisant les degrés de 1. Ceci correspond au fait que les groupes de Chow sont une sorte d'analogue des groupes d'homologie, et les éléments des groupes de cohomologie peuvent être considérés comme des homomorphismes de groupes d'homologie utilisant le produit cap .
Variétés à structure
La théorie des classes de Chern donne lieu à des invariants de cobordisme pour les variétés presque complexes .
Si M est une variété presque complexe, alors son fibré tangent est un fibré vectoriel complexe. Les classes de Chern de M sont ainsi définies comme les classes de Chern de son fibré tangent. Si M est également compacte et de dimension 2d , alors chaque monôme de degré total 2d appartenant aux classes de Chern peut être associé à la classe fondamentale de M , ce qui donne un entier, le nombre de Chern de M. Si M ′ est une autre variété presque complexe de même dimension, alors elle est cobordante de M si et seulement si les nombres de Chern de M ′ coïncident avec ceux de M.
La théorie s'étend également aux fibrés vectoriels symplectiques réels , par l'intermédiaire de structures presque complexes compatibles. En particulier, les variétés symplectiques possèdent une classe de Chern bien définie.
Schémas arithmétiques et équations diophantiennes
(Voir la géométrie d'Arakelov )