Worldlex Wiki
Article de reference

Projection 3D

Classification de quelques projections 3D Une projection 3D (ou projection graphique ) est une technique de conception utilisée pour afficher un objet tridimensionnel (objet 3D)...

Worldlex WikiContenu en francaisLecture gratuite
Classification de quelques projections 3D
technique de conception utilisée pour afficher un objet tridimensionnel (objet 3D) sur un plan bidimensionnel . Ces projections s'appuient sur la perspective visuelle et l'analyse des aspects pour projeter un objet complexe et le rendre visible sur un plan plus simple.

Les projections 3D exploitent les qualités fondamentales de la forme d'un objet pour créer une représentation de points, reliés entre eux afin de former un élément visuel. Il en résulte une image dont les propriétés conceptuelles permettent d'interpréter la figure ou l'image non pas comme une surface plane (2D), mais comme un objet solide (3D) visualisé sur un écran 2D.

Les objets 3D sont généralement affichés sur des supports bidimensionnels (comme le papier et les écrans d'ordinateur). De ce fait, les projections graphiques sont un élément de conception couramment utilisé, notamment en dessin technique , en conception architecturale et en infographie . Les projections peuvent être calculées à l'aide d'analyses et de formules mathématiques, ou encore par diverses techniques géométriques et optiques.

Plusieurs types de projection graphique comparés
Les différentes projections et leur mode de production

Pour afficher un objet tridimensionnel (3D) sur une surface bidimensionnelle (2D), on applique une transformation de projection à l'objet 3D à l'aide d'une matrice de projection. Cette transformation supprime les informations de la troisième dimension tout en préservant celles des deux premières. Voir la section Géométrie projective pour plus de détails.

Si la taille et la forme de l'objet 3D ne doivent pas être déformées par sa position relative par rapport à la surface 2D, une projection parallèle peut être utilisée.

Exemples de projections parallèles :

Projection multivue (élévation)
  • projection isométrique
  • projection militaire
  • Projection du cabinet

    • Pour préserver la perspective 3D d'un objet sur une surface 2D, la transformation doit inclure une mise à l'échelle et une translation en fonction de la position relative de l'objet par rapport à la surface 2D. Ce processus est appelé projection perspective. Exemples de projections perspectives :

    Perspective à un point de fuite
  • Perspective à deux points
    Perspective à deux points
  • Perspective à trois points
    Perspective à trois points

    • Projection parallèle

    La projection parallèle correspond à une projection perspective avec un point de vue hypothétique ; c'est-à-dire un point de vue où la caméra se trouve à une distance infinie de l'objet et possède une distance focale infinie, ou « zoom ».

    En projection parallèle, les lignes de visée de l'objet vers le plan de projection sont parallèles entre elles. Ainsi, les lignes parallèles dans l'espace tridimensionnel le restent dans l'image projetée bidimensionnelle. La projection parallèle correspond également à une projection perspective à focale infinie (la distance entre l' objectif et le foyer de l'appareil photo ), aussi appelée « zoom ».

    Les images obtenues par projection parallèle reposent sur la technique de l'axonométrie (mesure selon les axes), décrite par le théorème de Pohlke . En général, l'image résultante est oblique (les rayons ne sont pas perpendiculaires au plan de l'image) ; mais dans certains cas particuliers, elle est orthographique (les rayons sont perpendiculaires au plan de l'image). Il ne faut pas confondre l'axonométrie avec la projection axonométrique , cette dernière désignant généralement, dans la littérature anglophone, une catégorie spécifique de représentations picturales (voir ci-dessous).

    Projection orthographique

    la géométrie descriptive , est une représentation bidimensionnelle d'un objet tridimensionnel. C'est une projection parallèle (les lignes de projection sont parallèles aussi bien dans le plan réel que dans le plan de projection). Elle est privilégiée pour les dessins d'exécution .

    Si la normale du plan de visée (la direction de la caméra) est parallèle à l'un des axes principaux ( x , y ou z ), la transformation mathématique est la suivante : pour projeter le point 3D

    où le vecteur s représente un facteur d'échelle arbitraire et c un décalage arbitraire. Ces constantes sont facultatives et permettent d'aligner correctement la fenêtre d'affichage. En utilisant la multiplication matricielle , les équations deviennent :

    Bien que les images projetées orthographiquement représentent la nature tridimensionnelle de l'objet projeté, elles ne le représentent pas tel qu'il serait photographié ou perçu par un observateur direct. En particulier, les longueurs parallèles en tout point d'une image projetée orthographiquement sont à la même échelle, que ces points soient proches ou éloignés de l'observateur virtuel. Par conséquent, les longueurs ne sont pas raccourcies comme dans une projection perspective.

    projection multivue

    Symboles utilisés pour définir si une projection multivue est soit du premier angle (gauche), soit du troisième angle (droite).

    Les projections multivues permettent de produire jusqu'à six images (appelées vues primaires ) d'un objet, chaque plan de projection étant parallèle à l'un des axes de coordonnées de l'objet. Les vues sont positionnées les unes par rapport aux autres selon deux schémas : la projection du premier angle ou la projection du troisième angle . Dans les deux cas, l'apparence des vues peut être vue comme projetée sur des plans formant un parallélépipède rectangle autour de l'objet. Bien que six faces différentes puissent être dessinées, trois vues suffisent généralement à représenter un objet en 3D. Ces vues sont appelées vue de face , vue de dessus et vue d'extrémité . Les termes élévation , plan et coupe sont également utilisés.

    projection oblique

    Table de rempotage dessinée en projection d'armoire avec un angle de 45° et un rapport de 2/3
    Arc de pierre dessiné selon une perspective militaire

    En projection oblique, les rayons de projection parallèles ne sont pas perpendiculaires au plan de projection, contrairement à la projection orthographique, mais l'atteignent selon un angle différent de 90 degrés. En projection orthographique comme en projection oblique, les lignes parallèles dans l'espace apparaissent parallèles sur l'image projetée. De par sa simplicité, la projection oblique est exclusivement utilisée à des fins picturales et non pour les dessins techniques. Dans un dessin oblique , les angles entre les axes et les facteurs de raccourcissement (échelle) sont arbitraires. La distorsion ainsi créée est généralement atténuée en alignant un plan de l'objet représenté parallèlement au plan de projection, ce qui permet d'obtenir une image fidèle et à l'échelle du plan choisi. Il existe des types particuliers de projections obliques :

    Projection Cavalier (45°)

    En projection cavalière (parfois appelée perspective cavalière ou point de vue élevé ), un point de l'objet est représenté par trois coordonnées, x , y et z . Sur le dessin, il n'est représenté que par deux coordonnées, x″ et y″ . Sur le dessin à plat, les deux axes, x et z sur la figure, sont perpendiculaires et leur longueur est à l'échelle 1:1 ; cette projection est donc similaire aux projections dimétriques , bien qu'il ne s'agisse pas d'une projection axonométrique , car le troisième axe, ici y , est tracé en diagonale, formant un angle arbitraire avec l' axe x″ , généralement de 30 ou 45°. La longueur de ce troisième axe n'est pas à l'échelle.

    Projection du cabinet

    Comme la perspective cavalière, une face de l'objet projeté est parallèle au plan de vision, et le troisième axe est projeté selon un angle (généralement 30° ou 45°, soit arctan(2) = 63,4°). Contrairement à la perspective cavalière, où le troisième axe conserve sa longueur, la projection cabinet réduit de moitié la longueur des lignes de fuite.

    projection militaire

    Une variante de la projection oblique est appelée projection militaire . Dans ce cas, les coupes horizontales sont dessinées de manière isométrique afin que les plans d'étage ne soient pas déformés et les verticales sont dessinées selon un angle. La projection militaire est obtenue par une rotation dans le plan xy et une translation verticale d'une valeur z .

    Projection axonométrique

    Les trois vues axonométriques , ici d' un meuble

    Les projections axonométriques représentent un objet vu de biais, permettant ainsi de visualiser les trois axes de l'espace sur une seule image. Elles peuvent être orthographiques ou obliques . Les dessins axonométriques sont souvent utilisés pour approcher les projections en perspective, mais cette approximation induit une distorsion. Comme les projections picturales contiennent intrinsèquement cette distorsion, on peut, par souci d'économie d'effort et pour un résultat optimal, prendre de grandes libertés dans leurs dessins instrumentaux.Projection isométrique ), la direction de vision est telle que les trois axes de l'espace apparaissent raccourcis de manière identique, formant un angle de 120° entre eux. La distorsion due au raccourcissement étant uniforme, les proportions des côtés et des longueurs sont préservées, et les axes partagent la même échelle. Ceci permet de lire ou de prendre des mesures directement sur le dessin.

    Projection dimétrique

    En projection dimétrique (pour les méthodes, voir Projection dimétrique ), la direction de vision est telle que deux des trois axes de l'espace apparaissent raccourcis de manière égale ; l'échelle et les angles de présentation correspondants sont déterminés en fonction de l'angle de vision. L'échelle du troisième axe (vertical) est déterminée séparément. Les approximations sont courantes dans les dessins dimétriques.

    Projection trimétrique

    En projection trimétrique (pour les méthodes, voir Projection trimétrique ), la direction d'observation est telle que les trois axes de l'espace apparaissent raccourcis de manière inégale. L'échelle le long de chaque axe et les angles entre eux sont déterminés séparément en fonction de l'angle de vue. Les approximations sont courantes dans les dessins trimétriques.

    Limites de la projection parallèle

    Un exemple des limites de la projection isométrique : la différence de hauteur entre les boules rouge et bleue ne peut être déterminée localement.
    L' escalier Penrose représente un escalier qui semble monter (dans le sens antihoraire) ou descendre (dans le sens horaire) tout en formant une boucle continue.

    Les objets dessinés en projection parallèle ne paraissent ni plus grands ni plus petits selon la distance qui les sépare du spectateur. Bien que cette technique soit avantageuse pour les dessins d'architecture , où les mesures doivent être prises directement sur l'image, elle engendre une distorsion perçue, car contrairement à la projection perspective , ce n'est pas ainsi que fonctionnent normalement nos yeux ou la photographie. Elle peut également facilement rendre difficile l'évaluation de la profondeur et de l'altitude, comme le montre l'illustration ci-contre.

    Dans ce dessin isométrique, la sphère bleue est deux unités plus haute que la rouge. Cependant, cette différence d'altitude n'est pas visible si l'on masque la moitié droite de l'image, car les rectangles (qui servent d'indices de hauteur) sont alors cachés.

    Cette ambiguïté visuelle a été exploitée dans l'art optique , ainsi que dans les dessins d'« objets impossibles ». La Cascade (1961) de M.C. Escher , bien que n'utilisant pas à proprement parler la projection parallèle, en est un exemple célèbre : un canal d'eau semble s'écouler librement vers le bas, avant de retomber paradoxalement en retournant à sa source. L'eau semble ainsi enfreindre la loi de conservation de l'énergie . Un exemple extrême est présenté dans le film Inception , où, par un effet de perspective forcée , un escalier immobile change de configuration. Le jeu vidéo Fez utilise des illusions de perspective pour déterminer les zones de déplacement du joueur, à la manière d'un puzzle.

    Projection en perspective

    Perspective d'un solide géométrique à l'aide de deux points de fuite. Dans ce cas, la projection orthogonale du solide est tracée sous la perspective, comme si le plan du sol était courbé.
    Projection axonométrique d'un schéma illustrant les éléments pertinents d'une perspective verticale . Le point d'observation (PS) se situe sur le plan du sol π , et le point de vue (PV) juste au-dessus. PP est sa projection sur le plan de l'image α . LO et LT sont respectivement l'horizon et la ligne de sol . Les lignes s et q, en gras, se trouvent sur π et coupent α en Ts et Tq respectivement. Les lignes parallèles passant par PV (en rouge) coupent LO aux points de fuite Fs et Fq : on peut ainsi tracer les projections s′ et q′ , et donc leur intersection R ′ sur R.

    La projection perspective, ou transformation perspective, est une projection qui consiste à projeter des objets tridimensionnels sur un plan image . Cela a pour effet de faire apparaître les objets éloignés plus petits que les objets proches.

    Cela signifie également que les lignes parallèles (c’est-à-dire qui se rejoignent à l’ infini ) semblent se croiser sur l’image projetée. Par exemple, si des voies ferrées sont représentées en perspective, elles semblent converger vers un point unique, appelé point de fuite . Les objectifs photographiques et l’œil humain fonctionnent de la même manière ; c’est pourquoi la perspective est la plus réaliste. On distingue généralement trois types de perspective : à un point de fuite , à deux points de fuite et à trois points de fuite , selon l’orientation du plan de projection par rapport aux axes de l’objet représenté.

    Les méthodes de projection graphique reposent sur la dualité entre les lignes et les points, selon laquelle deux lignes droites déterminent un point tandis que deux points déterminent une ligne droite. La projection orthogonale du point de l'œil sur le plan de l'image est appelée point de fuite principal (PP dans le schéma de droite, de l'italien punto principale , terme apparu à la Renaissance).

    Deux points pertinents d'une ligne sont :

    • son intersection avec le plan de l'image, et
    • son point de fuite se situe à l'intersection entre la ligne parallèle issue du point de vue et le plan de l'image.

    Le point de fuite principal est le point de fuite de toutes les lignes horizontales perpendiculaires au plan de l'image. Les points de fuite de toutes les lignes horizontales se situent sur la ligne d'horizon . Si, comme c'est souvent le cas, le plan de l'image est vertical, toutes les lignes verticales sont tracées verticalement et n'ont pas de point de fuite défini sur ce plan. Diverses méthodes graphiques peuvent être facilement envisagées pour la projection de scènes géométriques. Par exemple, les lignes tracées depuis le point d'observation à 45° par rapport au plan de l'image coupent ce dernier selon un cercle dont le rayon est égal à la distance entre le point d'observation et le plan. Le tracé de ce cercle facilite ainsi la construction de tous les points de fuite des lignes à 45°. En particulier, l'intersection de ce cercle avec la ligne d'horizon est constituée de deux points de distance . Ces points sont utiles pour dessiner des plans en damier qui, à leur tour, servent à localiser la base des objets dans la scène. Dans la perspective d'un solide géométrique à droite, après avoir choisi le point de fuite principal — qui détermine la ligne d'horizon —, le point de fuite à 45° à gauche du dessin complète la caractérisation du point de vue (équidistance). Deux lignes sont tracées à partir de la projection orthogonale de chaque sommet, l'une à 45° et l'autre à 90° par rapport au plan du dessin. Après avoir coupé la ligne du sol, ces lignes se dirigent vers le point éloigné (pour 45°) ou le point principal (pour 90°). Leur nouvelle intersection détermine la projection de la carte. Les altitudes naturelles sont mesurées au-dessus de la ligne du sol, puis projetées de la même manière jusqu'à ce qu'elles rencontrent la verticale de la carte.

    Alors que la projection orthographique ignore la perspective pour permettre des mesures précises, la projection perspective montre les objets éloignés comme plus petits pour un réalisme accru.

    Formule mathématique

    La projection perspective requiert une définition plus complexe que les projections orthographiques. Pour mieux comprendre son fonctionnement, on peut imaginer la projection 2D comme si l'objet (ou les objets) était observé(s) à travers le viseur d'un appareil photo. La position, l'orientation et le champ de vision de l'appareil déterminent le comportement de la transformation de projection. Les variables suivantes définissent cette transformation :

    La plupart des conventions utilisent des valeurs z positives (le plan étant situé devant le trou d'épingle).

    Quand

    Sinon, calculer

    Cette représentation correspond à une rotation de trois angles d'Euler (plus précisément, angles de Tait-Bryan ), selon la convention xyz , ce qui peut s'interpréter soit comme « rotation autour des axes extrinsèques (axes de la scène ) dans l'ordre z , y , x (lecture de droite à gauche) », soit comme « rotation autour des axes intrinsèques (axes de la caméra ) dans l'ordre x, y, z (lecture de gauche à droite) ». Si la caméra n'est pas pivotée (

    Alternativement, sans utiliser de matrices (remplaçons

    Ce point transformé peut alors être projeté sur le plan 2D à l'aide de la formule (ici, x / y est utilisé comme plan de projection ; la littérature peut également utiliser x / z ) :

    Ou, sous forme matricielle en utilisant des coordonnées homogènes , le système

    Conjointement à un raisonnement utilisant des triangles semblables, cela conduit à une division par la coordonnée homogène, donnant

    La distance entre le spectateur et la surface d'affichage,

    Les équations ci-dessus peuvent également être réécrites comme suit :

    Dans lequel

    Des opérations de découpage et de mise à l'échelle ultérieures peuvent être nécessaires pour projeter le plan 2D sur un support d'affichage particulier.

    Projection en perspective faible

    Une projection perspective « faible » utilise les mêmes principes qu'une projection orthographique, mais exige la spécification du facteur d'échelle, ce qui garantit que les objets proches apparaissent plus grands dans la projection, et inversement. Elle peut être considérée comme un hybride entre une projection orthographique et une projection perspective, et décrite soit comme une projection perspective avec des profondeurs de points individuelles, soit comme une projection perspective avec des profondeurs de points individuelles.

    Le modèle de perspective faible approxime ainsi la projection perspective à l'aide d'un modèle plus simple, similaire à la perspective orthographique pure (non mise à l'échelle). Il constitue une approximation raisonnable lorsque la profondeur de l'objet le long de la ligne de visée est faible par rapport à la distance à la caméra, et que le champ de vision est réduit. Dans ces conditions, on peut supposer que tous les points d'un objet 3D sont à la même distance.

    Équation

    en supposant une distance focale

    Diagramme

    Pour déterminer quelle coordonnée x de l'écran correspond à un point à

    où

    Puisque la caméra fonctionne en 3D, le même principe s'applique à la coordonnée y de l'écran : on peut substituer y à x dans le diagramme et l'équation ci-dessus.

    Il est également possible d'utiliser des techniques d'écrêtage . Celles-ci consistent à remplacer les valeurs d'un point situé hors du champ de vision (FOV) par des valeurs interpolées à partir d'un point correspondant situé à l'intérieur de la matrice de vue de la caméra.

    Cette approche, souvent appelée méthode de la caméra inverse , consiste à effectuer un calcul de projection perspective à partir de valeurs connues. Elle détermine le dernier point visible le long du volume de visualisation en projetant à partir d'un point hors champ (invisible) après application de toutes les transformations nécessaires.