Les nombres entiers disposés sur une droite numérique Un entier est le nombre zéro ( 0 ), un nombre naturel positif (1, 2, 3, ...), ou la négation d'un nombre naturel positif ( ...
Un entier est le nombre zéro ( 0 ), un nombre naturel positif (1, 2, 3, ...), ou la négation d'un nombre naturel positif ( −1 , −2, −3, ...). Les négations ou inverses additifs des nombres naturels positifs sont appelés entiers négatifs . L' ensemble de tous les entiers est souvent noté en gras .
L'ensemble des nombres un ensemble de , qui est à son tour un sous-ensemble de l'ensemble de tous les nombres rationnels , lui-même un sous-ensemble des nombres réels . Comme l'ensemble des nombres naturels, l'ensemble des entiersdes nombres entiers est dénombrable . Un entier peut être considéré comme un nombre réel qui peut s'écrire sans partie fractionnaire . Par exemple, 21, 4, 0 et −2048 sont des entiers, tandis que 9,75, 5 + 1/2 , 5/4 et la racine carrée de 2 n'en sont pas.
Le mot « entier » vient du latin « integer » , qui signifie « entier » ou (littéralement) « intact », composé de « in » (« non ») et « tangere » (« toucher »). « Entier » dérive de la même origine, via le mot français « entier » , qui signifie à la fois entier et entier . Historiquement, le terme était utilisé pour un nombre multiple de 1, ou pour la partie entière d'un nombre mixte . Seuls les entiers positifs étaient considérés, ce qui rendait le terme synonyme de nombres naturels . La définition d'entier s'est élargie au fil du temps pour inclure les nombres négatifs, à mesure que leur utilité était reconnue. Par exemple, Leonhard Euler, dans ses Éléments d'algèbre de 1765 , a défini les entiers comme incluant à la fois les nombres positifs et négatifs.
L'expression « ensemble des entiers » n'était pas utilisée avant la fin du XIXe siècle, lorsque Georg Cantor introduisit le concept d' ensembles infinis et la théorie des ensembles . L'emploi de la lettre Z pour désigner l'ensemble des entiers provient du mot allemand Zahlen (« nombres ») et a été attribué à David Hilbert . La première utilisation connue de cette notation dans un manuel d'algèbre se trouve dans l'ouvrage Algèbre du collectif Nicolas Bourbaki , datant de 1947 La notation ne fut pas adoptée immédiatement. Par exemple, un autre manuel utilisait la lettre J , et un article de 1960 employait Z pour désigner les entiers non négatifs . Mais dès 1961, Z était généralement utilisé par les manuels d'algèbre modernes pour désigner les entiers positifs et négatifs
Le symbole annoté pour désigner différents ensembles, avec des usages variables selon les auteurs , , oupour les entiers positifs les entiers non négatifs, les entiers non nuls. Certains auteurs pour les entiers non nuls, tandis que d'autres l'utilisent pour les entiers non négatifs, ou pour {−1,1} (le groupe des unités de ). De plus,est utilisé pour désigner soit l'ensemble des entiers modulo dire l'ensemble des classes de congruence des entiers), soit l'ensemble des entiers -adiques .
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