Géométrie analytique

En mathématiques , la géométrie analytique , également appelée géométrie des coordonnées ou géométrie cartésienne , est l'étude de la géométrie à l'aide d'un système de coordonnées . Elle s'oppose à la géométrie synthétique .

La géométrie analytique est utilisée en physique et en ingénierie , ainsi que dans l'aviation , la fuséologie , les sciences spatiales et les vols spatiaux . Elle constitue le fondement de la plupart des domaines modernes de la géométrie, notamment la géométrie algébrique , différentielle , discrète et computationnelle .

Le système de coordonnées cartésiennes est généralement utilisé pour manipuler des équations de plans, de lignes droites et de cercles, souvent en deux et parfois en trois dimensions. Géométriquement, on étudie le plan euclidien (deux dimensions) et l'espace euclidien. Comme on l'enseigne dans les manuels scolaires, la géométrie analytique peut être expliquée plus simplement : elle consiste à définir et à représenter des formes géométriques de manière numérique et à extraire des informations numériques à partir des définitions et des représentations numériques des formes. Le fait que l'algèbre des nombres réels puisse être utilisée pour produire des résultats sur le continuum linéaire de la géométrie repose sur l' axiome de Cantor-Dedekind .

Le mathématicien grec Menaechmus a résolu des problèmes et prouvé des théorèmes en utilisant une méthode qui ressemblait fortement à l'utilisation de coordonnées et on a parfois soutenu qu'il avait introduit la géométrie analytique.

Apollonius de Perge , dans De la section déterminée , a traité des problèmes d'une manière que l'on peut appeler une géométrie analytique à une dimension ; avec la question de trouver des points sur une ligne qui soient en rapport avec les autres. Apollonius dans les Coniques a développé une méthode qui est si proche de la géométrie analytique que son travail est parfois considéré comme ayant anticipé le travail de Descartes de quelque 1800 ans. Son application de lignes de référence, d'un diamètre et d'une tangente n'est essentiellement pas différente de notre utilisation moderne d'un référentiel de coordonnées, où les distances mesurées le long du diamètre à partir du point de tangence sont les abscisses, et les segments parallèles à la tangente et interceptés entre l'axe et la courbe sont les ordonnées. Il a ensuite développé des relations entre les abscisses et les ordonnées correspondantes qui sont équivalentes aux équations rhétoriques (exprimées en mots) des courbes. Cependant, bien qu'Apollonius ait été sur le point de développer la géométrie analytique, il n'y est pas parvenu car il n'a pas pris en compte les grandeurs négatives et dans tous les cas, le système de coordonnées a été superposé à une courbe donnée a posteriori au lieu d'être a priori . Autrement dit, les équations étaient déterminées par des courbes, mais les courbes n'étaient pas déterminées par des équations. Les coordonnées, les variables et les équations étaient des notions subsidiaires appliquées à une situation géométrique spécifique.

Le mathématicien persan du XIe siècle Omar Khayyam a vu une forte relation entre la géométrie et l'algèbre et s'est dirigé dans la bonne direction lorsqu'il a contribué à combler l'écart entre l' algèbre numérique et l'algèbre géométrique avec sa solution géométrique des équations cubiques générales , mais l'étape décisive est venue plus tard avec Descartes. Omar Khayyam est crédité d'avoir identifié les fondements de la géométrie algébrique , et son livre Traité sur les démonstrations des problèmes d'algèbre (1070), qui a établi les principes de la géométrie analytique, fait partie du corpus des mathématiques persanes qui a finalement été transmis en Europe. En raison de son approche géométrique approfondie des équations algébriques, Khayyam peut être considéré comme un précurseur de Descartes dans l'invention de la géométrie analytique.

La géométrie analytique a été inventée indépendamment par René Descartes et Pierre de Fermat , bien que Descartes soit parfois considéré comme le seul à en être crédité. géométrie cartésienne , terme alternatif utilisé pour la géométrie analytique, doit son nom à Descartes.

Descartes a fait des progrès significatifs avec les méthodes dans un essai intitulé La Géométrie , l'un des trois essais d'accompagnement (appendices) publiés en 1637 avec son Discours sur la méthode pour bien diriger sa raison et rechercher la vérité dans les sciences , communément appelé Discours sur la méthode . La Géométrie , écrite dans sa langue maternelle , le français , et ses principes philosophiques ont fourni une base pour le calcul en Europe. Au début, l'ouvrage n'a pas été bien accueilli, en partie à cause des nombreuses lacunes dans les arguments et des équations compliquées. Ce n'est qu'après la traduction en latin et l'ajout d'un commentaire de van Schooten en 1649 (et d'autres travaux par la suite) que le chef-d'œuvre de Descartes a reçu la reconnaissance qu'il mérite.

Pierre de Fermat fut également le pionnier du développement de la géométrie analytique. Bien qu'il n'ait pas été publié de son vivant, un manuscrit de Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides) circulait à Paris en 1637, juste avant la publication du Discours de Descartes . Clairement rédigée et bien reçue, l' Introduction posa également les bases de la géométrie analytique. La principale différence entre les traitements de Fermat et de Descartes est une question de point de vue : Fermat commençait toujours par une équation algébrique et décrivait ensuite la courbe géométrique qui la satisfaisait, tandis que Descartes commençait par des courbes géométriques et produisait leurs équations comme l'une des nombreuses propriétés des courbes. En conséquence de cette approche, Descartes a dû traiter des équations plus compliquées et il a dû développer des méthodes pour travailler avec des équations polynomiales de degré plus élevé. C'est Leonhard Euler qui a appliqué pour la première fois la méthode des coordonnées dans une étude systématique des courbes et des surfaces spatiales.

En géométrie analytique, le plan est doté d'un système de coordonnées dans lequel chaque point possède une paire de coordonnées réelles . De même, l'espace euclidien est doté de coordonnées dans lesquelles chaque point possède trois coordonnées. La valeur des coordonnées dépend du choix du point d'origine initial. Il existe une variété de systèmes de coordonnées utilisés, mais les plus courants sont les suivants :

Le système de coordonnées le plus couramment utilisé est le système de coordonnées cartésiennes , où chaque point possède une coordonnée x représentant sa position horizontale et une coordonnée y représentant sa position verticale. Ces coordonnées sont généralement écrites sous la forme d'une paire ordonnée ( x , y ). Ce système peut également être utilisé pour la géométrie tridimensionnelle, où chaque point de l'espace euclidien est représenté par un triplet ordonné de coordonnées ( x , y , z ).

En coordonnées polaires , chaque point du plan est représenté par sa distance r par rapport à l'origine et son angle θ , θ étant normalement mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l' axe des x positif . En utilisant cette notation, les points sont généralement écrits sous la forme d'une paire ordonnée ( r , θ ). On peut passer d'un système cartésien à un système polaire à l'autre en utilisant ces formules : Ce système peut être généralisé à l'espace tridimensionnel grâce à l'utilisation de coordonnées cylindriques ou sphériques .

En coordonnées cylindriques , chaque point de l'espace est représenté par sa hauteur z , son rayon r par rapport à l' axe z et l' angle θ que fait sa projection sur le plan xy par rapport à l'axe horizontal.

En coordonnées sphériques, chaque point de l'espace est représenté par sa distance ρ à l'origine, l' angle θ que fait sa projection sur le plan xy par rapport à l'axe horizontal et l'angle φ qu'il fait par rapport à l' axe z . Les noms des angles sont souvent inversés en physique.

En géométrie analytique, toute équation impliquant les coordonnées spécifie un sous-ensemble du plan, à savoir l' ensemble solution de l'équation, ou lieu . Par exemple, l'équation y = x correspond à l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées x et y sont égales. Ces points forment une droite , et on dit que y = x est l'équation de cette droite. En général, les équations linéaires impliquant x et y spécifient des droites, les équations quadratiques spécifient des sections coniques , et les équations plus compliquées décrivent des figures plus compliquées.

En général, une seule équation correspond à une courbe sur le plan. Ce n'est pas toujours le cas : l'équation triviale x = x spécifie le plan entier, et l'équation x ² + y ² = 0 spécifie seulement le point unique (0, 0). En trois dimensions, une seule équation donne généralement une surface , et une courbe doit être spécifiée comme l' intersection de deux surfaces (voir ci-dessous), ou comme un système d' équations paramétriques . L'équation x ² + y ² = r ² est l'équation de tout cercle centré à l'origine (0, 0) avec un rayon de r.

Les droites dans un plan cartésien , ou plus généralement dans des coordonnées affines , peuvent être décrites algébriquement par des équations linéaires . En deux dimensions, l'équation pour les droites non verticales est souvent donnée sous la forme pente-ordonnée à l'origine : où :

• m est la pente ou le gradient de la ligne.
• b est l' ordonnée à l'origine de la droite.
• x est la variable indépendante de la fonction y = f ( x ).

De la même manière que les lignes dans un espace bidimensionnel sont décrites à l'aide d'une forme point-pente pour leurs équations, les plans dans un espace tridimensionnel ont une description naturelle à l'aide d'un point dans le plan et d'un vecteur orthogonal à celui-ci (le vecteur normal ) pour indiquer son « inclinaison ».

Plus précisément, soit le vecteur de position d'un point , et soit un vecteur non nul. Le plan déterminé par ce point et ce vecteur est constitué de ces points , de vecteur de position , tels que le vecteur tiré de à soit perpendiculaire à . En rappelant que deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul, il s'ensuit que le plan désiré peut être décrit comme l'ensemble de tous les points tels que (Le point signifie ici un produit scalaire , pas une multiplication scalaire.) Étendu, cela devient qui est la forme normale au point de l'équation d'un plan. Ceci n'est qu'une équation linéaire : Inversement, il est facile de montrer que si a , b , c et d sont des constantes et a , b et c ne sont pas tous nuls, alors le graphe de l'équation est un plan ayant le vecteur comme normale. Cette équation familière pour un plan est appelée la forme générale de l'équation du plan.

En trois dimensions, les lignes ne peuvent pas être décrites par une seule équation linéaire, elles sont donc fréquemment décrites par des équations paramétriques : où :

• x , y et z sont toutes des fonctions de la variable indépendante t qui s'étend sur les nombres réels.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) est un point quelconque sur la ligne.
• a , b et c sont liés à la pente de la droite, de telle sorte que le vecteur ( a , b , c ) soit parallèle à la droite.

Dans le système de coordonnées cartésiennes , le graphique d'une équation quadratique à deux variables est toujours une section conique – bien qu'elle puisse être dégénérée, et toutes les sections coniques apparaissent de cette façon. L'équation sera de la forme Comme la mise à l'échelle des six constantes donne le même lieu des zéros, on peut considérer les coniques comme des points dans l' espace projectif à cinq dimensions

Les sections coniques décrites par cette équation peuvent être classées à l'aide du discriminant

• si , l’équation représente une ellipse ;
  • si et , l’équation représente un cercle , qui est un cas particulier d’ellipse ;
• si , l’équation représente une parabole ;
• si , l’équation représente une hyperbole ; $0B^2-4AC>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9e76abadd219198741167893eb5f8692958a7f">
  • si nous avons aussi , l'équation représente une hyperbole rectangulaire .

Une quadrique , ou surface quadrique , est une surface à 2 dimensions dans un espace à 3 dimensions définie comme le lieu des zéros d'un polynôme quadratique . Dans les coordonnées x ₁ , x ₂ , x ₃ , la quadrique générale est définie par l' équation algébrique

Les surfaces quadriques comprennent les ellipsoïdes (y compris la sphère ), les paraboloïdes , les hyperboloïdes , les cylindres , les cônes et les plans .

En géométrie analytique, les notions géométriques telles que la distance et la mesure d'angle sont définies à l'aide de formules . Ces définitions sont conçues pour être cohérentes avec la géométrie euclidienne sous-jacente . Par exemple, en utilisant des coordonnées cartésiennes sur le plan, la distance entre deux points ( x ₁ , y ₁ ) et ( x ₂ , y ₂ ) est définie par la formule qui peut être considérée comme une version du théorème de Pythagore . De même, l'angle que fait une ligne avec l'horizontale peut être défini par la formule où m est la pente de la ligne.

En trois dimensions, la distance est donnée par la généralisation du théorème de Pythagore : tandis que l'angle entre deux vecteurs est donné par le produit scalaire . Le produit scalaire de deux vecteurs euclidiens A et B est défini par où θ est l' angle entre A et B .

Les transformations sont appliquées à une fonction parent pour la transformer en une nouvelle fonction avec des caractéristiques similaires.

Le graphique de est modifié par les transformations standard comme suit :

• Le passage à déplace le graphique vers les unités de droite.
• Le passage à déplace le graphique vers le haut des unités.
• Le passage à étire le graphique horizontalement d'un facteur de . (imaginez que le est dilaté)
• Le passage à l'étirement du graphique verticalement.
• Passer à et passer à fait pivoter le graphique d'un angle .

Il existe d'autres transformations standard qui ne sont généralement pas étudiées en géométrie analytique élémentaire, car ces transformations modifient la forme des objets d'une manière qui n'est généralement pas prise en compte. L'inclinaison est un exemple de transformation qui n'est généralement pas prise en compte. Pour plus d'informations, consultez l'article de Wikipédia sur les transformations affines .

Par exemple, la fonction parente a une asymptote horizontale et une asymptote verticale et occupe le premier et le troisième quadrant, et toutes ses formes transformées ont une asymptote horizontale et une asymptote verticale et occupent soit le 1er et le 3ème soit le 2ème et le 4ème quadrant. En général, si , alors elle peut être transformée en . Dans la nouvelle fonction transformée, est le facteur qui étire verticalement la fonction si elle est supérieure à 1 ou qui comprime verticalement la fonction si elle est inférieure à 1, et pour les valeurs négatives, la fonction est reflétée sur l' axe des . La valeur comprime le graphique de la fonction horizontalement si elle est supérieure à 1 et étire la fonction horizontalement si elle est inférieure à 1, et comme , reflète la fonction sur l' axe des lorsqu'elle est négative. Les valeurs et introduisent des traductions, , verticales et horizontales. Les valeurs positives et signifient que la fonction est translatée vers l'extrémité positive de son axe et les valeurs négatives signifient une translation vers l'extrémité négative.

Les transformations peuvent être appliquées à n'importe quelle équation géométrique, que celle-ci représente ou non une fonction. Les transformations peuvent être considérées comme des transactions individuelles ou en combinaison.

Supposons qu'il s'agisse d'une relation dans le plan. Par exemple, il s'agit de la relation qui décrit le cercle unité.

Pour deux objets géométriques P et Q représentés par les relations et l'intersection est la collection de tous les points qui sont dans les deux relations.

Par exemple, pourrait être le cercle de rayon 1 et de centre : et pourrait être le cercle de rayon 1 et de centre . L'intersection de ces deux cercles est la collection de points qui rendent les deux équations vraies. Le point rend-il les deux équations vraies ? En utilisant pour , l'équation pour devient ou qui est vraie, donc est dans la relation . D'un autre côté, toujours en utilisant pour l'équation pour devient ou qui est fausse. n'est pas dans donc il n'est pas dans l'intersection.

L'intersection de et peut être trouvée en résolvant les équations simultanées :

Les méthodes traditionnelles de recherche d’intersections incluent la substitution et l’élimination.

Substitution : Résolvez la première équation pour en fonction de , puis remplacez l'expression pour dans la deuxième équation :

Nous substituons ensuite cette valeur dans l’autre équation et procédons à la résolution de :

Ensuite, nous plaçons cette valeur dans l’une des équations d’origine et résolvons pour :

Donc notre intersection a deux points :

Élimination : Ajouter (ou soustraire) un multiple d'une équation à l'autre équation de façon à éliminer l'une des variables. Pour notre exemple actuel, si nous soustrayons la première équation de la seconde, nous obtenons . Le dans la première équation est soustrait du dans la seconde équation, ce qui ne laisse aucun terme. La variable a été éliminée. Nous résolvons ensuite l'équation restante pour , de la même manière que dans la méthode de substitution :

Nous plaçons ensuite cette valeur dans l'une ou l'autre des équations d'origine et résolvons pour :

Donc notre intersection a deux points :

Pour les sections coniques, jusqu'à 4 points peuvent se trouver à l'intersection.

Un type d’intersection largement étudié est l’intersection d’un objet géométrique avec les axes de coordonnées et .

L'intersection d'un objet géométrique et de l' axe des abscisses est appelée l' ordonnée à l'origine de l'objet. L'intersection d'un objet géométrique et de l' axe des abscisses est appelée l' ordonnée à l'origine de l'objet.

Pour la ligne , le paramètre spécifie le point où la ligne croise l' axe. Selon le contexte, soit le point soit le point est appelé l' interception.

L'axe en géométrie est la ligne perpendiculaire à toute ligne, objet ou surface.

On peut également utiliser à cet effet le langage courant comme : ligne normale (perpendiculaire), sinon en ingénierie comme ligne axiale .

En géométrie , une normale est un objet, tel qu'une ligne ou un vecteur, perpendiculaire à un objet donné. Par exemple, dans le cas bidimensionnel, la normale à une courbe en un point donné est la ligne perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.

Dans le cas tridimensionnel, une surface normale , ou simplement normale , à une surface en un point P est un vecteur perpendiculaire au plan tangent à cette surface en P. Le mot « normal » est également utilisé comme adjectif : une ligne normale à un plan , la composante normale d'une force , le vecteur normal , etc. Le concept de normalité se généralise à l'orthogonalité .

La tangente est l'approximation linéaire d'une ligne sphérique ou autre ligne courbe ou torsadée d'une fonction.

En géométrie , la tangente (ou simplement tangente ) à une courbe plane en un point donné est la droite qui « touche » juste la courbe en ce point. De manière informelle, il s'agit d'une droite passant par une paire de points infiniment proches de la courbe. Plus précisément, une droite est dite tangente d'une courbe y = f ( x ) en un point x = c de la courbe si la droite passe par le point ( c , f ( c )) de la courbe et a une pente f ' ( c ) où f ' est la dérivée de f . Une définition similaire s'applique aux courbes spatiales et aux courbes dans l'espace euclidien n -dimensionnel .

Lorsqu'elle passe par le point où la tangente et la courbe se rencontrent, appelé point de tangence , la tangente « va dans la même direction » que la courbe et constitue donc la meilleure approximation en ligne droite de la courbe à ce point.

De même, le plan tangent à une surface en un point donné est le plan qui « touche » juste la surface en ce point. Le concept de tangente est l'une des notions les plus fondamentales de la géométrie différentielle et a été largement généralisé ; voir Espace tangent .