j-invariant

En mathématiques , la fonction j -invariante de Felix Klein , ou fonction j , considérée comme une fonction d'une variable complexe τ , est une fonction modulaire de poids nul pour le groupe linéaire spécial SL(2, Z ) défini sur le demi-plan supérieur des nombres complexes . C'est l'unique fonction de ce type qui est holomorphe à partir d'un pôle simple au point de rebroussement tel que

Les fonctions rationnelles de j sont modulaires, et donnent en fait toutes les fonctions modulaires de poids 0. Classiquement, l' invariant j a été étudié comme une paramétrisation des courbes elliptiques sur , mais il a également des connexions surprenantes avec les symétries du groupe de Monster (cette connexion est appelée moonshine monstrueuse ).

Le j -invariant peut être défini comme une fonction sur le demi-plan supérieur H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},

avec la troisième définition impliquant qu'il peut être exprimé comme un cube , également depuis 1728 .

Les fonctions données sont le discriminant modulaire , la fonction eta de Dedekind et les invariants modulaires,

où , sont des séries de Fourier ,

et , sont des séries d'Eisenstein ,

et (le carré du nome ). Le j -invariant peut alors être directement exprimé en termes de la série d'Eisenstein comme,

sans autre facteur numérique que 1728. Cela implique une troisième façon de définir le discriminant modulaire,

Par exemple, en utilisant les définitions ci-dessus et , alors la fonction Dedekind eta a la valeur exacte ,

impliquant les nombres transcendants ,

mais donnant le nombre algébrique (en fait, un entier ),

En général, cela peut être motivé en considérant chaque τ comme représentant une classe d'isomorphisme de courbes elliptiques. Toute courbe elliptique E sur C est un tore complexe, et peut donc être identifiée à un réseau de rang 2 ; c'est-à-dire un réseau bidimensionnel de C . Ce réseau peut être tourné et mis à l'échelle (opérations qui préservent la classe d'isomorphisme), de sorte qu'il est généré par 1 et τ ∈ H . Ce réseau correspond à la courbe elliptique (voir Fonctions elliptiques de Weierstrass ).

Notez que j est défini partout dans H car le discriminant modulaire est différent de zéro. Cela est dû au fait que le polynôme cubique correspondant possède des racines distinctes.

On peut montrer que Δ est une forme modulaire de poids douze, et g ₂ une de poids quatre, de sorte que sa troisième puissance est aussi de poids douze. Ainsi leur quotient, et donc j , est une fonction modulaire de poids nul, en particulier une fonction holomorphe H → C invariante sous l'action de SL(2, Z ) . La quotientation par son centre { ±I } donne le groupe modulaire , que l'on peut identifier au groupe linéaire spécial projectif PSL(2, Z ) .

Par un choix approprié de transformation appartenant à ce groupe,

nous pouvons réduire τ à une valeur donnant la même valeur pour j , et se situant dans la région fondamentale pour j , qui se compose de valeurs pour τ satisfaisant les conditions

La fonction j ( τ ) lorsqu'elle est restreinte à cette région prend toujours chaque valeur des nombres complexes C exactement une fois. En d'autres termes, pour chaque c dans C , il existe un τ unique dans la région fondamentale tel que c = j ( τ ) . Ainsi, j a la propriété de faire correspondre la région fondamentale à l'ensemble du plan complexe.

De plus, deux valeurs τ,τ' ∈ H produisent la même courbe elliptique ssi τ = T(τ') pour un certain T ∈ PSL(2, Z ) . Cela signifie que j fournit une bijection de l'ensemble des courbes elliptiques sur C vers le plan complexe.

En tant que surface de Riemann , la région fondamentale a un genre 0 et toute fonction modulaire ( de niveau 1 ) est une fonction rationnelle dans j ; et, inversement, toute fonction rationnelle dans j est une fonction modulaire. En d'autres termes, le corps des fonctions modulaires est C ( j ) .

L' invariant j possède de nombreuses propriétés remarquables :

• Si τ est un point du demi-plan supérieur dont la courbe elliptique correspondante a une multiplication complexe (c'est-à-dire si τ est un élément d'un corps quadratique imaginaire avec une partie imaginaire positive, de sorte que j est défini), alors j ( τ ) est un entier algébrique . Ces valeurs spéciales sont appelées modules singuliers .
• L'extension de corps Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) est abélienne, c'est-à-dire qu'elle possède un groupe de Galois abélien .
• Soit Λ le treillis dans C engendré par {1, τ }. Il est aisé de voir que tous les éléments de Q ( τ ) qui fixent Λ par multiplication forment un anneau à unités, appelé ordre . Les autres treillis à générateurs {1, τ ′ }, associés de la même manière au même ordre définissent les conjugués algébriques j ( τ ′ ) de j ( τ ) sur Q ( τ ) . Ordonné par inclusion, l'unique ordre maximal dans Q ( τ ) est l'anneau des entiers algébriques de Q ( τ ) , et les valeurs de τ l'ayant comme ordre associé conduisent à des extensions non ramifiées de Q ( τ ) .

Ces résultats classiques constituent le point de départ de la théorie de la multiplication complexe.

En 1937, Theodor Schneider a démontré le résultat mentionné ci-dessus selon lequel si τ est un nombre irrationnel quadratique dans le demi-plan supérieur, alors j ( τ ) est un entier algébrique. De plus, il a démontré que si τ est un nombre algébrique mais pas un nombre quadratique imaginaire, alors j ( τ ) est transcendant.

La fonction j possède de nombreuses autres propriétés transcendantes. Kurt Mahler a conjecturé un résultat de transcendance particulier qui est souvent appelé conjecture de Mahler, bien qu'il ait été prouvé comme un corollaire des résultats de Yu. V. Nesterenko et Patrice Phillipon dans les années 1990. La conjecture de Mahler (maintenant prouvée) est que, si τ est dans le demi-plan supérieur, alors e ^{2π iτ} et j ( τ ) ne sont jamais tous les deux simultanément algébriques. Des résultats plus solides sont maintenant connus, par exemple si e ^{2π iτ} est algébrique alors les trois nombres suivants sont algébriquement indépendants, et donc au moins deux d'entre eux transcendants :

Plusieurs propriétés remarquables de j ont à voir avec son q -développement ( développement en série de Fourier ), écrit comme une série de Laurent en termes de q = e ^{2π iτ} , qui commence :

Notez que j possède un pôle simple à la pointe, donc son développement q n'a pas de termes inférieurs à q ⁻¹ .

Tous les coefficients de Fourier sont entiers, ce qui donne plusieurs quasi-entiers , notamment la constante de Ramanujan :

La formule asymptotique du coefficient de q ⁿ est donnée par

comme le prouve la méthode du cercle de Hardy-Littlewood .

Plus remarquable encore, les coefficients de Fourier pour les exposants positifs de q sont les dimensions de la partie graduée d'une représentation d'algèbre graduée de dimension infinie du groupe des monstres appelé le module moonshine - en particulier, le coefficient de q ⁿ est la dimension de la partie graduée n du module moonshine, le premier exemple étant l' algèbre de Griess , qui a une dimension 196 884, correspondant au terme 196884 q . Cette observation surprenante, faite pour la première fois par John McKay , a été le point de départ de la théorie du moonshine .

L'étude de la conjecture de Moonshine a conduit John Horton Conway et Simon P. Norton à s'intéresser aux fonctions modulaires de genre zéro. Si elles sont normalisées pour avoir la forme

puis John G. Thompson a montré qu'il n'existe qu'un nombre fini de telles fonctions (d'un certain niveau fini), et Chris J. Cummins a montré plus tard qu'il y en a exactement 6486, dont 616 ont des coefficients entiers.

Nous avons

où x = λ (1 − λ ) et λ est la fonction lambda modulaire

un rapport de fonctions thêta de Jacobi θ _m , et est le carré du module elliptique k ( τ ) . La ​​valeur de j reste inchangée lorsque λ est remplacé par l'une des six valeurs du rapport croisé :

Les points de ramification de j sont à {0, 1, ∞} , de sorte que j est une fonction de Belyi .

Définir le nome q = e ^{π iτ} et la fonction thêta de Jacobi ,

à partir de laquelle on peut dériver les fonctions auxiliaires thêta, définies ici . Soit,

où ϑ _ij et θ _n sont des notations alternatives, et a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0 . Nous avons alors les pour les invariants modulaires g ₂ , g ₃ ,

et discriminant modulaire,

avec la fonction eta de Dedekind η ( τ ) . Le j ( τ ) peut alors être rapidement calculé,

Jusqu'à présent, nous avons considéré j comme une fonction d'une variable complexe. Cependant, en tant qu'invariant pour les classes d'isomorphismes de courbes elliptiques, on peut le définir de manière purement algébrique. Soit

soit une courbe elliptique plane sur un corps quelconque . On peut alors effectuer des transformations successives pour obtenir l'équation ci-dessus sous la forme standard y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃ (notez que cette transformation ne peut être effectuée que lorsque la caractéristique du corps n'est pas égale à 2 ou 3). Les coefficients résultants sont :

où g ₂ = c ₄ et g ₃ = c ₆ . Nous avons également le discriminant

Le j -invariant pour la courbe elliptique peut maintenant être défini comme

Dans le cas où le champ sur lequel la courbe est définie a une caractéristique différente de 2 ou 3, cela est égal à

La fonction inverse de l' invariant j peut être exprimée en termes de la fonction hypergéométrique ₂ F ₁ (voir aussi l'article Équation de Picard–Fuchs ). Explicitement, étant donné un nombre N , la résolution de l'équation j ( τ ) = N pour τ peut être effectuée d'au moins quatre manières.

Méthode 1 : Résolution du sextique dans λ ,

où x = λ (1 − λ ) , et λ est la fonction lambda modulaire , de sorte que la sextique peut être résolue comme une cubique en x . Alors,

pour l'une quelconque des six valeurs de λ , où M est la moyenne arithmétique-géométrique .

Méthode 2 : Résolution de la quartique en γ ,

alors pour l'une des quatre racines ,

Méthode 3 : Résolution de la cubique en β ,

alors pour l'une des trois racines,

Méthode 4 : Résolution de l' équation du second degré en α ,

alors,

Une racine donne τ , et l'autre donne − ⁠1/τ⁠ , mais puisque j ( τ ) = j (− ⁠1/τ⁠ ) ​​, peu importe quel α est choisi. Les trois dernières méthodes peuvent être trouvées dansla théorie de Ramanujan sur les fonctions elliptiques à bases alternatives.

L'inversion est appliquée dans les calculs de haute précision des périodes de fonctions elliptiques même lorsque leurs rapports deviennent illimités. Un résultat connexe est l'exprimabilité via des radicaux quadratiques des valeurs de j aux points de l'axe imaginaire dont les grandeurs sont des puissances de 2 (permettant ainsi des constructions au compas et à la règle ). Ce dernier résultat est à peine évident puisque l' équation modulaire pour j d'ordre 2 est cubique.

Les frères Chudnovsky ont trouvé en 1987,

une preuve dont on utilise le fait que

Pour des formules similaires, voir la série Ramanujan–Sato .

L' invariant n'est sensible qu'aux classes d'isomorphismes de courbes elliptiques sur les nombres complexes, ou plus généralement sur un corps algébriquement clos . Sur d'autres corps il existe des exemples de courbes elliptiques dont l'invariant est le même, mais qui sont non isomorphes. Par exemple, soit les courbes elliptiques associées aux polynômes

ayant tous deux -invariant . Alors, les points rationnels de peuvent être calculés comme :

puisqu'il n'y a pas de solutions rationnelles avec . Ceci peut être démontré en utilisant la formule de Cardano pour montrer que dans ce cas les solutions de sont toutes irrationnelles. D'autre part, sur l'ensemble des points

l'équation pour devient . En divisant par pour éliminer la solution, la formule quadratique donne les solutions rationnelles :

Si ces courbes sont considérées sur , il y a un isomorphisme envoyant