Phase géométrique

En mécanique classique et quantique , la phase géométrique est une différence de phase acquise au cours d'un cycle , lorsqu'un système est soumis à des processus adiabatiques cycliques , qui résulte des propriétés géométriques de l' espace des paramètres de l' hamiltonien . Le phénomène a été découvert indépendamment par S. Pancharatnam (1956), en optique classique et par H. C. Longuet-Higgins (1958) en physique moléculaire ; il a été généralisé par Michael Berry en (1984). Elle est également connue sous le nom de phase Pancharatnam–Berry , phase Pancharatnam ou phase Berry . Elle peut être observée dans l' intersection conique des surfaces d'énergie potentielle et dans l' effet Aharonov–Bohm . La phase géométrique autour de l'intersection conique impliquant l'état électronique fondamental de l'ion moléculaire C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ est discutée aux pages 385-386 du manuel de Bunker et Jensen. Dans le cas de l'effet Aharonov-Bohm, le paramètre adiabatique est le champ magnétique entouré de deux chemins d'interférence, et il est cyclique dans le sens où ces deux chemins forment une boucle. Dans le cas de l'intersection conique, les paramètres adiabatiques sont les coordonnées moléculaires . Outre la mécanique quantique, il apparaît dans une variété d'autres systèmes d'ondes , tels que l'optique classique . En règle générale, il peut se produire chaque fois qu'il y a au moins deux paramètres caractérisant une onde à proximité d'une sorte de singularité ou de trou dans la topologie ; deux paramètres sont nécessaires car soit l'ensemble des états non singuliers ne sera pas simplement connecté , soit il y aura une holonomie non nulle .

Les ondes sont caractérisées par leur amplitude et leur phase , et peuvent varier en fonction de ces paramètres. La phase géométrique se produit lorsque les deux paramètres sont modifiés simultanément mais très lentement (adiabatiquement), et finalement ramenés à la configuration initiale. En mécanique quantique, cela peut impliquer des rotations mais aussi des traductions de particules, qui sont apparemment annulées à la fin. On pourrait s'attendre à ce que les ondes du système reviennent à l'état initial, tel que caractérisé par les amplitudes et les phases (et tenant compte du passage du temps). Cependant, si les excursions des paramètres correspondent à une boucle au lieu d'une variation auto-rétractable en va-et-vient, il est alors possible que les états initial et final diffèrent dans leurs phases. Cette différence de phase est la phase géométrique, et son apparition indique généralement que la dépendance des paramètres du système est singulière (son état est indéfini) pour une certaine combinaison de paramètres.

Pour mesurer la phase géométrique dans un système d'ondes, il faut réaliser une expérience d'interférence . Le pendule de Foucault est un exemple de mécanique classique qui est parfois utilisé pour illustrer la phase géométrique. Cet analogue mécanique de la phase géométrique est connu sous le nom d' angle de Hannay .

Dans un système quantique au n -ième état propre , une évolution adiabatique de l' hamiltonien voit le système rester dans le n -ième état propre de l'hamiltonien, tout en obtenant un facteur de phase. La phase obtenue a une contribution de l'évolution temporelle de l'état et une autre de la variation de l'état propre avec le changement de l'hamiltonien. Le second terme correspond à la phase de Berry, et pour des variations non cycliques de l'hamiltonien, il peut être fait disparaître par un choix différent de la phase associée aux états propres de l'hamiltonien à chaque point de l'évolution.

Cependant, si la variation est cyclique, la phase de Berry ne peut pas être annulée ; elle est invariante et devient une propriété observable du système. En révisant la preuve du théorème adiabatique donnée par Max Born et Vladimir Fock , dans Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), nous pourrions caractériser l'ensemble du changement du processus adiabatique en un terme de phase. Sous l'approximation adiabatique, le coefficient du n -ième état propre sous processus adiabatique est donné par où est la phase de Berry par rapport au paramètre t . En changeant la variable t en paramètres généralisés, nous pourrions réécrire la phase de Berry en où paramétrise le processus adiabatique cyclique. Notez que la normalisation de implique que l'intégrande est imaginaire, donc que est réel. Il suit un chemin fermé dans l'espace des paramètres approprié. La phase géométrique le long du chemin fermé peut également être calculée en intégrant la courbure de Berry sur la surface délimitée par .

L'un des exemples les plus simples est le pendule de Foucault . Une explication simple en termes de phases géométriques est donnée par Wilczek et Shapere :

Comment le pendule précesse-t-il lorsqu'il est emmené autour d'un chemin général C ? Pour un transport le long de l' équateur , le pendule ne précesse pas. [...] Maintenant, si C est constitué de segments géodésiques , la précession proviendra entièrement des angles où les segments des géodésiques se rencontrent ; la précession totale est égale à l' angle net déficitaire qui à son tour est égal à l' angle solide enfermé par C modulo 2 π . Finalement, nous pouvons approximer n'importe quelle boucle par une séquence de segments géodésiques, de sorte que le résultat le plus général (sur ou hors de la surface de la sphère) est que la précession nette est égale à l'angle solide enfermé.

En d'autres termes, il n'existe aucune force d'inertie qui puisse faire précéder le pendule, donc la précession (par rapport à la direction du mouvement du chemin le long duquel le pendule est porté) est entièrement due à la rotation de ce chemin. Ainsi, l'orientation du pendule subit un transport parallèle . Pour le pendule de Foucault original, le chemin est un cercle de latitude , et par le théorème de Gauss-Bonnet , le déphasage est donné par l'angle solide compris entre les deux.

Dans un référentiel quasi inertiel se déplaçant en tandem avec la Terre, mais ne partageant pas la rotation de la Terre autour de son propre axe, le point de suspension du pendule trace une trajectoire circulaire pendant une journée sidérale .

À la latitude de Paris, 48 ​​degrés 51 minutes nord, un cycle complet de précession dure un peu moins de 32 heures, donc après un jour sidéral, lorsque la Terre retrouve la même orientation qu'un jour sidéral précédent, le plan d'oscillation a tourné d'un peu plus de 270 degrés. Si le plan d'oscillation était nord-sud au départ, il est est-ouest un jour sidéral plus tard.

Cela implique également qu'il y a eu un échange d' impulsions ; la Terre et le pendule ont échangé leur impulsion. La Terre est tellement plus massive que le pendule que le changement d'impulsion de la Terre est imperceptible. Néanmoins, comme le plan d'oscillation du pendule s'est déplacé, les lois de conservation impliquent qu'un échange a dû se produire.

Plutôt que de suivre le changement d'impulsion, la précession du plan d'oscillation peut être efficacement décrite comme un cas de transport parallèle . Pour cela, il peut être démontré, en composant les rotations infinitésimales, que le taux de précession est proportionnel à la projection de la vitesse angulaire de la Terre sur la direction normale à la Terre, ce qui implique que la trace du plan d'oscillation subira un transport parallèle. Après 24 heures, la différence entre les orientations initiale et finale de la trace dans le référentiel terrestre est α = −2 π sin φ , ce qui correspond à la valeur donnée par le théorème de Gauss-Bonnet . α est également appelé holonomie ou phase géométrique du pendule. Lors de l'analyse des mouvements terrestres, le référentiel terrestre n'est pas un référentiel inertiel , mais tourne autour de la verticale locale à une vitesse effective de 2π sin φ radians par jour. Une méthode simple utilisant le transport parallèle dans des cônes tangents à la surface de la Terre peut être utilisée pour décrire l'angle de rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault.

Du point de vue d'un système de coordonnées lié à la Terre (le cercle de mesure et le spectateur sont liés à la Terre, même si la réaction du terrain à la force de Coriolis n'est pas perçue par le spectateur lorsqu'il se déplace), en utilisant un système de coordonnées rectangulaire avec son axe x pointant vers l'est et son axe y pointant vers le nord, la précession du pendule est due à la force de Coriolis (d'autres forces fictives comme la gravité et la force centrifuge n'ont pas de composante de précession directe, la force d'Euler est faible car la vitesse de rotation de la Terre est presque constante). Considérons un pendule plan avec une fréquence naturelle constante ω dans l' approximation du petit angle . Deux forces agissent sur le pendule : la force de rappel fournie par la gravité et le fil, et la force de Coriolis (la force centrifuge, opposée à la force de rappel gravitationnelle, peut être négligée). La force de Coriolis à la latitude φ est horizontale dans l'approximation du petit angle et est donnée par où Ω est la fréquence de rotation de la Terre, F _{c, x} est la composante de la force de Coriolis dans la direction x , et F _{c, y} est la composante de la force de Coriolis dans la direction y .

La force de rappel, dans l' approximation des petits angles et en négligeant la force centrifuge, est donnée par

En utilisant les lois du mouvement de Newton , cela conduit au système d'équations

En passant aux coordonnées complexes z = x + iy , les équations se lisent

Pour la première commande en ⁠Ω/ω⁠ , cette équation a pour solution

Si le temps est mesuré en jours, alors Ω = 2 π et le pendule tourne d'un angle de −2 π  sin φ pendant un jour.

Un deuxième exemple est celui de la lumière polarisée linéairement entrant dans une fibre optique monomode . Supposons que la fibre trace un chemin dans l'espace et que la lumière ressorte de la fibre dans la même direction qu'à son entrée. Comparez ensuite les polarisations initiale et finale. Dans l'approximation semi-classique, la fibre fonctionne comme un guide d'ondes et l'impulsion de la lumière est à tout moment tangente à la fibre. La polarisation peut être considérée comme une orientation perpendiculaire à l'impulsion. Lorsque la fibre trace son chemin, le vecteur d'impulsion de la lumière trace un chemin sur la sphère dans l'espace d'impulsion . Le chemin est fermé, puisque les directions initiale et finale de la lumière coïncident et que la polarisation est un vecteur tangent à la sphère. Aller dans l'espace d'impulsion équivaut à prendre la carte de Gauss . Aucune force ne pourrait faire tourner la polarisation, juste la contrainte de rester tangente à la sphère. Ainsi, la polarisation subit un transport parallèle et le déphasage est donné par l'angle solide inclus (multiplié par le spin, qui dans le cas de la lumière est égal à 1).

Une pompe stochastique est un système stochastique classique qui réagit avec des courants non nuls, en moyenne, aux changements périodiques de paramètres. L'effet de pompe stochastique peut être interprété en termes de phase géométrique dans l'évolution de la fonction génératrice de moments des courants stochastiques.

La phase géométrique peut être évaluée exactement pour une particule de spin 1 ⁄ 2 dans un champ magnétique.

ont rapidement réalisé qu'une phase géométrique similaire peut être définie pour des systèmes entièrement différents tels que des systèmes dissipatifs non linéaires qui possèdent certains attracteurs cycliques. Ils ont montré que de tels attracteurs cycliques existent dans une classe de systèmes dissipatifs non linéaires avec certaines symétries. Cette généralisation de la phase de Berry comporte plusieurs aspects importants : 1) Au lieu de l'espace des paramètres pour la phase de Berry d'origine, cette généralisation de Ning-Haken est définie dans l'espace des phases ; 2) Au lieu de l'évolution adiabatique dans un système mécanique quantique, l'évolution du système dans l'espace des phases n'a pas besoin d'être adiabatique. Il n'y a aucune restriction sur l'échelle de temps de l'évolution temporelle ; 3) Au lieu d'un système hermitien ou non hermitien avec amortissement linéaire, les systèmes peuvent être généralement non linéaires et non hermitiens.

Il existe plusieurs façons de calculer la phase géométrique dans les molécules dans le cadre de Born–Oppenheimer . L'une d'elles est la « matrice de couplage non-adiabatique » définie par où est la fonction d'onde électronique adiabatique, dépendant des paramètres nucléaires . Le couplage non-adiabatique peut être utilisé pour définir une intégrale de boucle, analogue à une boucle de Wilson (1974) en théorie des champs, développée indépendamment pour le cadre moléculaire par M. Baer (1975, 1980, 2000). Étant donnée une boucle fermée , paramétrée par où est un paramètre, et . La D -matrice est donnée par (ici est un symbole d'ordre de chemin). On peut montrer qu'une fois que est suffisamment grand (c'est-à-dire qu'un nombre suffisant d'états électroniques est considéré), cette matrice est diagonale, avec les éléments diagonaux égaux à où sont les phases géométriques associées à la boucle pour le -ième état électronique adiabatique.

Pour les hamiltoniens électroniques symétriques à inversion temporelle, la phase géométrique reflète le nombre d'intersections coniques encerclées par la boucle. Plus précisément, où est le nombre d'intersections coniques impliquant l'état adiabatique encerclé par la boucle

Une alternative à l' approche D -matrice serait un calcul direct de la phase de Pancharatnam. Ceci est particulièrement utile si l'on s'intéresse uniquement aux phases géométriques d'un seul état adiabatique. Dans cette approche, on prend un certain nombre de points le long de la boucle avec et ensuite, en utilisant uniquement les j -èmes états adiabatiques, on calcule le produit de Pancharatnam des chevauchements :

A la limite on a (voir Ryb & Baer 2004 pour explication et quelques applications)

Un électron soumis à un champ magnétique se déplace sur une orbite circulaire (cyclotron). ^[2] Classiquement, tout rayon cyclotron est acceptable. En mécanique quantique, seuls les niveaux d'énergie discrets ( niveaux de Landau ) sont autorisés, et comme est lié à l'énergie de l'électron, cela correspond à des valeurs quantifiées de . La condition de quantification de l'énergie obtenue en résolvant l'équation de Schrödinger s'écrit, par exemple, pour les électrons libres (dans le vide) ou pour les électrons du graphène , où . ^[3] Bien que la dérivation de ces résultats ne soit pas difficile, il existe une manière alternative de les dériver, qui offre à certains égards une meilleure compréhension physique de la quantification du niveau de Landau. Cette manière alternative est basée sur la condition de quantification semi-classique de Bohr-Sommerfeld qui inclut la phase géométrique captée par l'électron pendant qu'il exécute son mouvement (dans l'espace réel) le long de la boucle fermée de l'orbite cyclotron. Pour les électrons libres, tandis que pour les électrons du graphène. Il s'avère que la phase géométrique est directement liée à la proportion d'électrons libres et d'électrons dans le graphène.