Carte équivariante

En mathématiques , l'équivariance est une forme de symétrie pour les fonctions d'un espace avec symétrie vers un autre (comme les espaces symétriques ). Une fonction est dite équivariante lorsque son domaine et son codomaine sont soumis à l'action du même groupe de symétrie et lorsque la fonction commute avec l'action du groupe. Autrement dit, l'application d'une transformation de symétrie puis le calcul de la fonction produisent le même résultat que le calcul de la fonction puis l'application de la transformation.

Les applications équivariantes généralisent le concept d' invariants , fonctions dont la valeur est inchangée par une transformation de symétrie de leur argument. La valeur d'une application équivariante est souvent (de manière imprécise) appelée invariant.

En inférence statistique , l'équivariance sous transformations statistiques des données est une propriété importante de diverses méthodes d'estimation ; voir estimateur invariant pour plus de détails. En mathématiques pures, l'équivariance est un objet d'étude central en topologie équivariante et ses sous-thèmes cohomologie équivariante et théorie de l'homotopie stable équivariante .

En géométrie des triangles , l' aire et le périmètre d'un triangle sont invariants sous les transformations euclidiennes : la translation, la rotation ou la réflexion d'un triangle ne modifie pas son aire ou son périmètre. Cependant, les centres du triangle tels que le centre de gravité , le centre circonscrit , le centre inscrit et l'orthocentre ne sont pas invariants, car le déplacement d'un triangle entraînera également le déplacement de ses centres. Au lieu de cela, ces centres sont équivariants : l'application d'une congruence euclidienne (une combinaison d'une translation et d'une rotation) à un triangle, puis la construction de son centre, produit le même point que la construction du centre en premier, puis l'application de la même congruence au centre. Plus généralement, tous les centres du triangle sont également équivariants sous les transformations de similarité (combinaisons de translation, de rotation, de réflexion et de mise à l'échelle), et le centre de gravité est équivariant sous les transformations affines .

La même fonction peut être invariante pour un groupe de symétries et équivariante pour un autre groupe de symétries. Par exemple, sous des transformations de similarité au lieu de congruences, l'aire et le périmètre ne sont plus invariants : la mise à l'échelle d'un triangle modifie également son aire et son périmètre. Cependant, ces changements se produisent de manière prévisible : si un triangle est mis à l'échelle d'un facteur s , le périmètre est également mis à l'échelle de s et l'aire est mise à l'échelle de s ² . De cette manière, la fonction associant chaque triangle à son aire ou à son périmètre peut être considérée comme équivariante pour une action de groupe multiplicative des transformations de mise à l'échelle sur les nombres réels positifs.

Une autre classe d'exemples simples provient de l'estimation statistique . La moyenne d'un échantillon (un ensemble de nombres réels) est couramment utilisée comme tendance centrale de l'échantillon. Elle est équivariante sous les transformations linéaires des nombres réels, elle n'est donc pas affectée par le choix des unités utilisées pour représenter les nombres, par exemple. En revanche, la moyenne n'est pas équivariante par rapport aux transformations non linéaires telles que les exponentielles.

La médiane d'un échantillon est équivariante pour un groupe beaucoup plus large de transformations, les fonctions (strictement) monotones des nombres réels. Cette analyse indique que la médiane est plus robuste face à certains types de changements apportés à un ensemble de données et que (contrairement à la moyenne) elle est significative pour les données ordinales .

Les concepts d’ estimateur invariant et d’estimateur équivariant ont été utilisés pour formaliser ce style d’analyse.

Dans la théorie des représentations des groupes finis , un espace vectoriel doté d'un groupe qui agit par transformations linéaires de l'espace est appelé une représentation linéaire du groupe. Une application linéaire qui commute avec l'action est appelée un entrelaceur . Autrement dit, un entrelaceur est simplement une application linéaire équivariante entre deux représentations. Alternativement, un entrelaceur pour les représentations d'un groupe G sur un corps K est la même chose qu'un homomorphisme de module de K [ G ] - modules , où K [ G ] est l' anneau de groupe de G .

Dans certaines conditions, si X et Y sont tous deux des représentations irréductibles , alors un entrelaceur (autre que l' application nulle ) n'existe que si les deux représentations sont équivalentes (c'est-à-dire isomorphes en modules ). Cet entrelaceur est alors unique à un facteur multiplicatif près (un scalaire non nul de K ). Ces propriétés sont vérifiées lorsque l'image de K [ G ] est une algèbre simple, de centre K (par ce qu'on appelle le lemme de Schur : voir module simple ). En conséquence, dans les cas importants, la construction d'un entrelaceur suffit à montrer que les représentations sont effectivement les mêmes.

L'équivariance peut être formalisée en utilisant le concept d'un G -ensemble pour un groupe G . Il s'agit d'un objet mathématique constitué d'un ensemble mathématique S et d'une action de groupe (à gauche) de G sur S . Si X et Y sont tous deux des G -ensembles pour le même groupe G , alors une fonction f : X → Y est dite équivariante si

f ( g · x ) = g · f ( x )

pour tout g ∈ G et tout x dans X .

Si l'une ou les deux actions sont des actions correctes, la condition d'équivariance peut être modifiée de manière appropriée :

f ( x · g ) = f ( x ) · g ; (droite-droite)

f ( x · g ) = g ⁻¹ · f ( x ) ; (droite-gauche)

f ( g · x ) = f ( x ) · g ⁻¹ ; (gauche-droite)

Les applications équivariantes sont des homomorphismes de la catégorie des G -ensembles (pour un G fixé ). Par conséquent, ils sont également connus sous le nom de G -morphismes , G -applications , ou G -homomorphismes . Les isomorphismes de G -ensembles sont simplement des applications équivariantes bijectives .

La condition d'équivariance peut également être comprise comme le diagramme commutatif suivant . Notez que désigne la carte qui prend un élément et renvoie .

Les applications équivariantes peuvent être généralisées à des catégories arbitraires de manière simple. Chaque groupe G peut être considéré comme une catégorie avec un seul objet ( les morphismes de cette catégorie sont simplement les éléments de G ). Étant donnée une catégorie arbitraire C , une représentation de G dans la catégorie C est un foncteur de G vers C . Un tel foncteur sélectionne un objet de C et un sous-groupe d' automorphismes de cet objet. Par exemple, un G -ensemble est équivalent à un foncteur de G vers la catégorie des ensembles , Set , et une représentation linéaire est équivalente à un foncteur vers la catégorie des espaces vectoriels sur un corps, Vect _K .

Étant donné deux représentations, ρ et σ, de G dans C , une application équivariante entre ces représentations est simplement une transformation naturelle de ρ vers σ. En utilisant les transformations naturelles comme morphismes, on peut former la catégorie de toutes les représentations de G dans C . Il s'agit simplement de la catégorie des foncteurs C ^G .

Prenons un autre exemple, prenons C = Top , la catégorie des espaces topologiques . Une représentation de G dans Top est un espace topologique sur lequel G agit en permanence . Une application équivariante est alors une application continue f : X → Y entre représentations qui commute avec l'action de G .