Fonction de partition (mathématiques)

La fonction de partition ou intégrale de configuration , telle qu'utilisée en théorie des probabilités , en théorie de l'information et dans les systèmes dynamiques , est une généralisation de la définition d'une fonction de partition en mécanique statistique . C'est un cas particulier de constante de normalisation en théorie des probabilités, pour la distribution de Boltzmann . La fonction de partition apparaît dans de nombreux problèmes de théorie des probabilités car, dans les situations où il y a une symétrie naturelle, sa mesure de probabilité associée , la mesure de Gibbs , a la propriété de Markov . Cela signifie que la fonction de partition apparaît non seulement dans les systèmes physiques à symétrie de translation, mais aussi dans des contextes aussi variés que les réseaux neuronaux (le réseau de Hopfield ) et des applications telles que la génomique , la linguistique de corpus et l'intelligence artificielle , qui utilisent les réseaux de Markov et les réseaux logiques de Markov . La mesure de Gibbs est également la seule mesure qui a la propriété de maximiser l' entropie pour une valeur d'espérance fixe de l'énergie ; cela sous-tend l'apparition de la fonction de partition dans les méthodes d'entropie maximale et les algorithmes qui en découlent.

La fonction de partition relie de nombreux concepts différents et offre ainsi un cadre général dans lequel de nombreux types de quantités différents peuvent être calculés. En particulier, elle montre comment calculer les valeurs d'espérance mathématique et les fonctions de Green , formant un pont vers la théorie de Fredholm . Elle fournit également un cadre naturel pour l'approche de la géométrie de l'information en théorie de l'information, où la métrique d'information de Fisher peut être comprise comme une fonction de corrélation dérivée de la fonction de partition ; elle définit par ailleurs une variété riemannienne .

Lorsque le cadre des variables aléatoires est un espace projectif complexe ou un espace projectif de Hilbert , géométrisé avec la métrique de Fubini-Study , la théorie de la mécanique quantique et plus généralement la théorie quantique des champs en résultent. Dans ces théories, la fonction de partition est largement exploitée dans la formulation intégrale de chemin , avec un grand succès, conduisant à de nombreuses formules presque identiques à celles examinées ici. Cependant, comme l'espace de mesure sous-jacent est à valeurs complexes, par opposition au simplexe à valeurs réelles de la théorie des probabilités, un facteur supplémentaire de i apparaît dans de nombreuses formules. Le suivi de ce facteur est problématique et n'est pas effectué ici. Cet article se concentre principalement sur la théorie des probabilités classique, où la somme des probabilités totalise un.

Étant donné un ensemble de variables aléatoires prenant des valeurs , et une sorte de fonction potentielle ou d'hamiltonien , la fonction de partition est définie comme

La fonction H est considérée comme une fonction à valeur réelle sur l'espace des états , tandis que est un paramètre libre à valeur réelle (conventionnellement, l' inverse de la température ). La somme sur les est considérée comme une somme sur toutes les valeurs possibles que chacune des variables aléatoires peut prendre. Ainsi, la somme doit être remplacée par une intégrale lorsque les sont continues, plutôt que discrètes. Ainsi, on écrit

pour le cas de variation continue .

Lorsque H est un observable , tel qu'une matrice de dimension finie ou un opérateur d'espace de Hilbert de dimension infinie ou un élément d'une algèbre en étoile C , il est courant d'exprimer la sommation sous forme de trace , de sorte que

Lorsque H est de dimension infinie, alors, pour que la notation ci-dessus soit valide, l'argument doit être de classe trace , c'est-à-dire d'une forme telle que la sommation existe et soit bornée.

Le nombre de variables n'a pas besoin d'être dénombrable , auquel cas les sommes doivent être remplacées par des intégrales fonctionnelles . Bien qu'il existe de nombreuses notations pour les intégrales fonctionnelles, une notation courante serait

Tel est le cas de la fonction de partition dans la théorie quantique des champs .

Une modification courante et utile de la fonction de partition consiste à introduire des fonctions auxiliaires. Cela permet, par exemple, d'utiliser la fonction de partition comme fonction génératrice pour les fonctions de corrélation . Ce point est abordé plus en détail ci-dessous.

Le rôle ou la signification du paramètre peut être compris de différentes manières. En thermodynamique classique, il s'agit d'une température inverse . Plus généralement, on dirait que c'est la variable qui est conjuguée à une fonction (arbitraire) des variables aléatoires . Le mot conjugué est ici utilisé dans le sens de coordonnées généralisées conjuguées en mécanique lagrangienne , donc, il s'agit proprement d'un multiplicateur de Lagrange . On l'appelle souvent la force généralisée . Tous ces concepts ont en commun l'idée qu'une valeur est censée rester fixe, tandis que d'autres, interconnectées de manière compliquée, sont autorisées à varier. Dans le cas présent, la valeur à maintenir fixe est la valeur moyenne de , même si de nombreuses distributions de probabilité différentes peuvent donner lieu exactement à cette même valeur (fixe).

Dans le cas général, on considère un ensemble de fonctions qui dépendent chacune des variables aléatoires . Ces fonctions sont choisies parce que l'on souhaite maintenir constantes leurs valeurs moyennes, pour une raison ou une autre. Pour contraindre les valeurs moyennes de cette manière, on applique la méthode des multiplicateurs de Lagrange . Dans le cas général, les méthodes d'entropie maximale illustrent la manière dont cela est réalisé.

Quelques exemples concrets s'imposent. Dans les problèmes de thermodynamique de base, lorsqu'on utilise l' ensemble canonique , l'utilisation d'un seul paramètre reflète le fait qu'il n'y a qu'une seule valeur d'espérance qui doit être maintenue constante : l' énergie libre (en raison de la conservation de l'énergie ). Pour les problèmes de chimie impliquant des réactions chimiques, l' ensemble grand canonique fournit la base appropriée, et il existe deux multiplicateurs de Lagrange. L'un sert à maintenir l'énergie constante, et l'autre, la fugacité , à maintenir le nombre de particules constant (car les réactions chimiques impliquent la recombinaison d'un nombre fixe d'atomes).

Pour le cas général, on a

avec un point dans un espace.

Pour une collection d'observables , on écrirait

Comme précédemment, il est supposé que l'argument de tr est de classe trace .

La mesure de Gibbs correspondante fournit alors une distribution de probabilité telle que la valeur moyenne de chaque valeur soit une valeur fixe. Plus précisément, on a

avec les chevrons indiquant la valeur attendue de , et étant une notation alternative courante. Une définition précise de cette valeur attendue est donnée ci-dessous.

Bien que la valeur de soit généralement considérée comme réelle, elle ne l'est pas nécessairement en général ; ceci est discuté dans la section Normalisation ci-dessous. Les valeurs de peuvent être comprises comme les coordonnées de points dans un espace ; cet espace est en fait une variété , comme esquissé ci-dessous. L'étude de ces espaces en tant que variétés constitue le domaine de la géométrie de l'information .

La fonction potentielle elle-même prend généralement la forme d'une somme :

où la somme sur s est une somme sur un sous-ensemble de l' ensemble des puissances P ( X ) de l'ensemble . Par exemple, en mécanique statistique , comme le modèle d'Ising , la somme est sur les paires de voisins les plus proches. En théorie des probabilités, comme les réseaux de Markov , la somme peut être sur les cliques d'un graphe ; ainsi, pour le modèle d'Ising et d'autres modèles de treillis , les cliques maximales sont des arêtes.

Le fait que la fonction potentielle puisse être écrite comme une somme reflète généralement le fait qu'elle est invariante sous l' action d'une symétrie de groupe , telle que l'invariance translationnelle . De telles symétries peuvent être discrètes ou continues ; elles se matérialisent dans les fonctions de corrélation des variables aléatoires (discutées ci-dessous). Ainsi, une symétrie dans l'hamiltonien devient une symétrie de la fonction de corrélation (et vice versa).

Cette symétrie a une interprétation d'une importance cruciale en théorie des probabilités : elle implique que la mesure de Gibbs possède la propriété de Markov ; c'est-à-dire qu'elle est indépendante des variables aléatoires d'une certaine manière, ou, de manière équivalente, que la mesure est identique sur les classes d'équivalence de la symétrie. Cela conduit à l'apparition généralisée de la fonction de partition dans les problèmes avec la propriété de Markov, tels que les réseaux de Hopfield .

La valeur de l'expression

peut être interprété comme une probabilité qu'une configuration spécifique de valeurs se produise dans le système. Ainsi, étant donnée une configuration spécifique ,

est la probabilité que la configuration se produise dans le système, qui est maintenant correctement normalisée de sorte que , et telle que la somme de toutes les configurations soit égale à un. En tant que telle, la fonction de partition peut être comprise comme fournissant une mesure (une mesure de probabilité ) sur l' espace de probabilité ; formellement, elle est appelée mesure de Gibbs . Elle généralise les concepts plus étroits de l' ensemble grand canonique et de l'ensemble canonique en mécanique statistique.

Il existe au moins une configuration pour laquelle la probabilité est maximisée ; cette configuration est conventionnellement appelée état fondamental . Si la configuration est unique, l'état fondamental est dit non dégénéré , et le système est dit ergodique ; sinon l'état fondamental est dégénéré . L'état fondamental peut commuter ou non avec les générateurs de la symétrie ; s'il commute, il est dit de mesure invariante . Lorsqu'il ne commute pas, la symétrie est dite spontanément brisée .

Les conditions dans lesquelles un état fondamental existe et est unique sont données par les conditions de Karush–Kuhn–Tucker ; ces conditions sont couramment utilisées pour justifier l'utilisation de la mesure de Gibbs dans les problèmes d'entropie maximale.

Les valeurs prises par dépendent de l' espace mathématique sur lequel varie le champ aléatoire. Ainsi, les champs aléatoires à valeurs réelles prennent des valeurs sur un simplexe : c'est la manière géométrique de dire que la somme des probabilités doit totaliser un. Pour la mécanique quantique, les variables aléatoires s'étendent sur un espace projectif complexe (ou espace de Hilbert projectif à valeurs complexes ), où les variables aléatoires sont interprétées comme des amplitudes de probabilité . L'accent est mis ici sur le mot projectif , car les amplitudes sont toujours normalisées à un. La normalisation pour la fonction potentielle est la Jacobienne pour l'espace mathématique approprié : elle est de 1 pour les probabilités ordinaires et de i pour l'espace de Hilbert ; ainsi, en théorie quantique des champs , on voit dans l'exponentiel, plutôt que dans l'infini . La fonction de partition est très largement exploitée dans la formulation intégrale de chemin de la théorie quantique des champs, avec beaucoup d'effet. La théorie y est très presque identique à celle présentée ici, à part cette différence, et le fait qu'elle est généralement formulée sur un espace-temps à quatre dimensions, plutôt que de manière générale.

La fonction de partition est couramment utilisée comme fonction génératrice de probabilité pour les valeurs d'espérance de diverses fonctions des variables aléatoires. Ainsi, par exemple, en prenant comme paramètre ajustable, alors la dérivée de par rapport à

donne la moyenne (valeur attendue) de H . En physique, cela s'appellerait l' énergie moyenne du système.

Étant donné la définition de la mesure de probabilité ci-dessus, la valeur attendue de toute fonction f des variables aléatoires X peut maintenant s'écrire comme prévu : ainsi, pour X à valeur discrète , on écrit

La notation ci-dessus est logique pour un nombre fini de variables aléatoires discrètes. Dans des contextes plus généraux, les sommes doivent être remplacées par des intégrales sur un espace de probabilités .

Ainsi, par exemple, l' entropie est donnée par

La mesure de Gibbs est la distribution statistique unique qui maximise l'entropie pour une valeur d'espérance fixe de l'énergie ; cela sous-tend son utilisation dans les méthodes d'entropie maximale .

Les points peuvent être compris comme formant un espace, et plus précisément une variété . Il est donc raisonnable de s'interroger sur la structure de cette variété ; c'est la tâche de la géométrie de l'information .

Les dérivées multiples par rapport aux multiplicateurs de Lagrange donnent lieu à une matrice de covariance semi-définie positive

Cette matrice est semi-définie positive et peut être interprétée comme un tenseur métrique , plus précisément une métrique riemannienne . En dotant l'espace des multiplicateurs de Lagrange d'une métrique de cette manière, on le transforme en une variété riemannienne . L'étude de telles variétés est appelée géométrie de l'information ; la métrique ci-dessus est la métrique d'information de Fisher . Ici, sert de coordonnée sur la variété. Il est intéressant de comparer la définition ci-dessus à la définition plus simple d'information de Fisher , dont elle s'inspire.

Il est facile de voir que ce qui précède définit la métrique d'information de Fisher en remplaçant explicitement la valeur attendue :

où nous avons écrit pour et la somme est censée être sur toutes les valeurs de toutes les variables aléatoires . Pour les variables aléatoires à valeurs continues, les sommes sont bien sûr remplacées par des intégrales.

Curieusement, la métrique d'information de Fisher peut également être comprise comme la métrique euclidienne à espace plat , après un changement approprié des variables, comme décrit dans l'article principal sur celle-ci. Lorsque les valeurs sont complexes, la métrique résultante est la métrique de Fubini–Study . Lorsqu'elle est écrite en termes d' états mixtes , au lieu d' états purs , elle est connue sous le nom de métrique de Bures .

En introduisant des fonctions auxiliaires artificielles dans la fonction de partition, on peut alors l'utiliser pour obtenir la valeur moyenne des variables aléatoires. Ainsi, par exemple, en écrivant

on a alors

comme la valeur attendue de . Dans la formulation intégrale de chemin de la théorie quantique des champs , ces fonctions auxiliaires sont communément appelées champs sources .

Les différenciations multiples conduisent aux fonctions de corrélation connexes des variables aléatoires. Ainsi, la fonction de corrélation entre les variables et est donnée par :

Pour le cas où H peut s'écrire sous une forme quadratique impliquant un opérateur différentiel , c'est-à-dire sous la forme

La fonction de partition peut alors être comprise comme une somme ou une intégrale sur des gaussiennes. La fonction de corrélation peut être comprise comme la fonction de Green pour l'opérateur différentiel (et donnant généralement lieu à la théorie de Fredholm ). Dans le cadre de la théorie quantique des champs, ces fonctions sont appelées propagateurs ; les corrélateurs d'ordre supérieur sont appelés fonctions à n points ; travailler avec elles définit l' action effective d'une théorie.

Lorsque les variables aléatoires sont des nombres de Grassmann anti-commutants , la fonction de partition peut être exprimée comme un déterminant de l'opérateur D. Cela se fait en l'écrivant sous la forme d'une intégrale de Berezin (également appelée intégrale de Grassmann).

Les fonctions de partition sont utilisées pour discuter de la mise à l'échelle critique , de l'universalité et sont soumises au groupe de renormalisation .