Ensemble flou

En mathématiques , les ensembles flous (également appelés ensembles incertains ) sont des ensembles dont les éléments ont des degrés d'appartenance. Les ensembles flous ont été introduits indépendamment par Lotfi A. Zadeh en 1965 comme une extension de la notion classique d'ensemble. Au même moment, Salii (1965) a défini un type de structure plus général appelé « relation L », qu'il a étudié dans un contexte algébrique abstrait ; les relations floues sont des cas particuliers de relations L lorsque L est l' intervalle unitaire [0, 1]. Elles sont maintenant utilisées dans toutes les mathématiques floues , avec des applications dans des domaines tels que la linguistique (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), la prise de décision (Kuzmin 1982) et le clustering (Bezdek 1978).

Dans la théorie des ensembles classique , l'appartenance des éléments à un ensemble est évaluée en termes binaires selon une condition bivalente : un élément appartient ou n'appartient pas à l'ensemble. En revanche, la théorie des ensembles flous permet l'évaluation progressive de l'appartenance des éléments à un ensemble ; celle-ci est décrite à l'aide d'une fonction d'appartenance évaluée dans l' intervalle unitaire réel [0, 1]. Les ensembles flous généralisent les ensembles classiques, car les fonctions indicatrices (ou fonctions caractéristiques) des ensembles classiques sont des cas particuliers des fonctions d'appartenance des ensembles flous, si ces derniers ne prennent que des valeurs 0 ou 1. Dans la théorie des ensembles flous, les ensembles bivalents classiques sont généralement appelés ensembles nets . La théorie des ensembles flous peut être utilisée dans un large éventail de domaines dans lesquels les informations sont incomplètes ou imprécises, comme la bioinformatique .

Un ensemble flou est une paire où est un ensemble (souvent requis non vide ) et une fonction d'appartenance. L'ensemble de référence (parfois désigné par ou ) est appelé univers de discours , et pour chaque valeur est appelée le degré d'appartenance de dans . La fonction est appelée la fonction d'appartenance de l'ensemble flou .

Pour un ensemble fini, l'ensemble flou est souvent noté par

Soit . Alors est appelé

• non inclus dans l'ensemble flou si (aucun membre),
• entièrement inclus si (membre à part entière),
• partiellement inclus si (membre flou).

L'ensemble (net) de tous les ensembles flous d'un univers est noté par (ou parfois simplement ).

Pour tout ensemble flou , les ensembles nets suivants sont définis :

• coupe α (également appelé ensemble de niveaux α )
• $\backslash alpha\; \}=A\text{'}\_\{\backslash alpha\; \}=\backslash \{x\backslash in\; U\backslash mid\; m(x)>\backslash alpha\; \backslash {\mathrm{UN}}^{>\alpha }={\mathrm{UN}}_{\alpha }^{\prime }=\{x\in \mathrm{Tu}\mid m(x)>\alpha \}$\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\dans U\mid m(x)>\alpha \}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aabc93efbd2a5039627e4a4d4e1813377a3a11e">est appelé sa forte coupure α (également appelée ensemble de niveaux α forts )
• $0\}=\backslash \{x\backslash in\; U\backslash mid\; m(x)>0\backslash S\left(\mathrm{UN}\right)=\mathrm{Supp}\left(\mathrm{UN}\right)={\mathrm{UN}}^{>0}=\{x\in \mathrm{Tu}\mid m(x)>0\}$0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f9b5b0c4b89bb5e56a8e15880153a2dfd5f566">s'appelle son support
• noyau (ou parfois noyau ).

Notez que certains auteurs comprennent le terme « noyau » d’une manière différente ; voir ci-dessous.

• Un ensemble flou est vide ( ) ssi (si et seulement si)

• Deux ensembles flous et sont égaux ( ) ssi

• Un ensemble flou est inclus dans un ensemble flou ( ) ssi

• Pour tout ensemble flou , tout élément qui satisfait

est appelé point de croisement .

• Étant donné un ensemble flou , tout , pour lequel n'est pas vide, est appelé un niveau de A.
• L' ensemble de niveaux de A est l'ensemble de tous les niveaux représentant des coupes distinctes. Il est l' image de :

• Pour un ensemble flou , sa hauteur est donnée par

où désigne le supremum , qui existe car est non vide et borné au-dessus par 1. Si U est fini, on peut simplement remplacer le supremum par le maximum.

• On dit qu'un ensemble flou est normalisé ssi

Dans le cas fini, où le supremum est un maximum, cela signifie qu'au moins un élément de l'ensemble flou possède une appartenance complète. Un ensemble flou non vide peut être normalisé avec le résultat en divisant la fonction d'appartenance de l'ensemble flou par sa hauteur :

Outre les similitudes, cette méthode diffère de la normalisation habituelle en ce que la constante de normalisation n'est pas une somme.

• Pour les ensembles flous de nombres réels avec support borné , la largeur est définie comme

Dans le cas où est un ensemble fini, ou plus généralement un ensemble fermé , la largeur est juste

Dans le cas n -dimensionnel , ce qui précède peut être remplacé par le volume n -dimensionnel de .

En général, cela peut être défini étant donné n'importe quelle mesure sur U , par exemple par intégration (par exemple intégration de Lebesgue ) de .

• Un ensemble flou réel est dit convexe ( au sens flou, à ne pas confondre avec un ensemble convexe net ), ssi

Sans perte de généralité, on peut prendre x ≤ y , ce qui donne la formulation équivalente

Cette définition peut être étendue à celle d'un espace topologique général U : on dit que l'ensemble flou est convexe lorsque, pour tout sous-ensemble Z de U , la condition

détient, où désigne la frontière de Z et désigne l' image d'un ensemble X (ici ) par une fonction f (ici ).

Bien que le complément d'un ensemble flou ait une définition unique et très courante, les autres opérations principales, l'union et l'intersection, présentent une certaine ambiguïté.

• Pour un ensemble flou donné , son complément (parfois noté ou ) est défini par la fonction d'appartenance suivante :

• Soit t une norme t et s la norme s correspondante (également appelée t-conorme). Étant donné une paire d'ensembles flous , leur intersection est définie par :

et leur union est définie par :

Par la définition de la norme t, nous voyons que l'union et l'intersection sont commutatives , monotones , associatives et ont à la fois un élément nul et un élément neutre . Pour l'intersection, ces éléments sont respectivement ∅ et U , tandis que pour l'union, ils sont inversés. Cependant, l'union d'un ensemble flou et de son complémentaire peut ne pas donner l'univers complet U , et leur intersection peut ne pas donner l'ensemble vide ∅. Puisque l'intersection et l'union sont associatives, il est naturel de définir l'intersection et l'union d'une famille finie d'ensembles flous de manière récursive. Il convient de noter que les opérateurs standards généralement acceptés pour l'union et l'intersection d'ensembles flous sont les opérateurs max et min :

• Si le négateur standard est remplacé par un autre négateur fort , la différence d'ensemble flou peut être généralisée par

• Le triplet d'intersection floue, d'union et de complément forme un triplet de De Morgan . Autrement dit, les lois de De Morgan s'étendent à ce triplet.

Des exemples de paires d'intersection/union floues avec un négateur standard peuvent être dérivés d'échantillons fournis dans l'article sur les normes t .

L'intersection floue n'est pas idempotente en général, car la norme t standard min est la seule à posséder cette propriété. En effet, si la multiplication arithmétique est utilisée comme norme t, l'opération d'intersection floue résultante n'est pas idempotente. Autrement dit, prendre itérativement l'intersection d'un ensemble flou avec lui-même n'est pas trivial. Elle définit plutôt la puissance m -ième d'un ensemble flou, qui peut être généralisée canoniquement pour les exposants non entiers de la manière suivante :

• Pour tout ensemble flou et la puissance ν-ième de est définie par la fonction d'appartenance :

Le cas de l’exposant deux est suffisamment particulier pour recevoir un nom.

• Pour tout ensemble flou la concentration est définie

En prenant , nous avons et

• Étant donné des ensembles flous , la différence d'ensemble flou , également notée , peut être définie directement via la fonction d'appartenance :

ce qui signifie , par exemple :

Une autre proposition pour une différence d'ensemble pourrait être :

• Des propositions de différences d'ensembles flous symétriques ont été faites par Dubois et Prade (1980), soit en prenant la valeur absolue , donnant

ou en utilisant une combinaison de max , min et de négation standard, ce qui donne

Des axiomes pour la définition des différences symétriques généralisées analogues à ceux des normes t, des conormes t et des négateurs ont été proposés par Vemur et al. (2014) avec comme prédécesseurs Alsina et al. (2005) et Bedregal et al. (2009).

• Contrairement aux ensembles nets, des opérations de moyenne peuvent également être définies pour les ensembles flous.

Contrairement à l'ambiguïté générale des opérations d'intersection et d'union, il existe une clarté pour les ensembles flous disjoints : deux ensembles flous sont disjoints ssi

ce qui équivaut à

$0\backslash land\; \backslash mu\; \_\{B\}(x)>0x\in U:{\mu }_A\left(x\right)>0\wedge {\mu }_B\left(x\right)>0$0\et \mu _{B}(x)>0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a511d38dc166c14f09cfa857b4c70ec80cddcab">

et également équivalent à

Nous gardons à l'esprit que min / max est une paire at/s-norm, et toute autre valeur fonctionnera également ici.

Les ensembles flous sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints selon la définition standard des ensembles nets.

Pour les ensembles flous disjoints, toute intersection donnera ∅, et toute union donnera le même résultat, qui est noté comme

avec sa fonction d'appartenance donnée par

Notez qu'un seul des deux termes est supérieur à zéro.

Pour les ensembles flous disjoints, ce qui suit est vrai :

Ceci peut être généralisé aux familles finies d'ensembles flous comme suit : Étant donnée une famille d'ensembles flous avec un ensemble d'indices I (par exemple I = {1,2,3,..., n }). Cette famille est disjointe (deux à deux) ssi

$0.\text{for all}x\in U\text{there exists at most one}i\in I\text{such that}{\mu }_{A_i}\left(x\right)>0.$0.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375b575b5a4a38070f38b4d3345e0d497e725cd4">

Une famille d'ensembles flous est disjointe, ssi la famille de supports sous-jacents est disjointe au sens standard des familles d'ensembles nets.

Indépendamment de la paire de normes t/s, l'intersection d'une famille disjointe d'ensembles flous donnera à nouveau ∅, tandis que l'union n'a aucune ambiguïté :

avec sa fonction d'appartenance donnée par

Encore une fois, une seule des sommes est supérieure à zéro.

Pour les familles disjointes d'ensembles flous, ce qui suit est vrai :

Pour un ensemble flou à support fini (c'est-à-dire un « ensemble flou fini »), sa cardinalité (également appelée cardinalité scalaire ou nombre sigma ) est donnée par

Dans le cas où U lui-même est un ensemble fini, la cardinalité relative est donnée par

Ceci peut être généralisé pour que le diviseur soit un ensemble flou non vide : Pour les ensembles flous avec G ≠ ∅, nous pouvons définir la cardinalité relative par :

qui ressemble beaucoup à l'expression de la probabilité conditionnelle . Remarque :

• $0\mathrm{sc}\left(G\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1e7280693b4e05a4006357f2b065c9ce1d69c8">ici.
• Le résultat peut dépendre de l’intersection spécifique (norme t) choisie.
• Car le résultat est sans ambiguïté et ressemble à la définition précédente.

Pour tout ensemble flou, la fonction d'appartenance peut être considérée comme une famille . Cette dernière est un espace métrique avec plusieurs métriques connues. Une métrique peut être dérivée d'une norme (norme vectorielle) via

Par exemple, si est fini, c'est-à-dire , une telle métrique peut être définie par :

Pour une infinité , le maximum peut être remplacé par un supremum. Étant donné que les ensembles flous sont définis sans ambiguïté par leur fonction d'appartenance, cette métrique peut être utilisée pour mesurer les distances entre les ensembles flous sur le même univers :

ce qui devient dans l'exemple ci-dessus :

De nouveau, pour l'infini, le maximum doit être remplacé par un supremum. D'autres distances (comme la norme canonique 2) peuvent diverger si les ensembles flous infinis sont trop différents, par exemple, et .

Les mesures de similarité (ici désignées par ) peuvent alors être dérivées de la distance, par exemple d'après une proposition de Koczy :

ou d'après Williams et Steele :

où est un paramètre de pente et . $0\alpha >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc">

Une autre définition des mesures de similarité à valeur d'intervalle (plutôt « floue ») est également fournie par Beg et Ashraf.

Parfois, des variantes plus générales de la notion d'ensemble flou sont utilisées, avec des fonctions d'appartenance prenant des valeurs dans une algèbre (fixe ou variable) ou une structure d'un type donné ; il est généralement nécessaire qu'il y ait au moins un poset ou un treillis . On les appelle généralement L -ensembles flous , pour les distinguer de ceux dont les valeurs se situent sur l'intervalle unitaire. Les fonctions d'appartenance habituelles dont les valeurs se situent dans [0, 1] sont alors appelées fonctions d'appartenance à valeurs [0, 1]. Ces types de généralisations ont été envisagés pour la première fois en 1967 par Joseph Goguen , qui était un étudiant de Zadeh. Un corollaire classique peut être l'indication des valeurs de vérité et d'appartenance par {f, t} au lieu de {0, 1}.

Une extension des ensembles flous a été proposée par Atanassov . Un ensemble flou intuitionniste (IFS) est caractérisé par deux fonctions :

1. – degré d’appartenance de x

2. – degré de non-appartenance de x

avec des fonctions avec .

Cela ressemble à une situation comme celle d'une personne désignée par un vote

• pour une proposition : ( ),
• contre cela : ( ),
• ou s'abstenir de voter : ( ).

Après tout, nous avons un pourcentage d’approbations, un pourcentage de refus et un pourcentage d’abstentions.

Pour cette situation, des négateurs « flous intuitifs » spéciaux, des normes t et s, peuvent être définis. En combinant les deux fonctions, cette situation ressemble à un type particulier d' ensembles flous L.

Une fois de plus, cela a été étendu en définissant des ensembles flous d'images (PFS) comme suit : Un PFS A est caractérisé par trois fonctions mappant U à [0, 1] : , « degré d'appartenance positive », « degré d'appartenance neutre » et « degré d'appartenance négative » respectivement et une condition supplémentaire. Cela élargit l'échantillon de vote ci-dessus par une possibilité supplémentaire de « refus de vote ».

Avec des négateurs « flous d'image » spéciaux, des normes t et s, cela ressemble à un autre type d' ensembles L -flous.

Le concept d'IFS a été étendu à deux modèles majeurs. Les deux extensions d'IFS sont les ensembles flous neutrosophiques et les ensembles flous pythagoriciens.

Les ensembles flous neutrosophiques ont été introduits par Smarandache en 1998. Comme les IFS, les ensembles flous neutrosophiques ont les deux fonctions précédentes : une pour l'appartenance et une autre pour la non-appartenance . La principale différence est que les ensembles flous neutrosophiques ont une fonction supplémentaire : pour l'indétermination . Cette valeur indique le degré d'indétermination de l'appartenance de l'entité x à l'ensemble. Ce concept de valeur indéterminée peut être particulièrement utile lorsque l'on ne peut pas être très sûr des valeurs d'appartenance ou de non-appartenance de l'élément x . En résumé, les ensembles flous neutrosophiques sont associés aux fonctions suivantes :

1. —degré d’appartenance de x

2. —degré de non-appartenance à x

3. —degré de valeur indéterminée de x

L'autre extension de l'IFS est ce que l'on appelle les ensembles flous pythagoriciens. Les ensembles flous pythagoriciens sont plus flexibles que les IFS. Les IFS sont basés sur la contrainte , qui peut être considérée comme trop restrictive dans certaines occasions. C'est pourquoi Yager a proposé le concept d'ensembles flous pythagoriciens. De tels ensembles satisfont la contrainte , qui rappelle le théorème de Pythagore. Les ensembles flous pythagoriciens peuvent être applicables à des applications réelles dans lesquelles la condition précédente de n'est pas valide. Cependant, la condition moins restrictive de peut être adaptée dans davantage de domaines.

En tant qu'extension du cas de la logique à valeurs multiples , les évaluations ( ) des variables propositionnelles ( ) dans un ensemble de degrés d'appartenance ( ) peuvent être considérées comme des fonctions d'appartenance mappant des prédicats dans des ensembles flous (ou plus formellement, dans un ensemble ordonné de paires floues, appelé une relation floue). Avec ces évaluations, la logique à valeurs multiples peut être étendue pour permettre des prémisses floues à partir desquelles des conclusions graduées peuvent être tirées.

Cette extension est parfois appelée « logique floue au sens étroit » par opposition à la « logique floue au sens large », qui trouve son origine dans les domaines de l'ingénierie du contrôle automatisé et de l'ingénierie des connaissances , et qui englobe de nombreux sujets impliquant des ensembles flous et un « raisonnement approximatif ».

Les applications industrielles des ensembles flous dans le contexte de la « logique floue au sens large » peuvent être trouvées dans logique floue .

Un nombre flou est un ensemble flou qui satisfait toutes les conditions suivantes :

• A est normalisé ;
• A est un ensemble convexe ;
• La fonction d’appartenance atteint la valeur 1 au moins une fois ;
• La fonction d’appartenance est au moins segmentairement continue.

Si ces conditions ne sont pas satisfaites, alors A n'est pas un nombre flou . Le noyau de ce nombre flou est un singleton ; sa localisation est :

Les nombres flous peuvent être comparés au jeu de fête foraine « devinez votre poids », où quelqu'un devine le poids du candidat, les suppositions les plus proches étant plus correctes, et où le devineur « gagne » s'il devine suffisamment près du poids du candidat, le poids réel étant complètement correct (correspondant à 1 par la fonction d'appartenance).

Le noyau d'un intervalle flou est défini comme la partie « interne », sans les parties « sortantes » où la valeur d'appartenance est constante à l'infini. En d'autres termes, le plus petit sous-ensemble de où est constante à l'extérieur de celui-ci, est défini comme le noyau.

Cependant, il existe d'autres concepts de nombres et d'intervalles flous car certains auteurs n'insistent pas sur la convexité.

L'utilisation de l'appartenance à un ensemble comme élément clé de la théorie des catégories peut être généralisée aux ensembles flous. Cette approche, qui a débuté en 1968 peu après l'introduction de la théorie des ensembles flous, a conduit au développement des catégories de Goguen au 21e siècle. Dans ces catégories, plutôt que d'utiliser une appartenance à un ensemble à deux valeurs, des intervalles plus généraux sont utilisés et peuvent être des treillis comme dans les ensembles flous L.

L' équation de relation floue est une équation de la forme A · R = B , où A et B sont des ensembles flous, R est une relation floue et A · R représente la composition de A avec R .

Une mesure d de flou pour les ensembles flous de l'univers devrait remplir les conditions suivantes pour tous :

ce qui signifie que B est plus « net » que A.

Dans ce cas, on parle d' entropie de l'ensemble flou A.

Pour un ensemble flou fini, l'entropie est donnée par

ou juste

où est la fonction de Shannon (fonction d'entropie naturelle)

et est une constante dépendant de l'unité de mesure et de la base du logarithme utilisée (ici nous avons utilisé la base naturelle e ). L'interprétation physique de k est la constante de Boltzmann k ^B .

Soit un ensemble flou avec une fonction d'appartenance continue (variable floue). Alors

et son entropie est

Il existe de nombreuses constructions mathématiques similaires ou plus générales que les ensembles flous. Depuis l'introduction des ensembles flous en 1965, de nombreuses nouvelles constructions et théories mathématiques traitant de l'imprécision, de l'inexactitude, de l'ambiguïté et de l'incertitude ont été développées. Certaines de ces constructions et théories sont des extensions de la théorie des ensembles flous, tandis que d'autres tentent de modéliser mathématiquement l'imprécision et l'incertitude d'une manière différente.