Algèbre homologique

L'algèbre homologique est la branche des mathématiques qui étudie l'homologie dans un cadre algébrique général. C'est une discipline relativement jeune, dont les origines remontent aux recherches en topologie combinatoire (précurseur de la topologie algébrique ) et en algèbre abstraite (théorie des modules et des syzygies ) à la fin du XIXe siècle, principalement menées par Henri Poincaré et David Hilbert .

L'algèbre homologique est l'étude des foncteurs homologiques et des structures algébriques complexes qu'ils impliquent ; son développement a été étroitement lié à l'émergence de la théorie des catégories . Un concept central est celui des complexes en chaîne , qui peuvent être étudiés à travers leur homologie et leur cohomologie .

L'algèbre homologique permet d'extraire l'information contenue dans ces complexes et de la présenter sous la forme d' invariants homologiques d' anneaux , de modules, d'espaces topologiques et d'autres objets mathématiques « tangibles ». Une séquence spectrale est un outil puissant pour cela.

Elle a joué un rôle énorme en topologie algébrique. Son influence s'est progressivement étendue et comprend actuellement l'algèbre commutative , la géométrie algébrique , la théorie algébrique des nombres , la théorie des représentations , la physique mathématique , les algèbres d'opérateurs , l'analyse complexe et la théorie des équations aux dérivées partielles . La K -théorie est une discipline indépendante qui s'appuie sur les méthodes de l'algèbre homologique, tout comme la géométrie non commutative d' Alain Connes .

L'algèbre homologique a commencé à être étudiée sous sa forme la plus élémentaire dans les années 1800 en tant que branche de la topologie et est devenue dans les années 1940 une matière indépendante avec l'étude d'objets tels que le foncteur ext et le foncteur tor , entre autres.

La notion de complexe en chaîne est centrale en algèbre homologique. Un complexe en chaîne abstrait est une suite de groupes abéliens et d'homomorphismes de groupes , avec la propriété que la composition de deux applications consécutives quelconques est nulle :

Les éléments de C _n sont appelés n - chaînes et les homomorphismes d _n sont appelés applications limites ou différentielles . Les groupes de chaînes C _n peuvent être dotés d'une structure supplémentaire ; par exemple, ils peuvent être des espaces vectoriels ou des modules sur un anneau fixe R. Les différentielles doivent préserver la structure supplémentaire si elle existe ; par exemple, ils doivent être des applications linéaires ou des homomorphismes de R -modules. Pour des raisons de commodité de notation, limitez l'attention aux groupes abéliens (plus exactement, à la catégorie Ab des groupes abéliens) ; un théorème célèbre de Barry Mitchell implique que les résultats se généraliseront à toute catégorie abélienne . Chaque complexe de chaînes définit deux autres séquences de groupes abéliens, les cycles Z _n = Ker d _n et les frontières B _n = Im d _{n +1} , où Ker d et Im d désignent le noyau et l' image de d . Puisque la composition de deux applications limites consécutives est nulle, ces groupes sont imbriqués l'un dans l'autre comme

Les sous-groupes des groupes abéliens sont automatiquement normaux ; on peut donc définir le n -ième groupe d'homologie H _n ( C ) comme le groupe facteur des n -cycles par les n -bornes,

Un complexe de chaîne est dit acyclique ou séquence exacte si tous ses groupes d'homologie sont nuls.

Les complexes de chaînes apparaissent en abondance en algèbre et en topologie algébrique . Par exemple, si X est un espace topologique , alors les chaînes simpliciales C _n ( X ) sont des combinaisons linéaires formelles d' applications continues du n - simplexe standard dans X ; si K est un complexe simplicial , alors les chaînes simpliciales C _n ( K ) sont des combinaisons linéaires formelles des n -simplices de K ; si A = F / R est une présentation d'un groupe abélien A par des générateurs et des relations , où F est un groupe abélien libre engendré par les générateurs et R est le sous-groupe des relations, alors en posant C ₁ ( A ) = R , C ₀ ( A ) = F et C _n ( A ) = 0 pour tout autre n définit une séquence de groupes abéliens. Dans tous ces cas, il existe des différentielles naturelles d _n qui font de C _n un complexe en chaîne, dont l'homologie reflète la structure de l'espace topologique X , du complexe simplicial K ou du groupe abélien A . Dans le cas des espaces topologiques, on arrive à la notion d' homologie singulière , qui joue un rôle fondamental dans l'étude des propriétés de tels espaces, par exemple des variétés .

Sur le plan philosophique, l'algèbre homologique nous enseigne que certains complexes de chaînes associés à des objets algébriques ou géométriques (espaces topologiques, complexes simpliciaux, R -modules) contiennent de nombreuses informations algébriques précieuses sur eux, l'homologie n'étant que la partie la plus facilement accessible. Sur le plan technique, l'algèbre homologique fournit les outils pour manipuler les complexes et extraire ces informations. Voici deux illustrations générales.

• Deux objets X et Y sont reliés par une application f entre eux. L'algèbre homologique étudie la relation, induite par l'application f , entre les complexes en chaîne associés à X et Y et leur homologie. Ceci est généralisé au cas de plusieurs objets et applications les reliant. Formulé dans le langage de la théorie des catégories , l'algèbre homologique étudie les propriétés fonctorielles de diverses constructions de complexes en chaîne et de l'homologie de ces complexes.
• Un objet X admet plusieurs descriptions (par exemple, comme espace topologique et comme complexe simplicial) ou le complexe est construit en utilisant une « présentation » de X , ce qui implique des choix non canoniques. Il est important de connaître l'effet du changement dans la description de X sur les complexes en chaîne associés à X . En général, le complexe et son homologie sont fonctoriels par rapport à la présentation ; et l'homologie (mais pas le complexe lui-même) est en fait indépendante de la présentation choisie, c'est donc un invariant de X .

Dans le contexte de la théorie des groupes , une séquence

des groupes et des homomorphismes de groupes est dite exacte si l' image de chaque homomorphisme est égale au noyau du suivant :

Notez que la séquence de groupes et d’homomorphismes peut être soit finie, soit infinie.

Une définition similaire peut être faite pour certaines autres structures algébriques . Par exemple, on pourrait avoir une suite exacte d' espaces vectoriels et d'applications linéaires , ou de modules et d'homomorphismes de modules . Plus généralement, la notion de suite exacte a du sens dans toute catégorie comportant des noyaux et des conoyaux .

Le type le plus courant de suite exacte est la suite exacte courte . Il s'agit d'une suite exacte de la forme

où ƒ est un monomorphisme et g est un épimorphisme . Dans ce cas, A est un sous-objet de B et le quotient correspondant est isomorphe à C :

(où f(A) = im( f )).

Une courte suite exacte de groupes abéliens peut également s'écrire comme une suite exacte à cinq termes :

où 0 représente l' objet zéro , tel que le groupe trivial ou un espace vectoriel de dimension zéro. Le placement des 0 force ƒ à être un monomorphisme et g à être un épimorphisme (voir ci-dessous).

Une longue suite exacte est une suite exacte indexée par les nombres naturels .

Considérons le diagramme commutatif suivant dans n'importe quelle catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens ou la catégorie des espaces vectoriels sur un corps donné ) ou dans la catégorie des groupes .

Le lemme des cinq stipule que, si les lignes sont exactes , m et p sont des isomorphismes , l est un épimorphisme et q est un monomorphisme , alors n est également un isomorphisme.

Dans une catégorie abélienne (comme la catégorie des groupes abéliens ou la catégorie des espaces vectoriels sur un corps donné ), considérons un diagramme commutatif :

où les lignes sont des séquences exactes et 0 est l' objet zéro . Il existe alors une séquence exacte reliant les noyaux et les conoyaux de a , b et c :

De plus, si le morphisme f est un monomorphisme , alors le morphisme ker a → ker b l'est aussi , et si g' est un épimorphisme , alors coker b → coker c l'est aussi .

En mathématiques , une catégorie abélienne est une catégorie dans laquelle des morphismes et des objets peuvent être ajoutés et dans laquelle des noyaux et des conoyaux existent et ont des propriétés souhaitables. L'exemple prototype motivant d'une catégorie abélienne est la catégorie des groupes abéliens , Ab . La théorie est née d'une tentative d'unification de plusieurs théories de cohomologie par Alexander Grothendieck . Les catégories abéliennes sont des catégories très stables , par exemple elles sont régulières et elles satisfont le lemme du serpent . La classe des catégories abéliennes est fermée sous plusieurs constructions catégoriques, par exemple, la catégorie des complexes en chaîne d'une catégorie abélienne, ou la catégorie des foncteurs d'une petite catégorie vers une catégorie abélienne sont également abéliennes. Ces propriétés de stabilité les rendent inévitables en algèbre homologique et au-delà ; la théorie a des applications majeures en géométrie algébrique , en cohomologie et en théorie pure des catégories . Les catégories abéliennes doivent leur nom à Niels Henrik Abel .

Plus concrètement, une catégorie est abélienne si

• il a un objet zéro ,
• il a tous les produits binaires et coproduits binaires , et
• il a tous les grains et les cograins .
• tous les monomorphismes et épimorphismes sont normaux .

Supposons que l'on dispose d'un foncteur exact gauche covariant F : A → B entre deux catégories abéliennes A et B . Si 0 → A → B → C → 0 est une suite exacte courte dans A , alors l'application de F donne la suite exacte 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) et on pourrait se demander comment continuer cette suite vers la droite pour former une suite exacte longue. À proprement parler, cette question est mal posée, car il existe toujours de nombreuses manières différentes de continuer une suite exacte donnée vers la droite. Mais il s'avère que (si A est suffisamment « sympa ») il existe une manière canonique de le faire, donnée par les foncteurs dérivés à droite de F . Français Pour tout i ≥1, il existe un foncteur R ⁱ F : A → B , et la séquence ci-dessus continue ainsi : 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . Nous voyons donc que F est un foncteur exact si et seulement si R ¹ F = 0 ; donc, dans un sens, les foncteurs dérivés à droite de F mesurent « à quelle distance » F est d'être exact.

Soit R un anneau et soit Mod _R la catégorie des modules sur R . Soit B dans Mod _R et posons T ( B ) = Hom _R ( A,B ), pour fixer A dans Mod _R . C'est un foncteur exact à gauche et possède donc des foncteurs dérivés à droite R ⁿ T . Le foncteur Ext est défini par

Cela peut être calculé en prenant n'importe quelle résolution injective

et l'informatique

Alors ( R ⁿ T )( B ) est la cohomologie de ce complexe. Notons que Hom _R ( A,B ) est exclu du complexe.

Une définition alternative est donnée en utilisant le foncteur G ( A )=Hom _R ( A,B ). Pour un module fixe B , il s'agit d'un foncteur exact gauche contravariant , et nous avons donc aussi des foncteurs dérivés à droite R ⁿ G , et pouvons définir

Cela peut être calculé en choisissant n'importe quelle résolution projective

et procédant en double en calculant

Alors ( R ⁿ G )( A ) est la cohomologie de ce complexe. Notons encore que Hom _R ( A,B ) est exclu.

Ces deux constructions s'avèrent donner des résultats isomorphes , et donc toutes deux peuvent être utilisées pour calculer le foncteur Ext.

Supposons que R soit un anneau , et que l'on note R - Mod la catégorie des R -modules à gauche et Mod - R la catégorie des R -modules à droite (si R est commutatif , les deux catégories coïncident). On fixe un module B dans R - Mod . Pour A dans Mod - R , on pose T ( A ) = A ⊗ _R B . Alors T est un foncteur exact à droite de Mod - R vers la catégorie des groupes abéliens Ab (dans le cas où R est commutatif, c'est un foncteur exact à droite de Mod - R vers Mod - R ) et on définit ses foncteurs dérivés à gauche L _n T . On pose

c'est-à-dire que nous prenons une résolution projective

puis supprimez le terme A et tenseurisez la résolution projective avec B pour obtenir le complexe

(notez que A ⊗ _R B n'apparaît pas et que la dernière flèche est juste l'application zéro) et prenez l' homologie de ce complexe.

Fixer une catégorie abélienne , telle qu'une catégorie de modules sur un anneau. Une suite spectrale est un choix entre un entier non négatif r ₀ et une collection de trois suites :

1. Pour tous les entiers r ≥ r ₀ , un objet E _r , appelé une feuille (comme dans une feuille de papier ), ou parfois une page ou un terme ,
2. Endomorphismes d _r : E _r → E _r satisfaisant d _r o d _r = 0, appelés applications limites ou différentielles ,
3. Isomorphismes de E _r+1 avec H ( E _r ), l'homologie de E _r par rapport à d _r .

Une séquence spectrale à double gradation comporte une quantité considérable de données à suivre, mais il existe une technique de visualisation courante qui rend la structure de la séquence spectrale plus claire. Nous avons trois indices, r , p et q . Pour chaque r , imaginons que nous avons une feuille de papier millimétré. Sur cette feuille, nous prendrons p comme étant la direction horizontale et q comme étant la direction verticale. À chaque point du réseau, nous avons l'objet .

Il est très courant que n = p + q soit un autre indice naturel dans la séquence spectrale. n s'étend en diagonale, du nord-ouest au sud-est, à travers chaque feuille. Dans le cas homologique, les différentielles ont un bidegré (− r , r − 1), donc elles diminuent n d'une unité. Dans le cas cohomologique, n est augmenté d'une unité. Lorsque r est nul, la différentielle déplace les objets d'une case vers le bas ou vers le haut. Ceci est similaire à la différentielle sur un complexe de chaîne. Lorsque r est égal à un, la différentielle déplace les objets d'une case vers la gauche ou vers la droite. Lorsque r est égal à deux, la différentielle déplace les objets comme le déplacement d' un cavalier aux échecs . Pour un r plus élevé , la différentielle agit comme un déplacement de cavalier généralisé.

Une application continue d'espaces topologiques donne lieu à un homomorphisme entre leurs n -ièmes groupes d'homologie pour tout n . Ce fait fondamental de la topologie algébrique trouve une explication naturelle à travers certaines propriétés des complexes en chaîne. Comme il est très courant d'étudier plusieurs espaces topologiques simultanément, en algèbre homologique on est amené à considérer simultanément plusieurs complexes en chaîne.

Un morphisme entre deux complexes en chaîne est une famille d'homomorphismes de groupes abéliens commutant avec les différentiels, au sens où pour tout n . Un morphisme de complexes en chaîne induit un morphisme de leurs groupes d'homologie, constitué des homomorphismes pour tout n . Un morphisme F est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme sur la n -ième homologie pour tout n .

De nombreuses constructions de complexes en chaîne apparaissant en algèbre et en géométrie, y compris l'homologie singulière , ont la propriété de fonctorialité suivante : si deux objets X et Y sont connectés par une application f , alors les complexes en chaîne associés sont connectés par un morphisme et de plus, la composition des applications f : X → Y et g : Y → Z induit le morphisme qui coïncide avec la composition Il s'ensuit que les groupes d'homologie sont également fonctoriels, de sorte que les morphismes entre objets algébriques ou topologiques donnent lieu à des applications compatibles entre leur homologie.

La définition suivante découle d'une situation typique en algèbre et en topologie. Un triplet constitué de trois complexes en chaîne et de deux morphismes entre eux est appelé un triplet exact , ou une courte séquence exacte de complexes , et s'écrit comme

si pour tout n , la séquence

est une suite exacte courte de groupes abéliens. Par définition, cela signifie que f _n est une injection , g _n est une surjection et Im f _n = Ker g _n . L'un des théorèmes les plus élémentaires de l'algèbre homologique, parfois connu sous le nom de lemme en zigzag , stipule que, dans ce cas, il existe une longue suite exacte en homologie

où les groupes d'homologie de L , M et N se suivent cycliquement, et δ _n sont certains homomorphismes déterminés par f et g , appelés homomorphismes de connexion . Les manifestations topologiques de ce théorème incluent la suite de Mayer-Vietoris et la longue suite exacte pour l'homologie relative .

Les théories de cohomologie ont été définies pour de nombreux objets différents tels que les espaces topologiques , les faisceaux , les groupes , les anneaux , les algèbres de Lie et les algèbres C* . L'étude de la géométrie algébrique moderne serait presque impensable sans la cohomologie des faisceaux .

Au cœur de l'algèbre homologique se trouve la notion de suite exacte ; celle-ci peut être utilisée pour effectuer des calculs réels. Un outil classique de l'algèbre homologique est celui du foncteur dérivé ; les exemples les plus basiques sont les foncteurs Ext et Tor .

Avec un ensemble d'applications variées à l'esprit, il était naturel d'essayer de placer l'ensemble du sujet sur une base uniforme. Plusieurs tentatives ont été faites avant que le sujet ne soit fixé. On peut en résumer l'historique approximatif comme suit :

• Cartan - Eilenberg : Dans leur livre de 1956 « Homological Algebra », ces auteurs ont utilisé des résolutions de modules projectives et injectives .
• « Tohoku » : l'approche d'un article célèbre d' Alexander Grothendieck paru dans la deuxième série du Tohoku Mathematical Journal en 1957, utilisant le concept de catégorie abélienne (pour inclure les faisceaux de groupes abéliens).
• La catégorie dérivée de Grothendieck et Verdier . Les catégories dérivées remontent à la thèse de Verdier de 1967. Elles sont des exemples de catégories triangulées utilisées dans un certain nombre de théories modernes.

Ils passent de la calculabilité à la généralité.

Le marteau-pilon par excellence du calcul est la suite spectrale ; elle est essentielle dans les approches de Cartan-Eilenberg et de Tohoku où elle est nécessaire, par exemple, pour calculer les foncteurs dérivés d'une composition de deux foncteurs. Les suites spectrales sont moins essentielles dans l'approche des catégories dérivées, mais jouent toujours un rôle lorsque des calculs concrets sont nécessaires.

Il y a eu des tentatives de théories « non commutatives » qui étendent la première cohomologie en tant que torseurs (important dans la cohomologie de Galois ).