Principe de superposition

Le principe de superposition , également connu sous le nom de propriété de superposition , stipule que, pour tous les systèmes linéaires , la réponse nette provoquée par deux ou plusieurs stimuli est la somme des réponses qui auraient été provoquées par chaque stimulus individuellement. Ainsi, si l'entrée A produit la réponse X et l'entrée B produit la réponse Y , alors l'entrée ( A + B ) produit la réponse ( X + Y ).

Une fonction qui satisfait le principe de superposition est appelée fonction linéaire . La superposition peut être définie par deux propriétés plus simples : l'additivité et l'homogénéité pour le scalaire a . ${\displaystyle F(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle F(ax)=aF(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>un</mi> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(ax)=aF(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

Ce principe a de nombreuses applications en physique et en ingénierie, car de nombreux systèmes physiques peuvent être modélisés comme des systèmes linéaires. Par exemple, une poutre peut être modélisée comme un système linéaire dans lequel le stimulus d'entrée est la charge sur la poutre et la réponse de sortie est la déflexion de la poutre. L'importance des systèmes linéaires est qu'ils sont plus faciles à analyser mathématiquement ; il existe un grand nombre de techniques mathématiques, de méthodes de transformation linéaire dans le domaine fréquentiel telles que les transformées de Fourier et de Laplace , et la théorie des opérateurs linéaires , qui sont applicables. Étant donné que les systèmes physiques ne sont généralement qu'approximativement linéaires, le principe de superposition n'est qu'une approximation du véritable comportement physique.

Le principe de superposition s'applique à tout système linéaire, y compris les équations algébriques , les équations différentielles linéaires et les systèmes d'équations de ces formes. Les stimuli et les réponses peuvent être des nombres, des fonctions, des vecteurs, des champs de vecteurs , des signaux variables dans le temps ou tout autre objet satisfaisant certains axiomes . Notez que lorsque des vecteurs ou des champs de vecteurs sont impliqués, une superposition est interprétée comme une somme vectorielle . Si la superposition est vérifiée, elle est automatiquement également vérifiée pour toutes les opérations linéaires appliquées à ces fonctions (en raison de la définition), telles que les gradients, les différentielles ou les intégrales (si elles existent).

Relation avec l'analyse de Fourier et les méthodes similaires

En écrivant un stimulus très général (dans un système linéaire) comme la superposition de stimuli d'une forme spécifique et simple, la réponse devient souvent plus facile à calculer.

Par exemple, dans l'analyse de Fourier , le stimulus est écrit comme la superposition d'une infinité de sinusoïdes . En raison du principe de superposition, chacune de ces sinusoïdes peut être analysée séparément et sa réponse individuelle peut être calculée. (La réponse est elle-même une sinusoïde, avec la même fréquence que le stimulus, mais généralement une amplitude et une phase différentes .) Selon le principe de superposition, la réponse au stimulus d'origine est la somme (ou intégrale) de toutes les réponses sinusoïdales individuelles.

Comme autre exemple courant, dans l'analyse des fonctions de Green , le stimulus est écrit comme la superposition d'une infinité de fonctions impulsionnelles , et la réponse est alors une superposition de réponses impulsionnelles .

L'analyse de Fourier est particulièrement courante pour les ondes . Par exemple, dans la théorie électromagnétique, la lumière ordinaire est décrite comme une superposition d' ondes planes (ondes de fréquence , de polarisation et de direction fixes). Tant que le principe de superposition est respecté (ce qui est souvent le cas, mais pas toujours ; voir optique non linéaire ), le comportement de toute onde lumineuse peut être compris comme une superposition du comportement de ces ondes planes plus simples .

Superposition d'ondes

Les ondes sont généralement décrites par les variations de certains paramètres dans l'espace et le temps, par exemple la hauteur d'une vague d'eau, la pression d'une onde sonore ou le champ électromagnétique d'une onde lumineuse. La valeur de ce paramètre est appelée amplitude de l'onde et l'onde elle-même est une fonction spécifiant l'amplitude en chaque point.

Dans tout système avec des vagues, la forme de l'onde à un instant donné est une fonction des sources (c'est-à-dire des forces externes, le cas échéant, qui créent ou affectent l'onde) et des conditions initiales du système. Dans de nombreux cas (par exemple, dans l' équation d'onde classique ), l'équation décrivant l'onde est linéaire. Lorsque cela est vrai, le principe de superposition peut être appliqué. Cela signifie que l'amplitude nette causée par deux ou plusieurs ondes traversant le même espace est la somme des amplitudes qui auraient été produites par les ondes individuelles séparément. Par exemple, deux ondes se dirigeant l'une vers l'autre se traverseront sans aucune distorsion de l'autre côté. (Voir l'image en haut.)

Diffraction des ondes et interférence des ondes

En ce qui concerne la superposition des ondes, Richard Feynman a écrit :

Personne n'a jamais réussi à définir de manière satisfaisante la différence entre interférence et diffraction. C'est simplement une question d'usage, et il n'y a pas de différence physique spécifique et importante entre les deux. Le mieux que l'on puisse faire, en gros, est de dire que lorsqu'il n'y a que quelques sources interférentes, disons deux, le résultat est généralement appelé interférence, mais s'il y en a un grand nombre, il semble que le mot diffraction soit plus souvent utilisé.

D’autres auteurs précisent :

La différence est une question de commodité et de convention. Si les ondes à superposer proviennent de quelques sources cohérentes, disons deux, l'effet est appelé interférence. En revanche, si les ondes à superposer proviennent de la subdivision d'un front d'onde en ondelettes cohérentes infinitésimales (sources), l'effet est appelé diffraction. C'est-à-dire que la différence entre les deux phénomènes n'est qu'une question de degré, et fondamentalement, ce sont deux cas limites d'effets de superposition.

Une autre source est du même avis :

Dans la mesure où les franges d'interférence observées par Young étaient le motif de diffraction de la double fente, ce chapitre [Diffraction de Fraunhofer] est donc une continuation du chapitre 8 [Interférence]. D'un autre côté, peu d'opticiens considéreraient l'interféromètre de Michelson comme un exemple de diffraction. Certaines des catégories importantes de diffraction se rapportent à l'interférence qui accompagne la division du front d'onde, de sorte que l'observation de Feynman reflète dans une certaine mesure la difficulté que nous pouvons avoir à distinguer la division d'amplitude et la division du front d'onde.

Interférence des ondes

Le phénomène d' interférence entre ondes repose sur cette idée. Lorsque deux ou plusieurs ondes traversent le même espace, l'amplitude nette en chaque point est la somme des amplitudes des ondes individuelles. Dans certains cas, comme dans les casques antibruit , la variation additionnée a une amplitude plus faible que les variations des composantes ; on parle alors d'interférence destructive . Dans d'autres cas, comme dans un réseau de lignes , la variation additionnée aura une amplitude plus grande que chacune des composantes prises individuellement ; on parle alors d'interférence constructive .

l'onde verte traverse vers la droite tandis que l'onde bleue traverse vers la gauche, l'amplitude nette de l'onde rouge à chaque point est la somme des amplitudes des ondes individuelles.

forme d'onde combinée
vague 1
vague 2
	Deux ondes en phase	Deux ondes déphasées de 180 ° Écarts par rapport à la linéarité Dans la plupart des situations physiques réalistes, l'équation qui régit l'onde n'est qu'approximativement linéaire. Dans ces situations, le principe de superposition n'est qu'approximativement valable. En règle générale, la précision de l'approximation tend à s'améliorer à mesure que l'amplitude de l'onde diminue. Pour des exemples de phénomènes qui se produisent lorsque le principe de superposition n'est pas exactement valable, voir les articles Optique non linéaire et Acoustique non linéaire . Superposition quantique En mécanique quantique , l'une des tâches principales consiste à calculer la manière dont un certain type d'onde se propage et se comporte. L'onde est décrite par une fonction d'onde , et l'équation qui régit son comportement est appelée équation de Schrödinger . Une approche primaire pour calculer le comportement d'une fonction d'onde consiste à l'écrire comme une superposition (appelée « superposition quantique ») d'une infinité d'autres fonctions d'onde d'un certain type, c'est-à- dire d'états stationnaires dont le comportement est particulièrement simple. Comme l'équation de Schrödinger est linéaire, le comportement de la fonction d'onde d'origine peut être calculé de cette manière grâce au principe de superposition. La nature projective de l'espace d'états de la mécanique quantique entraîne une certaine confusion, car un état de la mécanique quantique est un rayon dans l'espace de Hilbert projectif , et non un vecteur . Selon Dirac : « si le vecteur ket correspondant à un état est multiplié par un nombre complexe quelconque, différent de zéro, le vecteur ket résultant correspondra au même état [italique dans l'original] ». Cependant, la somme de deux rayons pour composer un rayon superposé n'est pas définie. En conséquence, Dirac lui-même utilise des représentations vectorielles ket d'états pour décomposer ou diviser, par exemple, un vecteur ket en superposition de vecteurs ket composants comme : où le . La classe d'équivalence du permet de donner une signification bien définie aux phases relatives du ., mais un changement de phase absolu (même quantité pour tous les ) sur le n'affecte pas la classe d'équivalence du . ${\displaystyle \|\psi _{i} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\psi _{i} angle }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|\phi _{j} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\phi _{j} angle }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|\psi _{i} angle =\sum _{j}{C_{j}}\|\phi _{j} angle , <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\psi _{i} angle =\sum _{j}{C_{j}}\|\phi _{j} angle ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle C_{j}\in { extbf {C <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow> <mrow> <mtext>C</mtext> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{j}\in { extbf {C}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|\psi _{i} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\psi _{i} angle }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle C_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle C_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle C_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|\psi _{i} angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|\psi _{i} angle }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Il existe des correspondances exactes entre la superposition présentée dans le principal de cette page et la superposition quantique. Par exemple, la sphère de Bloch représentant l'état pur d'un système mécanique quantique à deux niveaux ( qubit ) est également connue sous le nom de sphère de Poincaré représentant différents types d' états de polarisation pure classiques . Néanmoins, à propos de la superposition quantique, Kramers écrit : « Le principe de superposition [quantique]… n’a aucune analogie en physique classique » . Selon Dirac : « la superposition qui se produit en mécanique quantique est d’une nature essentiellement différente de celle qui se produit dans la théorie classique [italiques dans l’original] ». Bien que le raisonnement de Dirac inclue l’atomicité de l’observation, ce qui est valable, comme pour la phase, ils signifient en fait une symétrie de translation de phase dérivée de la symétrie de translation de temps , qui est également applicable aux états classiques, comme montré ci-dessus avec les états de polarisation classiques. Problèmes de valeurs limites Un type courant de problème de valeur limite est (pour le dire de manière abstraite) de trouver une fonction y qui satisfait une équation avec une certaine spécification de limite. Par exemple, dans l'équation de Laplace avec des conditions aux limites de Dirichlet , F serait l' opérateur laplacien dans une région R , G serait un opérateur qui restreint y à la limite de R , et z serait la fonction que y doit être égale sur la limite de R. ${\displaystyle F(y)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle G(y)=z. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G(y)=z.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Dans le cas où F et G sont tous deux des opérateurs linéaires, le principe de superposition stipule qu'une superposition de solutions à la première équation est une autre solution à la première équation : tandis que les valeurs limites se superposent : En utilisant ces faits, si une liste de solutions à la première équation peut être compilée, alors ces solutions peuvent être soigneusement placées dans une superposition de telle sorte qu'elle satisfasse la seconde équation. Il s'agit d'une méthode courante pour aborder les problèmes de valeurs limites. ${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mo>⇒</mo> <mspace></mspace> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Décomposition d'états additifs Considérons un système linéaire simple : ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Par principe de superposition, le système peut être décomposé en ${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Le principe de superposition n'est disponible que pour les systèmes linéaires. Cependant, la décomposition additive des états peut être appliquée aux systèmes linéaires et non linéaires. Considérons ensuite un système non linéaire où est une fonction non linéaire. Par la décomposition additive des états, le système peut être décomposé de manière additive en avec ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x ight),\qquad x(0)=x_{0}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x ight),\qquad x(0)=x_{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2} ight)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2} ight)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Cette décomposition peut aider à simplifier la conception du contrôleur. Autres exemples d'applications En génie électrique , dans un circuit linéaire , l'entrée (un signal de tension appliqué variant dans le temps) est reliée à la sortie (un courant ou une tension n'importe où dans le circuit) par une transformation linéaire. Ainsi, une superposition (c'est-à-dire une somme) de signaux d'entrée donnera la superposition des réponses. En physique , les équations de Maxwell impliquent que les distributions (éventuellement variables dans le temps) des charges et des courants sont liées aux champs électriques et magnétiques par une transformation linéaire. Ainsi, le principe de superposition peut être utilisé pour simplifier le calcul des champs qui naissent d'une distribution de charge et de courant donnée. Le principe s'applique également à d'autres équations différentielles linéaires qui apparaissent en physique, comme l' équation de la chaleur . En ingénierie , la superposition est utilisée pour résoudre les déflexions des poutres et des structures des charges combinées lorsque les effets sont linéaires (c'est-à-dire que chaque charge n'affecte pas les résultats des autres charges et que l'effet de chaque charge ne modifie pas de manière significative la géométrie du système structurel). La méthode de superposition de modes utilise les fréquences naturelles et les formes de modes pour caractériser la réponse dynamique d'une structure linéaire. En hydrogéologie , le principe de superposition est appliqué au rabattement de deux ou plusieurs puits pompant de l'eau dans un aquifère idéal . Ce principe est utilisé dans la méthode des éléments analytiques pour développer des éléments analytiques susceptibles d'être combinés dans un modèle unique. Dans le contrôle des processus , le principe de superposition est utilisé dans le contrôle prédictif du modèle . Le principe de superposition peut être appliqué lorsque de petits écarts par rapport à une solution connue d'un système non linéaire sont analysés par linéarisation . Histoire Selon Léon Brillouin , le principe de superposition a été énoncé pour la première fois par Daniel Bernoulli en 1753 : « Le mouvement général d'un système vibrant est donné par une superposition de ses vibrations propres. » Le principe a été rejeté par Léonard Euler puis par Joseph Lagrange . Bernoulli soutenait que tout corps sonore pouvait vibrer selon une série de modes simples avec une fréquence d'oscillation bien définie. Comme il l'avait indiqué précédemment, ces modes pouvaient être superposés pour produire des vibrations plus complexes. Dans sa réaction aux mémoires de Bernoulli, Euler a félicité son collègue pour avoir le mieux développé la partie physique du problème des cordes vibrantes, mais a nié la généralité et la supériorité de la solution multi-modes. Plus tard, elle a été acceptée, en grande partie grâce aux travaux de Joseph Fourier . Plus d articles de Worldlex Wiki Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais. Explorer l index Principe de superposition Source Worldlex Wiki Langue Francais Acces Gratuit Worldlex Wiki Encyclopedie et articles de reference en francais A propos Conditions Confidentialite Contact

Relation avec l'analyse de Fourier et les méthodes similaires

Superposition d'ondes

Diffraction des ondes et interférence des ondes

Interférence des ondes

Écarts par rapport à la linéarité

Superposition quantique

Problèmes de valeurs limites

Décomposition d'états additifs

Autres exemples d'applications

Histoire