Fonction de signe

En mathématiques , la fonction signe ou fonction signum ( du latin signum pour « signe ») est une fonction qui a la valeur −1 , +1 ou 0 selon que le signe d'un nombre réel donné est positif ou négatif, ou que le nombre donné est lui-même nul. En notation mathématique, la fonction signe est souvent représentée par ou .

La fonction signum d'un nombre réel est une fonction par morceaux qui est définie comme suit :

La loi de la trichotomie stipule que tout nombre réel doit être positif, négatif ou nul. La fonction signum indique dans quelle catégorie unique un nombre se situe en le faisant correspondre à l'une des valeurs −1 , +1 ou 0, qui peuvent ensuite être utilisées dans des expressions mathématiques ou d'autres calculs.

Par exemple:

Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa valeur absolue et de sa fonction de signe :

Il s'ensuit que chaque fois que n'est pas égal à 0, nous avons

De même, pour tout nombre réel , nous pouvons également être certains que : et donc

Le signum peut également être écrit en utilisant la notation entre crochets d'Iverson :

Le signum peut également être écrit en utilisant les fonctions floor et valeur absolue : Si est accepté comme étant égal à 1, le signum peut également être écrit pour tous les nombres réels comme

Bien que la fonction signe prenne la valeur −1 lorsque est négatif, le point entouré (0, −1) dans le tracé de indique que ce n'est pas le cas lorsque . Au lieu de cela, la valeur saute brusquement vers le point plein à (0, 0) où . Il y a alors un saut similaire à lorsque est positif. L'un ou l'autre saut démontre visuellement que la fonction signe est discontinue à zéro, même si elle est continue à tout point où est positif ou négatif.

Ces observations sont confirmées par l'une des diverses définitions formelles équivalentes de la continuité en analyse mathématique . Une fonction telle que est continue en un point si la valeur peut être approchée de façon arbitraire par la séquence de valeurs où les constituent toute séquence infinie qui devient arbitrairement proche de lorsque devient suffisamment grande. Dans la notation des limites mathématiques , la continuité de à exige que pour toute séquence pour laquelle Le symbole de la flèche peut être lu comme signifiant s'approche de , ou tend vers , et il s'applique à la séquence dans son ensemble.

Ce critère échoue pour la fonction signe en . Par exemple, on peut choisir d'être la suite qui tend vers zéro lorsque croît vers l'infini. Dans ce cas, comme requis, mais et pour chaque de sorte que . Ce contre-exemple confirme plus formellement la discontinuité de en zéro qui est visible sur le graphique.

Bien que la fonction signe ait une forme très simple, le changement d'échelon à zéro pose des difficultés pour les techniques de calcul traditionnelles , qui sont assez strictes dans leurs exigences. La continuité est une contrainte fréquente. Une solution peut être d'approximer la fonction signe par une fonction continue lisse ; d'autres pourraient impliquer des approches moins strictes qui s'appuient sur des méthodes classiques pour s'adapter à des classes de fonctions plus larges.

La fonction signum coïncide avec les limites et ainsi que,

Pour , une approximation lisse de la fonction signe est Une autre approximation est qui devient plus précise lorsque ; notez qu'il s'agit de la dérivée de . Ceci est inspiré du fait que ce qui précède est exactement égal pour tout non nul si , et a l'avantage d'une généralisation simple aux analogues de dimension supérieure de la fonction signe (par exemple, les dérivées partielles de ). $1k>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cda43bd4034dc2d04cd562005d0af81d3d2dbc6">

Voir Fonction échelon de Heaviside § Approximations analytiques .

La fonction signum est différentiable partout sauf lorsque sa dérivée est nulle lorsque est non nulle :

Cela résulte de la différentiabilité de toute fonction constante , pour laquelle la dérivée est toujours nulle sur son domaine de définition. Le signum agit comme une fonction constante lorsqu'il est restreint à la région ouverte négative où il est égal à -1 . Il peut également être considéré comme une fonction constante dans la région ouverte positive où la constante correspondante est +1. Bien qu'il s'agisse de deux fonctions constantes différentes, leur dérivée est égale à zéro dans chaque cas. $0,x>0,$0,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4c8d8607cfd12cb95feef5a2517f4d8aa82ab6">

Il n'est pas possible de définir une dérivée classique en , car il y a là une discontinuité.

Bien qu'elle ne soit pas différentiable au sens ordinaire, selon la notion généralisée de différentiation en théorie des distributions , la dérivée de la fonction signum est deux fois la fonction delta de Dirac . Ceci peut être démontré en utilisant l'identité où est la fonction en escalier de Heaviside en utilisant le formalisme standard . En utilisant cette identité, il est facile de dériver la dérivée distributionnelle :

La fonction signum a une intégrale définie entre toute paire de valeurs finies a et b , même lorsque l'intervalle d'intégration inclut zéro. L'intégrale résultante pour a et b est alors égale à la différence entre leurs valeurs absolues :

En fait, la fonction signum est la dérivée de la fonction valeur absolue, sauf lorsqu'il y a un changement brusque de gradient à zéro :

Nous pouvons comprendre cela comme précédemment en considérant la définition de la valeur absolue sur les régions séparées et Par exemple, la fonction de valeur absolue est identique à dans la région dont la dérivée est la valeur constante +1 , qui est égale à la valeur de là. $0x>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0">$0,x>0,$0,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4c8d8607cfd12cb95feef5a2517f4d8aa82ab6">

Étant donné que la valeur absolue est une fonction convexe , il existe au moins une sous-dérivée en chaque point, y compris à l'origine. Partout sauf zéro, la sous-différentielle résultante consiste en une seule valeur, égale à la valeur de la fonction signe. En revanche, il existe de nombreuses sous-dérivées à zéro, dont une seule prend la valeur . Une valeur de sous-dérivée 0 se produit ici car la fonction valeur absolue est à un minimum. La famille complète des sous-dérivées valides à zéro constitue l'intervalle sous-différentiel , qui pourrait être considéré de manière informelle comme un « remplissage » du graphique de la fonction signe avec une ligne verticale passant par l'origine, le rendant continu comme une courbe bidimensionnelle.

En théorie de l'intégration, la fonction signum est une dérivée faible de la fonction valeur absolue. Les dérivées faibles sont équivalentes si elles sont égales presque partout , ce qui les rend imperméables aux anomalies isolées en un seul point. Cela inclut le changement de gradient de la fonction valeur absolue à zéro, ce qui interdit l'existence d'une dérivée classique.

La transformée de Fourier de la fonction signum est où signifie prendre la valeur principale de Cauchy .

La fonction signum peut être généralisée aux nombres complexes comme suit : pour tout nombre complexe sauf . Le signum d'un nombre complexe donné est le point sur le cercle unité du plan complexe qui est le plus proche de . Alors, pour , où est la fonction argument complexe .

Pour des raisons de symétrie, et pour que cela reste une généralisation correcte de la fonction signum sur les réels, également dans le domaine complexe on définit habituellement, pour :

Une autre généralisation de la fonction signe pour les expressions réelles et complexes est , qui est définie comme : où est la partie réelle de et est la partie imaginaire de . 0,\\-1&{ ext{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{ ext{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb59e6460de6cfb9d50485eb8c2ef6458ac4e4d">

On a alors (pour ) :

Grâce au théorème de décomposition polaire , une matrice ( et ) peut être décomposée en un produit où est une matrice unitaire et est une matrice auto-adjointe, ou hermitienne, définie positive, toutes deux dans . Si est inversible alors une telle décomposition est unique et joue le rôle de signum de . Une construction duale est donnée par la décomposition où est unitaire, mais généralement différente de . Cela conduit à ce que chaque matrice inversible ait un signum gauche et un signum droit uniques .

Dans le cas particulier où et la matrice (inversible) , qui s'identifie au nombre complexe (non nul) , alors les matrices de signe satisfont et s'identifient au signe complexe de , . En ce sens, la décomposition polaire généralise aux matrices la décomposition signe-module des nombres complexes.

Aux valeurs réelles de , il est possible de définir une fonction généralisée –version de la fonction signum, telle que partout, y compris au point , contrairement à , pour laquelle . Ce signum généralisé permet de construire l' algèbre des fonctions généralisées , mais le prix d'une telle généralisation est la perte de la commutativité . En particulier, le signum généralisé anticommute avec la fonction delta de Dirac de plus, ne peut pas être évalué en ; et le nom spécial, est nécessaire pour le distinguer de la fonction . ( n'est pas défini, mais .)