Maximum et minimum

Une fonction à valeurs réelles f définie sur un domaine X possède un point maximum global (ou absolu ).en x ^* , si pour tout x dans X. De même, la fonction possède un point minimum global (ou absolu ).en x ^* , si pour tout x dans X. La valeur de la fonction en un point de maximum est appelée le maximum.valeur maximale de la fonction, notéevaleur minimale de la fonction, (notée

La définition du point minimum global se déroule également de manière similaire.

Si le domaine X est un espace métrique , alors on dit que f possède un point maximum local (ou relatif ).au point x ^* , s'il existe un ε > 0 tel que pour tout x ∈ X à une distance ε de x ^* . De même, la fonction admet un minimum local.En x ^* , si f ( x ^* ) ≤ f ( x ) pour tout x ∈ X à une distance ε de x ^* . Une définition similaire s'applique lorsque X est un espace topologique , car la définition précédente peut être reformulée en termes de voisinages. Mathématiquement, cette définition s'écrit comme suit :

Laisser$0)(\exists \epsilon >0)$0) tel que

La définition du point minimum local peut également se faire de manière similaire.

Dans les deux cas, global et local, le concept deOn peut définir un extremum strict . Par exemple, x^*est unpoint de maximum global strict si, pour toutxdansXtel que , on a, etx^∗est unUn point est un maximum local strict s'il existe untel que, pour toutx∈Xà une distanceεdex^∗avec , on a. Il est à noter qu'un point est un maximum global strict si et seulement s'il est l'unique maximum global, et de même pour les minimums.

Une fonction continue à valeurs réelles et à domaine compact admet toujours un maximum et un minimum. Un exemple important est celui d'une fonction dont le domaine est un intervalle fermé et borné de nombres réels (voir le graphique ci-dessus).

L'objectif de l'optimisation mathématique est de trouver les maxima et minima globaux . Si une fonction est continue sur un intervalle fermé, alors, d'après le théorème des valeurs extrêmes , des maxima et minima globaux existent. De plus, un maximum (ou minimum) global est soit un maximum (ou minimum) local à l'intérieur du domaine, soit situé sur sa frontière. Ainsi, une méthode pour trouver un maximum (ou minimum) global consiste à examiner tous les maxima (ou minima) locaux à l'intérieur du domaine, ainsi que les maxima (ou minima) des points situés sur la frontière, et à retenir le plus grand (ou le plus petit) de ces maxima.

Pour les fonctions différentiables , le théorème de Fermat stipule que les extrema locaux à l'intérieur d'un domaine se produisent nécessairement aux points critiques (ou points où la dérivée s'annule). Cependant, tous les points critiques ne sont pas des extrema. On peut souvent déterminer si un point critique est un maximum local, un minimum local, ou ni l'un ni l'autre, en utilisant le test de la dérivée première , le test de la dérivée seconde ou le test des dérivées d'ordre supérieur , sous réserve d'une différentiabilité suffisante.

Pour toute fonction définie par morceaux , on trouve un maximum (ou un minimum) en trouvant le maximum (ou le minimum) de chaque morceau séparément, puis en vérifiant lequel est le plus grand (ou le plus petit).

À titre d’exemple pratique, supposons une situation où quelqu’un a

La dérivée par rapport à

Établir cela égal à

révèle que$0x>0$0 et depuis, ce qui implique que Insérez le point critique , ainsi que les points de terminaison, danset les résultats sont

Par conséquent, la plus grande surface pouvant être obtenue avec un rectangle de.

dont le seul point critique est à (0,0), qui est un minimum local avec f (0,0) = 0. Cependant, il ne peut pas être global, car f (2,3) = −5.

Si le domaine d'une fonction pour laquelle un extremum doit être trouvé est constitué de fonctions (c'est-à-dire si un extremum d'une fonctionnelle doit être trouvé ), alors l'extremum est trouvé en utilisant le calcul des variations .

On peut également définir des maxima et des minima pour les ensembles. En général, si un ensemble ordonné S possède un plus grand élément m , alors m est un élément maximal de l'ensemble, également noté .S est un sous-ensemble d'un ensemble ordonné T et si m est le plus grand élément de S (selon l'ordre induit par T ), alors m est une borne supérieure de S dans T. Des résultats similaires s'appliquent à la borne inférieure , à la borne inférieure et à la borne inférieure . Les fonctions maximum et minimum des ensembles sont utilisées dans les bases de données et peuvent être calculées rapidement, car le maximum (ou le minimum) d'un ensemble peut être calculé à partir des maxima d'une partition ; formellement, ce sont des fonctions d'agrégation auto-décomposables .

Dans le cas d'un ordre partiel général , le plus petit élément (c'est-à-dire celui qui est inférieur à tous les autres) ne doit pas être confondu avec l' élément minimal (aucun élément n'est inférieur à l'autre). De même, le plus grand élément d'un ensemble partiellement ordonné (poset) est une borne supérieure de l'ensemble contenue dans le poset, tandis que l' élément maximal m d'un poset A est un élément de A tel que si m ≤ b (pour tout b ∈ A ), alors m = b . Tout plus petit ou plus grand élément d'un poset est unique, mais un poset peut avoir plusieurs éléments minimaux ou maximaux. Si un poset possède plusieurs éléments maximaux, ces éléments ne sont pas comparables entre eux.

Dans un ensemble totalement ordonné , ou chaîne , tous les éléments sont comparables entre eux. Un tel ensemble ne peut donc avoir qu'un seul élément minimal et qu'un seul élément maximal. Par conséquent, du fait de cette comparabilité, l'élément minimal est aussi le plus petit élément, et l'élément maximal est aussi le plus grand élément. Ainsi, dans un ensemble totalement ordonné, on peut simplement utiliser les termes « minimum » et « maximum » .

Si une chaîne est finie, elle possède toujours un maximum et un minimum. Si une chaîne est infinie, elle n'a pas nécessairement de maximum ni de minimum. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels n'a pas de maximum, mais possède un minimum. Si une chaîne infinie S est bornée, alors son adhérence Cl ( S ) admet parfois un minimum et un maximum ; on les appelle alors respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de l'ensemble S.