Anneau matriciel

En algèbre abstraite , un anneau de matrices est un ensemble de matrices avec des éléments dans un anneau R qui forment un anneau sous l'addition de matrices et la multiplication de matrices . L'ensemble de toutes les matrices n × n avec des éléments dans R est un anneau de matrices noté M _n ( R ) (notations alternatives : Mat _n ( R ) et R ^{n × n} ). Certains ensembles de matrices infinies forment des anneaux de matrices infinis . Un sous-anneau d'un anneau de matrices est à nouveau un anneau de matrices. Sur un rng , on peut former des rng matriciels.

Lorsque R est un anneau commutatif, l'anneau matriciel M _n ( R ) est une algèbre associative sur R , et peut être appelé une algèbre matricielle . Dans ce contexte, si M est une matrice et r est dans R , alors la matrice rM est la matrice M avec chacune de ses entrées multipliée par r .

• L'ensemble de toutes les matrices carrées n × n sur R , noté M _n ( R ). On l'appelle parfois « l'anneau complet des matrices n x n ».
• L'ensemble de toutes les matrices triangulaires supérieures sur R .
• L'ensemble de toutes les matrices triangulaires inférieures sur R .
• L'ensemble de toutes les matrices diagonales sur R . Cette sous-algèbre de M _n ( R ) est isomorphe au produit direct de n copies de R .
• Pour tout ensemble d'indices I , l'anneau des endomorphismes du R -module à droite est isomorphe à l'anneau des matrices finies en colonnes dont les entrées sont indexées par I × I et dont les colonnes ne contiennent chacune qu'un nombre fini d'entrées non nulles. L'anneau des endomorphismes de M considéré comme un R -module à gauche est isomorphe à l'anneau des matrices finies en lignes .
• Si R est une algèbre de Banach , alors la condition de finitude des lignes ou des colonnes du point précédent peut être relâchée. Avec la norme en place, des séries absolument convergentes peuvent être utilisées à la place de sommes finies. Par exemple, les matrices dont les sommes des colonnes sont des suites absolument convergentes forment un anneau. De manière analogue bien sûr, les matrices dont les sommes des lignes sont des séries absolument convergentes forment également un anneau. Cette idée peut être utilisée pour représenter des opérateurs sur des espaces de Hilbert , par exemple.
• L'intersection des anneaux de matrices finies en lignes et finies en colonnes forme un anneau .
• Si R est commutatif , alors M _n ( R ) a une structure d'une *-algèbre sur R , où l' involution * sur M _n ( R ) est une transposition matricielle .
• Si A est une C*-algèbre , alors M _n ( A ) est une autre C*-algèbre. Si A est non-unitale, alors M _n ( A ) est également non-unitale. D'après le théorème de Gelfand-Naimark , il existe un espace de Hilbert H et un *-isomorphisme isométrique de A vers une sous-algèbre à norme fermée de l'algèbre B ( H ) d'opérateurs continus ; cela identifie M _n ( A ) à une sous-algèbre de B ( H ^{⊕ n} ). Pour simplifier, si nous supposons en outre que H est séparable et que A B ( H ) est une C*-algèbre unitale, nous pouvons décomposer A en un anneau de matrices sur une C*-algèbre plus petite. On peut le faire en fixant une projection p et donc sa projection orthogonale 1 − p ; on peut identifier A à , où la multiplication matricielle fonctionne comme prévu en raison de l'orthogonalité des projections. Pour identifier A à un anneau de matrices sur une C*-algèbre, il faut que p et 1 − p aient le même « rang » ; plus précisément, il faut que p et 1 − p soient équivalents de Murray–von Neumann, c'est-à-dire qu'il existe une isométrie partielle u telle que p = uu * et 1 − p = u * u . On peut facilement généraliser ceci à des matrices de plus grandes tailles.
• Les algèbres matricielles complexes M _n ( C ) sont, à isomorphisme près, les seules algèbres associatives simples de dimension finie sur le corps C des nombres complexes . Avant l'invention des algèbres matricielles, Hamilton a introduit en 1853 un anneau, dont il a appelé les éléments biquaternions et les auteurs modernes appelleraient tenseurs dans C ⊗ _R H , qui s'est avéré plus tard isomorphe à M ₂ ( C ). Une base de M ₂ ( C ) est constituée des quatre unités matricielles (matrices dont l'une des entrées est 1 et toutes les autres 0) ; une autre base est donnée par la matrice identité et les trois matrices de Pauli .
• Un anneau matriciel sur un corps est une algèbre de Frobenius , de forme de Frobenius donnée par la trace du produit : σ ( A , B ) = tr( AB ) .

• L'anneau matriciel M _n ( R ) peut être identifié à l' anneau des endomorphismes du R -module droit libre de rang n ; c'est-à-dire que M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . La multiplication matricielle correspond à la composition des endomorphismes.
• L'anneau M _n ( D ) sur un anneau de division D est un anneau simple artinien , un type particulier d' anneau semi-simple . Les anneaux et ne sont ni simples ni artiniens si l'ensemble I est infini, mais ils sont toujours des anneaux linéaires pleins .
• Le théorème d'Artin-Wedderburn stipule que tout anneau semi-simple est isomorphe à un produit direct fini , pour un entier non négatif r , des entiers positifs n _i et des anneaux de division D _i .
• Lorsque nous considérons M _n ( C ) comme l'anneau des endomorphismes linéaires de C ⁿ , les matrices qui s'annulent sur un sous-espace donné V forment un idéal à gauche . Inversement, pour un idéal à gauche donné I de M _n ( C ) l'intersection des espaces nuls de toutes les matrices de I donne un sous-espace de C ⁿ . Selon cette construction, les idéaux à gauche de M _n ( C ) sont en bijection avec les sous-espaces de C ⁿ .
• Français Il existe une bijection entre les idéaux bilatéraux de M _n ( R ) et les idéaux bilatéraux de R . À savoir, pour chaque idéal I de R , l'ensemble de toutes les matrices n × n avec des éléments dans I est un idéal de M _n ( R ), et chaque idéal de M _n ( R ) apparaît de cette manière. Cela implique que M _n ( R ) est simple si et seulement si R est simple. Pour n ≥ 2 , tout idéal gauche ou idéal droit de M _n ( R ) n'apparaît pas par la construction précédente à partir d'un idéal gauche ou d'un idéal droit dans R . Par exemple, l'ensemble des matrices dont les colonnes d'indices 2 à n sont toutes nulles forme un idéal gauche dans M _n ( R ).
• La correspondance idéale précédente provient en fait du fait que les anneaux R et M _n ( R ) sont équivalents de Morita . En gros, cela signifie que la catégorie des R -modules à gauche et la catégorie des M _n ( R )-modules à gauche sont très similaires. De ce fait, il existe une correspondance bijective naturelle entre les classes d'isomorphisme des R -modules à gauche et des M _n ( R )-modules à gauche, et entre les classes d'isomorphisme des idéaux à gauche de R et des idéaux à gauche de M _n ( R ). Des énoncés identiques sont valables pour les modules droits et les idéaux droits. Grâce à l'équivalence de Morita, M _n ( R ) hérite de toutes les propriétés invariantes de Morita de R , telles qu'être simple , artinien , noethérien , premier .

• Si S est un sous-anneau de R , alors M _n ( S ) est un sous-anneau de M _n ( R ). Par exemple, M _n ( Z ) est un sous-anneau de M _n ( Q ).
• L'anneau de matrices M _n ( R ) est commutatif si et seulement si n = 0 , R = 0 ou R est commutatif et n = 1 . En fait, cela est également vrai pour le sous-anneau des matrices triangulaires supérieures. Voici un exemple montrant deux matrices triangulaires supérieures 2 × 2 qui ne commutent pas, en supposant que 1 ≠ 0 dans R :

  et

• Pour n ≥ 2 , l'anneau de matrices M _n ( R ) sur un anneau non nul a des diviseurs nuls et des éléments nilpotents ; il en va de même pour l'anneau des matrices triangulaires supérieures. Un exemple dans les matrices 2 × 2 serait

• Le centre de M _n ( R ) est constitué des multiples scalaires de la matrice identité , I _n , dans laquelle le scalaire appartient au centre de R .
• Le groupe unitaire de M _n ( R ), constitué des matrices inversibles par multiplication, est noté GL _n ( R ).
• Si F est un corps, alors pour deux matrices A et B quelconques dans M _n ( F ), l'égalité AB = I _n implique BA = I _n . Ceci n'est cependant pas vrai pour tous les anneaux R. Un anneau R dont tous les anneaux de matrices ont la propriété mentionnée est appelé un anneau stablement fini (Lam 1999, p. 5).

En fait, il suffit que R soit un demi-anneau pour que M _n ( R ) soit défini. Dans ce cas, M _n ( R ) est un demi-anneau, appelé demi-anneau matriciel . De même, si R est un demi-anneau commutatif, alors M _n ( R ) est unsemi-algèbre matricielle .

Par exemple, si R est le semi-anneau booléen (l' algèbre booléenne à deux éléments R = {0, 1} avec 1 + 1 = 1 ), alors M _n ( R ) est le semi-anneau de relations binaires sur un ensemble à n éléments avec l'union comme addition, la composition des relations comme multiplication, la relation vide ( matrice zéro ) comme zéro et la relation d'identité ( matrice identité ) comme unité .