Séries chronologiques

En mathématiques , une série chronologique est une série de points de données indexés (ou répertoriés ou représentés graphiquement) dans l'ordre temporel. Le plus souvent, une série chronologique est une séquence prise à des points successifs régulièrement espacés dans le temps. Il s'agit donc d'une séquence de données à temps discret . Les exemples de séries chronologiques sont les hauteurs des marées océaniques , le nombre de taches solaires et la valeur de clôture quotidienne du Dow Jones Industrial Average .

Une série chronologique est très souvent représentée sous forme de graphique (qui est un graphique en courbes temporelles ). Les séries chronologiques sont utilisées en statistique , en traitement du signal , en reconnaissance de formes , en économétrie , en finance mathématique , en prévision météorologique , en prévision des tremblements de terre , en électroencéphalographie , en ingénierie de contrôle , en astronomie , en ingénierie des communications et, en grande partie, dans tout domaine des sciences appliquées et de l'ingénierie qui implique des mesures temporelles .

L'analyse des séries chronologiques comprend des méthodes d'analyse des données de séries chronologiques afin d'extraire des statistiques significatives et d'autres caractéristiques des données. La prévision des séries chronologiques consiste à utiliser un modèle pour prédire les valeurs futures en fonction des valeurs observées précédemment. En général, les données de séries chronologiques sont modélisées sous forme de processus stochastique . Bien que l'analyse de régression soit souvent utilisée de manière à tester les relations entre une ou plusieurs séries chronologiques différentes, ce type d'analyse n'est généralement pas appelé « analyse de séries chronologiques », qui fait notamment référence aux relations entre différents points dans le temps au sein d'une même série.

Les données de séries chronologiques ont un ordre temporel naturel. Cela distingue l'analyse des séries chronologiques des études transversales , dans lesquelles il n'y a pas d'ordre naturel des observations (par exemple, l'explication des salaires des personnes en référence à leurs niveaux d'éducation respectifs, où les données des individus peuvent être saisies dans n'importe quel ordre). L'analyse des séries chronologiques se distingue également de l'analyse des données spatiales où les observations se rapportent généralement à des emplacements géographiques (par exemple, la prise en compte des prix des logements en fonction de l'emplacement ainsi que des caractéristiques intrinsèques des logements). Un modèle stochastique pour une série chronologique reflétera généralement le fait que les observations proches dans le temps seront plus étroitement liées que les observations plus éloignées. En outre, les modèles de séries chronologiques utiliseront souvent l'ordre unidirectionnel naturel du temps, de sorte que les valeurs pour une période donnée seront exprimées comme dérivant d'une certaine manière de valeurs passées, plutôt que de valeurs futures (voir réversibilité temporelle ).

L'analyse des séries chronologiques peut être appliquée à des données continues à valeur réelle , à des données numériques discrètes ou à des données symboliques discrètes (c'est-à-dire des séquences de caractères, telles que des lettres et des mots en anglais ).

Les méthodes d'analyse des séries chronologiques peuvent être divisées en deux classes : les méthodes du domaine fréquentiel et les méthodes du domaine temporel . Les premières comprennent l'analyse spectrale et l'analyse par ondelettes ; les secondes comprennent l'analyse d'autocorrélation et d'intercorrélation . Dans le domaine temporel, la corrélation et l'analyse peuvent être réalisées de manière similaire à un filtre en utilisant une corrélation échelonnée , ce qui réduit la nécessité d'opérer dans le domaine fréquentiel.

En outre, les techniques d'analyse des séries chronologiques peuvent être divisées en méthodes paramétriques et non paramétriques . Les approches paramétriques supposent que le processus stochastique stationnaire sous-jacent a une certaine structure qui peut être décrite à l'aide d'un petit nombre de paramètres (par exemple, à l'aide d'un modèle autorégressif ou à moyenne mobile ). Dans ces approches, la tâche consiste à estimer les paramètres du modèle qui décrit le processus stochastique. En revanche, les approches non paramétriques estiment explicitement la covariance ou le spectre du processus sans supposer que le processus a une structure particulière.

Les méthodes d’analyse des séries chronologiques peuvent également être divisées en méthodes linéaires et non linéaires , et univariées et multivariées .

Une série chronologique est un type de données de panel . Les données de panel sont la classe générale, un ensemble de données multidimensionnelles, tandis qu'un ensemble de données de séries chronologiques est un panel unidimensionnel (comme un ensemble de données transversales ). Un ensemble de données peut présenter à la fois des caractéristiques de données de panel et de données de séries chronologiques. Une façon de le savoir est de se demander ce qui rend un enregistrement de données unique par rapport aux autres enregistrements. Si la réponse est le champ de données temporelles, il s'agit alors d'un ensemble de données de séries chronologiques candidat. Si la détermination d'un enregistrement unique nécessite un champ de données temporelles et un identifiant supplémentaire qui n'est pas lié au temps (par exemple, un identifiant étudiant, un symbole boursier, un code pays), il s'agit alors d'un ensemble de données de panel candidat. Si la différenciation repose sur l'identifiant non temporel, l'ensemble de données est alors un ensemble de données transversales candidat.

Il existe plusieurs types de motivation et d’analyse de données disponibles pour les séries chronologiques, adaptés à différents objectifs.

Dans le contexte des statistiques , de l'économétrie , de la finance quantitative , de la sismologie , de la météorologie et de la géophysique, l'objectif principal de l'analyse des séries chronologiques est la prévision . Dans le contexte du traitement du signal , de l'ingénierie de contrôle et de l'ingénierie des communications , elle est utilisée pour la détection de signaux. D'autres applications concernent l'exploration de données , la reconnaissance de formes et l'apprentissage automatique , où l'analyse des séries chronologiques peut être utilisée pour le clustering , la classification , la requête par contenu, la détection d'anomalies ainsi que la prévision .

Une façon simple d'examiner une série chronologique régulière consiste à utiliser manuellement un graphique linéaire . Le graphique de données montre les décès dus à la tuberculose aux États-Unis, ainsi que la variation annuelle et la variation en pourcentage d'une année à l'autre. Le nombre total de décès a diminué chaque année jusqu'au milieu des années 1980, après quoi il y a eu des augmentations occasionnelles, souvent proportionnellement - mais pas absolument - assez importantes.

Une étude réalisée auprès d'analystes de données d'entreprise a révélé deux défis à relever dans le cadre de l'analyse exploratoire des séries chronologiques : découvrir la forme de modèles intéressants et trouver une explication à ces modèles. Les outils visuels qui représentent les données de séries chronologiques sous forme de matrices de cartes thermiques peuvent aider à surmonter ces défis.

Cette approche peut être basée sur l'analyse harmonique et le filtrage des signaux dans le domaine fréquentiel à l'aide de la transformée de Fourier et de l'estimation de la densité spectrale . Son développement a été considérablement accéléré pendant la Seconde Guerre mondiale par le mathématicien Norbert Wiener , les ingénieurs électriciens Rudolf E. Kálmán , Dennis Gabor et d'autres pour filtrer les signaux du bruit et prédire les valeurs du signal à un moment donné.

Un effet équivalent peut être obtenu dans le domaine temporel, comme dans un filtre de Kalman ; voir filtrage et lissage pour plus de techniques.

D’autres techniques connexes incluent :

• Analyse d'autocorrélation pour examiner la dépendance sérielle
• Analyse spectrale pour examiner le comportement cyclique qui n'a pas besoin d'être lié à la saisonnalité . Par exemple, l'activité des taches solaires varie sur des cycles de 11 ans. D'autres exemples courants incluent les phénomènes célestes, les conditions météorologiques, l'activité neuronale, les prix des matières premières et l'activité économique.
• Séparation en composants représentant la tendance, la saisonnalité, la variation lente et rapide et l'irrégularité cyclique : voir estimation de tendance et décomposition des séries chronologiques

L'ajustement de courbe est le processus de construction d'une courbe , ou d'une fonction mathématique , qui s'adapte le mieux à une série de points de données , éventuellement soumise à des contraintes. L'ajustement de courbe peut impliquer soit une interpolation , où un ajustement exact aux données est requis, soit un lissage , dans lequel une fonction « lisse » est construite qui s'adapte approximativement aux données. Un sujet connexe est l'analyse de régression , qui se concentre davantage sur les questions d' inférence statistique telles que le degré d'incertitude présent dans une courbe qui s'adapte à des données observées avec des erreurs aléatoires. Les courbes ajustées peuvent être utilisées comme une aide à la visualisation des données, pour déduire les valeurs d'une fonction lorsqu'aucune donnée n'est disponible, et pour résumer les relations entre deux ou plusieurs variables. L’extrapolation fait référence à l’utilisation d’une courbe ajustée au-delà de la plage des données observées, et est soumise à un certain degré d’incertitude car elle peut refléter la méthode utilisée pour construire la courbe autant qu’elle reflète les données observées.

Pour les processus dont l’ampleur est censée croître de manière générale, l’une des courbes du graphique (et bien d’autres) peut être ajustée en estimant leurs paramètres.

La construction de séries chronologiques économiques implique l'estimation de certains composants pour certaines dates par interpolation entre des valeurs (« repères ») pour des dates antérieures et ultérieures. L'interpolation est l'estimation d'une quantité inconnue entre deux quantités connues (données historiques), ou le fait de tirer des conclusions sur les informations manquantes à partir des informations disponibles (« lire entre les lignes »). L'interpolation est utile lorsque les données entourant les données manquantes sont disponibles et que leur tendance, leur saisonnalité et leurs cycles à long terme sont connus. Cela se fait souvent en utilisant une série connexe connue pour toutes les dates pertinentes. Alternativement, l'interpolation polynomiale ou l'interpolation spline est utilisée lorsque des fonctions polynomiales par morceaux sont ajustées dans des intervalles de temps de telle sorte qu'elles s'ajustent parfaitement. Un autre problème étroitement lié à l'interpolation est l'approximation d'une fonction compliquée par une fonction simple (également appelée régression ). La principale différence entre la régression et l'interpolation est que la régression polynomiale donne un polynôme unique qui modélise l'ensemble des données. L'interpolation spline produit cependant une fonction continue par morceaux composée de nombreux polynômes pour modéliser l'ensemble de données.

L'extrapolation est le processus qui consiste à estimer, au-delà de la plage d'observation initiale, la valeur d'une variable sur la base de sa relation avec une autre variable. Elle est similaire à l'interpolation , qui produit des estimations entre des observations connues, mais l'extrapolation est soumise à une plus grande incertitude et à un risque plus élevé de produire des résultats dénués de sens.

En général, un problème d'approximation de fonction nous demande de sélectionner une fonction parmi une classe bien définie qui correspond étroitement (« se rapproche ») d'une fonction cible d'une manière spécifique à la tâche. On peut distinguer deux grandes classes de problèmes d'approximation de fonction : premièrement, pour les fonctions cibles connues, la théorie de l'approximation est la branche de l'analyse numérique qui étudie comment certaines fonctions connues (par exemple, les fonctions spéciales ) peuvent être approximées par une classe spécifique de fonctions (par exemple, les polynômes ou les fonctions rationnelles ) qui ont souvent des propriétés souhaitables (calcul peu coûteux, continuité, valeurs intégrales et limites, etc.).

Deuxièmement, la fonction cible, appelons- la g , peut être inconnue ; au lieu d'une formule explicite, seul un ensemble de points (une série temporelle) de la forme ( x , g ( x )) est fourni. Selon la structure du domaine et du codomaine de g , plusieurs techniques d'approximation de g peuvent être applicables. Par exemple, si g est une opération sur les nombres réels , des techniques d' interpolation , d'extrapolation , d'analyse de régression et d'ajustement de courbe peuvent être utilisées. Si le codomaine (plage ou ensemble cible) de g est un ensemble fini, on a plutôt affaire à un problème de classification . Un problème connexe de l'approximation de séries temporelles en ligne est de résumer les données en un seul passage et de construire une représentation approximative qui peut prendre en charge une variété de requêtes de séries temporelles avec des limites sur l'erreur du pire des cas.

Dans une certaine mesure, les différents problèmes ( régression , classification , approximation de la forme physique ) ont reçu un traitement unifié dans la théorie de l'apprentissage statistique , où ils sont considérés comme des problèmes d'apprentissage supervisé .

En statistique , la prédiction fait partie de l'inférence statistique . Une approche particulière de cette inférence est connue sous le nom d'inférence prédictive , mais la prédiction peut être entreprise dans le cadre de n'importe laquelle des nombreuses approches de l'inférence statistique. En effet, une description des statistiques est qu'elles fournissent un moyen de transférer des connaissances sur un échantillon d'une population à l'ensemble de la population et à d'autres populations apparentées, ce qui n'est pas nécessairement la même chose que la prédiction au fil du temps. Lorsque des informations sont transférées dans le temps, souvent à des moments précis dans le temps, le processus est appelé prévision .

• Modèles statistiques entièrement formés à des fins de simulation stochastique , afin de générer des versions alternatives de séries chronologiques, représentant ce qui pourrait se produire sur des périodes de temps non spécifiques dans le futur
• Modèles statistiques simples ou entièrement formés pour décrire le résultat probable de la série chronologique dans un avenir immédiat, compte tenu de la connaissance des résultats les plus récents (prévisions).
• Les prévisions sur les séries chronologiques sont généralement effectuées à l'aide de progiciels statistiques automatisés et de langages de programmation, tels que Julia , Python , R , SAS , SPSS et bien d'autres.
• Les prévisions sur des données à grande échelle peuvent être effectuées avec Apache Spark en utilisant la bibliothèque Spark-TS, un package tiers.

Affecter un modèle de série chronologique à une catégorie spécifique, par exemple identifier un mot en fonction d'une série de mouvements de la main en langue des signes .

Découpage d'une série temporelle en une séquence de segments. Il est souvent possible de représenter une série temporelle comme une séquence de segments individuels, chacun ayant ses propres propriétés caractéristiques. Par exemple, le signal audio d'une conférence téléphonique peut être découpé en morceaux correspondant aux moments pendant lesquels chaque personne a parlé. Dans la segmentation de séries temporelles, l'objectif est d'identifier les points limites des segments dans la série temporelle et de caractériser les propriétés dynamiques associées à chaque segment. On peut aborder ce problème en utilisant la détection des points de changement , ou en modélisant la série temporelle comme un système plus sophistiqué, tel qu'un système linéaire à sauts de Markov.

Les données de séries chronologiques peuvent être regroupées, mais une attention particulière doit être portée lors de l'examen du regroupement de sous-séquences. Le regroupement de séries chronologiques peut être divisé en

• clustering de séries temporelles entières (plusieurs séries temporelles pour lesquelles trouver un cluster)
• regroupement de séries chronologiques de sous-séquences (séries chronologiques uniques, divisées en morceaux à l'aide de fenêtres coulissantes)
• regroupement de points temporels

Le regroupement de séries temporelles de sous-séquences a donné lieu à des clusters instables (aléatoires) induits par l'extraction de caractéristiques à l'aide d'un découpage avec des fenêtres glissantes. Il a été constaté que les centres de cluster (la moyenne de la série temporelle dans un cluster - également une série temporelle) suivent un modèle sinusoïdal décalé arbitrairement (quel que soit l'ensemble de données, même sur les réalisations d'une marche aléatoire ). Cela signifie que les centres de cluster trouvés ne sont pas descriptifs pour l'ensemble de données car les centres de cluster sont toujours des ondes sinusoïdales non représentatives.

Les modèles de données de séries chronologiques peuvent avoir de nombreuses formes et représenter différents processus stochastiques . Lors de la modélisation des variations du niveau d'un processus, trois grandes classes d'importance pratique sont les modèles autorégressifs (AR), les modèles intégrés (I) et les modèles à moyenne mobile (MA). Ces trois classes dépendent linéairement des points de données précédents. Les combinaisons de ces idées produisent des modèles à moyenne mobile autorégressifs (ARMA) et des modèles à moyenne mobile intégrée autorégressifs (ARIMA). Le modèle à moyenne mobile intégrée fractionnelle autorégressive (ARFIMA) généralise les trois premiers. Des extensions de ces classes pour traiter des données à valeurs vectorielles sont disponibles sous la rubrique modèles de séries chronologiques multivariées et parfois les acronymes précédents sont étendus en incluant un « V » initial pour « vecteur », comme dans VAR pour l'autorégression vectorielle . Un ensemble supplémentaire d'extensions de ces modèles est disponible pour une utilisation lorsque la série temporelle observée est déterminée par une série temporelle « forçante » (qui peut ne pas avoir d'effet causal sur la série observée) : la différence avec le cas multivarié est que la série forçante peut être déterministe ou sous le contrôle de l'expérimentateur. Pour ces modèles, les acronymes sont étendus avec un « X » final pour « exogène ».

La dépendance non linéaire du niveau d'une série par rapport aux données précédentes est intéressante, en partie en raison de la possibilité de produire une série temporelle chaotique . Cependant, plus important encore, les recherches empiriques peuvent indiquer l'avantage d'utiliser des prédictions dérivées de modèles non linéaires, par rapport à celles de modèles linéaires, comme par exemple dans les modèles exogènes autorégressifs non linéaires . Autres références sur l'analyse des séries temporelles non linéaires : (Kantz et Schreiber), et (Abarbanel)

Parmi les autres types de modèles de séries temporelles non linéaires, il existe des modèles permettant de représenter les variations de variance au fil du temps ( hétéroscédasticité ). Ces modèles représentent l'hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive (ARCH) et la collection comprend une grande variété de représentations ( GARCH , TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH, etc.). Ici, les variations de variabilité sont liées ou prédites par les valeurs passées récentes de la série observée. Cela contraste avec d'autres représentations possibles de la variabilité variant localement, où la variabilité pourrait être modélisée comme étant déterminée par un processus distinct variant dans le temps, comme dans un modèle doublement stochastique .

Dans les travaux récents sur les analyses sans modèle, les méthodes basées sur la transformée en ondelettes (par exemple les ondelettes localement stationnaires et les réseaux neuronaux décomposés en ondelettes) ont gagné en popularité. Les techniques multi-échelles (souvent appelées multirésolutions) décomposent une série temporelle donnée, en essayant d'illustrer la dépendance temporelle à plusieurs échelles. Voir également les techniques multifractales à commutation de Markov (MSMF) pour la modélisation de l'évolution de la volatilité.

Un modèle de Markov caché (HMM) est un modèle statistique de Markov dans lequel le système modélisé est supposé être un processus de Markov avec des états non observés (cachés). Un HMM peut être considéré comme le réseau bayésien dynamique le plus simple . Les modèles HMM sont largement utilisés dans la reconnaissance vocale , pour traduire une série temporelle de mots prononcés en texte.

La plupart de ces modèles sont rassemblés dans le package Python sktime.

Un certain nombre de notations différentes sont utilisées pour l'analyse des séries chronologiques. Une notation courante spécifiant une série chronologique X indexée par les nombres naturels s'écrit

X = ( X ₁ , X ₂ , ...) .

Une autre notation courante est

Y = ( Y _t : t ∈ T ) ,

où T est l' ensemble d'index .

Il existe deux ensembles de conditions sous lesquelles une grande partie de la théorie est construite :

• Procédé stationnaire
• Procédé ergodique

L'ergodicité implique la stationnarité, mais l'inverse n'est pas nécessairement le cas. La stationnarité est généralement classée en stationnarité stricte et stationnarité au sens large ou de second ordre . Des modèles et des applications peuvent être développés dans chacune de ces conditions, bien que les modèles dans ce dernier cas puissent être considérés comme partiellement spécifiés.

En outre, l'analyse des séries chronologiques peut être appliquée lorsque les séries sont saisonnièrement stationnaires ou non stationnaires. Les situations dans lesquelles les amplitudes des composantes de fréquence changent avec le temps peuvent être traitées dans une analyse temps-fréquence qui utilise une représentation temps-fréquence d'une série chronologique ou d'un signal.

Les outils d’analyse des données de séries chronologiques comprennent :

• Prise en compte de la fonction d'autocorrélation et de la fonction de densité spectrale (également des fonctions de corrélation croisée et des fonctions de densité spectrale croisée)
• Fonctions de corrélation croisée et d’autocorrélation mises à l’échelle pour supprimer les contributions des composants lents
• Réalisation d'une transformée de Fourier pour étudier la série dans le domaine fréquentiel
• Réalisation d'une analyse de clustering
• Spectres discrets, continus ou mixtes de séries temporelles, selon que la série temporelle contient ou non un signal harmonique (généralisé)
• Utilisation d'un filtre pour supprimer les bruits indésirables
• Analyse des composantes principales (ou analyse empirique des fonctions orthogonales )
• Analyse du spectre singulier
• Modèles « structurels » :
  • Modèles d'espace d'état général
  • Modèles de composants non observés
• Apprentissage automatique
  • Réseaux neuronaux artificiels
  • Machine à vecteurs de support
  • Logique floue
  • Processus gaussien
  • Programmation génétique
  • Programmation de l'expression génétique
  • Modèle de Markov caché
  • Programmation multi-expression
• Analyse de la théorie des files d'attente
• Carte de contrôle
  • Carte de contrôle des individus de Shewhart
  • Graphique CUSUM
  • Graphique EWMA
• Analyse des fluctuations sans tendance
• Modélisation non linéaire à effets mixtes
• Déformation temporelle dynamique
• Réseau bayésien dynamique
• Techniques d'analyse temps-fréquence :
  • Transformée de Fourier rapide
  • Transformée en ondelettes continue
  • Transformée de Fourier à court terme
  • Transformée Chirplet
  • Transformée de Fourier fractionnaire
• Analyse chaotique
  • Dimension de corrélation
  • Diagrammes de récurrence
  • Analyse de quantification de la récurrence
  • Exposants de Lyapunov
  • Codage d'entropie

Mesures ou fonctionnalités de séries chronologiques pouvant être utilisées pour la classification des séries chronologiques ou l'analyse de régression :

• Mesures linéaires univariées
  • Moment (mathématiques)
  • Puissance de la bande spectrale
  • Fréquence de bord spectral
  • Énergie accumulée (traitement du signal)
  • Caractéristiques de la fonction d'autocorrélation
  • Paramètres de Hjorth
  • Paramètres FFT
  • Paramètres du modèle autorégressif
  • Test de Mann-Kendall
• Mesures non linéaires univariées
  • Mesures basées sur la somme des corrélations
  • Dimension de corrélation
  • Intégrale de corrélation
  • Densité de corrélation
  • Entropie de corrélation
  • Entropie approximative
  • Entropie de l'échantillon
  • Entropie de Fourier
  • Entropie des ondelettes
  • Entropie de dispersion
  • Fluctuation de dispersion de l'entropie
  • Entropie de Rényi
  • Méthodes d'ordre supérieur
  • Prévisibilité marginale
  • Indice de similarité dynamique
  • Mesures de dissimilarité de l'espace d'état
  • Exposant de Lyapunov
  • Méthodes de permutation
  • Flux local
• Autres mesures univariées
  • Complexité algorithmique
  • Estimations de la complexité de Kolmogorov
  • États cachés du modèle de Markov
  • Signature de chemin approximative
  • Séries temporelles de substitution et correction de substitution
  • Perte de récurrence (degré de non-stationnarité)
• Mesures linéaires bivariées
  • Corrélation croisée linéaire maximale
  • Cohérence linéaire (traitement du signal)
• Mesures non linéaires bivariées
  • Interdépendance non linéaire
  • Entraînement dynamique (physique)
  • Mesures de synchronisation de phase
  • Mesures pour le verrouillage de phase
• Mesures de similarité :
  • Corrélation croisée
  • Déformation temporelle dynamique
  • Modèle de Markov caché
  • Modifier la distance
  • Corrélation totale
  • Estimateur de Newey–West
  • Transformation Prais-Winsten
  • Les données comme vecteurs dans un espace métrisable
    • Distance de Minkowski
    • Distance de Mahalanobis
  • Données sous forme de séries chronologiques avec enveloppes
    • Écart type global
    • Écart type local
    • Écart type fenêtré
  • Données interprétées comme des séries stochastiques
    • Coefficient de corrélation produit-moment de Pearson
    • Coefficient de corrélation de rang de Spearman
  • Données interprétées comme une fonction de distribution de probabilité
    • Test de Kolmogorov-Smirnov
    • Critère de Cramér-von Mises

Les séries chronologiques peuvent être visualisées avec deux catégories de graphiques : les graphiques superposés et les graphiques séparés. Les graphiques superposés affichent toutes les séries chronologiques sur la même mise en page tandis que les graphiques séparés les présentent sur des mises en page différentes (mais alignées à des fins de comparaison)

• Graphiques tressés
• Graphiques linéaires
• Graphiques de pente
• GapChart

• Graphiques d'horizon
• Graphique linéaire réduit (petits multiples)
• Graphique de silhouette
• Graphique de silhouette circulaire