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Fonction (mathématiques)
En mathématiques , une fonction d'un ensemble X associe à chaque élément de L'ensemble est appelé le codomaine de la fonction. À l'origine, les fonctions représentaient l'idéali...
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En mathématiques , une fonction d'un ensemble X associe à chaque élément de L'ensemble est appelé le codomaine de la fonction.
À l'origine, les fonctions représentaient l'idéalisation de la relation entre une grandeur variable et une autre. Par exemple, la position d'une planète est une fonction du temps. Historiquement , ce concept a été développé grâce au calcul infinitésimal à la fin du XVIIe siècle et, jusqu'au XIXe siècle, les fonctions considérées étaient différentiables (c'est-à-dire qu'elles présentaient un haut degré de régularité). La formalisation du concept de fonction à la fin du XIXe siècle, dans le cadre de la théorie des ensembles , a considérablement élargi son champ d'application.
Une fonction est souvent notée par une lettre telle que ou en un élément ) est notée ; par exemple, la valeur de est notée . Généralement, une fonction spécifique est définie par une expression dépendant de évaluation de fonction , peut être nécessaire pour déduire la valeur de la fonction pour une valeur particulière ; par exemple, sialors
Étant donné son domaine et son codomaine, une fonction est représentée de manière unique par l'ensemble de toutes les paires ( x )) , appelé le graphe de la fonction coordonnées cartésiennes d'un point du plan.
Les fonctions sont largement utilisées en sciences , en ingénierie et dans la plupart des domaines des mathématiques. On dit souvent que les fonctions sont « les objets centraux de l’étude » dans la plupart des domaines des mathématiques.
Le concept de fonction a considérablement évolué au fil des siècles, depuis ses origines informelles dans les mathématiques anciennes jusqu'à sa formalisation au XIXe siècle. Voir l'article « Histoire du concept de fonction » pour plus de détails.
Définition Représentation schématique d'une fonction décrite métaphoriquement comme une « machine » ou une « boîte noire » qui, pour chaque entrée, produit une sortie correspondante La courbe rouge est le graphique d'une fonction , car toute ligne verticale a exactement un point d'intersection avec la courbe. Une fonction vers un ensemble à chaque élément de est appelé le domaine de la fonction et l'ensemble de de , on dit que sur valeur de la fonction f en par la fonction f. L' image d'une fonction , parfois appelée son domaine , est l'ensemble des images de tous les éléments de son domaine.
Une fonction et son codomaine au lieu de, où le symboleL'opérateur `map` (qui se lit « applique à ») est utilisé pour spécifier l'élément applique la fonction. Cela permet de définir une fonction sans la nommer. Par exemple, la fonction carré est définie par `map`.
Le domaine et le codomaine ne sont pas toujours explicitement définis lors de la définition d'une fonction. En particulier, il est fréquent de savoir seulement, sans calcul (parfois complexe), que le domaine d'une fonction donnée est inclus dans un ensemble plus vaste. Par exemple, siest une fonction réelle , la détermination du domaine de la fonctionCela nécessite de connaître les zéros de vers Y » S → S.
Diagramme d'une fonction Diagramme d'une relation qui n'est pas une fonction. Une des raisons est que 2 est le premier élément de plusieurs couples. Une autre raison est que ni 3 ni 4 ne sont le premier élément (entrée) d'aucun couple. La définition d'une fonction présentée ci-dessus est essentiellement celle des fondateurs du calcul infinitésimal , Leibniz , Newton et Euler . Cependant, elle ne peut être formalisée , car il n'existe pas de définition mathématique de la notion d'« affectation ». Ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle qu'une première définition formelle d'une fonction a pu être proposée, dans le cadre de la théorie des ensembles . Cette définition ensembliste repose sur le fait qu'une fonction établit une relation entre les éléments du domaine et certains (voire tous) les éléments du codomaine. Mathématiquement, une relation binaire entre deux ensembles et est un sous-ensemble de l'ensemble de tous les couples ordonnés. tel queetL'ensemble de toutes ces paires est appelé le produit cartésien de et et est notéAinsi, la définition ci-dessus peut être formalisée comme suit.
Une fonction avec domaine et codomaine est une relation binaire et qui satisfait les deux conditions suivantes :
Pour chaquedansil existedanstel que Sietalors Cette définition peut être reformulée de manière plus formelle, sans faire explicitement référence au concept de relation, mais en utilisant davantage de notations (y compris la notation ensembliste ) :
Une fonction est formée de trois ensembles (souvent sous forme de triplet ordonné), le domaine le codomaine et le graphique qui satisfont aux trois conditions suivantes.
Une relation satisfaisant ces conditions est appelée relation fonctionnelle .
La terminologie et la notation plus courantes peuvent être dérivées de cette définition formelle comme suit. Soit être dans est au ou cartes à " de sur donne
Fonctions partielles vers entre telle que, pour toutil existe au plus un tel queEn utilisant la notation fonctionnelle, cela signifie que, étant donnésoitest dans tels queL'ensemble des éléments de X définis et appartenant à vers appelé domaine de définition de la fonction. Si le domaine de définition est égal à nombres réels à eux-mêmes. Étant donné une fonction réelleson inverse multiplicatif est également une fonction réelle. La détermination du domaine de définition de l'inverse multiplicatif d'une fonction (partielle) revient à calculer les zéros de la fonction, c'est-à-dire les valeurs pour lesquelles la fonction est définie mais pas son inverse multiplicatif.
De même, une fonction d'une variable complexe nombres complexes. La difficulté de déterminer le domaine de définition d'une fonction complexe est illustrée par l'inverse multiplicatif de la fonction zêta de Riemann : la détermination du domaine de définition de la fonctionest plus ou moins équivalent à la preuve ou à la réfutation de l'un des principaux problèmes ouverts en mathématiques, l' hypothèse de Riemann .
En théorie de la calculabilité , une fonction récursive générale est une fonction partielle des entiers vers les entiers dont les valeurs peuvent être calculées par un algorithme (en simplifiant). Le domaine de définition d'une telle fonction est l'ensemble des entrées pour lesquelles l'algorithme ne s'exécute pas indéfiniment. Un théorème fondamental de la théorie de la calculabilité stipule qu'il ne peut exister d'algorithme prenant en entrée une fonction récursive générale quelconque et vérifiant si
.Une fonction multivariée , ou fonction à plusieurs variables , est une fonction qui dépend de plusieurs arguments. On rencontre fréquemment ce type de fonctions. Par exemple, la position d'une voiture sur une route est fonction du temps de parcours et de sa vitesse moyenne.
Formellement, une fonction de -uplets. Par exemple, la multiplication d' entiers est une fonction de deux variables, ou fonction bivariée , dont le domaine est l'ensemble de tous les couples (2-uplets) d'entiers, et dont le codomaine est l'ensemble des entiers. Il en va de même pour toute opération binaire . Le graphe d'une surface bivariée sur un domaine réel bidimensionnel peut être interprété comme définissant une surface paramétrique , telle qu'utilisée, par exemple, dans l'interpolation bivariée .
Généralement, un la notation fonctionnelle , on omet généralement les parenthèses entourant les tuples, en écrivant au lieu de
Étant donné est appelé le produit cartésien deet désigné
Par conséquent, une fonction multivariée est une fonction dont le domaine est un produit cartésien ou un sous-ensemble propre d'un produit cartésien.
où le domaine
Si tous lessont égaux à l'ensembledes nombres réels ou de l'ensembledes nombres complexes , on parle respectivement d'une fonction de plusieurs variables réelles ou d'une fonction de plusieurs variables complexes .
Notation Il existe différentes manières normalisées de représenter les fonctions. La notation la plus couramment utilisée est la notation fonctionnelle, qui est la première notation décrite ci-dessous.
Notation fonctionnelle La notation fonctionnelle exige qu'un nom soit donné à la fonction, qui, dans le cas d'une fonction non spécifiée, est souvent la lettre
L'argument entre parenthèses peut être une variable , souvent dans l'exemple ci-dessus), ou une expression qui peut être évaluée à un élément du domaine ((dans l'exemple ci-dessus). L'utilisation d'une variable non spécifiée entre parenthèses est utile pour définir explicitement une fonction, comme dans « let".
Lorsque le symbole désignant la fonction est composé de plusieurs caractères et qu'aucune ambiguïté ne peut survenir, les parenthèses de la notation fonctionnelle peuvent être omises. Par exemple, il est courant d'écrire au lieu de .
La notation fonctionnelle a été utilisée pour la première fois par Leonhard Euler en 1734. Certaines fonctions courantes sont représentées par un symbole composé de plusieurs lettres (généralement deux ou trois, souvent une abréviation de leur nom). Dans ce cas, on utilise habituellement des caractères romains , comme «abus de notation utile pour une formulation plus simple.
Notation fléchée La notation fléchée définit la règle d'une fonction directement dans le texte, sans qu'il soit nécessaire de lui donner un nom. Elle utilise le symbole de flèche ↦, qui se lit « applique à ». Par exemple :est la fonction qui prend un nombre réel en entrée et renvoie ce nombre plus 1. Là encore, un domaine et un codomaine deest sous-entendu.
Le domaine et le codomaine peuvent également être explicitement indiqués, par exemple :
Ceci définit une fonction fonction partiellement appliquée produite en fixant le deuxième argument à la valeur sans introduire de nouveau nom de fonction. La fonction en question pourrait être notéeen utilisant la notation fléchée. L'expression(lire : « l'application qui transforme de zéro ») représente cette nouvelle fonction avec un seul argument, tandis que l'expression fait référence à la valeur de la fonction .
Notation d'index On peut utiliser la notation indicielle à la place de la notation fonctionnelle. Autrement dit, au lieu d'écrire ( x )
C'est généralement le cas pour les fonctions dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels . Une telle fonction est appelée une suite , et, dans ce cas, l'élémentest appelé le En utilisant la notation indicielle, si nous définissons la collection de cartespar la formulepour tous.
Notation d'espace réservé Dans la notation Le symbole est remplacé par une valeur quelconque à gauche de la flèche, il doit l'être également à droite. Par conséquent, dans l'expression à droite de la flèche, » ou un tiret « ou peut représenter la fonction, etoupeut représenter une fonction définie par une intégrale à borne supérieure variable :.
Fonctions de plusieurs variables Dans certains cas, l'argument d'une fonction peut être une paire ordonnée d'éléments appartenant à un ou plusieurs ensembles. Par exemple, une fonction Une telle fonction est généralement écrite comme suit :et désignée comme « une fonction de deux variables ». De même, on peut avoir une fonction de trois variables ou plus, avec des notations telles que :,.
Autres termes vers vers du domaine de la fonction, il existe un élément unique qui lui est associé, la valeurdeàIl existe plusieurs façons de préciser ou de décrire commentest lié à, de manière explicite et implicite. Parfois, un théorème ou un axiome affirme l'existence d'une fonction possédant certaines propriétés, sans la décrire plus précisément. Souvent, cette spécification ou description est appelée définition de la fonction..
En listant les valeurs de fonction Sur un ensemble fini, une fonction peut être définie en listant les éléments du codomaine associés aux éléments du domaine. Par exemple, si, alors on peut définir une fonctionpar
Les fonctions sont souvent définies par une expression qui décrit une combinaison d' opérations arithmétiques et de fonctions préalablement définies ; une telle formule permet de calculer la valeur de la fonction à partir de la valeur de n'importe quel élément du domaine. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus,peut être défini par la formule, pour.
Lorsqu'une fonction est définie de cette manière, la détermination de son domaine est parfois difficile. Si la formule qui définit la fonction contient des divisions, les valeurs de la variable pour lesquelles un dénominateur est nul doivent être exclues du domaine ; ainsi, pour une fonction complexe, la détermination du domaine passe par le calcul des zéros de fonctions auxiliaires. De même, si des racines carrées apparaissent dans la définition d'une fonction,àLe domaine est inclus dans l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles les arguments des racines carrées sont non négatifs.
Par exemple,définit une fonctiondont le domaine estparce queest toujours positif si ] domaine de définition de la fonction.)
Les fonctions peuvent être classées selon la nature des formules qui les définissent :
Une fonction quadratique est une fonction qui peut s'écrireoù sont des constantes . Plus généralement, une fonction polynomiale est une fonction qui peut être définie par une formule n'impliquant que des additions, des soustractions, des multiplications et des exponentiations à des puissances entières non négatives. Par exemple,etsont des fonctions polynomiales de. Une fonction rationnelle est identique, les divisions étant également autorisées, comme par exemple :et Une fonction algébrique est identique, avec les racines bijective si, pour tout , il existe un et un unique élément tel que . Dans ce cas, la fonction inverse de à l'élémenttelle que . Par exemple, le logarithme népérien est une fonction bijective des nombres réels positifs vers les nombres réels. Il possède donc une fonction réciproque, appelée fonction exponentielle , qui associe aux nombres réels les nombres positifs.Si une fonctionn'étant pas bijective, il peut arriver que l'on puisse sélectionner des sous-ensemblesetLa restriction de est une bijection de , et admet donc une fonction inverse. Les fonctions trigonométriques inverses sont définies ainsi. Par exemple, la fonction cosinus induit, par restriction, une bijection de l' intervalle 0, π ] ] arccosinus , applique −1, 1 ] π ]
Plus généralement, étant donné une relation binaire et un sous-ensemble de tel que . Si l'on dispose d'un critère permettant de sélectionner un tel appelée fonction implicite , car elle est implicitement définie par la relation ]
Dans cet exemple, l'équation peut être résolue en définit , appelée radical de Bring , qui acomme domaine et image. Le radical Bring ne peut pas être exprimé en termes des quatre opérations arithmétiques et des racines et vaut 0 pour Un autre exemple courant est la fonction d'erreur .
Plus généralement, de nombreuses fonctions, y compris la plupart des fonctions spéciales , peuvent être définies comme solutions d' équations différentielles . L'exemple le plus simple est probablement la fonction exponentielle , qui peut être définie comme l'unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 pour .
Les séries entières permettent de définir des fonctions sur leur domaine de convergence. Par exemple, la fonction exponentielle est donnée parCependant, comme les coefficients d'une série sont assez arbitraires, une fonction qui est la somme d'une série convergente est généralement définie autrement, et la suite des coefficients résulte d'un calcul basé sur une autre définition. On peut alors utiliser le développement en série entière pour étendre le domaine de la fonction. Typiquement, si une fonction d'une variable réelle est la somme de son développement en série de Taylor sur un certain intervalle, ce développement en série entière permet d'étendre immédiatement le domaine à un sous-ensemble des nombres complexes , le disque de convergence de la série. Le prolongement analytique permet ensuite d'étendre encore le domaine jusqu'à inclure presque tout le plan complexe . Ce procédé est la méthode généralement utilisée pour définir le logarithme , l' exponentielle et les fonctions trigonométriques d'un nombre complexe.
Par récurrence Les fonctions dont le domaine est constitué des entiers non négatifs, appelés suites , sont parfois définies par des relations de récurrence .
La fonction factorielle sur les entiers non négatifs () est un exemple de base, car il peut être défini par la relation de récurrence
0, n ! = n ( n − 1 ) ! pour n > 0 , {\displaystyle n!=n(n-1)!\quad { ext{for}}\quad n>0,}
et l'état initial
Représenter une fonction Un graphique est couramment utilisé pour donner une représentation intuitive d'une fonction. Par exemple, il permet de voir facilement, grâce au graphique, si une fonction est croissante ou décroissante. Certaines fonctions peuvent également être représentées par des diagrammes à barres .
Graphiques et diagrammes graphe est, formellement, l'ensemble
Dans le cas fréquent où sont des sous-ensembles des nombres réels (ou peuvent être identifiés à de tels sous-ensembles, par exemple des intervalles ), un élémentUne fonction peut être identifiée à un point de coordonnées dans un système de coordonnées bidimensionnel, par exemple le plan cartésien . Des portions de ce point peuvent être utilisées pour créer un graphique représentant (des parties de) la fonction. L'utilisation de ces graphiques est si répandue qu'on les appelle également le graphe de la fonction . Des représentations graphiques de fonctions sont également possibles dans d'autres systèmes de coordonnées. Par exemple, le graphe de la fonction carré.
constitué de tous les points ayant des coordonnéespourReprésentée en coordonnées cartésiennes, elle donne la parabole bien connue . Si la même fonction quadratiquele même graphique formel, constitué de paires de nombres, est représenté cette fois en coordonnées polaires. le graphique obtenu est la spirale de Fermat .
Tables peut être représentée par la table de multiplication familière En revanche, si le domaine d'une fonction est continu, un tableau peut fournir les valeurs de la fonction pour des valeurs spécifiques de ce domaine. Si une valeur intermédiaire est nécessaire, on peut utiliser l'interpolation pour estimer la valeur de la fonction. Par exemple, un extrait d'un tableau pour la fonction sinus pourrait être donné comme suit, les valeurs étant arrondies à 6 décimales :
Avant l'avènement des calculatrices de poche et des ordinateurs personnels, de telles tables étaient souvent compilées et publiées pour des fonctions telles que les logarithmes et les fonctions trigonométriques.
graphique à barres du domaine est représenté par un intervalle de l' axe des , est représentée par un rectangle dont la base est l'intervalle correspondant à (éventuellement négative, auquel cas la barre s'étend en dessous de l' axe , il existe une fonction unique, appelée laUne fonction vide application vide , de l'ensemble vide verssi et seulement si, bien que leurs graphes soient tous deux l' ensemble vide .Pour tout ensemble , il existe une unique fonction de , qui associe à chaque élément de . Il s'agit d'une surjection (voir ci-dessous) sauf si surjection canonique de Pour chaque sous-ensemble , l' application d'inclusion de est la fonction injective (voir ci-dessous) qui applique chaque élément de , souvent notée , est l'inclusion de Étant donné deux fonctionsetde sorte que le domaine de , leur composition est la fonctiondéfini par
C'est-à-dire la valeur deOn obtient y = f(x) en appliquant d'abord = ( puis à
La compositionL' opération d'addition est définie uniquement si le codomaine de la première fonction est le domaine de la seconde. Même lorsque les deuxetSi ces conditions sont satisfaites, la composition n'est pas nécessairement commutative , c'est-à-dire que les fonctionset f(x) et g (x) ne sont pas nécessairement égales et peuvent correspondre à des valeurs différentes pour un même argument. Par exemple, si et , alors…etd'accord juste pour
La composition de fonctions est associative en ce sens que, si l'une desetSi l'une est définie, alors l'autre l'est également, et elles sont égales, c'est-à-dire,Il est donc courant d'écrire simplement
Les fonctions d'identité etsont respectivement une identité à droite et une identité à gauche pour les fonctions de Autrement dit, si et de codomaine
Un exemple simple de composition de fonctions
Une autre composition. Dans cet exemple, .
Image et préimage image par du domaine . Si est un sous-ensemble quelconque de , alors l' image de , notée , est le sous-ensemble du codomaine constitué de toutes les images des éléments de L' image de est l'image de son domaine, c'est-à-dire . On l'appelle aussi l' image de d'un élément est l'ensemble de tous les éléments du domaine dont l'image par . En symboles, la réantéquence de
De même, l'image réciproque d'un sous-ensemble du codomaine est l'ensemble des images réciproques des éléments de , c'est-à-dire le sous-ensemble du domaine constitué de tous les éléments de dont les images appartiennent à B. le noteet est donnée par l'équation
Par exemple, la préimage desous la fonction carrée est l'ensemble.
Par définition d'une fonction, l'image d'un élément du domaine est toujours un unique élément du codomaine. Cependant, l'antécédent de x est différent de x.L'ensemble d'un élément est la fonction des entiers vers eux-mêmes qui associe à chaque entier la valeur 0, alors.
SiSi est une fonction, et sont des sous-ensembles de , et et sont des sous-ensembles de , alors on a les propriétés suivantes :
L'image antérieure par du codomaine est parfois appelée, dans certains contextes, la fibre de sous .
Si une fonction peut désigner soit l'image parou l'image réciproque de . Cela ne pose pas de problème, car ces ensembles sont égaux. La notationpeut être ambigu dans le cas d'ensembles qui contiennent certains sous-ensembles comme éléments, tels queDans ce cas, une certaine prudence peut être nécessaire, par exemple en utilisant des crochets.pour les images et les préimages de sous-ensembles et parenthèses ordinaires pour les images et les préimages d'éléments.
Fonctions injectives, surjectives et bijectives La fonction et de est injective si et seulement si, pour toutla préimagecontient au plus un élément. Une fonction vide est toujours injective. Si est injective si et seulement s'il existe une fonctiontel quec'est-à-dire si est injective, pour définir etsiInversement, siet alorset donc
La fonction , c'est-à-dire si, pour chaque élémentdu codomaine, il existe un élémentdu domaine tel que(autrement dit, la préimage)de chaqueest non vide). Si, comme c'est généralement le cas en mathématiques modernes, l' axiome du choix est supposé, alors c’est-à-dire si est surjective, on définit est un élément choisi arbitrairement de
La fonction est bijective si, pour toutla préimagecontient exactement un élément. La fonction et (Contrairement au cas des surjections, cela ne nécessite pas l'axiome du choix ; la preuve est simple).
Chaque fonctionpeut être factorisé comme la compositiond'une surjection suivie d'une injection, où sur et dans .
Les termes « un-à-un » et « sur-à » étaient plus courants dans la littérature anglaise ancienne ; « injectif », « surjectif » et « bijectif » ont été initialement forgés en français au cours du deuxième quart du XXe siècle par le groupe de Bourbaki et introduits en anglais. Attention : une « fonction un-à-un » est une fonction injective, tandis qu’une « correspondance un-à-un » désigne une fonction bijective. De plus, l’énoncé « applique sur » diffère de « applique sur », en ce que le premier implique que est surjective, tandis que le second ne se prononce pas sur la nature de . Dans un raisonnement complexe, cette différence d’une seule lettre peut facilement passer inaperçue. En raison de la complexité de cette terminologie ancienne, ces termes ont perdu de leur popularité au profit des termes bourbakiens, qui présentent par ailleurs l’avantage d’être plus symétriques.
Restriction et extension restriction deà S , noté, est la fonction de à définie par
Pour tout appartenant à , des restrictions peuvent être utilisées pour définir des fonctions inverses partielles : s'il existe un sous-ensemble du domaine d'une fonctiontel queest injective, alors la surjection canonique desur son imageest une bijection, et possède donc une fonction inverse deà Une application est la définition des fonctions trigonométriques inverses . Par exemple, la fonction cosinus est injective lorsqu'elle est restreinte à l' intervalle 0, π ] ] ] π ] arccosinus et notée de sorte que pour chaque pairedes indices, les restrictions deetàsont égales. Alors cela définit une fonction uniquetel quepour tout est une fonction soit une restriction de les nombres réels différents deet son image est l'ensemble de tous les nombres réels différents deSi l'on prolonge la droite réelle jusqu'à la droite réelle projectivement prolongée en incluant en une bijection de la droite réelle prolongée sur elle-même en posantet.
En calcul Graphique d'une fonction linéaire Graphique d'une fonction polynomiale, ici une fonction quadratique Graphique de deux fonctions trigonométriques : sinus et cosinus . Une fonction réelle est une fonction à valeurs réelles d'une variable réelle , c'est-à-dire une fonction dont le codomaine est le corps des nombres réels et dont le domaine est l'ensemble des nombres réels contenant un intervalle . Dans cette section, ces fonctions sont simplement appelées fonctions .
Les fonctions les plus fréquemment étudiées en mathématiques et dans leurs applications présentent certaines propriétés de régularité : elles sont continues , dérivables et parfois analytiques . Cette régularité permet de les visualiser graphiquement . Dans cette section, toutes les fonctions sont considérées comme dérivables sur un certain intervalle.
Les fonctions admettent des opérations ponctuelles , c'est-à-dire que si sont des fonctions, leur somme, leur différence et leur produit sont des fonctions définies par
Les domaines des fonctions résultantes sont l' intersection des domaines de . Le quotient de deux fonctions est défini de manière similaire par
mais le domaine de la fonction résultante est obtenu en supprimant les zéros de et hyperbole et dont le domaine est toute la droite réelle sauf 0.
La dérivée d'une fonction réelle dérivable est une fonction réelle. Une primitive d'une fonction réelle continue est une fonction réelle dont la dérivée est la fonction originale. Par exemple, la fonctionest continue, et même dérivable, sur les nombres réels positifs. Ainsi, une primitive, qui vaut zéro pour , est une fonction dérivable appelée logarithme népérien .
Une fonction réelle fonction inverse f', qui est une fonction réelle de domaine et d'image
tel que
Fonction à valeurs vectorielles topologiques de, comme les variétés . Ces fonctions à valeurs vectorielles sont appelées champs de vecteurs .
Espace fonctionnel Ensemble, les deux racines carrées de tous les nombres réels non négatifs forment une seule courbe lisse. Plusieurs méthodes de spécification des fonctions de variables réelles ou complexes partent d'une définition locale de la fonction en un point ou sur un voisinage de ce point, puis étendent la fonction par continuité à un domaine beaucoup plus vaste. Fréquemment, pour un point de départLa fonction peut accepter plusieurs valeurs initiales.
Par exemple, en définissant la racine carrée comme la fonction inverse de la fonction carré, pour tout nombre réel positifil existe deux choix pour la valeur de la racine carrée, dont l'un est positif et notéet une autre qui est négative et qui est désignéeCes choix définissent deux fonctions continues, ayant toutes deux pour domaine l'ensemble des nombres réels non négatifs et pour image soit l'ensemble des nombres réels non négatifs, soit l'ensemble des nombres réels non positifs. En observant les graphiques de ces fonctions, on constate qu'elles forment ensemble une seule courbe lisse . Il est donc souvent utile de considérer ces deux fonctions racine carrée comme une seule fonction qui prend deux valeurs pour négatif .
Dans l'exemple précédent, un choix, la racine carrée positive, paraît plus naturel que l'autre. Ce n'est pas toujours le cas. Par exemple, considérons la fonction implicite qui associe à de(voir la figure de droite). Pour on peut choisir soitPour −2, 2 ] ]
fonction multivoque de , et une seule valeur pour et .L'utilité du concept de fonctions multivoques est plus évidente lorsqu'on considère les fonctions complexes, notamment les fonctions analytiques . Le domaine auquel une fonction complexe peut être prolongée par prolongement analytique correspond généralement à la quasi-totalité du plan complexe . Cependant, lorsqu'on prolonge le domaine par deux chemins différents, on obtient souvent des valeurs différentes. Par exemple, en prolongeant le domaine de la fonction racine carrée par un chemin de nombres complexes à partie imaginaire positive, on obtient Il existe généralement deux manières de résoudre ce problème. On peut définir une fonction discontinue le long d'une courbe, appelée coupure de branche . Une telle fonction est appelée valeur principale de la fonction. L'autre manière consiste à considérer une fonction multivoque , analytique partout sauf en des singularités isolées, mais dont la valeur peut « sauter » si l'on suit une boucle fermée autour d'une singularité. Ce saut est appelé monodromie .
Dans les fondements des mathématiques La définition d'une fonction donnée dans cet article requiert la notion d' ensemble , puisque le domaine et le codomaine d'une fonction doivent être des ensembles. Cela ne pose généralement pas de problème en mathématiques usuelles, car il est généralement aisé de considérer uniquement des fonctions dont le domaine et le codomaine sont des ensembles, lesquels sont bien définis, même si le domaine n'est pas explicitement défini. Cependant, il est parfois utile de considérer des fonctions plus générales.
Par exemple, l' ensemble singleton peut être considéré comme une fonctionSon domaine inclurait tous les ensembles et ne serait donc pas un ensemble. En mathématiques usuelles, on évite ce type de problème en spécifiant un domaine, ce qui implique l'existence de nombreuses fonctions singleton. Cependant, lors de l'établissement des fondements des mathématiques, il peut être nécessaire d'utiliser des fonctions dont le domaine, le codomaine ou les deux ne sont pas spécifiés, et certains auteurs, souvent des logiciens, donnent des définitions précises pour ces fonctions faiblement spécifiées.
Ces fonctions généralisées peuvent s'avérer cruciales pour la formalisation des fondements des mathématiques . Par exemple, la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel est une extension de la théorie des ensembles dans laquelle l'ensemble de tous les ensembles est une classe . Cette théorie inclut l' axiome de substitution , qui peut s'énoncer ainsi : si une fonction, alors est un ensemble.
Dans d’autres formulations des fondements des mathématiques utilisant la théorie des types plutôt que la théorie des ensembles, les fonctions sont considérées comme des notions primitives plutôt que définies à partir d’autres types d’objets. Elles appartiennent aux types fonctionnels et peuvent être construites à l’aide d’expressions du lambda-calcul .
-termes), soit des applications de fonctions à des termes. La manipulation des termes s'effectue en interprétant ses axiomes (l' -équivalence, la -conversion) comme des règles de réécriture , utilisables pour le calcul.Dans sa forme originelle, le lambda-calcul n'inclut pas les concepts de domaine et de codomaine d'une fonction. Ces concepts ont été introduits dans la théorie sous le terme de type dans le lambda-calcul typé . La plupart des lambda-calculs typés peuvent définir moins de fonctions que le lambda-calcul non typé.
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Dans ce cas, un calcul, appelé 
Dans cette notation, de est la valeur de la fonction f en par la fonction f. L' image d'une fonction , parfois appelée son 
On peut écrire
le résultat , on écrit et l'image est 1, ∞) ; pour le dernier, le domaine est et l'image est . Comme les trois graphiques forment ensemble une courbe lisse, et qu'il n'y a aucune raison de privilégier un choix, ces trois fonctions sont souvent considérées comme une seule fonction multivoque de , et une seule valeur pour et .