Histoire du concept de fonction

Le concept mathématique de fonction remonte au XVIIe siècle en lien avec le développement du calcul différentiel et intégral ; par exemple, la pente d'un graphique en un point était considérée comme une fonction de la coordonnée x du point. Les fonctions n'étaient pas explicitement considérées dans l'Antiquité, mais certains précurseurs du concept peuvent peut-être être vus dans les travaux de philosophes et de mathématiciens médiévaux tels qu'Oresme .

Les mathématiciens du XVIIIe siècle considéraient généralement une fonction comme étant définie par une expression analytique . Au XIXe siècle, les exigences du développement rigoureux de l'analyse par Weierstrass et d'autres, la reformulation de la géométrie en termes d'analyse et l'invention de la théorie des ensembles par Cantor ont finalement conduit au concept moderne beaucoup plus général d'une fonction comme application à valeur unique d'un ensemble à un autre.

Au XIIe siècle, le mathématicien Sharaf al-Din al-Tusi a analysé l'équation x ³ + d = b  ⋅  x ² sous la forme x ²  ⋅ ( b – x ) = d , affirmant que le côté gauche doit au moins être égal à la valeur de d pour que l'équation ait une solution. Il a ensuite déterminé la valeur maximale de cette expression. On peut soutenir que l'isolement de cette expression est une approche précoce de la notion de « fonction ». Une valeur inférieure à d signifie qu'il n'y a pas de solution positive ; une valeur égale à d correspond à une solution, tandis qu'une valeur supérieure à d correspond à deux solutions. L'analyse de cette équation par Sharaf al-Din a été un développement notable dans les mathématiques islamiques , mais son travail n'a pas été poursuivi plus loin à cette époque, ni dans le monde musulman ni en Europe.

Selon Dieudonné et Ponte , le concept de fonction est apparu au XVIIe siècle à la suite du développement de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal . Néanmoins, Medvedev suggère que le concept implicite de fonction est un concept qui a une lignée ancienne. Ponte voit également des approches plus explicites du concept au Moyen Âge :

Historiquement, certains mathématiciens peuvent être considérés comme ayant prévu et approché une formulation moderne du concept de fonction. Parmi eux se trouve Oresme (1323–1382) ... Dans sa théorie, certaines idées générales sur les quantités variables indépendantes et dépendantes semblent être présentes.

Le développement de la géométrie analytique vers 1640 a permis aux mathématiciens de passer des problèmes géométriques sur les courbes aux relations algébriques entre « coordonnées variables x et y ». Le calcul a été développé en utilisant la notion de variables, avec leur signification géométrique associée, qui a persisté jusqu'au XVIIIe siècle. Cependant, la terminologie de « fonction » a été utilisée dans les interactions entre Leibniz et Bernoulli vers la fin du XVIIe siècle.

Le terme « fonction » a été littéralement introduit par Gottfried Leibniz , dans une lettre de 1673, pour décrire une quantité liée à des points d'une courbe , comme une coordonnée ou la pente d'une courbe . Johann Bernoulli a commencé à appeler les expressions faites d'une seule variable « fonctions ». En 1698, il a convenu avec Leibniz que toute quantité formée « de manière algébrique et transcendantale » peut être appelée une fonction de x . En 1718, il en est venu à considérer comme une fonction « toute expression composée d'une variable et de certaines constantes ». Alexis Claude Clairaut (vers 1734) et Leonhard Euler ont introduit la notation familière pour la valeur d'une fonction.

Les fonctions considérées à cette époque sont aujourd'hui appelées fonctions différentiables . Pour ce type de fonction, on peut parler de limites et de dérivées ; les deux sont des mesures de la sortie ou de la variation de la sortie en fonction de l'entrée ou de la variation de l'entrée. De telles fonctions sont la base du calcul différentiel et intégral .

Dans le premier volume de son texte fondamental Introductio in analysin infinitorum , publié en 1748, Euler a donné essentiellement la même définition d'une fonction que son professeur Bernoulli, comme une expression ou une formule impliquant des variables et des constantes, par exemple, . La propre définition d'Euler se lit comme suit :

Une fonction d'une quantité variable est une expression analytique composée de quelque manière que ce soit de la quantité variable et de nombres ou de quantités constantes.

Euler autorise également les fonctions à valeurs multiples dont les valeurs sont déterminées par une équation implicite.

Cependant, en 1755, dans ses Institutiones calculi differentialis , Euler donne un concept plus général d'une fonction :

Lorsque certaines quantités dépendent d'autres de telle manière qu'elles subissent un changement lorsque ces dernières changent, les premières sont appelées fonctions des secondes. Cette appellation a un caractère extrêmement large ; elle englobe toutes les manières dont une quantité peut être déterminée en fonction d'autres.

Medvedev considère que « c'est essentiellement la définition qui est devenue connue sous le nom de définition de Dirichlet ». Edwards attribue également à Euler un concept général de fonction et dit en outre que

Les relations entre ces quantités ne sont pas considérées comme étant données par des formules, mais d'un autre côté, elles ne sont certainement pas considérées comme étant le type de sous-ensembles généraux d'espaces de produits, basés sur la théorie des ensembles et sur des principes généraux, que les mathématiciens modernes entendent par le mot « fonction ».

Dans sa Théorie Analytique de la Chaleur, Fourier affirmait qu'une fonction arbitraire pouvait être représentée par une série de Fourier . Fourier avait une conception générale d'une fonction, qui incluait des fonctions qui n'étaient ni continues ni définies par une expression analytique. Des questions connexes sur la nature et la représentation des fonctions, découlant de la résolution de l' équation d'onde pour une corde vibrante, avaient déjà fait l'objet d'un différend entre d'Alembert et Euler, et elles ont eu un impact significatif sur la généralisation de la notion de fonction. Luzin observe que :

La compréhension moderne de la fonction et de sa définition, qui nous semble correcte, n'a pu naître qu'après la découverte de Fourier. Sa découverte a clairement montré que la plupart des malentendus survenus dans le débat sur la corde vibrante résultaient de la confusion de deux concepts apparemment identiques mais en réalité très différents, à savoir celui de fonction et celui de sa représentation analytique. En effet, avant la découverte de Fourier, aucune distinction n'était faite entre les concepts de « fonction » et de « représentation analytique », et c'est cette découverte qui a entraîné leur dissociation.

Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens ont commencé à formaliser toutes les différentes branches des mathématiques. L'un des premiers à le faire fut Cauchy ; ses résultats quelque peu imprécis furent plus tard rendus complètement rigoureux par Weierstrass , qui préconisait de construire le calcul sur l'arithmétique plutôt que sur la géométrie , ce qui favorisait la définition d'Euler par rapport à celle de Leibniz (voir arithmétisation de l'analyse ). Selon Smithies, Cauchy pensait que les fonctions étaient définies par des équations impliquant des nombres réels ou complexes , et supposait tacitement qu'elles étaient continues :

Cauchy fait quelques remarques générales sur les fonctions dans le chapitre I, section 1 de son Analyse algébrique (1821). D'après ce qu'il dit, il est clair qu'il considère normalement une fonction comme étant définie par une expression analytique (si elle est explicite) ou par une équation ou un système d'équations (si elle est implicite) ; là où il diffère de ses prédécesseurs, c'est qu'il est prêt à considérer la possibilité qu'une fonction ne puisse être définie que pour une plage restreinte de la variable indépendante.

On attribue traditionnellement à Nikolai Lobachevsky et Peter Gustav Lejeune Dirichlet le mérite d'avoir donné indépendamment la définition « formelle » moderne d'une fonction comme une relation dans laquelle chaque premier élément possède un deuxième élément unique.

Lobatchevsky (1834) écrit que

Le concept général d'une fonction exige qu'une fonction de x soit définie comme un nombre donné pour chaque x et variant graduellement avec x . La valeur de la fonction peut être donnée soit par une expression analytique, soit par une condition qui permet d'examiner tous les nombres et d'en choisir un ; ou enfin la dépendance peut exister mais rester inconnue.

tandis que Dirichlet (1837) écrit

Si maintenant à chaque x correspond un unique y fini , et de telle manière que lorsque x s'étend continûment sur l'intervalle de a à b , varie aussi continûment, alors y est dite une fonction continue de x pour cet intervalle. Il n'est pas du tout nécessaire ici que y soit donné en fonction de x par une seule et même loi dans tout l'intervalle, et il n'est pas nécessaire qu'il soit considéré comme une dépendance exprimée au moyen d'opérations mathématiques.

Eves affirme que « l'étudiant en mathématiques rencontre généralement la définition de Dirichlet de la fonction dans son cours d'introduction au calcul.

La prétention de Dirichlet à cette formalisation a été contestée par Imre Lakatos :

Il n'existe aucune définition de ce genre dans les travaux de Dirichlet. Mais il existe de nombreuses preuves qu'il n'avait aucune idée de ce concept. Dans son article [1837] par exemple, lorsqu'il discute des fonctions continues par morceaux, il dit qu'aux points de discontinuité la fonction a deux valeurs : ...

Cependant, Gardiner dit : « ... il me semble que Lakatos va trop loin, par exemple, lorsqu'il affirme qu'il existe de nombreuses preuves que [Dirichlet] n'avait aucune idée du concept [de fonction moderne] ». De plus, comme indiqué ci-dessus, l'article de Dirichlet semble inclure une définition dans la lignée de ce qui lui est habituellement attribué, même si (comme Lobatchevsky) il ne l'énonce que pour les fonctions continues d'une variable réelle.

De même, Lavine observe que :

Il est controversé de savoir dans quelle mesure Dirichlet mérite d'avoir donné la définition moderne d'une fonction, en partie parce qu'il a limité sa définition aux fonctions continues. Je crois que Dirichlet a défini la notion de fonction continue pour préciser qu'aucune règle ou loi n'est requise, même dans le cas des fonctions continues, et pas seulement en général. Cela aurait mérité une attention particulière en raison de la définition d'Euler d'une fonction continue comme étant une fonction donnée par une expression ou une loi unique. Mais je doute également qu'il y ait suffisamment de preuves pour régler le différend.

Étant donné que Lobatchevsky et Dirichlet ont été parmi les premiers à introduire la notion de correspondance arbitraire, cette notion est parfois appelée définition de Dirichlet ou définition de Lobatchevsky-Dirichlet d'une fonction. Une version générale de cette définition a été utilisée plus tard par Bourbaki (1939), et certains membres de la communauté éducative la désignent comme la définition « Dirichlet-Bourbaki » d'une fonction.

Dieudonné , qui fut l'un des membres fondateurs du groupe Bourbaki, attribue à Dedekind une définition moderne précise et générale d'une fonction dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen paru en 1888 mais déjà rédigé en 1878. Dieudonné observe qu'au lieu de se limiter, comme dans les conceptions précédentes, aux fonctions réelles (ou complexes), Dedekind définit une fonction comme une application à valeur unique entre deux ensembles quelconques :

Ce qui était nouveau et qui allait être essentiel pour l’ensemble des mathématiques était la conception tout à fait générale d’une fonction .

Hardy 1908, pp. 26–28, définit une fonction comme une relation entre deux variables x et y telle que « à certaines valeurs de x correspondent au moins des valeurs de y ». Il n'exige pas que la fonction soit définie pour toutes les valeurs de x ni qu'elle associe chaque valeur de x à une valeur unique de y . Cette définition large d'une fonction englobe plus de relations que ce que l'on considère habituellement comme des fonctions dans les mathématiques contemporaines. Par exemple, la définition de Hardy inclut les fonctions à valeurs multiples et ce que l'on appelle en théorie de la calculabilité les fonctions partielles .

Les logiciens de cette époque s'occupaient principalement d'analyser les syllogismes (les formes aristotéliciennes vieilles de 2000 ans et autres), ou comme l'a déclaré Augustus De Morgan (1847) : « l'examen de cette partie du raisonnement qui dépend de la manière dont les inférences sont formées, et l'investigation des maximes et règles générales pour la construction des arguments ». À cette époque, la notion de « fonction » (logique) n'est pas explicite, mais au moins dans le travail de De Morgan et George Boole elle est implicite : nous voyons l'abstraction des formes d'argument, l'introduction de variables, l'introduction d'une algèbre symbolique par rapport à ces variables, et certaines des notions de la théorie des ensembles.

Dans son ouvrage de 1847 « LOGIQUE FORMELLE OU, Le calcul de l'inférence, nécessaire et probable », De Morgan observe que « [l] a vérité logique dépend de la structure de l'énoncé , et non des questions particulières évoquées » ; il ne perd pas de temps (page i de la préface) à faire une abstraction : « Dans la forme de la proposition, la copule est rendue aussi abstraite que les termes ». Il jette immédiatement (p. 1) ce qu'il appelle « la proposition » ( fonction ou relation propositionnelle actuelle ) dans une forme telle que « X est Y », où les symboles X, « est » et Y représentent respectivement le sujet , la copule et le prédicat. Bien que le mot « fonction » n'apparaisse pas, la notion d'« abstraction » est là, les « variables » sont là, la notion d'inclusion dans son symbolisme « tout le Δ est dans le О » (p. 9) est là, et enfin un nouveau symbolisme pour l'analyse logique de la notion de « relation » (il utilise le mot à propos de cet exemple « X)Y » (p. 75)) est là :

" A ₁ X)Y Pour prendre un X il faut prendre un Y " [ou Pour être un X il faut être un Y]

" A ¹ Y)X Pour prendre un Y il suffit de prendre un X " [ou Pour être un Y il suffit d'être un X], etc.

Dans son ouvrage de 1848 The Nature of Logic, Boole affirme que « la logique… est dans un sens plus particulier la science du raisonnement par signes », et il discute brièvement des notions d'« appartenance à » et de « classe » : « Un individu peut posséder une grande variété d'attributs et donc appartenir à une grande variété de classes différentes ». Comme De Morgan, il utilise la notion de « variable » tirée de l'analyse ; il donne un exemple de « représentation de la classe des bœufs par x et celle des chevaux par y et de la conjonction et par le signe +… nous pourrions représenter la classe globale des bœufs et des chevaux par x  +  y ».

Dans le contexte du « calcul différentiel », Boole a défini (vers 1849) la notion de fonction comme suit :

« La quantité dont la variation est uniforme... est appelée variable indépendante. La quantité dont la variation est rapportée à la variation de la première est dite fonction de celle-ci. Le calcul différentiel nous permet dans tous les cas de passer de la fonction à la limite. Il le fait par une certaine opération. Mais dans l'idée même d'une opération se trouve... l'idée d'une opération inverse. Effectuer cette opération inverse dans le cas présent est l'affaire du calcul intégral. »

Eves observe que « les logiciens se sont efforcés de repousser encore plus loin le niveau de départ du développement définitionnel des mathématiques et de dériver la théorie des ensembles , ou des classes , d'un fondement dans la logique des propositions et des fonctions propositionnelles ». Mais à la fin du XIXe siècle, les recherches des logiciens sur les fondements des mathématiques ont connu une scission majeure. La direction du premier groupe, les logicistes , peut probablement être mieux résumée par Bertrand Russell en 1903 : « remplir deux objectifs, premièrement, montrer que toutes les mathématiques découlent de la logique symbolique, et deuxièmement découvrir, dans la mesure du possible, quels sont les principes de la logique symbolique elle-même ».

Le deuxième groupe de logiciens, les théoriciens des ensembles, a émergé avec la « théorie des ensembles » de Georg Cantor (1870-1890), mais a été poussé en avant en partie à la suite de la découverte par Russell d'un paradoxe qui pouvait être dérivé de la conception de la « fonction » de Frege, mais aussi en réaction à la solution proposée par Russell. Zermelo à la théorie des ensembles fut ses Investigations in the foundations of set theory I de 1908 – la première théorie axiomatique des ensembles ; ici aussi la notion de « fonction propositionnelle » joue un rôle.

Dans son ouvrage An Investigation into the laws of thought, Boole définit désormais une fonction en termes d'un symbole x comme suit :

"8. Définition. – Toute expression algébrique impliquant le symbole x est appelée fonction de x et peut être représentée par la forme abrégée f ( x )"

Boole a ensuite utilisé des expressions algébriques pour définir des notions algébriques et logiques , par exemple, 1 −  x est le NON logique ( x ), xy est le ET logique ( x , y ), x  +  y est le OU logique ( x , y ), x ( x  +  y ) est xx  +  xy , et « la loi spéciale » xx = x ² = x .

Dans son ouvrage de 1881 sur la logique symbolique, Venn utilisait les mots « fonction logique » et le symbolisme contemporain ( x = f ( y ), y = f ⁻¹ ( x ), cf page xxi) ainsi que les diagrammes circulaires historiquement associés à Venn pour décrire les « relations de classe », les notions de « quantification » de notre prédicat », « propositions par rapport à leur extension », « la relation d'inclusion et d'exclusion de deux classes l'une par rapport à l'autre », et « fonction propositionnelle » (toutes à la page 10), la barre au-dessus d'une variable pour indiquer non- x (page 43), etc. En effet, il assimilait sans équivoque la notion de « fonction logique » à « classe » [« ensemble » moderne] : « ... selon le point de vue adopté dans ce livre, f ( x ) ne représente jamais rien d'autre qu'une classe logique. Il peut s'agir d'une classe composée agrégée de nombreuses classes simples ; il peut s'agir d'une classe indiquée par certaines opérations logiques inverses, il peut être composé de deux groupes de classes égales entre elles, ou quelle est la "La même chose, leur différence déclarée égale à zéro, c'est-à-dire une équation logique. Mais quelle que soit sa composition ou sa dérivation, f ( x ) ne sera jamais pour nous autre chose qu'une expression générale pour les classes logiques de choses qui peuvent raisonnablement trouver une place dans la logique ordinaire".

Le Begriffsschrift (1879) de Gottlob Frege a précédé celui de Giuseppe Peano (1889), mais Peano n'a eu connaissance de Frege 1879 qu'après avoir publié son 1889. Les deux auteurs ont fortement influencé Russell (1903). Russell a à son tour influencé une grande partie des mathématiques et de la logique du XXe siècle à travers ses Principia Mathematica (1913) coécrits avec Alfred North Whitehead .

Frege abandonne d'emblée les « concepts traditionnels de sujet et de prédicat », les remplaçant respectivement par argument et fonction , qui, selon lui, « résisteront à l'épreuve du temps. Il est facile de voir comment considérer un contenu comme une fonction d'un argument conduit à la formation de concepts. De plus, la démonstration du lien entre les significations des mots si, et, non, ou, il y a, certains, tous, etc., mérite l'attention ».

Frege commence sa discussion sur la « fonction » avec un exemple : Commencez par l'expression « L'hydrogène est plus léger que le dioxyde de carbone ». Retirez maintenant le signe de l'hydrogène (c'est-à-dire le mot « hydrogène ») et remplacez-le par le signe de l'oxygène (c'est-à-dire le mot « oxygène ») ; cela fait une deuxième déclaration. Refaites cela (en utilisant l'une ou l'autre déclaration) et remplacez le signe de l'azote (c'est-à-dire le mot « azote ») et notez que « cela change le sens de telle manière que « l'oxygène » ou « l'azote » entre dans les relations dans lesquelles « l'hydrogène » se trouvait auparavant ». Il y a trois déclarations :

• « L’hydrogène est plus léger que le dioxyde de carbone. »
• « L’oxygène est plus léger que le dioxyde de carbone. »
• « L’azote est plus léger que le dioxyde de carbone. »

Observons maintenant dans les trois cas une « composante stable, représentant la totalité des relations » ; appelons cela la fonction , c'est-à-dire,

"... est plus léger que le dioxyde de carbone", est la fonction.

Frege appelle l' argument de la fonction « le signe [par exemple, l'hydrogène, l'oxygène ou l'azote], considéré comme remplaçable par d'autres qui désigne l'objet se trouvant dans ces relations ». Il note que nous aurions pu dériver la fonction comme « L'hydrogène est plus léger que . . . » également, avec une position d'argument à droite ; l'observation exacte est faite par Peano (voir plus bas). Enfin, Frege autorise le cas de deux (ou plusieurs) arguments. Par exemple, supprimez « dioxyde de carbone » pour obtenir la partie invariante (la fonction) comme :

• "... est plus léger que ... "

Frege généralise la fonction à un argument sous la forme Φ(A) où A est l'argument et Φ( ) représente la fonction, tandis qu'il symbolise la fonction à deux arguments par Ψ(A, B) avec A et B les arguments et Ψ( , ) la fonction et prévient que « en général Ψ(A, B) diffère de Ψ(B, A) ». En utilisant son symbolisme unique, il traduit pour le lecteur le symbolisme suivant :

« Nous pouvons lire |--- Φ(A) comme « A a la propriété Φ. |--- Ψ(A, B) peut être traduit par « B se trouve dans la relation Ψ à A » ou « B est le résultat d'une application de la procédure Ψ à l'objet A ».

Peano définit la notion de « fonction » d'une manière quelque peu similaire à Frege, mais sans la précision. Peano définit d'abord le signe « K signifie classe , ou agrégat d'objets », dont les objets satisfont trois conditions d'égalité simples, a = a , ( a = b ) = ( b = a ), SI (( a = b ) ET ( b = c )) ALORS ( a = c ). Il introduit ensuite φ, « un signe ou un agrégat de signes tel que si x est un objet de la classe s , l'expression φ x désigne un nouvel objet ». Peano ajoute deux conditions sur ces nouveaux objets : premièrement, que les trois conditions d'égalité soient vraies pour les objets φ x ; deuxièmement, que « si x et y sont des objets de la classe s et si x = y , nous supposons qu'il est possible de déduire φ x = φ y ». Étant donné que toutes ces conditions sont remplies, φ est un « présigne de fonction ». De même, il identifie un « postsigne de fonction ». Par exemple, si φ est le présigne de fonction a +, alors φ x donne a + x , ou si φ est le postsigne de fonction + a alors x φ donne x + a .

Bien que l'influence de Cantor et Peano ait été primordiale, dans l'annexe A « Les doctrines logiques et arithmétiques de Frege » des Principes de mathématiques , Russell arrive à une discussion de la notion de fonction de Frege , « ... un point sur lequel le travail de Frege est très important et nécessite un examen attentif ». En réponse à son échange de lettres de 1902 avec Frege au sujet de la contradiction qu'il a découverte dans le Begriffsschrift de Frege , Russell a ajouté cette section au dernier moment.

Pour Russell, la notion de variable est un sujet délicat : « 6. Les propositions mathématiques ne se caractérisent pas seulement par le fait qu'elles affirment des implications, mais aussi par le fait qu'elles contiennent des variables . La notion de variable est l'une des plus difficiles à traiter par la logique. Pour le moment, je souhaite clairement faire comprendre qu'il y a des variables dans toutes les propositions mathématiques, même là où, à première vue, elles pourraient sembler absentes. . . . Nous trouverons toujours, dans toutes les propositions mathématiques, les mots any ou some ; et ces mots sont les marques d'une variable et d'une implication formelle ».

Comme l'a exprimé Russell, « le processus de transformation des constantes d'une proposition en variables conduit à ce qu'on appelle la généralisation, et nous donne, pour ainsi dire, l'essence formelle d'une proposition... Tant qu'un terme de notre proposition peut être transformé en variable, notre proposition peut être généralisée ; et tant que cela est possible, c'est le travail des mathématiques de le faire » ; Russell a nommé ces généralisations fonctions propositionnelles . le Begriffsschrift de Frege et présente un exemple frappant tiré de Function und Begriff de Frege de 1891 : « L'essence de la fonction arithmétique 2 x ³ + x est ce qui reste lorsque x est supprimé, c'est-à-dire, dans l'exemple ci-dessus 2( ) ³ + ( ). L'argument x n'appartient pas à la fonction mais les deux pris ensemble forment le tout ». Russell était d'accord avec la notion de « fonction » de Frege dans un certain sens : « Il considère les fonctions – et en cela je suis d'accord avec lui – comme plus fondamentales que les prédicats et les relations », mais Russell rejetait la « théorie du sujet et de l'assertion » de Frege, en particulier « il pense que, si un terme a apparaît dans une proposition, la proposition peut toujours être analysée en a et une assertion sur a ».

Russell poursuivra ses idées dans son ouvrage de 1908 Mathematical logic as based on the theory of types et dans ses Principia Mathematica et ceux de Whitehead de 1910 à 1913. À l'époque des Principia Mathematica, Russell, comme Frege, considérait la fonction propositionnelle comme fondamentale : « Les fonctions propositionnelles sont le type fondamental à partir duquel les types de fonctions les plus courants, tels que « sin x » ou log x ou « le père de x » sont dérivés. Ces fonctions dérivées... sont appelées « fonctions descriptives ». Les fonctions de propositions... sont un cas particulier de fonctions propositionnelles ».

Fonctions propositionnelles : Sa terminologie étant différente de celle de l'époque, le lecteur peut être dérouté par la « fonction propositionnelle » de Russell. Un exemple peut aider. Russell écrit une fonction propositionnelle dans sa forme brute, par exemple, sous la forme φŷ : « ŷ est blessé ». (Observez le circonflexe ou le « chapeau » sur la variable y ). Pour notre exemple, nous allons attribuer seulement 4 valeurs à la variable ŷ : « Bob », « Cet oiseau », « Emily le lapin » et « y ». La substitution d'une de ces valeurs à la variable ŷ donne une proposition ; cette proposition est appelée une « valeur » de la fonction propositionnelle. Dans notre exemple, il y a quatre valeurs de la fonction propositionnelle, par exemple, « Bob est blessé », « Cet oiseau est blessé », « Emily le lapin est blessé » et « y est blessé ». Une proposition, si elle est significative — c'est-à-dire si sa vérité est déterminée — a une valeur de vérité de vérité ou de fausseté . Si la valeur de vérité d'une proposition est « vérité », alors on dit que la valeur de la variable satisfait la fonction propositionnelle. Enfin, selon la définition de Russell, « une classe [un ensemble] est l'ensemble des objets satisfaisant une fonction propositionnelle » (p. 23). Notez le mot « tous » – c'est ainsi que les notions contemporaines de « Pour tout ∀ » et « il existe au moins une instance ∃ » entrent dans le traitement (p. 15).

Pour continuer l'exemple : supposons (de l'extérieur des mathématiques/logiques) que l'on détermine que les propositions "Bob est blessé" ont une valeur de vérité de "fausse", "Cet oiseau est blessé" a une valeur de vérité de "vérité", "Emily le lapin est blessé" a une valeur de vérité indéterminée car "Emily le lapin" n'existe pas, et " y est blessé" est ambigu quant à sa valeur de vérité car l'argument y lui-même est ambigu. Alors que les deux propositions "Bob est blessé" et "Cet oiseau est blessé" sont significatives (elles ont toutes deux des valeurs de vérité), seule la valeur "Cet oiseau" de la variable ŷ satisfait la fonction propositionnelle φŷ : " ŷ est blessé". Lorsqu'on va former la classe α: φŷ : " ŷ est blessé ", seul "Cet oiseau" est inclus, étant donné les quatre valeurs "Bob", "Cet oiseau", "Emily le lapin" et " y " pour la variable ŷ et leurs valeurs de vérité respectives : fausseté, vérité, indéterminée, ambiguë.

Russell définit des fonctions de propositions avec arguments et des fonctions de vérité f ( p) . Par exemple, supposons que l'on forme la « fonction de propositions avec arguments » p ₁ : « NOT( p ) AND q » et que l'on attribue à ses variables les valeurs de p : « Bob est blessé » et q : « Cet oiseau est blessé ». (Nous sommes limités aux liens logiques NOT, AND, OR et IMPLIES, et nous ne pouvons attribuer que des propositions « significatives » aux variables p et q ). Alors la « fonction de propositions avec arguments » est p ₁ : NOT("Bob est blessé") AND "Cet oiseau est blessé". Pour déterminer la valeur de vérité de cette « fonction de propositions avec arguments », nous la soumettons à une « fonction de vérité », par exemple, _f ( p1 ) : f ( NOT("Bob est blessé") AND "Cet oiseau est blessé"), qui donne une valeur de vérité de « vérité ».

La notion de relation fonctionnelle « plusieurs-un » : Russell discute d'abord de la notion d'« identité », puis définit une fonction descriptive (pages 30 et suivantes) comme la valeur unique ιx qui satisfait la fonction propositionnelle (à 2 variables) (c'est-à-dire la « relation ») φŷ .

NB Le lecteur doit être averti ici que l'ordre des variables est inversé ! y est la variable indépendante et x est la variable dépendante, par exemple, x = sin( y ).

Russell symbolise la fonction descriptive comme « l'objet en relation avec y » : R'y = _DEF ( ιx )( x R y ). Russell répète que « R'y est une fonction de y , mais pas une fonction propositionnelle [sic] ; nous l'appellerons une fonction descriptive . Toutes les fonctions ordinaires des mathématiques sont de ce genre. Ainsi, dans notre notation, « sin  y » s'écrirait « sin  'y », et « sin » représenterait la relation que sin  'y a avec y ».

David Hilbert s'est fixé comme objectif de « formaliser » les mathématiques classiques « en tant que théorie axiomatique formelle, et cette théorie devra être prouvée cohérente , c'est-à-dire exempte de contradictions ». Dans The Foundations of Mathematics de Hilbert, publié en 1927, il formule la notion de fonction en termes d'existence d'un « objet » :

13. A(a) --> A(ε(A)) Ici, ε(A) représente un objet dont la proposition A(a) est certainement vraie si elle est vraie pour n'importe quel objet ; appelons ε la fonction ε logique". [La flèche indique "implique".]

Hilbert illustre ensuite les trois façons dont la fonction ε doit être utilisée, d'abord comme les notions « pour tout » et « il existe », ensuite pour représenter « l'objet dont [une proposition] est vraie », et enfin comment la transformer en fonction de choix .

Théorie de la récursivité et calculabilité : Mais le résultat inattendu des efforts de Hilbert et de son élève Bernays fut l'échec ; voir les théorèmes d'incomplétude de Gödel de 1931. À peu près à la même époque, dans un effort pour résoudre le problème d' Entscheidungsproblem de Hilbert , les mathématiciens se sont attachés à définir ce que l'on entendait par « fonction effectivement calculable » ( Alonzo Church 1936), c'est-à-dire une « méthode effective » ou un « algorithme », c'est-à-dire une procédure explicite, étape par étape, qui parviendrait à calculer une fonction. Différents modèles d'algorithmes sont apparus, en succession rapide, notamment le calcul lambda de Church (1936), les fonctions μ-récursives de Stephen Kleene (1936) et l'idée d' Alan Turing (1936-1937) de remplacer les « ordinateurs » humains par des « machines à calculer » entièrement mécaniques (voir Machines de Turing ). Il a été démontré que tous ces modèles pouvaient calculer la même classe de fonctions calculables . La thèse de Church soutient que cette classe de fonctions épuise toutes les fonctions de la théorie des nombres qui peuvent être calculées par un algorithme. Les résultats de ces efforts ont été des démonstrations éclatantes que, selon les mots de Turing, « il ne peut y avoir aucun processus général pour déterminer si une formule donnée U du calcul fonctionnel K [ Principia Mathematica ] est prouvable » ; voir plus sur Indépendance (logique mathématique) et Théorie de la calculabilité .

La théorie des ensembles a commencé avec les travaux des logiciens avec la notion de « classe » (« ensemble » moderne) par exemple De Morgan (1847), Jevons (1880), Venn (1881), Frege (1879) et Peano (1889). Elle a été stimulée par la tentative de Georg Cantor de définir l'infini dans le traitement de la théorie des ensembles (1870-1890) et par la découverte ultérieure d'une antinomie (contradiction, paradoxe) dans ce traitement ( paradoxe de Cantor ), par la découverte par Russell (1902) d'une antinomie dans celle de Frege en 1879 ( paradoxe de Russell ), par la découverte d'autres antinomies au début du XXe siècle (par exemple, le paradoxe Burali-Forti de 1897 et le paradoxe de Richard de 1905 ), et par la résistance au traitement complexe de la logique de Russell et par l'aversion pour son axiome de réductibilité (1908, 1910-1913) qu'il a proposé comme moyen d'échapper aux antinomies.

En 1902, Russell a envoyé une lettre à Frege soulignant que le Begriffsschrift de Frege de 1879 autorisait une fonction à être un argument d'elle-même : « D'un autre côté, il se peut aussi que l'argument soit déterminé et la fonction indéterminée... » À partir de cette situation sans contrainte, Russell a pu former un paradoxe :

« Vous affirmez... qu'une fonction peut aussi agir comme élément indéterminé. C'est ce que je croyais autrefois, mais maintenant cette opinion me paraît douteuse à cause de la contradiction suivante. Soit w le prédicat : être un prédicat qui ne peut pas être prédiqué de lui-même. W peut-il être prédiqué de lui-même ? »

Frege répondit rapidement : « Votre découverte de la contradiction m'a causé la plus grande surprise et, je dirais presque, la consternation, car elle a ébranlé la base sur laquelle j'avais l'intention de construire l'arithmétique ».

À partir de ce moment, le développement des fondements des mathématiques est devenu un exercice visant à éviter le « paradoxe de Russell », formulé comme il l'était dans « les notions simples [de la théorie des ensembles] d'ensemble et d'élément ».

La notion de « fonction » apparaît dans l'axiome III de Zermelo, l'axiome de séparation (Axiom der Aussonderung). Cet axiome nous contraint à utiliser une fonction propositionnelle Φ( x ) pour « séparer » un sous-ensemble M _{Φ d'un ensemble} M précédemment formé :

"AXIOME III. (Axiome de séparation). Chaque fois que la fonction propositionnelle Φ( x ) est définie pour tous les éléments d'un ensemble M , M possède un sous-ensemble M _Φ contenant comme éléments précisément les éléments x de M pour lesquels Φ( x ) est vrai".

Comme il n'existe pas d'ensemble universel — les ensembles naissent par l'intermédiaire de l'Axiome II à partir d'éléments du domaine B (non-ensemble) — « ... cela élimine l'antinomie de Russell en ce qui nous concerne ». Mais le « critère défini » de Zermelo est imprécis et est fixé par Weyl , Fraenkel , Skolem et von Neumann .

En fait, Skolem, dans son ouvrage de 1922, faisait référence à ce « critère défini » ou « propriété » comme à une « proposition définie » :

"... une expression finie construite à partir de propositions élémentaires de la forme a ε b ou a = b au moyen des cinq opérations [conjonction logique, disjonction, négation, quantification universelle et quantification existentielle].

van Heijenoort résume :

« Une propriété est définie au sens de Skolem si elle est exprimée... par une formule bien formée dans le calcul des prédicats simples du premier ordre dans lequel les seules constantes des prédicats sont ε et éventuellement, =. ... Aujourd'hui, une axiomatisation de la théorie des ensembles est généralement intégrée dans un calcul logique, et c'est l'approche de Weyl et Skolem pour la formulation de l'axiome de séparation qui est généralement adoptée.

Dans cette citation, le lecteur peut observer un changement de terminologie : nulle part n'est mentionnée la notion de « fonction propositionnelle », mais on voit plutôt les mots « formule », « calcul des prédicats », « prédicat » et « calcul logique ». Ce changement de terminologie est discuté plus en détail dans la section qui traite de la « fonction » dans la théorie contemporaine des ensembles.

L'histoire de la notion de « paire ordonnée » n'est pas claire. Comme indiqué ci-dessus, Frege (1879) a proposé un ordre intuitif dans sa définition d'une fonction à deux arguments Ψ(A, B). Norbert Wiener dans son ouvrage de 1914 (voir ci-dessous) observe que son propre traitement « revient essentiellement au traitement de Schröder d'une relation comme une classe de couples ordonnés ». Russell (1903) a considéré la définition d'une relation (telle que Ψ(A, B)) comme une « classe de couples » mais l'a rejetée :

« On est tenté de considérer une relation comme définissable en extension comme une classe de couples. C'est l'avantage formel d'éviter la nécessité de la proposition primitive affirmant que chaque couple a une relation qui ne tient entre aucune autre paire de termes. Mais il est nécessaire de donner un sens au couple, de distinguer le référent [ domaine ] du relatum [ domaine inverse ] : ainsi un couple devient essentiellement distinct d'une classe de deux termes, et doit lui-même être introduit comme une idée primitive. . . . Il semble donc plus correct d'adopter une vision intentionnelle des relations, et de les identifier plutôt à des concepts de classe qu'à des classes. »

En 1910-1913 et dans Principia Mathematica, Russell avait abandonné l'exigence d'une définition intentionnelle d'une relation, affirmant que « les mathématiques s'intéressent toujours aux extensions plutôt qu'aux intentions » et que « les relations, comme les classes, doivent être prises en extension ». Pour démontrer la notion de relation en extension, Russell a maintenant adopté la notion de couple ordonné : « Nous pouvons considérer une relation ... comme une classe de couples ... la relation déterminée par φ( x, y ) est la classe de couples ( x, y ) pour lesquels φ( x, y ) est vraie ». Dans une note de bas de page, il a clarifié sa notion et est arrivé à cette définition :

« Un tel couple a un sens , c'est-à-dire que le couple ( x, y ) est différent du couple ( y, x ) à moins que x  =  y . Nous l'appellerons un « couple avec sens », ... on peut aussi l'appeler un couple ordonné .

Mais il poursuit en disant qu'il n'introduirait pas davantage les couples ordonnés dans son « traitement symbolique » ; il propose à leur place sa « matrice » et son axiome impopulaire de réductibilité.

Une tentative de résoudre le problème des antinomies a conduit Russell à proposer sa « doctrine des types » dans un appendice B de son ouvrage de 1903 The Principles of Mathematics . Quelques années plus tard, il affina cette notion et proposa dans son ouvrage de 1908 The Theory of Types deux axiomes de réductibilité , dont le but était de réduire les fonctions propositionnelles (à variable unique) et les relations (à variable double) à une forme « inférieure » (et finalement à une forme complètement extensionnelle ) ; lui et Alfred North Whitehead transposeraient ce traitement dans Principia Mathematica 1910-1913 avec un raffinement supplémentaire appelé « une matrice ». Le premier axiome est *12.1 ; le second est *12.11. Pour citer Wiener, le deuxième axiome *12.11 « n'est impliqué que dans la théorie des relations ». Les deux axiomes, cependant, ont été accueillis avec scepticisme et résistance ; voir plus sur Axiome de réductibilité . En 1914, Norbert Wiener, en utilisant le symbolisme de Whitehead et Russell, a éliminé l'axiome *12.11 (la version « à deux variables » (relationnelle) de l'axiome de réductibilité) en exprimant une relation comme une paire ordonnée en utilisant l'ensemble nul. À peu près à la même époque, Hausdorff (1914, p. 32) a donné la définition de la paire ordonnée ( a , b ) comme {{ a ,1}, { b , 2}}. Quelques années plus tard, Kuratowski (1921) a proposé une définition qui a été largement utilisée depuis, à savoir {{ a , b }, { a }}". Comme l'a noté Suppes (1960) "Cette définition... a été historiquement importante pour réduire la théorie des relations à la théorie des ensembles.

Il faut remarquer que si Wiener a « réduit » la forme relationnelle *12.11 de l'axiome de réductibilité, il n'a pas réduit ni modifié d'une autre manière la forme propositionnelle-fonction *12.1 ; il a en effet déclaré que celle-ci était « essentielle au traitement de l'identité, des descriptions, des classes et des relations ».

On ne sait pas exactement d'où vient la notion générale de « fonction » en tant que correspondance plusieurs-uns. Russell dans son Introduction à la philosophie mathématique de 1920 déclare que « Il faut observer que toutes les fonctions mathématiques résultent de relations un-plusieurs [sic – l'usage contemporain est plusieurs-un]… Les fonctions dans ce sens sont des fonctions descriptives ». Une possibilité raisonnable est la notion de « fonction descriptive » des Principia Mathematica – R 'y = _DEF (ι x )( x R y ) : « l'objet singulier qui a une relation R à y ». Quoi qu'il en soit, en 1924, Moses Schönfinkel a exprimé la notion, affirmant qu'elle était « bien connue » :

« Comme on le sait, par fonction nous entendons dans le cas le plus simple une correspondance entre les éléments d'un domaine de quantités, le domaine des arguments, et ceux d'un domaine de valeurs de fonctions... telles qu'à chaque valeur d'argument corresponde au plus une valeur de fonction ».

Selon Willard Quine , Schönfinkel 1924 « fournit ... toute l'étendue de la théorie abstraite des ensembles. Le nœud du problème est que Schönfinkel laisse les fonctions servir d'arguments. Pour Schönfinkel, sensiblement comme pour Frege, les classes sont des sortes particulières de fonctions. Ce sont des fonctions propositionnelles, des fonctions dont les valeurs sont des valeurs de vérité. Toutes les fonctions, propositionnelles ou autres, sont pour Schönfinkel des fonctions à un seul endroit ». De manière remarquable, Schönfinkel réduit toutes les mathématiques à un calcul fonctionnel extrêmement compact composé de seulement trois fonctions : la constance, la fusion (c'est-à-dire la composition) et l'exclusivité mutuelle. Quine note que Haskell Curry (1958) a poursuivi ce travail « sous le titre de logique combinatoire ».

En 1925, Abraham Fraenkel (1922) et Thoralf Skolem (1922) avaient modifié la théorie des ensembles de Zermelo de 1908. Mais von Neumann n'était pas convaincu que cette axiomatisation ne puisse pas conduire aux antinomies. An axiomatisation of set theory , de 1925. Elle contient explicitement une version « contemporaine » de la théorie des ensembles de la notion de « fonction » :

« [Contrairement à la théorie des ensembles de Zermelo] [n]ous préférons cependant axiomatiser non pas « ensemble » mais « fonction ». Cette dernière notion inclut certainement la première. (Plus précisément, les deux notions sont complètement équivalentes, puisqu'une fonction peut être considérée comme un ensemble de paires, et un ensemble comme une fonction qui peut prendre deux valeurs.) ».

Au début, il commence par les objets I et II , deux objets A et B qui sont des objets I (premier axiome), et deux types d'« opérations » qui supposent l'ordre comme une propriété structurelle obtenue des objets résultants [ x , y ] et ( x , y ). Les deux « domaines d'objets » sont appelés « arguments » (objets I) et « fonctions » (objets II) ; là où ils se chevauchent se trouvent les « fonctions d'argument » (il les appelle objets I-II). Il introduit deux « opérations universelles à deux variables » – (i) l'opération [ x , y ] : « . . . lire 'la valeur de la fonction x pour l'argument y . . . elle-même est un objet de type I », et (ii) l'opération ( x , y ) : « . . . (lire 'la paire ordonnée x , y' ) dont les variables x et y doivent toutes deux être des arguments et qui produit elle-même un argument ( x , y ). Sa propriété la plus importante est que x ₁ = x ₂ et y ₁ = y ₂ découlent de ( x ₁ = y ₂ ) = ( x ₂ = y ₂ ) ». Pour clarifier la paire de fonctions, il note que « au lieu de f ( x ) nous écrivons [ f,x ] pour indiquer que f , tout comme x , doit être considéré comme une variable dans cette procédure ». Pour éviter les « antinomies de la théorie naïve des ensembles, dans la première partie de Russell . . . nous devons renoncer à traiter certaines fonctions comme des arguments ». Il adopte une notion de Zermelo pour restreindre ces « certaines fonctions ».

Suppes observe que l'axiomatisation de von Neumann a été modifiée par Bernays « afin de rester plus proche du système original de Zermelo... Il a introduit deux relations d'appartenance : l'une entre les ensembles, et l'autre entre les ensembles et les classes ». Puis Gödel [1940] a encore modifié la théorie : « ses notions primitives sont celles d'ensemble, de classe et d'appartenance (bien que l'appartenance seule soit suffisante) ». Cette axiomatisation est maintenant connue sous le nom de théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel .

En 1939, Bourbaki , en plus de donner la définition bien connue de la paire ordonnée d'une fonction comme un certain sous-ensemble du produit cartésien E × F , a donné ce qui suit :

"Soient E et F deux ensembles, distincts ou non. Une relation entre un élément variable x de E et un élément variable y de F est dite relation fonctionnelle en y si, pour tout x ∈ E , il existe un unique y ∈ F qui est dans la relation donnée avec x . On donne le nom de fonction à l'opération qui associe ainsi à tout élément x ∈ E l'élément y ∈ F qui est dans la relation donnée avec x , et on dit que la fonction est déterminée par la relation fonctionnelle donnée. Deux relations fonctionnelles équivalentes déterminent la même fonction."

Les formes axiomatiques et naïves de la théorie des ensembles de Zermelo, modifiées par Fraenkel (1922) et Skolem (1922), définissent la « fonction » comme une relation, définissent une relation comme un ensemble de paires ordonnées et définissent une paire ordonnée comme un ensemble de deux ensembles « dissymétriques ».

Bien que le lecteur de la théorie axiomatique des ensembles de Suppes (1960) ou de la théorie naïve des ensembles de Halmos (1970) observe l'utilisation du symbolisme de fonction dans l' axiome de séparation , par exemple φ( x ) (dans Suppes) et S( x ) (dans Halmos), il ne verra aucune mention de « proposition » ou même de « calcul des prédicats du premier ordre ». À leur place se trouvent des « expressions du langage objet », des « formules atomiques », des « formules primitives » et des « phrases atomiques ».

Kleene (1952) définit les mots comme suit : « Dans les langages de mots, une proposition est exprimée par une phrase. Ensuite, un « prédicat » est exprimé par une phrase incomplète ou un squelette de phrase contenant une place ouverte. Par exemple, « ___ est un homme » exprime un prédicat... Le prédicat est une fonction propositionnelle d'une variable . Les prédicats sont souvent appelés « propriétés »... Le calcul des prédicats traitera de la logique des prédicats dans ce sens général de « prédicat », c'est-à-dire comme fonction propositionnelle ».

En 1954, Bourbaki, p. 76 du Chapitre II de la Théorie des Ensembles, donne une définition d'une fonction comme un triplet f = ( F , A , B ). Ici F est un graphe fonctionnel , c'est-à-dire un ensemble de paires où aucune paire n'a le même premier membre. P. 77 ( op. cit. ) Bourbaki déclare (traduction littérale) : « Nous emploierons souvent, dans la suite de ce Traité, le mot fonction au lieu de graphe fonctionnel . »

Suppes (1960) dans la théorie axiomatique des ensembles , définit formellement une relation (p. 57) comme un ensemble de paires, et une fonction (p. 86) comme une relation où aucune paire n'a le même premier membre.

La raison de la disparition des mots « fonction propositionnelle », par exemple dans Suppes (1960) et Halmos (1970), est expliquée par Tarski (1946) avec une explication plus détaillée de la terminologie :

"Une expression telle que x est un entier qui contient des variables et qui, en remplaçant ces variables par des constantes, devient une phrase, est appelée une FONCTION PHRASEUSE [c'est-à-dire propositionnelle par rapport à son indice]. Mais les mathématiciens, soit dit en passant, n'aiment pas beaucoup cette expression, car ils utilisent le terme "fonction" avec un sens différent. ... les fonctions et phrases phraseuses composées entièrement de symboles mathématiques (et non de mots du langage courant), telles que : x  +  y = 5 sont généralement appelées par les mathématiciens FORMULES. Au lieu de "fonction phraseuse", nous dirons parfois simplement "phrase" - mais seulement dans les cas où il n'y a aucun risque de malentendu".

Tarski, pour sa part, appelle la forme relationnelle de la fonction une « RELATION FONCTIONNELLE » ou simplement une FONCTION. Après une discussion de cette « relation fonctionnelle », il affirme que :

« Le concept de fonction que nous examinons maintenant diffère essentiellement des concepts de fonction propositionnelle et de fonction désignatrice... À proprement parler... [ces concepts] n'appartiennent pas au domaine de la logique ou des mathématiques ; ils désignent certaines catégories d'expressions qui servent à composer des énoncés logiques et mathématiques, mais ils ne désignent pas les choses dont traitent ces énoncés... Le terme « fonction », dans son nouveau sens, est au contraire une expression de caractère purement logique ; il désigne un certain type de choses traitées en logique et en mathématiques. »

Pour en savoir plus sur « la vérité sous une interprétation », consultez Alfred Tarski .

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