Dispersion (optique)

La dispersion est le phénomène dans lequel la vitesse de phase d'une onde dépend de sa fréquence. Le terme dispersion chromatique est parfois utilisé pour désigner spécifiquement l'optique , par opposition à la propagation des ondes en général. Un milieu ayant cette propriété commune peut être qualifié de milieu dispersif .

Bien que le terme soit utilisé dans le domaine de l'optique pour décrire la lumière et d'autres ondes électromagnétiques , la dispersion dans le même sens peut s'appliquer à tout type de mouvement d'onde comme la dispersion acoustique dans le cas des ondes sonores et sismiques, et dans les ondes de gravité (ondes océaniques). En optique, la dispersion est une propriété des signaux de télécommunication le long des lignes de transmission (comme les micro-ondes dans les câbles coaxiaux ) ou les impulsions lumineuses dans les fibres optiques .

En optique, une conséquence importante et familière de la dispersion est le changement de l'angle de réfraction des différentes couleurs de lumière, comme on le voit dans le spectre produit par un prisme dispersif et dans l'aberration chromatique des lentilles. La conception de lentilles achromatiques composées , dans lesquelles l'aberration chromatique est largement annulée, utilise une quantification de la dispersion d'un verre donnée par son nombre d'Abbe V , où les nombres d'Abbe inférieurs correspondent à une plus grande dispersion sur le spectre visible . Dans certaines applications telles que les télécommunications, la phase absolue d'une onde n'est souvent pas importante mais seulement la propagation de paquets d'ondes ou « impulsions » ; dans ce cas, on s'intéresse uniquement aux variations de la vitesse de groupe avec la fréquence, ce que l'on appelle la dispersion de vitesse de groupe.

Tous les supports de transmission courants varient également en termes d'atténuation (normalisée en fonction de la longueur de transmission) en fonction de la fréquence, ce qui entraîne une distorsion d'atténuation ; il ne s'agit pas de dispersion, bien que parfois les réflexions à des limites d'impédance rapprochées (par exemple des segments sertis dans un câble) puissent produire une distorsion du signal qui aggrave encore le temps de transit incohérent observé sur toute la bande passante du signal.

L'exemple le plus connu de dispersion est probablement l' arc-en-ciel , dans lequel la dispersion provoque la séparation spatiale d'une lumière blanche en composantes de différentes longueurs d'onde (différentes couleurs ). Cependant, la dispersion a également un effet dans de nombreuses autres circonstances : par exemple, la dispersion de vitesse de groupe provoque la propagation des impulsions dans les fibres optiques , dégradant les signaux sur de longues distances ; de plus, une annulation entre la dispersion de vitesse de groupe et les effets non linéaires conduit à des ondes solitons .

Le plus souvent, la dispersion chromatique fait référence à la dispersion du matériau en vrac, c'est-à-dire au changement de l'indice de réfraction avec la fréquence optique. Cependant, dans un guide d'ondes, il existe également le phénomène de dispersion du guide d'ondes , auquel cas la vitesse de phase d'une onde dans une structure dépend de sa fréquence simplement en raison de la géométrie de la structure. Plus généralement, la dispersion du « guide d'ondes » peut se produire pour les ondes se propageant à travers n'importe quelle structure inhomogène (par exemple, un cristal photonique ), que les ondes soient ou non confinées à une certaine région. Dans un guide d'ondes, les deux types de dispersion seront généralement présents, bien qu'ils ne soient pas strictement additifs. Par exemple, dans la fibre optique, le matériau et la dispersion du guide d'ondes peuvent s'annuler efficacement pour produire une longueur d'onde à dispersion nulle , importante pour une communication rapide par fibre optique .

La dispersion de la matière peut être un effet souhaitable ou indésirable dans les applications optiques. La dispersion de la lumière par des prismes en verre est utilisée pour construire des spectromètres et des spectroradiomètres . Cependant, dans les lentilles, la dispersion provoque une aberration chromatique , un effet indésirable qui peut dégrader les images dans les microscopes, les télescopes et les objectifs photographiques.

La vitesse de phase v d'une onde dans un milieu uniforme donné est donnée par

où c est la vitesse de la lumière dans le vide et n est l' indice de réfraction du milieu.

En général, l'indice de réfraction est une fonction de la fréquence f de la lumière, donc n = n ( f ), ou bien, par rapport à la longueur d'onde de l'onde, n = n ( λ ). La dépendance de la longueur d'onde de l'indice de réfraction d'un matériau est généralement quantifiée par son nombre d'Abbe ou ses coefficients dans une formule empirique telle que les équations de Cauchy ou de Sellmeier .

En raison des relations de Kramers–Kronig , la dépendance de la longueur d'onde de la partie réelle de l'indice de réfraction est liée à l' absorption du matériau , décrite par la partie imaginaire de l'indice de réfraction (également appelée coefficient d'extinction ). En particulier, pour les matériaux non magnétiques ( μ = μ ₀ ), la susceptibilité χ qui apparaît dans les relations de Kramers–Kronig est la susceptibilité électrique χ _e = n ² − 1.

La conséquence la plus courante de la dispersion en optique est la séparation de la lumière blanche en un spectre de couleurs par un prisme . La loi de Snell montre que l'angle de réfraction de la lumière dans un prisme dépend de l'indice de réfraction du matériau du prisme. Étant donné que cet indice de réfraction varie avec la longueur d'onde, il s'ensuit que l'angle de réfraction de la lumière varie également avec la longueur d'onde, ce qui provoque une séparation angulaire des couleurs appelée dispersion angulaire .

Pour la lumière visible, les indices de réfraction n de la plupart des matériaux transparents (par exemple, l'air, le verre) diminuent avec l'augmentation de la longueur d'onde λ :

ou généralement,

Dans ce cas, on dit que le milieu présente une dispersion normale . En revanche, si l'indice augmente avec la longueur d'onde (ce qui est généralement le cas dans l'ultraviolet ), on dit que le milieu présente une dispersion anormale .

À l'interface d'un tel matériau avec l'air ou le vide (indice d'environ 1), la loi de Snell prédit que la lumière incidente à un angle θ par rapport à la normale sera réfractée à un angle arcsin( ⁠péché θ/n⁠ ). Ainsi, la lumière bleue, avec un indice de réfraction plus élevé, sera courbée plus fortement que la lumière rouge, ce qui donnera le motif arc-en-ciel bien connu .

Au-delà de la simple description d'un changement de vitesse de phase en fonction de la longueur d'onde, une conséquence plus grave de la dispersion dans de nombreuses applications est appelée dispersion de vitesse de groupe (GVD). Alors que la vitesse de phase v est définie comme v = c / n , cela ne décrit qu'une seule composante de fréquence. Lorsque différentes composantes de fréquence sont combinées, comme lorsqu'on considère un signal ou une impulsion, on s'intéresse souvent davantage à la vitesse de groupe , qui décrit la vitesse à laquelle une impulsion ou une information superposée à une onde (modulation) se propage. Dans l'animation qui l'accompagne, on peut voir que l'onde elle-même (orange-marron) se déplace à une vitesse de phase bien plus rapide que la vitesse de l' enveloppe (noir), qui correspond à la vitesse de groupe. Cette impulsion peut être un signal de communication, par exemple, et ses informations ne se déplacent qu'à la vitesse de groupe, même si elle est constituée de fronts d'onde avançant à une vitesse plus rapide (la vitesse de phase).

Il est possible de calculer la vitesse de groupe à partir de la courbe d'indice de réfraction n ( ω ) ou plus directement à partir du nombre d'onde k = ωn / c , où ω est la fréquence en radians ω = 2 πf . Alors qu'une expression pour la vitesse de phase est v _p = ω / k , la vitesse de groupe peut être exprimée en utilisant la dérivée : v _g = dω / dk . Ou en termes de vitesse de phase v _p ,

En présence de dispersion, non seulement la vitesse de groupe n'est pas égale à la vitesse de phase, mais elle varie généralement elle-même avec la longueur d'onde. Ce phénomène est connu sous le nom de dispersion de vitesse de groupe et provoque l'élargissement d'une courte impulsion lumineuse, car les composantes de fréquence différente au sein de l'impulsion se déplacent à des vitesses différentes. La dispersion de vitesse de groupe est quantifiée comme la dérivée de l' inverse de la vitesse de groupe par rapport à la fréquence angulaire , ce qui donne la dispersion de vitesse de groupe = d ² k / dω ² .

Si une impulsion lumineuse se propage à travers un matériau avec une dispersion de vitesse de groupe positive, les composantes de longueur d'onde plus courte se déplacent plus lentement que les composantes de longueur d'onde plus longue. L'impulsion devient alors positivement chirpée , ou chirpée vers le haut , augmentant en fréquence avec le temps. D'un autre côté, si une impulsion traverse un matériau avec une dispersion de vitesse de groupe négative, les composantes de longueur d'onde plus courte se déplacent plus rapidement que les composantes de longueur d'onde plus longue, et l'impulsion devient négativement chirpée , ou chirpée vers le bas , diminuant en fréquence avec le temps.

Un exemple courant de signal acoustique à impulsion négative est celui d'un train qui s'approche et heurte des déformations sur une voie ferrée soudée. Le son produit par le train lui-même est impulsif et se propage beaucoup plus vite sur les rails métalliques que dans l'air, de sorte que le train peut être entendu bien avant son arrivée. Cependant, de loin, il n'est pas perçu comme provoquant des impulsions, mais conduit à un sifflement descendant distinctif, au milieu d'une réverbération causée par la complexité des modes vibratoires de la voie. La dispersion de la vitesse de groupe peut être entendue dans la mesure où le volume des sons reste audible pendant une durée étonnamment longue, jusqu'à plusieurs secondes.

Le résultat de la GVD, qu'elle soit négative ou positive, est en fin de compte l'étalement temporel de l'impulsion. Cela rend la gestion de la dispersion extrêmement importante dans les systèmes de communication optique basés sur la fibre optique, car si la dispersion est trop élevée, un groupe d'impulsions représentant un flux binaire s'étalera dans le temps et fusionnera, rendant le flux binaire inintelligible. Cela limite la longueur de fibre sur laquelle un signal peut être envoyé sans régénération. Une réponse possible à ce problème est d'envoyer des signaux sur la fibre optique à une longueur d'onde où la GVD est nulle (par exemple, autour de 1,3-1,5 μm dans les fibres de silice ), de sorte que les impulsions à cette longueur d'onde souffrent d'un étalement minimal dû à la dispersion. En pratique, cependant, cette approche pose plus de problèmes qu'elle n'en résout, car une GVD nulle amplifie de manière inacceptable d'autres effets non linéaires (tels que le mélange à quatre ondes ). Une autre option possible consiste à utiliser des impulsions de solitons dans le régime de dispersion négative, une forme d'impulsion optique qui utilise un effet optique non linéaire pour auto-entretenir sa forme. Les solitons présentent toutefois un problème pratique : ils nécessitent le maintien d'un certain niveau de puissance dans l'impulsion pour que l'effet non linéaire soit suffisamment fort. Au lieu de cela, la solution actuellement utilisée dans la pratique consiste à effectuer une compensation de dispersion, généralement en faisant correspondre la fibre avec une autre fibre de dispersion de signe opposé, de sorte que les effets de dispersion s'annulent ; une telle compensation est finalement limitée par des effets non linéaires tels que l'automodulation de phase , qui interagissent avec la dispersion pour la rendre très difficile à annuler.

Le contrôle de la dispersion est également important dans les lasers qui produisent des impulsions courtes . La dispersion globale du résonateur optique est un facteur majeur dans la détermination de la durée des impulsions émises par le laser. Une paire de prismes peut être disposée pour produire une dispersion négative nette, qui peut être utilisée pour équilibrer la dispersion généralement positive du milieu laser. Des réseaux de diffraction peuvent également être utilisés pour produire des effets dispersifs ; ils sont souvent utilisés dans les systèmes d'amplification laser haute puissance. Récemment, une alternative aux prismes et aux réseaux a été développée : les miroirs à chirp . Ces miroirs diélectriques sont revêtus de manière à ce que différentes longueurs d'onde aient des longueurs de pénétration différentes, et donc des retards de groupe différents. Les couches de revêtement peuvent être adaptées pour obtenir une dispersion négative nette.

Les guides d'ondes sont très dispersifs en raison de leur géométrie (et non pas simplement de leur composition matérielle). Les fibres optiques sont une sorte de guide d'ondes pour les fréquences optiques (lumière) largement utilisées dans les systèmes de télécommunications modernes. La vitesse à laquelle les données peuvent être transportées sur une seule fibre est limitée par l'élargissement des impulsions dû à la dispersion chromatique, entre autres phénomènes.

En général, pour un mode de guide d'ondes avec une fréquence angulaire ω ( β ) à une constante de propagation β (de sorte que les champs électromagnétiques dans la direction de propagation z oscillent proportionnellement à e ^{i ( βz − ωt )} ), le paramètre de dispersion de vitesse de groupe D est défini comme

où λ = 2 π c / ω est la longueur d'onde du vide et v _g = dω / dβ est la vitesse de groupe. Cette formule généralise celle de la section précédente pour les milieux homogènes et inclut à la fois la dispersion du guide d'ondes et la dispersion du matériau. La raison pour laquelle la dispersion est définie de cette manière est que | D | est l'étalement temporel (asymptotique) de l'impulsion Δ t par unité de largeur de bande Δ λ par unité de distance parcourue, généralement exprimé en ps /( nm ⋅ km ) pour les fibres optiques.

Dans le cas des fibres optiques multimodes , la dispersion modale peut également entraîner un élargissement des impulsions. Même dans le cas des fibres monomodes , un élargissement des impulsions peut se produire en raison de la dispersion du mode de polarisation (puisqu'il existe toujours deux modes de polarisation). Il ne s'agit pas d'exemples de dispersion chromatique, car ils ne dépendent pas de la longueur d'onde ou de la largeur de bande des impulsions propagées.

Lorsqu'une large gamme de fréquences (une large bande passante) est présente dans un seul paquet d'ondes, comme dans une impulsion ultracourte ou une impulsion chirpée ou d'autres formes de transmission à spectre étalé , il peut ne pas être précis d'approximer la dispersion par une constante sur toute la bande passante, et des calculs plus complexes sont nécessaires pour calculer des effets tels que l'étalement des impulsions.

En particulier, le paramètre de dispersion D défini ci-dessus est obtenu à partir d'une seule dérivée de la vitesse de groupe. Les dérivées supérieures sont appelées dispersion d'ordre supérieur . Ces termes sont simplement un développement en série de Taylor de la relation de dispersion β ( ω ) du milieu ou du guide d'ondes autour d'une fréquence particulière. Leurs effets peuvent être calculés via une évaluation numérique des transformées de Fourier de la forme d'onde, via l'intégration d' approximations d'enveloppe à variation lente d' ordre supérieur , par une méthode à pas fractionnés (qui peut utiliser la relation de dispersion exacte plutôt qu'une série de Taylor), ou par simulation directe des équations de Maxwell complètes plutôt qu'une équation d'enveloppe approximative.

En électromagnétisme et en optique, le terme dispersion désigne généralement la dispersion temporelle ou fréquentielle susmentionnée. La dispersion spatiale désigne la réponse non locale du milieu à l'espace ; cela peut être reformulé comme la dépendance du vecteur d'onde de la permittivité. Pour un milieu anisotrope exemplaire , la relation spatiale entre le champ électrique et le champ de déplacement électrique peut être exprimée comme une convolution :

où le noyau est la réponse diélectrique (susceptibilité) ; ses indices en font en général un tenseur pour rendre compte de l'anisotropie du milieu. La dispersion spatiale est négligeable dans la plupart des cas macroscopiques, où l'échelle de variation de est bien plus grande que les dimensions atomiques, car le noyau diélectrique s'éteint aux distances macroscopiques. Néanmoins, elle peut entraîner des effets macroscopiques non négligeables, en particulier dans les milieux conducteurs tels que les métaux , les électrolytes et les plasmas . La dispersion spatiale joue également un rôle dans l'activité optique et l'élargissement Doppler , ainsi que dans la théorie des métamatériaux .

Dans la terminologie technique de la gemmologie , la dispersion est la différence d'indice de réfraction d'un matériau aux longueurs d'onde Fraunhofer B et G (686,7 nm et 430,8 nm) ou C et F (656,3 nm et 486,1 nm) , et est censée exprimer le degré auquel un prisme taillé dans la pierre précieuse démontre un « feu ». Le feu est un terme familier utilisé par les gemmologues pour décrire la nature dispersive d'une pierre précieuse ou son absence. La dispersion est une propriété matérielle. La quantité de feu démontrée par une pierre précieuse donnée est fonction des angles des facettes de la pierre précieuse, de la qualité du polissage, de l'environnement d'éclairage, de l'indice de réfraction du matériau, de la saturation des couleurs et de l'orientation de l'observateur par rapport à la pierre précieuse.

Dans les objectifs photographiques et microscopiques, la dispersion provoque une aberration chromatique , qui empêche les différentes couleurs de l'image de se superposer correctement. Diverses techniques ont été développées pour contrer ce phénomène, comme l'utilisation d' achromats , des lentilles multiéléments avec des verres de dispersion différente. Elles sont construites de manière à ce que les aberrations chromatiques des différentes parties s'annulent.

Les pulsars sont des étoiles à neutrons en rotation qui émettent des impulsions à des intervalles très réguliers allant de quelques millisecondes à quelques secondes. Les astronomes pensent que les impulsions sont émises simultanément sur une large gamme de fréquences. Cependant, comme on l'observe sur Terre, les composantes de chaque impulsion émises à des fréquences radio plus élevées arrivent avant celles émises à des fréquences plus basses. Cette dispersion se produit en raison de la composante ionisée du milieu interstellaire , principalement les électrons libres, qui rendent la vitesse de groupe dépendante de la fréquence. Le retard supplémentaire ajouté à une fréquence ν est

où la constante de dispersion k _DM est donnée par

et la mesure de dispersion (DM) est la densité de colonne d'électrons libres ( teneur totale en électrons ) - c'est-à-dire la densité numérique d'électrons n _e intégrés le long du chemin parcouru par le photon du pulsar à la Terre - et est donnée par

avec des unités de parsecs par centimètre cube (1 pc/cm ³ = 30,857 × 10²¹ m ⁻² ).

En général, pour les observations astronomiques, ce retard ne peut pas être mesuré directement, car le temps d'émission est inconnu. Ce qui peut être mesuré, c'est la différence des temps d'arrivée à deux fréquences différentes. Le retard Δ t entre une composante haute fréquence ν _hi et une composante basse fréquence ν _lo d'une impulsion sera

La réécriture de l'équation ci-dessus en termes de Δ t permet de déterminer le DM en mesurant les temps d'arrivée des impulsions à plusieurs fréquences. Cela peut ensuite être utilisé pour étudier le milieu interstellaire, ainsi que pour combiner les observations de pulsars à différentes fréquences.