Worldlex Wiki Les problèmes inverses comptent parmi les problèmes mathématiques les plus importants en sciences et en mathématiques, car ils nous renseignent sur des paramètres que nous ne pouvons pas observer directement. On les retrouve dans l'identification des systèmes , l'optique , le radar , l'acoustique , la théorie des communications , le traitement du signal , l'imagerie médicale , la vision par ordinateur , la géophysique , l'océanographie , la météorologie , l'astronomie , la télédétection , le traitement automatique du langage naturel , l'apprentissage automatique , les essais non destructifs , l'analyse de la stabilité des pentes et bien d'autres domaines.Adams et Le Verrier qui ont permis de découvrir Neptune à partir de la trajectoire perturbée d' Uranus . Cependant, l'étude formelle des problèmes inverses n'a débuté qu'au XXe siècle.
L'un des premiers exemples de solution à un problème inverse a été découvert par Hermann Weyl et publié en 1911. Il décrit le comportement asymptotique des valeurs propres de l' opérateur de Laplace-Beltrami . Aujourd'hui connue sous le nom de loi de Weyl , elle se comprend peut-être le plus facilement comme une réponse à la question de savoir s'il est possible d' entendre la forme d'un tambour . Weyl a conjecturé que les fréquences propres d'un tambour seraient liées à son aire et à son périmètre par une équation particulière, un résultat perfectionné par des mathématiciens ultérieurs.
Le domaine des problèmes inverses a été abordé plus tard par le physicien soviéto - arménien Viktor Ambartsumian .
Encore étudiant, Ambartsumian étudia en profondeur la théorie de la structure atomique, la formation des niveaux d'énergie, ainsi que l' équation de Schrödinger et ses propriétés. Maîtrisant la théorie des valeurs propres des équations différentielles , il mit en évidence l'analogie apparente entre les niveaux d'énergie discrets et les valeurs propres de ces équations. Il se demanda alors : étant donné une famille de valeurs propres, est-il possible de déterminer la forme des équations dont elles sont les valeurs propres ? Ambartsumian examinait en réalité le problème inverse de Sturm-Liouville , qui consiste à déterminer les équations d'une corde vibrante. Cet article fut publié en 1929 dans la revue de physique allemande Zeitschrift für Physik et demeura longtemps méconnu. Décrivant cette situation des décennies plus tard, Ambartsumian déclara : « Si un astronome publie un article à contenu mathématique dans une revue de physique, le plus probable est qu'il tombe dans l'oubli. »
Néanmoins, vers la fin de la Seconde Guerre mondiale, cet article, écrit par le jeune Ambartsumien de 20 ans, fut découvert par des mathématiciens suédois et constitua le point de départ de tout un domaine de recherche sur les problèmes inverses, devenant ainsi le fondement d'une discipline entière.
Des efforts importants ont ensuite été consacrés à la « résolution directe » du problème inverse de la diffusion, notamment par Gelfand et Levitan en Union soviétique . Ils ont proposé une méthode analytique constructive pour déterminer la solution. Avec l'avènement des ordinateurs, certains auteurs ont étudié la possibilité d'appliquer leur approche à des problèmes similaires, tels que le problème inverse de l'équation des ondes unidimensionnelle. Cependant, il est rapidement apparu que l'inversion est un processus instable : le bruit et les erreurs peuvent être considérablement amplifiés, rendant une résolution directe difficilement applicable. Puis, vers les années 1970, les approches par les moindres carrés et probabilistes ont émergé et se sont révélées très utiles pour la détermination des paramètres intervenant dans divers systèmes physiques. Cette approche a rencontré un vif succès. De nos jours, les problèmes inverses sont également étudiés dans des domaines autres que la physique, tels que la chimie, l'économie et l'informatique. À terme, avec la généralisation des modèles numériques dans de nombreux secteurs de la société, on peut s'attendre à ce qu'un problème inverse soit associé à chacun de ces modèles.
Compréhension conceptuelle
Depuis Newton, les scientifiques s'efforcent de modéliser le monde. En particulier, lorsqu'un modèle mathématique est disponible (par exemple, la loi de la gravitation universelle de Newton ou l'équation de Coulomb pour l'électrostatique), on peut prévoir, à partir de certains paramètres décrivant un système physique (tels qu'une distribution de masse ou une distribution de charges électriques), le comportement de ce système. Cette approche est connue sous le nom de modélisation mathématique, et les paramètres physiques mentionnés ci-dessus sont appelés paramètres du modèle , ou simplement le modèle . Plus précisément, on introduit la notion d' état du système physique : il s'agit de la solution de l'équation du modèle mathématique. En théorie du contrôle optimal , ces équations sont appelées équations d'état . Dans de nombreuses situations, ce n'est pas tant l'état physique lui-même qui nous intéresse, mais plutôt ses effets sur certains objets (par exemple, les effets du champ gravitationnel sur une planète donnée). Il est donc nécessaire d'introduire un autre opérateur, appelé opérateur d'observation , qui convertit l'état du système physique (ici, le champ gravitationnel prédit) en ce que l'on souhaite observer (ici, les mouvements de la planète considérée). Nous pouvons maintenant introduire ce que l'on appelle le problème direct , qui se compose de deux étapes :
- détermination de l'état du système à partir des paramètres physiques qui le décrivent
- application de l'opérateur d'observation à l'état estimé du système afin de prédire le comportement de ce que nous voulons observer.
Cela conduit à introduire un autre opérateur
Le tableau ci-dessous présente, en considérant la Terre comme le système physique et pour différents phénomènes physiques, les paramètres du modèle qui décrivent le système, la grandeur physique qui décrit l'état du système physique et les observations couramment effectuées sur l'état du système.
| Équations fondamentales | Paramètres du modèle (entrées du modèle) | État du système physique | Observations courantes sur le système |
|---|---|---|---|
| La loi de la gravitation de Newton | Répartition de la masse | Champ gravitationnel | Mesures effectuées par des gravimètres à différents endroits de la surface |
| Les équations de Maxwell | Distribution de la susceptibilité magnétique | Champ magnétique | Champ magnétique mesuré à différents endroits de la surface par des magnétomètres (cas d'un régime permanent) |
| Équation d'onde | Distribution des vitesses et des densités des vagues | Champ d'ondes causé par des sources sismiques artificielles ou naturelles | Vitesse des particules mesurée par des sismomètres placés à différents endroits en surface |
| Équation de diffusion | Distribution du coefficient de diffusion | Concentration de matière diffusante en fonction de l'espace et du temps | Surveillance de cette concentration mesurée à différents endroits |
Dans l'approche du problème inverse, nous essayons, en gros, de connaître les causes à partir des effets.
Énoncé général du problème inverse
Le problème inverse est l'« inverse » du problème direct : au lieu de déterminer les données produites par des paramètres de modèle particuliers, nous cherchons à déterminer les paramètres de modèle qui produisent ces données.
- L' espace des modèles désigné par
- L' espace de données désigné par
Le concept de résidus est essentiel : dans le cadre de la recherche d'un modèle adapté aux données, leur analyse permet de déterminer si le modèle considéré est réaliste ou non . Des écarts systématiques et irréalistes entre les données et les réponses du modèle révèlent également que la stratégie de prédiction est inadéquate et peuvent fournir des pistes pour l'améliorer.
Lorsque l'opérateur
Problèmes inverses linéaires
Dans le cas d'une application directe linéaire et lorsque l'on considère un nombre fini de paramètres de modèle, l'application directe peut être écrite comme un système linéaire
Un exemple élémentaire : le champ gravitationnel terrestre
Seuls quelques rares systèmes physiques sont linéaires par rapport aux paramètres du modèle. En géophysique, le champ gravitationnel terrestre en est un exemple . Ce champ est déterminé par la distribution de la densité de la Terre dans son sous-sol. La lithologie terrestre variant considérablement, nous observons de faibles différences dans le champ gravitationnel à la surface. D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, l'expression mathématique de la gravité est :
En discrétisant l'expression ci-dessus, nous pouvons relier les observations de données discrètes à la surface de la Terre aux paramètres discrets du modèle (densité) du sous-sol que nous souhaitons mieux connaître. Par exemple, considérons le cas où nous disposons de mesures effectuées en 5 points à la surface de la Terre. Dans ce cas, notre vecteur de données,
Pour déterminer les paramètres du modèle qui correspondent à nos données, nous pourrions inverser la matrice.
Cependant, même une matrice carrée peut ne pas avoir d'inverse : matrice
Des outils pour surmonter la première difficulté
La première difficulté révèle un problème crucial : nos observations sont insuffisantes et des données supplémentaires sont nécessaires. Ces données peuvent provenir d’informations physiques préalables sur les valeurs des paramètres, leur distribution spatiale ou, plus généralement, leurs interdépendances. Elles peuvent également provenir d’autres expériences : par exemple, on peut envisager d’intégrer des données enregistrées par des gravimètres et des sismographes pour une meilleure estimation des densités. L’intégration de ces informations supplémentaires relève fondamentalement des statistiques . Cette discipline est celle qui permet de répondre à la question : comment combiner des quantités de nature différente ? Nous approfondirons ce point dans la section « Approche bayésienne » ci-dessous.
Concernant les paramètres distribués, les informations a priori sur leur distribution spatiale consistent souvent en des informations sur certaines de leurs dérivées. De plus, il est courant, bien que quelque peu artificiel, de rechercher le modèle le plus simple qui corresponde raisonnablement aux données. Ceci est généralement réalisé en pénalisant … du gradient (ou de la variation totale ) des paramètres (cette approche est également appelée maximisation de l'entropie) peut être utilisée. On peut aussi simplifier le modèle en introduisant des degrés de liberté uniquement lorsque cela est nécessaire.
Des informations supplémentaires peuvent également être intégrées par le biais de contraintes d'inégalité sur les paramètres du modèle ou certaines de leurs fonctions. Ces contraintes sont importantes pour éviter des valeurs irréalistes pour les paramètres (des valeurs négatives, par exemple). Dans ce cas, l'espace engendré par les paramètres du modèle ne sera plus un espace vectoriel, mais un sous-ensemble de modèles admissibles, noté par
Des outils pour surmonter la deuxième difficulté
Comme mentionné précédemment, le bruit peut être tel que nos mesures ne correspondent à aucun modèle. Par conséquent, nous ne pouvons pas rechercher un modèle qui reproduit les données, mais plutôt le meilleur modèle (ou optimal) : celui qui s’ajuste le mieux aux données. Ceci nous amène à minimiser une fonction objectif , c’est-à-dire une fonctionnelle qui quantifie l’ampleur des résidus ou l’écart entre les données prédites et les données observées. Bien entendu, lorsque nos données sont parfaites (c’est-à-dire sans bruit), le modèle reconstruit devrait s’ajuster parfaitement aux données observées. Une fonction objectif standard,
approche bayésienne
L'approche probabiliste est très similaire à l'approche des moindres carrés : si l'on connaît les statistiques du bruit qui contamine les données, on peut rechercher le modèle m le plus probable, c'est-à-dire celui qui satisfait le critère du maximum de vraisemblance . Si le bruit est gaussien , le critère du maximum de vraisemblance se ramène à un critère des moindres carrés, le produit scalaire euclidien dans l'espace des données étant remplacé par un produit scalaire faisant intervenir la covariance du bruit. De plus, si l'on dispose d'informations a priori sur les paramètres du modèle, on peut envisager d'utiliser l'inférence bayésienne pour formuler la solution du problème inverse. Cette approche est décrite en détail dans l'ouvrage de Tarantola . L'approche bayésienne des problèmes inverses utilise souvent un processus gaussien pour modéliser la solution des équations différentielles (sans nécessairement les linéariser) et émule (ou entraîne) le système mécaniste afin de servir ensuite de distribution a priori pour l'estimation (ou le calibrage)
Solution numérique de notre exemple élémentaire
Nous utilisons ici la norme euclidienne pour quantifier les écarts aux données. Comme il s'agit d'un problème inverse linéaire, la fonction objectif est quadratique. Pour sa minimisation, il est classique de calculer son gradient selon le même raisonnement (que pour minimiser une fonction à une seule variable). Au niveau du modèle optimal
Cette expression est connue sous le nom d'équation normale et nous donne une solution possible au problème inverse. Dans notre exemple de matrice
Aspects mathématiques et informatiques
Les problèmes inverses sont généralement mal posés, contrairement aux problèmes bien posés habituellement rencontrés en modélisation mathématique. Parmi les trois conditions de bonne formulation d'un problème proposées par Jacques Hadamard (existence, unicité et stabilité de la ou des solutions), la condition de stabilité est la plus souvent violée. En analyse fonctionnelle , le problème inverse est représenté par une application entre espaces métriques . Bien que les problèmes inverses soient souvent formulés dans des espaces de dimension infinie, les limitations liées au nombre fini de mesures et la nécessité pratique de ne déterminer qu'un nombre fini de paramètres inconnus peuvent conduire à les reformuler sous forme discrète. Dans ce cas, le problème inverse est généralement mal conditionné . La régularisation permet alors d'introduire des hypothèses peu contraignantes sur la solution et d'éviter le surapprentissage . De nombreux cas de problèmes inverses régularisés peuvent être interprétés comme des cas particuliers d' inférence bayésienne .
Solution numérique du problème d'optimisation
Certains problèmes inverses ont une solution très simple, par exemple lorsqu'on dispose d'un ensemble de fonctions unisolvantes , c'est-à-dire un ensemble telles que leur évaluation ensemble de points distincts forme un système de vecteurs linéairement indépendants . Cela signifie que, pour une combinaison linéaire de ces fonctions, les coefficients peuvent être calculés en disposant les vecteurs en colonnes d'une matrice, puis en inversant cette matrice. L'exemple le plus simple de fonctions unisolvantes est celui des polynômes construits, à l'aide du théorème d'unisolvabilité , de manière à être unisolvants. Concrètement, cela se fait en inversant la matrice de Vandermonde . Mais il s'agit d'un cas très particulier.
En général, la résolution d'un problème inverse requiert des algorithmes d'optimisation sophistiqués. Lorsque le modèle est décrit par un grand nombre de paramètres (le nombre d'inconnues dans certaines applications de tomographie par diffraction peut atteindre un milliard), la résolution du système linéaire associé aux équations normales peut s'avérer complexe. La méthode numérique à utiliser pour résoudre le problème d'optimisation dépend notamment du coût de calcul de la solution.
L'utilisateur peut également souhaiter ajouter des contraintes physiques aux modèles : dans ce cas, il doit maîtriser les méthodes d'optimisation sous contraintes , un sujet à part entière. Dans tous les cas, le calcul du gradient de la fonction objectif est souvent un élément clé pour la résolution du problème d'optimisation. Comme mentionné précédemment, des informations sur la distribution spatiale d'un paramètre distribué peuvent être introduites par la paramétrisation. On peut également envisager d'adapter cette paramétrisation au cours de l'optimisation.
Si la fonction objectif est basée sur une norme autre que la norme euclidienne, nous devons sortir du domaine de l'optimisation quadratique. Par conséquent, le problème d'optimisation devient plus complexe. En particulier, lorsque la
Une fois le modèle optimal calculé, il convient de se poser la question : « Peut-on faire confiance à ce modèle ? » On peut la formuler ainsi : quelle est la taille de l’ensemble des modèles qui correspondent aux données « presque aussi bien » que celui-ci ? Dans le cas de fonctions objectives quadratiques, cet ensemble est contenu dans un hyperellipsoïde, un sous-ensemble de…
Stabilité, régularisation et discrétisation de modèles en dimension infinie
Nous nous intéressons ici à la récupération d'un paramètre distribué. La recherche de paramètres distribués implique la discrétisation de ces fonctions inconnues. Ce faisant, nous réduisons la dimension du problème à un nombre fini. Dès lors, une question se pose : existe-t-il un lien entre la solution calculée et celle du problème initial ? Et plus précisément : que signifie « solution du problème initial » ? Puisqu'un nombre fini de données ne permet pas de déterminer une infinité d'inconnues, la fonctionnelle d'écart aux données initiales doit être régularisée afin de garantir l'unicité de la solution. Bien souvent, la réduction des inconnues à un espace de dimension finie constitue une régularisation adéquate : la solution calculée s'apparente alors à une version discrète de la solution recherchée. Par exemple, une discrétisation simple convient souvent à la résolution du problème de déconvolution : elle fonctionne tant que les fréquences manquantes n'apparaissent pas dans la solution numérique. Cependant, il est souvent nécessaire d'intégrer explicitement la régularisation dans la fonction objectif.
Pour comprendre ce qui peut se produire, il faut garder à l'esprit que la résolution d'un tel problème inverse linéaire revient à résoudre une équation intégrale de Fredholm de première espèce :
où
Pour une surface suffisamment lisse
Les noyaux irréguliers peuvent donner lieu à une application directe non compacte, voire non bornée, si l'on munit naïvement l'espace des modèles de
L'analyse du spectre de l'opérateur hessien est donc un élément clé pour déterminer la fiabilité de la solution calculée. Cependant, une telle analyse est généralement une tâche très lourde. C'est pourquoi plusieurs auteurs ont exploré des approches alternatives, dans le cas où l'on ne s'intéresse pas à toutes les composantes de la fonction inconnue, mais seulement aux sous-inconnues qui sont les images de cette fonction par un opérateur linéaire. Ces approches sont appelées la méthode de Backus et Gilbert , l'approche des sentinelles de Lions et la méthode SOLA . Ces approches se sont révélées étroitement liées, comme l'explique Chavent Enfin, le concept de résolution limitée , souvent invoqué par les physiciens, n'est autre qu'une interprétation particulière du fait que certaines composantes mal déterminées peuvent perturber la solution. Mais, de manière générale, ces composantes mal déterminées du modèle ne sont pas nécessairement associées aux hautes fréquences.
Quelques problèmes inverses linéaires classiques pour la récupération de paramètres distribués
Les problèmes mentionnés ci-dessous correspondent à différentes versions de l'intégrale de Fredholm : chacune d'elles est associée à un noyau spécifique.
Déconvolution
L'objectif de la déconvolution est de reconstruire l'image ou le signal original.
Méthodes tomographiques
Dans ces méthodes, nous cherchons à retrouver un paramètre distribué, l'observation consistant à mesurer les intégrales de ce paramètre le long d'une famille de lignes. Nous le notons par
tomodensitométrie
En tomographie par rayons X, les lignes d'intégration du paramètre sont des droites : la reconstruction tomographique de la distribution du paramètre repose sur l'inversion de la transformée de Radon . Bien que de nombreux problèmes inverses linéaires soient bien compris d'un point de vue théorique, ceux impliquant la transformée de Radon et ses généralisations présentent encore de nombreux défis pratiques, notamment en termes de suffisance des données. Ces problèmes incluent les données incomplètes pour la transformée de Radon en trois dimensions et les problèmes liés à la généralisation de cette transformée aux champs tensoriels. Parmi les solutions explorées figurent la technique de reconstruction algébrique , la rétroprojection filtrée et, avec l'augmentation de la puissance de calcul, les méthodes de reconstruction itératives telles que la méthode SAMP (Sparse Asymptotic Minimum Variance) itérative .
Tomographie par diffraction
La tomographie de diffraction est un problème inverse linéaire classique en sismologie d'exploration : l'amplitude enregistrée à un instant donné pour une paire source-récepteur est la somme des contributions des points tels que la somme des distances, mesurées en temps de propagation, à la source et au récepteur soit égale à l'instant d'enregistrement correspondant. En 3D, le paramètre n'est pas intégré le long des lignes mais sur les surfaces. Si la vitesse de propagation est constante, ces points sont distribués sur un ellipsoïde. Le problème inverse consiste à retrouver la distribution des points diffractants à partir des sismogrammes enregistrés le long du levé, la distribution des vitesses étant connue. Une solution directe a été initialement proposée par Beylkin et Lambaré et al. : ces travaux ont constitué le point de départ des approches connues sous le nom de migration à amplitude préservée (voir Beylkin et Bleistein ). Si des techniques d'optique géométrique (c'est-à-dire des rayons ) sont utilisées pour résoudre l'équation d'onde, ces méthodes s'avèrent être étroitement liées aux méthodes de migration dites des moindres carrés dérivées de l'approche des moindres carrés (voir Lailly, Tarantola ).
Tomographie Doppler (astrophysique)
Si l'on considère un objet stellaire en rotation, les raies spectrales observables sur un profil spectral seront décalées par effet Doppler. La tomographie Doppler vise à convertir l'information contenue dans le suivi spectral de l'objet en une image 2D de l'émission (en fonction de la vitesse radiale et de la phase du mouvement de rotation périodique) de l'atmosphère stellaire. Comme l'explique Tom Marsh ce problème inverse linéaire s'apparente à une tomographie : il s'agit de retrouver un paramètre distribué qui a été intégré le long de lignes pour produire ses effets dans les enregistrements.
Conduction thermique inverse
Les premières publications sur la conduction thermique inverse provenaient de la détermination du flux de chaleur de surface lors de la rentrée atmosphérique à partir de capteurs de température enterrés. Parmi les autres applications où le flux de chaleur de surface est nécessaire mais où les capteurs de surface ne sont pas pratiques, on peut citer : l’intérieur des moteurs à pistons, l’intérieur des moteurs de fusée et les essais de composants de réacteurs nucléaires. Diverses techniques numériques ont été développées pour traiter le problème mal posé et la sensibilité aux erreurs de mesure dues à l’amortissement et au retard du signal de température.
Problèmes inverses non linéaires
Les problèmes inverses non linéaires constituent une famille de problèmes inverses intrinsèquement plus difficile. Ici, l'application directe
Quelques problèmes inverses non linéaires classiques
Problèmes de diffusion inverse
Alors que les problèmes inverses linéaires étaient entièrement résolus d'un point de vue théorique à la fin du XIXe siècle , seule une classe de problèmes inverses non linéaires l'était avant 1970 : les problèmes inverses spectraux et les problèmes inverses de diffusion (à une dimension spatiale) , suite aux travaux fondateurs de l'école mathématique russe ( Krein , Gelfand , Levitan, Marchenko ). Chadan et Sabatier ont présenté une synthèse importante de ces résultats dans leur ouvrage « Inverse Problems of Quantum Scattering Theory » (deux éditions en anglais, une en russe).
Dans ce type de problème, les données sont des propriétés du spectre d'un opérateur linéaire qui décrivent la diffusion. Le spectre est composé de valeurs propres et de fonctions propres , formant ensemble le « spectre discret », et de généralisations appelées spectre continu. Le point physique remarquable est que les expériences de diffusion ne fournissent d'informations que sur le spectre continu, et que la connaissance de son spectre complet est à la fois nécessaire et suffisante pour retrouver l'opérateur de diffusion. Nous avons donc des paramètres invisibles, bien plus intéressants que le noyau qui possède une propriété similaire dans les problèmes inverses linéaires. De plus, il existe des mouvements physiques dans lesquels le spectre d'un tel opérateur est conservé. Ce phénomène est régi par des équations d'évolution aux dérivées partielles non linéaires particulières, par exemple l' équation de Korteweg-de Vries . Si le spectre de l'opérateur est réduit à une seule valeur propre, son mouvement correspondant est celui d'une onde solitaire se propageant à vitesse constante et sans déformation, appelée « soliton ».
Le signal parfait et ses généralisations pour l'équation de Korteweg-de Vries ou d'autres équations aux dérivées partielles non linéaires intégrables présentent un grand intérêt et de nombreuses applications potentielles. Ce domaine est étudié comme une branche de la physique mathématique depuis les années 1970. Les problèmes inverses non linéaires sont également étudiés actuellement dans de nombreux domaines des sciences appliquées (acoustique, mécanique, mécanique quantique, diffusion électromagnétique – en particulier les sondages radar et sismiques – et la quasi-totalité des modalités d'imagerie).
Un dernier exemple lié à l' hypothèse de Riemann a été donné par Wu et Sprung, l'idée est que dans l' ancienne théorie quantique semi-classique , l'inverse du potentiel à l'intérieur de l'hamiltonien est proportionnel à la demi-dérivée de la fonction de comptage des valeurs propres (énergies) n ( x ).
Adaptation de la perméabilité dans les réservoirs de pétrole et de gaz
L'objectif est de déterminer le coefficient de diffusion dans l' équation aux dérivées partielles parabolique qui modélise les écoulements monophasiques en milieu poreux. Ce problème a fait l'objet de nombreuses études depuis un travail pionnier réalisé au début des années 1970 . Concernant les écoulements diphasiques, un problème important consiste à estimer les perméabilités relatives et les pressions capillaires
Problèmes inverses dans les équations des ondes
L'objectif est de déterminer les vitesses de propagation des ondes (ondes P et S) et les distributions de densité à partir des sismogrammes . Ces problèmes inverses sont d'un intérêt primordial en sismologie et en géophysique d'exploration . On peut considérer deux modèles mathématiques principaux :
- L' équation des ondes acoustiques (dans laquelle les ondes S sont ignorées lorsque les dimensions spatiales sont de 2 ou 3)
- L' équation de l'élastodynamique dans laquelle les vitesses des ondes P et S peuvent être dérivées des paramètres de Lamé et de la densité.
Ces équations hyperboliques de base peuvent être améliorées en intégrant l'atténuation , l'anisotropie et d'autres effets physiques.
La résolution du problème inverse de l'équation des ondes unidimensionnelle a fait l'objet de nombreuses études. Il s'agit de l'un des rares problèmes inverses non linéaires pour lesquels l'unicité de la solution peut être démontrée . L'analyse de la stabilité de la solution a constitué un autre défi . Des applications pratiques, utilisant la méthode des moindres carrés, ont été développées . L'extension aux problèmes bidimensionnels ou tridimensionnels et aux équations de l'élastodynamique a été tentée dès les années 1980, mais s'est avérée très complexe ! Ce problème, souvent désigné sous le nom d'inversion de forme d'onde complète (FWI), n'est pas encore entièrement résolu : parmi les principales difficultés figurent la présence de bruit non gaussien dans les sismogrammes, les problèmes de saut de cycle (également appelés ambiguïté de phase) et le comportement chaotique de la fonction d'écart aux données . Certains auteurs ont étudié la possibilité de reformuler le problème inverse afin de rendre la fonction objectif moins chaotique que la fonction d'écart aux données.
tomographie du temps de trajet
Conscients de la complexité du problème inverse de l'équation des ondes, les sismologues ont exploré une approche simplifiée faisant appel à l'optique géométrique. Leur objectif était notamment d'inverser la distribution des vitesses de propagation à partir des temps d'arrivée des fronts d'onde observés sur les sismogrammes. Ces fronts d'onde peuvent correspondre à des arrivées directes ou à des réflexions liées à des réflecteurs dont la géométrie doit être déterminée conjointement à la distribution des vitesses.
La distribution des temps d'arrivée
Ce problème s'apparente à la tomographie : les temps d'arrivée mesurés correspondent à l'intégrale de la lenteur le long du trajet du rayon. Cependant, ce problème de type tomographique est non linéaire, principalement parce que la géométrie inconnue du trajet du rayon dépend de la distribution des vitesses (ou des lenteurs). Malgré son caractère non linéaire, la tomographie des temps de propagation s'est avérée très efficace pour déterminer la vitesse de propagation dans la Terre ou dans le sous-sol, ce dernier aspect étant un élément clé de l'imagerie sismique, notamment avec les méthodes mentionnées dans la section « Tomographie de diffraction ».
Aspects mathématiques : les questions d'Hadamard
Les questions portent sur le caractère bien posé du problème : le problème des moindres carrés admet-il une solution unique qui dépend continûment des données (problème de stabilité) ? C’est la première question, mais elle est aussi difficile en raison de la non-linéarité de…
- étape de projection : donnée
- Étant donné cette projection, trouvez une préimage qui soit un modèle dont l'image par opérateur
Des difficultés peuvent – et surviennent généralement – à ces deux étapes :
- opérateur
- même lorsque
- la projection sur
- la projection sur
Nous renvoyons à Chavent pour une analyse mathématique de ces points.
Aspects informatiques
Une fonction d'inadéquation des données non convexe
L'application directe étant non linéaire, la fonction d'écart aux données est probablement non convexe, ce qui rend les techniques de minimisation locale inefficaces. Plusieurs approches ont été étudiées pour surmonter cette difficulté :
- utilisation de techniques d'optimisation globale telles que l'échantillonnage de la fonction de densité postérieure et l'algorithme de Metropolis dans le cadre probabiliste du problème inverse, algorithmes génétiques (seuls ou en combinaison avec l'algorithme de Metropolis : voir pour une application à la détermination des perméabilités qui correspondent aux données de perméabilité existantes), réseaux neuronaux, techniques de régularisation, y compris l'analyse multi-échelle ;
- reformulation de la fonction objectif des moindres carrés afin de la rendre plus lisse (voir pour le problème inverse dans les équations d'ondes).
Calcul du gradient de la fonction objectif
Les problèmes inverses, notamment en dimension infinie, peuvent être de grande taille et donc nécessiter un temps de calcul important. Lorsque l'application directe est non linéaire, les difficultés de calcul augmentent et la minimisation de la fonction objectif peut s'avérer complexe. Contrairement au cas linéaire, l'utilisation explicite de la matrice hessienne pour résoudre les équations normales n'est pas pertinente ici : la matrice hessienne varie selon les modèles. L'évaluation du gradient de la fonction objectif est beaucoup plus efficace pour certains modèles. Un gain de temps de calcul considérable peut être réalisé en évitant le calcul très lourd du jacobien (souvent appelé « dérivées de Fréchet ») : la méthode de l'état adjoint, proposée par Chavent et Lions , vise précisément à éviter ce calcul intensif. Elle est aujourd'hui très largement utilisée
Applications
La théorie des problèmes inverses est largement utilisée en météorologie, en océanographie, en hydrologie, en neurosciences et en génie pétrolier. Une autre application est l'inversion des ondes élastiques pour la caractérisation non destructive des structures d'ingénierie.
On rencontre également des problèmes inverses dans le domaine du transfert de chaleur, où un flux de chaleur de surface est estimé à partir de données de température mesurées à l'intérieur d'un corps rigide ; et dans la compréhension des mécanismes de dégradation de la matière végétale. Le problème inverse linéaire est également fondamental pour l'estimation spectrale et l'estimation de la direction d'arrivée (DOA) en traitement du signal .
La lithographie inverse est utilisée dans la conception des photomasques pour la fabrication de dispositifs semi-conducteurs .
revues académiques
Quatre revues académiques principales traitent des problèmes inverses en général :
- Problèmes inverses
- Journal des problèmes inverses et mal posés
- Problèmes inverses en sciences et en ingénierie
- Problèmes inverses et imagerie
De nombreuses revues spécialisées en imagerie médicale, géophysique, essais non destructifs, etc., sont dominées par les problèmes inverses dans ces domaines.