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géométrie analytique

En mathématiques , la géométrie analytique , également appelée géométrie des coordonnées ou géométrie cartésienne , est l'étude de la géométrie à l'aide d'un système de coordonn...

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En mathématiques , la géométrie analytique , également appelée géométrie des coordonnées ou géométrie cartésienne , est l'étude de la géométrie à l'aide d'un système de coordonnées . Elle se distingue de la géométrie synthétique .

La géométrie analytique est utilisée en physique et en ingénierie , ainsi qu'en aéronautique , en aérospatiale , en sciences spatiales , en statistique , en économie et en sciences sociales . Elle constitue le fondement de la plupart des domaines modernes de la géométrie, notamment la géométrie algébrique , différentielle , discrète et algorithmique .

On utilise généralement le système de coordonnées cartésiennes pour manipuler les équations des plans, des droites et des cercles, souvent en deux dimensions et parfois en trois dimensions. Géométriquement, on étudie le plan euclidien (deux dimensions) et l'espace euclidien. Telle qu'elle est enseignée dans les manuels scolaires, la géométrie analytique peut être expliquée plus simplement : elle consiste à définir et à représenter numériquement les figures géométriques, et à extraire des informations numériques à partir de ces définitions et représentations. Le fait que l'algèbre des nombres réels puisse être employée pour obtenir des résultats sur le continuum linéaire de la géométrie repose sur l' axiome de Cantor-Dedekind .

Histoire

Grèce antique

Le mathématicien grec Ménaechme a résolu des problèmes et prouvé des théorèmes en utilisant une méthode qui ressemblait fortement à l'utilisation des coordonnées et il a parfois été soutenu qu'il avait introduit la géométrie analytique.

Apollonius de Perga , dans son traité « Sur la section déterminée » , aborde les problèmes selon une approche que l'on pourrait qualifier de géométrie analytique à une dimension ; il s'agit notamment de trouver les points d'une droite en rapport avec les autres. Dans ses « Coniques », il développe une méthode si proche de la géométrie analytique que certains pensent que son œuvre a anticipé celle de Descartes d'environ 1800 ans. Son utilisation de lignes de référence, d'un diamètre et d'une tangente est fondamentalement identique à notre utilisation moderne d'un repère orthonormé, où les distances mesurées le long du diamètre à partir du point de tangence sont les abscisses, et les segments parallèles à la tangente et interceptés entre l'axe et la courbe sont les ordonnées. Il établit en outre des relations entre les abscisses et les ordonnées correspondantes, équivalentes à des équations rhétoriques (exprimées en mots) des courbes. Cependant, bien qu'Apollonius ait frôlé l'élaboration de la géométrie analytique, il n'y est pas parvenu car il n'a pas pris en compte les grandeurs négatives et, dans tous les cas, le système de coordonnées était superposé a posteriori à une courbe donnée au lieu d' a priori . Autrement dit, les équations étaient déterminées par les courbes, mais les courbes n'étaient pas déterminées par les équations. Les coordonnées, les variables et les équations étaient des notions subsidiaires appliquées à une situation géométrique spécifique.

Perse

Au XIe siècle, le mathématicien persan Omar Khayyam percevait un lien étroit entre géométrie et algèbre et s'orientait dans la bonne direction lorsqu'il contribua à combler le fossé entre algèbre numérique et algèbre géométrique grâce à sa solution géométrique des équations cubiques générales , mais l'étape décisive fut franchie plus tard avec Descartes. On attribue à Omar Khayyam l'identification des fondements de la géométrie algébrique , et son ouvrage, Traité des démonstrations des problèmes d'algèbre (1070), qui expose les principes de la géométrie analytique, fait partie du corpus des mathématiques persanes qui fut finalement transmis à l'Europe. En raison de son approche géométrique rigoureuse des équations algébriques, Khayyam peut être considéré comme un précurseur de Descartes dans l'invention de la géométrie analytique.

Europe occidentale

La géométrie analytique a été inventée indépendamment par René Descartes et Pierre de Fermat , bien que Descartes soit parfois crédité seul. La géométrie cartésienne , terme alternatif utilisé pour la géométrie analytique, tire son nom de Descartes.

Descartes a réalisé des progrès significatifs dans l'élaboration des méthodes dans un essai intitulé La Géométrie , l'un des trois essais (appendices) publiés en 1637 avec son Discours de la méthode pour bien diriger sa raison et rechercher la vérité dans les sciences , communément appelé Discours de la méthode . La Géométrie , rédigée en français , sa langue maternelle, et ses principes philosophiques ont jeté les bases du calcul infinitésimal en Europe. Initialement, l'ouvrage a été mal accueilli, notamment en raison des nombreuses lacunes dans les arguments et de la complexité des équations. Ce n'est qu'après la traduction en latin et l'ajout du commentaire de van Schooten en 1649 (et d'autres travaux ultérieurs) que le chef-d'œuvre de Descartes a reçu la reconnaissance qu'il méritait.

Pierre de Fermat a également été un pionnier du développement de la géométrie analytique. Bien que non publiée de son vivant, une version manuscrite de son <i>Introduction aux lieux plans et solides</i> (<i>Ad locos planos et solidos isagoge</i> ) circulait à Paris en 1637, juste avant la publication du <i>Discours</i> de Descartes . Claire et bien accueillie, cette introduction a également posé les fondements de la géométrie analytique. La principale différence entre les approches de Fermat et de Descartes réside dans le point de vue adopté : Fermat partait toujours d’une équation algébrique pour ensuite décrire la courbe géométrique qui la satisfaisait, tandis que Descartes partait des courbes géométriques et établissait leurs équations comme l’une de leurs propriétés. De ce fait, Descartes dut traiter des équations plus complexes et développer des méthodes pour résoudre des équations polynomiales de degré supérieur. C’est Leonhard Euler qui, le premier, a appliqué la méthode des coordonnées à une étude systématique des courbes et des surfaces spatiales.

Coordonnées cartésiennes (dans un plan ou un espace)

Coordonnées polaires (dans un plan)

en passant par les points

En coordonnées polaires , chaque point du plan est représenté par sa distance r à l'origine et son angle θ , θ étant généralement mesuré dans le sens antihoraire à partir de l' axe des x positifs . Avec cette notation, les points sont généralement notés sous la forme d'un couple ( r , θ ). On peut passer d'un système de coordonnées cartésiennes bidimensionnelles à un système de coordonnées polaires et inversement à l'aide des formules suivantes :

Coordonnées cylindriques (dans un espace)

Coordonnées sphériques (dans un espace)

En géométrie analytique, toute équation faisant intervenir les coordonnées spécifie un sous-ensemble du plan, appelé ensemble des solutions de l'équation, ou lieu géométrique . Par exemple, l'équation y = x correspond à l'ensemble de tous les points du plan dont les abscisses et les ordonnées sont égales. Ces points forment une droite , et y = x est dite être l'équation de cette droite. De manière générale, les équations linéaires en x et y spécifient des droites, les équations du second degré spécifient des coniques , et les équations plus complexes décrivent des figures plus complexes.

En général, une seule équation correspond à une courbe du plan. Ce n'est pas toujours le cas : l'équation triviale x = x désigne le plan entier, et l'équation x² + y² = 0 ne désigne que le point (0, 0). En trois dimensions, une seule équation définit généralement une surface , et une courbe doit être définie soit comme l' intersection de deux surfaces (voir ci-dessous), soit comme un système d' équations paramétriques . [19] L'équation x² + y² = r² est l' cercle centré à l' origine ( 0, 0) et de rayon r.

Lignes et plans

où:

De la même manière que les lignes dans un espace bidimensionnel sont décrites à l'aide d'une forme point-pente pour leurs équations, les plans dans un espace tridimensionnel ont une description naturelle utilisant un point dans le plan et un vecteur orthogonal à celui-ci (le vecteur normal ) pour indiquer son « inclinaison ».

Plus précisément, laisseza , b , c et d sont des constantes et que a , b et c ne sont pas tous nuls, alors le graphique de l'équation comme une normale. Cette équation familière pour un plan est appelée la forme générale de l'équation du plan.

En trois dimensions, les lignes ne peuvent pas être décrites par une seule équation linéaire, elles sont donc fréquemment décrites par des équations paramétriques :

Sections coniques

Comme la mise à l'échelle des six constantes donne le même lieu des zéros, on peut considérer les coniques comme des points dans l' espace projectif à cinq dimensions.

Les sections coniques décrites par cette équation peuvent être classées à l'aide du discriminant

  • si
    • si
  • si
  • si0 B2−4UNC>0{\displaystyle B^{2}-4AC>0}0 , l'équation représente une hyperbole ;

surfaces quadriques

quadrique générale est définie par l' équation algébrique

Les surfaces quadriques comprennent les ellipsoïdes (y compris la sphère ), les paraboloïdes , les hyperboloïdes , les cylindres , les cônes et les plans .

Distance et angle

m est la pente de la droite.

En trois dimensions, la distance est donnée par la généralisation du théorème de Pythagore : A et B est défini par θ est l' angle entre A et B.

Transformations

a) y = f(x) = x b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

Des transformations sont appliquées à une fonction parente pour la transformer en une nouvelle fonction présentant des caractéristiques similaires.

Le graphique de

Il existe d'autres transformations usuelles qui ne sont généralement pas étudiées en géométrie analytique élémentaire, car elles modifient la forme des objets d'une manière inhabituelle. La distorsion est un exemple de transformation peu étudiée. Pour plus d'informations, consultez l'article Wikipédia sur les transformations affines .

Par exemple, la fonction parent

Les transformations peuvent être appliquées à toute équation géométrique, qu'elle représente ou non une fonction. Elles peuvent être considérées comme des opérations individuelles ou combinées.

Supposons que

Trouver les intersections d'objets géométriques

Pour deux objets géométriques P et Q représentés par les relations

Par exemple,

L'intersection de

Les méthodes traditionnelles de recherche d'intersections comprennent la substitution et l'élimination.

Substitution : Résolvez la première équation pour

Nous substituons ensuite cette valeur à

Ensuite, nous attribuons cette valeur à

Notre intersection comporte donc deux points :

Élimination : Ajouter (ou soustraire) un multiple d’une équation à l’autre équation afin d’éliminer l’une des variables. Dans notre exemple, si nous soustrayons la première équation de la seconde, nous obtenons :

Nous attribuons ensuite cette valeur de

Notre intersection comporte donc deux points :

Pour les sections coniques, jusqu'à 4 points peuvent se trouver à l'intersection.

Trouver les points d'intersection

et

L'intersection d'un objet géométrique et de

Pour la ligne

Axe géométrique

En géométrie, un axe est la droite perpendiculaire à toute droite, tout objet ou toute surface.

On peut également utiliser pour cela l'usage courant de : ligne normale (perpendiculaire), ou en ingénierie : ligne axiale .

En géométrie , une normale est une droite ou un vecteur perpendiculaire à un objet donné. Par exemple, en deux dimensions, la normale à une courbe en un point donné est la droite perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.

Dans le cas tridimensionnel, la normale à une surface en un point P est un vecteur perpendiculaire au plan tangent à cette surface en P. Le mot « normal » est également employé comme adjectif : une droite normale à un plan , la composante normale d’une force , le vecteur normal , etc. Le concept de normalité se généralise à l’orthogonalité .

Plans sphériques et non linéaires et leurs tangentes

La tangente est l'approximation linéaire d'une ligne sphérique ou autre ligne courbe ou torsadée d'une fonction.

Lignes et plans tangents

de la courbe si elle passe par le point est la dérivée de f . Une définition similaire s'applique aux courbes spatiales et aux courbes de l'espace euclidien à n dimensions .

Lorsqu'elle passe par le point où la tangente et la courbe se rencontrent, appelé point de tangence , la tangente « va dans la même direction » que la courbe et constitue donc la meilleure approximation en ligne droite de la courbe en ce point.

De même, le plan tangent à une surface en un point donné est le plan qui la touche en ce point. La notion de tangente est l'une des plus fondamentales de la géométrie différentielle et a fait l'objet de nombreuses généralisations ; voir Espace tangent .

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