Quatre vecteurs

En relativité restreinte , un quadrivecteur (ou 4-vecteur , parfois vecteur de Lorentz ) est un objet à quatre composantes, qui se transforment d'une manière spécifique sous l'effet des transformations de Lorentz . Plus précisément, un quadrivecteur est un élément d'un espace vectoriel à quatre dimensions considéré comme un espace de représentation de la représentation standard du groupe de Lorentz , le ( ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​représentation. Elle diffère d'un vecteur euclidien par la façon dont sa grandeur est déterminée. Les transformations qui préservent cette grandeur sont les transformations de Lorentz, qui incluent des rotations spatiales et des boosts (un changement par une vitesse constante vers un autre référentiel inertiel ).

Les quatre vecteurs décrivent, par exemple, la position x ^μ dans l'espace-temps modélisé comme l'espace de Minkowski , l'impulsion quadruple p ^μ d'une particule , l'amplitude du potentiel électromagnétique quadruple A ^μ ( x ) en un point x dans l'espace-temps, et les éléments du sous-espace engendré par les matrices gamma à l'intérieur de l' algèbre de Dirac .

Le groupe de Lorentz peut être représenté par des matrices 4×4 Λ . L'action d'une transformation de Lorentz sur un quadrivecteur contravariant général X (comme les exemples ci-dessus), considéré comme un vecteur colonne avec des coordonnées cartésiennes par rapport à un référentiel inertiel dans les entrées, est donnée par

(multiplication matricielle) où les composantes de l'objet amorcé se réfèrent au nouveau repère. En relation avec les exemples ci-dessus qui sont donnés comme vecteurs contravariants, il existe également les vecteurs covariants correspondants x _μ , p _μ et A _μ ( x ) . Ceux-ci se transforment selon la règle

où ^T désigne la transposée de la matrice . Cette règle est différente de la règle ci-dessus. Elle correspond à la représentation duale de la représentation standard. Cependant, pour le groupe de Lorentz, le dual de toute représentation est équivalent à la représentation originale. Ainsi, les objets avec des indices covariants sont également des quadrivecteurs.

Pour un exemple d'objet à quatre composantes se comportant bien en relativité restreinte qui n'est pas un objet à quatre vecteurs, voir bispinor . Il est défini de manière similaire, la différence étant que la règle de transformation sous les transformations de Lorentz est donnée par une représentation autre que la représentation standard. Dans ce cas, la règle se lit X ′ = Π(Λ) X , où Π(Λ) est une matrice 4×4 autre que Λ . Des remarques similaires s'appliquent aux objets avec moins ou plus de composantes qui se comportent bien sous les transformations de Lorentz. Il s'agit notamment des scalaires , des spineurs , des tenseurs et des spineurs-tenseurs.

L'article étudie les quatre vecteurs dans le contexte de la relativité restreinte. Bien que le concept de quatre vecteurs s'étende également à la relativité générale , certains des résultats énoncés dans cet article nécessitent des modifications en relativité générale.

Les notations dans cet article sont : minuscules et gras pour les vecteurs tridimensionnels , chapeaux pour les vecteurs unitaires tridimensionnels , majuscules et gras pour les vecteurs à quatre dimensions (sauf pour les quatre gradients) et notation d'indice tensoriel .

Un quadrivecteur A est un vecteur avec une composante « temporelle » et trois composantes « spatiales », et peut être écrit dans diverses notations équivalentes :

où A ^α est la composante de magnitude et E _α est la composante du vecteur de base ; notez que les deux sont nécessaires pour créer un vecteur, et que lorsque A ^α est vu seul, il se réfère strictement aux composantes du vecteur.

Les indices supérieurs indiquent les composantes contravariantes . Ici, la convention standard est que les indices latins prennent des valeurs pour les composantes spatiales, de sorte que i = 1, 2, 3, et les indices grecs prennent des valeurs pour les composantes spatiales et temporelles , de sorte que α = 0, 1, 2, 3, utilisés avec la convention de sommation . La séparation entre la composante temporelle et les composantes spatiales est utile pour déterminer les contractions d'un vecteur à quatre avec d'autres quantités tensorielles, comme pour calculer les invariants de Lorentz dans les produits scalaires (des exemples sont donnés ci-dessous), ou pour augmenter et diminuer les indices .

En relativité restreinte, la base de type spatial E ₁ , E ₂ , E ₃ et les composantes A ¹ , A ² , A ³ sont souvent une base et des composantes cartésiennes :

bien que, bien sûr, toute autre base et tout autre composant puissent être utilisés, tels que les coordonnées polaires sphériques

ou coordonnées polaires cylindriques ,

ou toute autre coordonnée orthogonale , ou même des coordonnées curvilignes générales . Notez que les étiquettes de coordonnées sont toujours indicées comme des étiquettes et ne sont pas des indices prenant des valeurs numériques. En relativité générale, des coordonnées curvilignes locales dans une base locale doivent être utilisées. Géométriquement, un quadrivecteur peut toujours être interprété comme une flèche, mais dans l'espace-temps - pas seulement dans l'espace. En relativité, les flèches sont dessinées dans le cadre du diagramme de Minkowski (également appelé diagramme d'espace-temps ). Dans cet article, les quadrivecteurs seront simplement appelés vecteurs.

Il est également d'usage de représenter les bases par des vecteurs colonnes :

de sorte que:

La relation entre les coordonnées covariantes et contravariantes se fait via le tenseur métrique de Minkowski (appelé la métrique), η qui augmente et diminue les indices comme suit :

et dans diverses notations équivalentes, les composantes covariantes sont :

où l'indice abaissé indique qu'il est covariant . Souvent, la métrique est diagonale, comme c'est le cas pour les coordonnées orthogonales (voir élément de ligne ), mais pas dans les coordonnées curvilignes générales .

Les bases peuvent être représentées par des vecteurs lignes :

La motivation des conventions ci-dessus est que le produit intérieur est un scalaire, voir ci-dessous pour plus de détails.

Étant donné deux référentiels inertiels ou tournés , un quadrivecteur est défini comme une quantité qui se transforme selon la matrice de transformation de Lorentz Λ :

En notation d'indice, les composantes contravariantes et covariantes se transforment respectivement selon : dans laquelle la matrice Λ a des composantes Λ ^μ _ν dans la ligne μ et la colonne ν , et la matrice ( Λ ⁻¹ ) ^T a des composantes Λ _μ ^ν dans la ligne μ et la colonne ν .

Pour plus d'informations sur la nature de cette définition de transformation, voir tenseur . Tous les vecteurs à quatre dimensions se transforment de la même manière, et cela peut être généralisé aux tenseurs relativistes à quatre dimensions ; voir relativité restreinte .

Pour deux cadres tournés d'un angle fixe θ autour d'un axe défini par le vecteur unitaire :

sans aucun boost, la matrice Λ a des composantes données par :

où δ _ij est le delta de Kronecker et ε _ijk est le symbole tridimensionnel de Levi-Civita . Les composantes spatiales des quatre vecteurs sont tournées, tandis que les composantes temporelles restent inchangées.

Pour le cas des rotations autour de l' axe z uniquement, la partie spatiale de la matrice de Lorentz se réduit à la matrice de rotation autour de l' axe z :

Pour deux référentiels se déplaçant à une vitesse relative constante de trois vitesses v (et non de quatre vitesses, voir ci-dessous), il est pratique de désigner et de définir la vitesse relative en unités de c par :

Alors sans rotations, la matrice Λ a des composantes données par : où le facteur de Lorentz est défini par : et δ _ij est le delta de Kronecker . Contrairement au cas des rotations pures, les composantes spatiales et temporelles sont mélangées sous les boosts.

Dans le cas d'un boost dans la direction x uniquement, la matrice se réduit à ;

Lorsque l' expression de la rapidité ϕ a été utilisée, écrite en termes de fonctions hyperboliques :

Cette matrice de Lorentz illustre l'effet d'une rotation hyperbolique dans l'espace-temps à quatre dimensions, analogue à la rotation circulaire ci-dessus dans l'espace à trois dimensions.

Les vecteurs à quatre dimensions ont les mêmes propriétés de linéarité que les vecteurs euclidiens en trois dimensions . Ils peuvent être additionnés de la manière habituelle par entrée : et de même, la multiplication scalaire par un scalaire λ est définie par entrée :

Alors la soustraction est l'opération inverse de l'addition, définie entrée par :

En appliquant le tenseur de Minkowski η _μν à deux quadrivecteurs A et B , en écrivant le résultat en notation de produit scalaire , nous avons, en utilisant la notation d'Einstein :

en relativité restreinte. Le produit scalaire des vecteurs de base est la métrique de Minkowski, par opposition au delta de Kronecker comme dans l'espace euclidien. Il est pratique de réécrire la définition sous forme matricielle : auquel cas η _μν ci-dessus est l'entrée dans la ligne μ et la colonne ν de la métrique de Minkowski sous forme de matrice carrée. La métrique de Minkowski n'est pas une métrique euclidienne , car elle est indéfinie (voir signature métrique ). Un certain nombre d'autres expressions peuvent être utilisées car le tenseur métrique peut augmenter et diminuer les composantes de A ou B . Pour les composantes contra/co-variantes de A et les composantes co/contra-variantes de B , nous avons : donc dans la notation matricielle : tandis que pour A et B chacun dans les composantes covariantes : avec une expression matricielle similaire à celle ci-dessus.

En appliquant le tenseur de Minkowski à un quadrivecteur A avec lui-même, on obtient : qui, selon le cas, peut être considéré comme le carré, ou son négatif, de la longueur du vecteur.

Voici deux choix courants pour le tenseur métrique dans la base standard (essentiellement des coordonnées cartésiennes). Si des coordonnées orthogonales sont utilisées, il y aurait des facteurs d'échelle le long de la partie diagonale de la partie spatiale de la métrique, tandis que pour les coordonnées curvilinéaires générales, toute la partie spatiale de la métrique aurait des composantes dépendant de la base curvilinéaire utilisée.

Dans la signature métrique (+−−−) , l'évaluation de la sommation sur les indices donne : tandis que sous forme matricielle :

C'est un thème récurrent en relativité restreinte de prendre l'expression dans un référentiel , où C est la valeur du produit scalaire dans ce référentiel, et : dans un autre référentiel, où C ′ est la valeur du produit scalaire dans ce référentiel. Alors, comme le produit scalaire est un invariant, ces deux valeurs doivent être égales : c'est-à-dire :

Étant donné que les quantités physiques en relativité sont des quadrivecteurs, cette équation a l'apparence d'une « loi de conservation », mais il n'y a pas de « conservation » impliquée. La signification principale du produit scalaire de Minkowski est que pour deux quadrivecteurs quelconques, sa valeur est invariante pour tous les observateurs ; un changement de coordonnées n'entraîne pas de changement de valeur du produit scalaire. Les composantes des quadrivecteurs changent d'un référentiel à l'autre ; A et A ′ sont reliées par une transformation de Lorentz , et de même pour B et B ′, bien que les produits scalaires soient les mêmes dans tous les référentiels. Néanmoins, ce type d'expression est exploité dans les calculs relativistes au même titre que les lois de conservation, car les grandeurs des composantes peuvent être déterminées sans effectuer explicitement de transformations de Lorentz. Un exemple particulier est celui de l'énergie et de l'impulsion dans la relation énergie-impulsion dérivée du vecteur quadrivecteur (voir également ci-dessous).

Dans cette signature nous avons :

Avec la signature (+−−−), les quatre vecteurs peuvent être classés comme vecteurs de type spatial si , vecteurs de type temporel si , et vecteurs nuls si . $0A\cdot A>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dee7cc985036875d865eb2f46af309840cbd83">

Certains auteurs définissent η avec le signe opposé, auquel cas nous avons la signature métrique (−+++). En évaluant la sommation avec cette signature :

tandis que la forme matricielle est :

Notez que dans ce cas, dans une image :

tandis que dans un autre :

de sorte que:

qui est équivalent à l'expression ci-dessus pour C en termes de A et B. Les deux conventions fonctionneront. Avec la métrique de Minkowski définie des deux manières ci-dessus, la seule différence entre les composantes covariantes et contravariantes à quatre vecteurs est le signe, donc les signes dépendent de la convention de signe utilisée.

Nous avons:

Avec la signature (−+++), les quatre vecteurs peuvent être classés comme étant de type spatial si , de type temporel si , et nuls si . $0A\cdot A>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dee7cc985036875d865eb2f46af309840cbd83">

L'application du tenseur de Minkowski est souvent exprimée comme l'effet du vecteur dual d'un vecteur sur l'autre :

Ici, les A _ν sont les composantes du vecteur dual A * de A dans la base duale et sont appelées les coordonnées covariantes de A , tandis que les composantes A ^ν originales sont appelées les coordonnées contravariantes .

En relativité restreinte (mais pas en relativité générale), la dérivée d'un quadrivecteur par rapport à un scalaire λ (invariant) est elle-même un quadrivecteur. Il est également utile de prendre la différentielle du quadrivecteur, d A et de la diviser par la différentielle du scalaire, dλ :

où les composantes contravariantes sont :

tandis que les composantes covariantes sont :

En mécanique relativiste, on prend souvent la différentielle d'un quadrivecteur et on la divise par la différentielle en temps propre (voir ci-dessous).

Un point dans l'espace de Minkowski est une position temporelle et spatiale, appelée « événement », ou parfois la position à quatre vecteurs ou à quatre positions ou à 4 positions , décrite dans un référentiel par un ensemble de quatre coordonnées :

où r est le vecteur de position dans l'espace tridimensionnel . Si r est une fonction du temps de coordonnées t dans le même référentiel, c'est-à-dire r = r ( t ), cela correspond à une séquence d'événements lorsque t varie. La définition R ⁰ = ct garantit que toutes les coordonnées ont la même dimension (de longueur ) et les mêmes unités (dans le SI , mètres). Ces coordonnées sont les composantes du quadrivecteur de position pour l'événement.

Le déplacement à quatre vecteurs est défini comme une « flèche » reliant deux événements :

Pour la position différentielle à quatre sur une ligne d'univers, nous avons, en utilisant une notation normative :

définissant l' élément de droite différentiel d s et l'incrément de temps propre différentiel d τ , mais cette « norme » est aussi :

de sorte que:

Lorsque l'on considère des phénomènes physiques, les équations différentielles apparaissent naturellement ; cependant, lorsque l'on considère les dérivées spatiales et temporelles de fonctions, il n'est pas clair à quel référentiel ces dérivées sont prises. Il est convenu que les dérivées temporelles sont prises par rapport au temps propre . Comme le temps propre est un invariant, cela garantit que la dérivée temporelle propre de tout quadrivecteur est elle-même un quadrivecteur. Il est alors important de trouver une relation entre cette dérivée temporelle propre et une autre dérivée temporelle (en utilisant le temps de coordonnées t d'un référentiel inertiel). Cette relation est fournie en prenant l'intervalle d'espace-temps invariant différentiel ci-dessus, puis en le divisant par ( cdt ) ² pour obtenir :

où u = d r / dt est la coordonnée 3- vitesse d'un objet mesurée dans le même référentiel que les coordonnées x , y , z et la coordonnée temps t , et

est le facteur de Lorentz . Il fournit une relation utile entre les différentiels en temps coordonné et en temps propre :

Cette relation peut également être trouvée à partir de la transformation du temps dans les transformations de Lorentz .

En appliquant ce différentiel, on peut définir quatre vecteurs importants dans la théorie de la relativité .

Considérant que les dérivées partielles sont des opérateurs linéaires , on peut former un gradient à quatre temps à partir de la dérivée partielle en temps ∂ / ∂ t et du gradient spatial ∇. En utilisant la base standard, en notations indicielles et abrégées, les composantes contravariantes sont :

Notez que les vecteurs de base sont placés devant les composantes, pour éviter toute confusion entre la prise de la dérivée du vecteur de base ou la simple indication que la dérivée partielle est une composante de ce vecteur à quatre composantes. Les composantes covariantes sont :

Puisqu'il s'agit d'un opérateur, il n'a pas de « longueur », mais l'évaluation du produit scalaire de l'opérateur par lui-même donne un autre opérateur :

appelé opérateur de D'Alembert .

La quadruple vitesse d'une particule est définie par :

Géométriquement, U est un vecteur normalisé tangent à la ligne d'univers de la particule. En utilisant la différentielle de la position quadruple, la grandeur de la vitesse quadruple peut être obtenue :

en bref, la grandeur de la quadruple vitesse pour tout objet est toujours une constante fixe :

La norme est également :

de sorte que:

ce qui se réduit à la définition du facteur de Lorentz .

Les unités de quadrivitesse sont m/s dans le SI et 1 dans le système d'unités géométrisées . La quadrivitesse est un vecteur contravariant.

La quadruple accélération est donnée par :

où a = d u / dt est la coordonnée 3-accélération. Comme la grandeur de U est une constante, les quatre accélérations sont orthogonales aux quatre vitesses, c'est-à-dire que le produit intérieur de Minkowski des quatre accélérations et des quatre vitesses est nul :

ce qui est vrai pour toutes les lignes du monde. La signification géométrique de la quadruple accélération est le vecteur de courbure de la ligne du monde dans l'espace de Minkowski.

Pour une particule massive de masse au repos (ou masse invariante ) m ₀ , le quadri-impulsion est donné par :

où l'énergie totale de la particule en mouvement est :

et l' impulsion relativiste totale est :

En prenant le produit scalaire du quadruple élan avec lui-même :

et aussi:

ce qui conduit à la relation énergie-impulsion :

Cette dernière relation est utile en mécanique relativiste , essentielle en mécanique quantique relativiste et en théorie quantique des champs relativistes , le tout avec des applications à la physique des particules .

La quadruple force agissant sur une particule est définie de manière analogue à la triple force comme la dérivée temporelle de la triple impulsion dans la deuxième loi de Newton :

où P est la puissance transférée pour déplacer la particule, et f est la force 3-force agissant sur la particule. Pour une particule de masse invariante constante m ₀ , cela équivaut à

Un invariant dérivé des quatre forces est :

à partir du résultat ci-dessus.

Le champ vectoriel de flux de chaleur à quatre dimensions est essentiellement similaire au champ vectoriel de flux de chaleur tridimensionnel q , dans le référentiel local du fluide :

où T est la température absolue et k est la conductivité thermique .

Le flux de baryons est : où n est la densité numérique de baryons dans le référentiel local de repos du fluide baryonique (valeurs positives pour les baryons, négatives pour les antibaryons ), et U le champ à quatre vitesses (du fluide) comme ci-dessus.

Le vecteur à quatre entropies est défini par : où s est l'entropie par baryon, et T la température absolue , dans le référentiel local de repos du fluide.

Voici quelques exemples de quatre vecteurs en électromagnétisme .

Le courant électromagnétique à quatre courants (ou plus correctement une densité à quatre courants) est défini par la densité de courant j et la densité de charge ρ .

Le potentiel électromagnétique à quatre potentiels (ou plus correctement un potentiel vectoriel à quatre EM) défini par formé à partir du potentiel vectoriel a et du potentiel scalaire ϕ .

Le potentiel à quatre pôles n'est pas déterminé de manière unique, car il dépend d'un choix de jauge .

Dans l' équation d'onde du champ électromagnétique :

• Dans le vide,
• Avec une source à quatre courants et en utilisant la condition de jauge de Lorenz ,

Une onde plane photonique peut être décrite par le système à quatre fréquences , défini comme

où ν est la fréquence de l'onde et est un vecteur unitaire dans la direction de déplacement de l'onde. Maintenant :

donc la quadrifréquence d'un photon est toujours un vecteur nul.

Les grandeurs réciproques au temps t et à l'espace r sont respectivement la fréquence angulaire ω et le vecteur d'onde angulaire k . Elles constituent les composantes du quadrivecteur d'onde ou quadrivecteur d'onde :

Le vecteur d'onde à quatre dimensions possède une unité dérivée cohérente de mètres réciproques dans le SI.

Un paquet d’ondes de lumière presque monochromatique peut être décrit par :

Les relations de de Broglie ont ensuite montré que le vecteur d'onde à quatre ondes s'appliquait aussi bien aux ondes de matière qu'aux ondes lumineuses : donnant et , où ħ est la constante de Planck divisée par 2 π .

Le carré de la norme est : et par la relation de Broglie : nous avons l'analogue onde de matière de la relation énergie-impulsion :

Notons que pour les particules sans masse, dans ce cas m ₀ = 0 , nous avons : ou ‖ k ‖ = ω / c . Notons que ceci est cohérent avec le cas ci-dessus ; pour les photons avec un vecteur d'onde 3 de module ω / c , dans la direction de propagation de l'onde définie par le vecteur unitaire

En mécanique quantique , le courant à quatre probabilités ou courant à quatre probabilités est analogue au courant électromagnétique à quatre probabilités : où ρ est la fonction de densité de probabilité correspondant à la composante temporelle, et j est le vecteur de courant de probabilité . En mécanique quantique non relativiste, ce courant est toujours bien défini car les expressions de densité et de courant sont définies positives et peuvent admettre une interprétation probabiliste. En mécanique quantique relativiste et en théorie quantique des champs , il n'est pas toujours possible de trouver un courant, en particulier lorsque des interactions sont impliquées.

En remplaçant l'énergie par l' opérateur énergie et l'impulsion par l' opérateur impulsion dans les quatre impulsions, on obtient l' opérateur quatre impulsions , utilisé dans les équations d'ondes relativistes .

Le spin à quatre points d'une particule est défini dans le référentiel de repos d'une particule comme étant où s est le pseudovecteur de spin . En mécanique quantique, les trois composantes de ce vecteur ne sont pas mesurables simultanément, une seule composante l'est. La composante temporelle est nulle dans le référentiel de repos de la particule, mais pas dans aucun autre référentiel. Cette composante peut être trouvée à partir d'une transformation de Lorentz appropriée.

La norme au carré est la (négative de la) grandeur au carré du spin, et selon la mécanique quantique nous avons

Cette valeur est observable et quantifiée, avec s le nombre quantique de spin (et non la grandeur du vecteur de spin).

Un quadrivecteur A peut également être défini en utilisant les matrices de Pauli comme base , là encore dans diverses notations équivalentes : ou explicitement : et dans cette formulation, le quadrivecteur est représenté comme une matrice hermitienne (la transposée de la matrice et le conjugué complexe de la matrice la laissent inchangée), plutôt que comme un vecteur colonne ou ligne à valeur réelle. Le déterminant de la matrice est le module du quadrivecteur, donc le déterminant est un invariant :

Cette idée d'utiliser les matrices de Pauli comme vecteurs de base est utilisée dans l' algèbre de l'espace physique , un exemple d' algèbre de Clifford .

En algèbre de l'espace-temps , autre exemple d'algèbre de Clifford, les matrices gamma peuvent également former une base . (Elles sont également appelées matrices de Dirac, en raison de leur apparition dans l' équation de Dirac ). Il existe plusieurs façons d'exprimer les matrices gamma, détaillées dans cet article principal.

La notation slash de Feynman est un raccourci pour un A à quatre vecteurs contracté avec les matrices gamma :

L'équation de Dirac et d'autres équations d'ondes relativistes présentent des termes de la forme : dans lesquels les composantes d'énergie E et d'impulsion ( p _x , p _y , p _z ) sont remplacées par leurs opérateurs respectifs .