Arithmétique

L'arithmétique est une branche élémentaire des mathématiques qui étudie les opérations numériques comme l'addition , la soustraction , la multiplication et la division . Dans un sens plus large, elle comprend également l'exponentiation , l'extraction de racines et la prise de logarithmes .

Les systèmes arithmétiques peuvent être distingués en fonction du type de nombres sur lesquels ils opèrent. L'arithmétique des nombres entiers concerne les calculs avec des entiers positifs et négatifs . L'arithmétique des nombres rationnels implique des opérations sur des fractions d'entiers. L'arithmétique des nombres réels concerne les calculs avec des nombres réels , qui incluent à la fois des nombres rationnels et irrationnels .

Une autre distinction repose sur le système numérique utilisé pour effectuer les calculs. L'arithmétique décimale est la plus courante. Elle utilise les chiffres de base de 0 à 9 et leurs combinaisons pour exprimer des nombres . L'arithmétique binaire , en revanche, est utilisée par la plupart des ordinateurs et représente les nombres sous forme de combinaisons des chiffres de base 0 et 1. L'arithmétique informatique traite des spécificités de la mise en œuvre de l'arithmétique binaire sur les ordinateurs . Certains systèmes arithmétiques opèrent sur des objets mathématiques autres que des nombres, comme l'arithmétique des intervalles et l'arithmétique des matrices .

Les opérations arithmétiques constituent la base de nombreuses branches des mathématiques, telles que l'algèbre , le calcul et les statistiques . Elles jouent un rôle similaire dans les sciences , comme la physique et l'économie . L'arithmétique est présente dans de nombreux aspects de la vie quotidienne , par exemple pour calculer la monnaie lors des courses ou pour gérer les finances personnelles . C'est l'une des premières formes d' enseignement des mathématiques que les étudiants rencontrent. Ses fondements cognitifs et conceptuels sont étudiés par la psychologie et la philosophie .

La pratique de l'arithmétique remonte à au moins des milliers, voire des dizaines de milliers d'années. Des civilisations antiques comme les Égyptiens et les Sumériens ont inventé des systèmes numériques pour résoudre des problèmes arithmétiques pratiques vers 3000 av. J.-C. À partir des VIIe et VIe siècles av. J.-C., les Grecs de l'Antiquité ont initié une étude plus abstraite des nombres et ont introduit la méthode des preuves mathématiques rigoureuses . Les anciens Indiens ont développé le concept de zéro et le système décimal , que les mathématiciens arabes ont affiné et diffusé dans le monde occidental au cours de la période médiévale. Les premières calculatrices mécaniques ont été inventées au XVIIe siècle. Les XVIIIe et XIXe siècles ont vu le développement de la théorie moderne des nombres et la formulation des fondements axiomatiques de l'arithmétique. Au XXe siècle, l'émergence des calculatrices électroniques et des ordinateurs a révolutionné la précision et la rapidité avec lesquelles les calculs arithmétiques pouvaient être effectués.

L'arithmétique est la branche fondamentale des mathématiques qui étudie les nombres et leurs opérations. Elle traite notamment des calculs numériques utilisant les opérations arithmétiques d' addition , de soustraction , de multiplication et de division . Dans un sens plus large, elle comprend également l'exponentiation , l'extraction de racines et le logarithme . Le terme « arithmétique » trouve sa racine dans le terme latin « arithmetica » qui dérive des mots grecs anciens ἀριθμός (arithmos), qui signifie « nombre », et ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), qui signifie « l'art de compter ».

Il existe des désaccords sur sa définition précise. Selon une caractérisation étroite, l'arithmétique ne traite que des nombres naturels . Cependant, l'opinion la plus courante est d'inclure dans son champ d'application les opérations sur les entiers , les nombres rationnels , les nombres réels et parfois aussi les nombres complexes . Certaines définitions limitent l'arithmétique au domaine des calculs numériques. Lorsqu'elle est comprise dans un sens plus large, elle comprend également l'étude de la façon dont le concept de nombres s'est développé, l'analyse des propriétés et des relations entre les nombres et l'examen de la structure axiomatique des opérations arithmétiques.

L'arithmétique est étroitement liée à la théorie des nombres et certains auteurs utilisent ces termes comme synonymes. Cependant, dans un sens plus spécifique, la théorie des nombres se limite à l'étude des entiers et se concentre sur leurs propriétés et relations telles que la divisibilité , la factorisation et la primalité . Traditionnellement, elle est connue sous le nom d'arithmétique supérieure.

Les nombres sont des objets mathématiques utilisés pour compter des quantités et mesurer des grandeurs. Ce sont des éléments fondamentaux de l'arithmétique puisque toutes les opérations arithmétiques sont effectuées sur des nombres. Il existe différents types de nombres et différents systèmes numériques pour les représenter.

Les principaux types de nombres utilisés en arithmétique sont les nombres naturels , les nombres entiers, les nombres entiers , les nombres rationnels et les nombres réels . Les nombres naturels sont des nombres entiers qui commencent à 1 et vont à l'infini. Ils excluent 0 et les nombres négatifs. Ils sont également connus sous le nom de nombres de comptage et peuvent être exprimés comme . Le symbole des nombres naturels est . Les nombres entiers sont identiques aux nombres naturels à la seule différence qu'ils incluent 0. Ils peuvent être représentés comme et ont le symbole . Certains mathématiciens ne font pas la distinction entre les nombres naturels et les nombres entiers en incluant 0 dans l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des entiers englobe les nombres entiers positifs et négatifs. Il a le symbole et peut être exprimé comme .

En fonction de la manière dont les nombres naturels et entiers sont utilisés, on peut les distinguer en nombres cardinaux et ordinaux . Les nombres cardinaux, comme un, deux et trois, sont des nombres qui expriment la quantité d'objets. Ils répondent à la question « combien ? ». Les nombres ordinaux, comme premier, deuxième et troisième, indiquent l'ordre ou le placement dans une série. Ils répondent à la question « quelle position ? ».

Un nombre est rationnel s'il peut être représenté comme le rapport de deux entiers. Par exemple, le nombre rationnel est formé en divisant l'entier 1, appelé numérateur, par l'entier 2, appelé dénominateur. D'autres exemples sont et . L'ensemble des nombres rationnels comprend tous les entiers, qui sont des fractions avec un dénominateur de 1. Le symbole des nombres rationnels est . Les fractions décimales comme 0,3 et 25,12 sont un type particulier de nombres rationnels puisque leur dénominateur est une puissance de 10. Par exemple, 0,3 est égal à , et 25,12 est égal à . Chaque nombre rationnel correspond à un nombre décimal fini ou répétitif .

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés par le rapport de deux entiers. Ils sont souvent nécessaires pour décrire des grandeurs géométriques. Par exemple, si un triangle rectangle a des côtés de longueur 1, alors la longueur de son hypoténuse est donnée par le nombre irrationnel . π est un autre nombre irrationnel et décrit le rapport entre la circonférence d' un cercle et son diamètre . La représentation décimale d'un nombre irrationnel est infinie sans décimales répétées. L'ensemble des nombres rationnels ainsi que l'ensemble des nombres irrationnels constituent l'ensemble des nombres réels. Le symbole des nombres réels est . Des classes de nombres encore plus larges incluent les nombres complexes et les quaternions .

Un chiffre est un symbole qui représente un nombre et les systèmes numériques sont des cadres de représentation. Ils ont généralement un nombre limité de chiffres de base, qui se réfèrent directement à certains nombres. Le système régit la manière dont ces chiffres de base peuvent être combinés pour exprimer n'importe quel nombre. Les systèmes numériques sont soit positionnels , soit non positionnels. Tous les premiers systèmes numériques étaient non positionnels. Pour les systèmes numériques non positionnels, la valeur d'un chiffre ne dépend pas de sa position dans le nombre.

Le système de numération non positionnel le plus simple est le système de numération unaire . Il repose sur un symbole pour le nombre 1. Tous les nombres supérieurs s'écrivent en répétant ce symbole. Par exemple, le nombre 7 peut être représenté en répétant le symbole de 1 sept fois. Ce système rend difficile l'écriture de grands nombres, c'est pourquoi de nombreux systèmes non positionnels incluent des symboles supplémentaires pour représenter directement des nombres plus grands. Des variantes des systèmes de numération unaire sont utilisées dans les bâtons de comptage utilisant des bosses et dans les marques de comptage .

Les hiéroglyphes égyptiens avaient un système de numération non positionnel plus complexe . Ils ont des symboles supplémentaires pour les nombres comme 10, 100, 1000 et 10 000. Ces symboles peuvent être combinés en une somme pour exprimer plus facilement des nombres plus grands. Par exemple, le nombre 10 405 utilise une fois le symbole de 10 000, quatre fois le symbole de 100 et cinq fois le symbole de 1. Un cadre similaire bien connu est le système de numération romain . Il a les symboles I, V, X, L, C, D, M comme chiffres de base pour représenter les nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 et 1000.

Un système de numération est positionnel si la position d'un chiffre de base dans une expression composée détermine sa valeur. Les systèmes de numération positionnels ont une base qui agit comme un multiplicande des différentes positions. Pour chaque position suivante, la base est élevée à une puissance supérieure. Dans le système décimal commun, également appelé système de numération hindou-arabe , la base est 10. Cela signifie que le premier chiffre est multiplié par , le chiffre suivant est multiplié par , et ainsi de suite. Par exemple, le chiffre décimal 532 représente . En raison de l'effet de la position des chiffres, le chiffre 532 diffère des chiffres 325 et 253 même s'ils ont les mêmes chiffres.

Un autre système de numération positionnelle largement utilisé en arithmétique informatique est le système binaire , qui a une base de 2. Cela signifie que le premier chiffre est multiplié par , le chiffre suivant par , et ainsi de suite. Par exemple, le nombre 13 s'écrit 1101 dans la notation binaire, qui signifie . En informatique, chaque chiffre de la notation binaire correspond à un bit . Le premier système de numération positionnelle a été développé par les anciens Babyloniens et avait une base de 60.

Les opérations arithmétiques sont des moyens de combiner, de transformer ou de manipuler des nombres. Ce sont des fonctions qui ont des nombres à la fois comme entrée et comme sortie. Les opérations les plus importantes en arithmétique sont l'addition , la soustraction , la multiplication et la division . D'autres opérations incluent l'exponentiation , l'extraction de racines et le logarithme . Si ces opérations sont effectuées sur des variables plutôt que sur des nombres, elles sont parfois appelées opérations algébriques .

Deux concepts importants en relation avec les opérations arithmétiques sont les éléments d'identité et les éléments inverses . L'élément d'identité ou élément neutre d'une opération n'entraîne aucun changement s'il est appliqué à un autre élément. Par exemple, l'élément d'identité de l'addition est 0 puisque toute somme d'un nombre et de 0 donne le même nombre. L'élément inverse est l'élément qui donne l'élément d'identité lorsqu'il est combiné avec un autre élément. Par exemple, l' inverse additif du nombre 6 est -6 puisque leur somme est 0.

Il n'y a pas que des éléments inverses mais aussi des opérations inverses . Dans un sens informel, une opération est l'inverse d'une autre opération si elle annule la première opération. Par exemple, la soustraction est l'inverse de l'addition puisqu'un nombre revient à sa valeur d'origine si un deuxième nombre est d'abord ajouté puis soustrait, comme dans . Définie de manière plus formelle, l'opération " " est l'inverse de l'opération " " si elle remplit la condition suivante : si et seulement si .

La commutativité et l'associativité sont des lois qui régissent l'ordre dans lequel certaines opérations arithmétiques peuvent être effectuées. Une opération est commutative si l'ordre des arguments peut être modifié sans affecter les résultats. C'est le cas pour l'addition, par exemple, est identique à . L'associativité est une règle qui affecte l'ordre dans lequel une série d'opérations peut être effectuée. Une opération est associative si, dans une série de deux opérations, l'opération effectuée en premier n'a pas d'importance. C'est le cas pour la multiplication, par exemple, puisque est identique à .

L'addition est une opération arithmétique dans laquelle deux nombres, appelés les termes, sont combinés en un seul nombre, appelé la somme. Le symbole de l'addition est . Les exemples sont et . Le terme sommation est utilisé si plusieurs additions sont effectuées à la suite. Le comptage est un type d'addition répétée dans laquelle le nombre 1 est ajouté en continu.

La soustraction est l'inverse de l'addition. Dans ce cas, un nombre, appelé soustraction, est soustrait d'un autre, appelé diminution. Le résultat de cette opération est appelé la différence. Le symbole de la soustraction est . Les exemples sont et . La soustraction est souvent traitée comme un cas particulier d'addition : au lieu de soustraire un nombre positif, il est également possible d'ajouter un nombre négatif. Par exemple . Cela permet de simplifier les calculs mathématiques en réduisant le nombre d'opérations arithmétiques de base nécessaires pour effectuer des calculs.

L'élément d'identité additif est 0 et l'inverse additif d'un nombre est l'inverse de ce nombre. Par exemple, et . L'addition est à la fois commutative et associative.

La multiplication est une opération arithmétique dans laquelle deux nombres, appelés multiplicateur et multiplicande, sont combinés en un seul nombre appelé produit . Les symboles de multiplication sont , , et *. Les exemples sont et . Si le multiplicande est un nombre naturel, la multiplication est la même que l'addition répétée, comme dans .

La division est l'inverse de la multiplication. Dans cette opération, un nombre, appelé dividende, est divisé en plusieurs parties égales par un autre nombre, appelé diviseur. Le résultat de cette opération est appelé quotient . Les symboles de la division sont et . Des exemples sont et . La division est souvent considérée comme un cas particulier de multiplication : au lieu de diviser par un nombre, il est également possible de multiplier par son inverse . L'inverse d'un nombre est 1 divisé par ce nombre. Par exemple, .

L' élément d'identité multiplicatif est 1 et l'inverse multiplicatif d'un nombre est la réciproque de ce nombre. Par exemple, et . La multiplication est à la fois commutative et associative.

L'exponentiation est une opération arithmétique dans laquelle un nombre, appelé base, est élevé à la puissance d'un autre nombre, appelé exposant. Le résultat de cette opération est appelé puissance. L'exponentiation est parfois exprimée à l'aide du symbole ^, mais la manière la plus courante consiste à écrire l'exposant en exposant juste après la base. Les exemples sont et ^ . Si l'exposant est un nombre naturel, l'exponentiation est la même que la multiplication répétée, comme dans .

Les racines sont un type particulier d'exponentiation utilisant un exposant fractionnaire. Par exemple, la racine carrée d'un nombre revient à élever le nombre à la puissance de et la racine cubique d'un nombre revient à élever le nombre à la puissance de . Les exemples sont et .

Le logarithme est l'inverse de l'exponentiation. Le logarithme d'un nombre à la base est l' exposant auquel il faut élever pour produire . Par exemple, puisque , le logarithme de base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de à base est noté , ou sans parenthèses, , ou même sans la base explicite, , lorsque la base peut être comprise à partir du contexte. Ainsi, l'exemple précédent peut s'écrire .

L'exponentiation et le logarithme n'ont pas d'éléments d'identité générale ni d'éléments inverses comme l'addition et la multiplication. L'élément neutre de l'exponentiation par rapport à l'exposant est 1, comme dans . Cependant, l'exponentiation n'a pas d'élément d'identité générale puisque 1 n'est pas l'élément neutre pour la base. L'exponentiation et le logarithme ne sont ni commutatifs ni associatifs.

Différents types de systèmes arithmétiques sont étudiés dans la littérature académique. Ils diffèrent les uns des autres en fonction du type de nombre sur lequel ils opèrent, du système numérique qu'ils utilisent pour les représenter et du fait qu'ils opèrent ou non sur des objets mathématiques autres que des nombres.

L'arithmétique des nombres entiers est la branche de l'arithmétique qui traite de la manipulation des nombres entiers positifs et négatifs. Des opérations simples à un chiffre peuvent être effectuées en suivant ou en mémorisant un tableau qui présente les résultats de toutes les combinaisons possibles, comme une table d'addition ou une table de multiplication . D'autres méthodes courantes sont le comptage verbal et le comptage des doigts .

Pour les opérations sur des nombres à plusieurs chiffres, différentes techniques peuvent être employées pour calculer le résultat en utilisant plusieurs opérations à un chiffre à la suite. Par exemple, dans la méthode addition avec retenue , les deux nombres sont écrits l'un au-dessus de l'autre. En partant du chiffre le plus à droite, chaque paire de chiffres est additionnée. Le chiffre le plus à droite de la somme est écrit en dessous. Si la somme est un nombre à deux chiffres, le chiffre le plus à gauche, appelé « retenue », est ajouté à la paire de chiffres suivante à gauche. Ce processus est répété jusqu'à ce que tous les chiffres aient été ajoutés. D'autres méthodes utilisées pour les additions d'entiers sont la méthode de la droite numérique , la méthode de la somme partielle et la méthode de compensation. Une technique similaire est utilisée pour la soustraction : elle commence également par le chiffre le plus à droite et utilise un « emprunt » ou une retenue négative pour la colonne de gauche si le résultat de la soustraction à un chiffre est négatif.

Une technique de base de multiplication d'entiers utilise l'addition répétée. Par exemple, le produit de peut être calculé comme . Une technique courante pour la multiplication avec des nombres plus grands est appelée multiplication longue . Cette méthode commence par écrire le multiplicateur au-dessus du multiplicande. Le calcul commence par multiplier le multiplicateur uniquement avec le chiffre le plus à droite du multiplicande et écrire le résultat en dessous, en commençant dans la colonne la plus à droite. La même chose est faite pour chaque chiffre du multiplicande et le résultat dans chaque cas est décalé d'une position vers la gauche. Comme étape finale, tous les produits individuels sont additionnés pour arriver au produit total des deux nombres à plusieurs chiffres. D'autres techniques utilisées pour la multiplication sont la méthode de la grille et la méthode du treillis . L'informatique s'intéresse aux algorithmes de multiplication avec une faible complexité de calcul pour pouvoir multiplier efficacement de très grands entiers, tels que l' algorithme de Karatsuba , l' algorithme de Schönhage-Strassen et l' algorithme de Toom-Cook . Une technique courante utilisée pour la division est appelée division longue . D'autres méthodes incluent la division courte et le découpage en morceaux .

L'arithmétique des nombres entiers n'est pas fermée lors de la division. Cela signifie que lorsque l'on divise un nombre entier par un autre nombre entier, le résultat n'est pas toujours un nombre entier. Par exemple, 7 divisé par 2 n'est pas un nombre entier mais 3,5. Une façon de s'assurer que le résultat est un nombre entier est d' arrondir le résultat à un nombre entier. Cependant, cette méthode conduit à des inexactitudes car la valeur d'origine est modifiée. Une autre méthode consiste à effectuer la division seulement partiellement et à conserver le reste . Par exemple, 7 divisé par 2 est 3 avec un reste de 1. Ces difficultés sont évitées par l'arithmétique des nombres rationnels, qui permet la représentation exacte des fractions.

Une méthode simple pour calculer l'exponentiation consiste à effectuer une multiplication répétée. Par exemple, l'exponentiation de peut être calculée comme . Une technique plus efficace utilisée pour les grands exposants est l'exponentiation par mise au carré de . Elle décompose le calcul en un certain nombre d'opérations de mise au carré. Par exemple, l'exponentiation peut être écrite comme . En tirant parti des opérations de mise au carré répétées, seules 7 opérations individuelles sont nécessaires plutôt que les 64 opérations requises pour une multiplication répétée régulière. Les méthodes de calcul des logarithmes incluent la série de Taylor et les fractions continues . L'arithmétique des entiers n'est pas fermée sous le logarithme et sous l'exponentiation avec des exposants négatifs, ce qui signifie que le résultat de ces opérations n'est pas toujours un entier.

La théorie des nombres étudie la structure et les propriétés des entiers ainsi que les relations et les lois entre eux. Certaines des principales branches de la théorie moderne des nombres comprennent la théorie élémentaire des nombres , la théorie analytique des nombres , la théorie algébrique des nombres et la théorie géométrique des nombres . La théorie élémentaire des nombres étudie les aspects des entiers qui peuvent être étudiés à l'aide de méthodes élémentaires. Ses sujets comprennent la divisibilité , la factorisation et la primalité . La théorie analytique des nombres, en revanche, s'appuie sur des techniques d'analyse et de calcul. Elle examine des problèmes tels que la façon dont les nombres premiers sont distribués et l'affirmation selon laquelle tout nombre pair est une somme de deux nombres premiers . La théorie algébrique des nombres utilise des structures algébriques pour analyser les propriétés et les relations entre les nombres. Les exemples sont l'utilisation de corps et d'anneaux , comme dans les corps de nombres algébriques comme l' anneau des entiers . La théorie géométrique des nombres utilise des concepts de géométrie pour étudier les nombres. Par exemple, elle étudie comment les points de treillis avec des coordonnées entières se comportent dans un plan. D'autres branches de la théorie des nombres sont la théorie probabiliste des nombres , qui utilise des méthodes de la théorie des probabilités , la théorie combinatoire des nombres , qui s'appuie sur le domaine de la combinatoire , la théorie computationnelle des nombres , qui aborde les problèmes de théorie des nombres avec des méthodes computationnelles, et la théorie appliquée des nombres, qui examine l'application de la théorie des nombres à des domaines comme la physique , la biologie et la cryptographie .

Les théorèmes influents en théorie des nombres comprennent le théorème fondamental de l'arithmétique , le théorème d'Euclide et le dernier théorème de Fermat . Selon le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier supérieur à 1 est soit un nombre premier, soit peut être représenté comme un produit unique de nombres premiers. Par exemple, le nombre 18 n'est pas un nombre premier et peut être représenté par , qui sont tous des nombres premiers. Le nombre 19 , en revanche, est un nombre premier qui n'a pas d'autre factorisation première. Le théorème d'Euclide stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers. Le dernier théorème de Fermat est l'affirmation selon laquelle aucune valeur entière positive ne peut être trouvée pour , et , pour résoudre l'équation si est supérieur à .

L'arithmétique des nombres rationnels est la branche de l'arithmétique qui traite de la manipulation de nombres qui peuvent être exprimés comme un rapport de deux entiers. La plupart des opérations arithmétiques sur les nombres rationnels peuvent être calculées en effectuant une série d'opérations arithmétiques sur les nombres entiers sur les numérateurs et les dénominateurs des nombres concernés. Si deux nombres rationnels ont le même dénominateur, ils peuvent être additionnés en additionnant leurs numérateurs et en conservant le dénominateur commun. Par exemple, . Une procédure similaire est utilisée pour la soustraction. Si les deux nombres n'ont pas le même dénominateur, ils doivent être transformés pour trouver un dénominateur commun. Cela peut être réalisé en mettant à l'échelle le premier nombre avec le dénominateur du deuxième nombre tout en mettant à l'échelle le deuxième nombre avec le dénominateur du premier nombre. Par exemple, .

Deux nombres rationnels sont multipliés en multipliant respectivement leurs numérateurs et leurs dénominateurs, comme dans . La division d'un nombre rationnel par un autre peut être obtenue en multipliant le premier nombre par l' inverse du deuxième nombre. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur du deuxième nombre changent de position. Par exemple, . Contrairement à l'arithmétique des nombres entiers, l'arithmétique des nombres rationnels est fermée sous la division tant que le diviseur n'est pas 0.

L'arithmétique des nombres entiers et l'arithmétique des nombres rationnels ne sont pas fermées sous l'exponentiation et le logarithme. Une façon de calculer l'exponentiation avec un exposant fractionnaire consiste à effectuer deux calculs distincts : une exponentiation utilisant le numérateur de l'exposant suivie du tirage de la racine n-ième du résultat en fonction du dénominateur de l'exposant. Par exemple, . La première opération peut être réalisée à l'aide de méthodes telles que la multiplication répétée ou l'exponentiation par mise au carré. Une façon d'obtenir un résultat approximatif pour la deuxième opération est d'utiliser la méthode de Newton , qui utilise une série d'étapes pour affiner progressivement une estimation initiale jusqu'à ce qu'elle atteigne le niveau de précision souhaité. La série de Taylor ou la méthode des fractions continues peuvent être utilisées pour calculer les logarithmes.

La notation décimale est une manière particulière de représenter les nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de 10. Par exemple, les nombres rationnels , et s'écrivent 0,1, 3,71 et 0,0044 dans la notation décimale. Des versions modifiées des méthodes de calcul d'entiers comme l'addition avec retenue et la multiplication longue peuvent être appliquées aux calculs avec des fractions décimales. Tous les nombres rationnels n'ont pas une représentation finie dans la notation décimale. Par exemple, le nombre rationnel correspond à 0,333... avec un nombre infini de 3. La notation abrégée pour ce type de décimale répétitive est 0,3 . [ Chaque décimale répétitive exprime un nombre rationnel.

L'arithmétique des nombres réels est la branche de l'arithmétique qui traite de la manipulation des nombres rationnels et irrationnels. Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés par des fractions ou des décimales répétées, comme la racine de 2 et π . [ ] Contrairement à l'arithmétique des nombres rationnels, l'arithmétique des nombres réels est fermée sous l'exponentiation tant qu'elle utilise un nombre positif comme base. Il en va de même pour le logarithme des nombres réels positifs tant que la base du logarithme est positive et non 1.

Les nombres irrationnels impliquent une série infinie de chiffres décimaux non répétitifs. De ce fait, il n'existe souvent aucun moyen simple et précis d'exprimer les résultats d'opérations arithmétiques telles que ou . Dans les cas où une précision absolue n'est pas requise, le problème du calcul des opérations arithmétiques sur les nombres réels est généralement résolu par troncature ou arrondissement . Pour la troncature, un certain nombre de chiffres les plus à gauche sont conservés et les chiffres restants sont supprimés ou remplacés par des zéros. Par exemple, le nombre π a un nombre infini de chiffres commençant par 3,14159.... Si ce nombre est tronqué à 4 décimales, le résultat est 3,141. L'arrondi est un processus similaire dans lequel le dernier chiffre conservé est augmenté d'une unité si le chiffre suivant est 5 ou plus mais reste le même si le chiffre suivant est inférieur à 5, de sorte que le nombre arrondi est la meilleure approximation d'une précision donnée pour le nombre d'origine. Par exemple, si le nombre π est arrondi à 4 décimales, le résultat est 3,142 car le chiffre suivant est un 5, donc 3,142 est plus proche de π que 3,141. Ces méthodes permettent aux ordinateurs d'effectuer efficacement des calculs approximatifs sur des nombres réels.

En sciences et en ingénierie, les nombres représentent des estimations de quantités physiques dérivées de mesures ou de modélisations. Contrairement aux nombres mathématiquement exacts tels que π ou ⁠ ⁠ , les données numériques scientifiquement pertinentes sont intrinsèquement inexactes, impliquant une certaine incertitude de mesure . Une façon simple d'exprimer le degré de certitude sur la valeur de chaque nombre et d'éviter une fausse précision est d'arrondir chaque mesure à un certain nombre de chiffres, appelés chiffres significatifs , qui sont supposés être exacts. Par exemple, la taille d'une personne mesurée avec un ruban à mesurer peut n'être connue avec précision qu'au centimètre près, elle doit donc être présentée comme 1,62 mètre plutôt que 1,6217 mètre. Si elle est convertie en unités impériales, cette quantité doit être arrondie à 64 pouces ou 63,8 pouces plutôt qu'à 63,7795 pouces, pour transmettre clairement la précision de la mesure. Lorsqu'un nombre est écrit en notation décimale ordinaire, les zéros de début ne sont pas significatifs et les zéros de fin de nombres non écrits avec un point décimal sont implicitement considérés comme non significatifs. Par exemple, les nombres 0,056 et 1200 n'ont chacun que 2 chiffres significatifs, mais le nombre 40,00 en a 4. Représenter l'incertitude en utilisant uniquement des chiffres significatifs est une méthode relativement grossière, avec quelques subtilités peu intuitives ; garder explicitement trace d'une estimation ou d'une limite supérieure de l' erreur d'approximation est une approche plus sophistiquée. Dans l'exemple, la taille de la personne pourrait être représentée comme 1,62 ± 0,005 mètres ou 63,8 ± 0,2 pouces .

Lors de calculs avec des quantités incertaines, l' incertitude doit être propagée aux quantités calculées. Lors de l'addition ou de la soustraction de deux quantités ou plus, additionnez les incertitudes absolues de chaque somme pour obtenir l'incertitude absolue de la somme. Lors de la multiplication ou de la division de deux quantités ou plus, additionnez les incertitudes relatives de chaque facteur pour obtenir l'incertitude relative du produit. Lors de la représentation de l'incertitude par des chiffres significatifs, l'incertitude peut être grossièrement propagée en arrondissant le résultat de l'addition ou de la soustraction de deux quantités ou plus à la dernière décimale significative la plus à gauche parmi les sommes, et en arrondissant le résultat de la multiplication ou de la division de deux quantités ou plus au plus petit nombre de chiffres significatifs parmi les facteurs. (Voir Chiffres significatifs § Arithmétique .)

Des méthodes plus sophistiquées de traitement des valeurs incertaines incluent l'arithmétique d'intervalle et l'arithmétique affine . L'arithmétique d'intervalle décrit les opérations sur les intervalles . Les intervalles peuvent être utilisés pour représenter une plage de valeurs si l'on ne connaît pas la grandeur précise, par exemple, en raison d' erreurs de mesure . L'arithmétique d'intervalle comprend des opérations comme l'addition et la multiplication sur des intervalles, comme dans et . Elle est étroitement liée à l'arithmétique affine, qui vise à donner des résultats plus précis en effectuant des calculs sur des formes affines plutôt que sur des intervalles. Une forme affine est un nombre accompagné de termes d'erreur qui décrivent comment le nombre peut s'écarter de la grandeur réelle.

La précision des quantités numériques peut être exprimée de manière uniforme à l'aide de la notation scientifique normalisée , qui est également pratique pour représenter de manière concise des nombres bien supérieurs ou inférieurs à 1. À l'aide de la notation scientifique, un nombre est décomposé en le produit d'un nombre compris entre 1 et 10, appelé mantisse , et de 10 élevé à une puissance entière, appelée exposant . La mantisse se compose des chiffres significatifs du nombre et s'écrit sous la forme d'un chiffre initial compris entre 1 et 9 suivi d'un point décimal et d'une séquence de chiffres compris entre 0 et 9. Par exemple, la notation scientifique normalisée du nombre 8276000 est avec la mantisse 8,276 et l'exposant 6, et la notation scientifique normalisée du nombre 0,00735 est avec la mantisse 7,35 et l'exposant −3. Contrairement à la notation décimale ordinaire, où les zéros de fin de grands nombres sont implicitement considérés comme non significatifs, dans la notation scientifique, chaque chiffre de la mantisse est considéré comme significatif, et l'ajout de zéros de fin indique une précision plus élevée. Par exemple, alors que le nombre 1200 n'a implicitement que 2 chiffres significatifs, le nombre ⁠ ⁠ en a explicitement 3.

Une méthode courante utilisée par les ordinateurs pour approximer l'arithmétique des nombres réels est appelée arithmétique à virgule flottante . Elle représente les nombres réels de manière similaire à la notation scientifique par trois nombres : une mantisse, une base et un exposant. La précision de la mantisse est limitée par le nombre de bits alloués pour la représenter. Si une opération arithmétique aboutit à un nombre qui nécessite plus de bits que ceux disponibles, l'ordinateur arrondit le résultat au nombre représentable le plus proche. Cela conduit à des erreurs d'arrondi . Une conséquence de ce comportement est que certaines lois de l'arithmétique sont violées par l'arithmétique à virgule flottante. Par exemple, l'addition à virgule flottante n'est pas associative puisque les erreurs d'arrondi introduites peuvent dépendre de l'ordre des additions. Cela signifie que le résultat de est parfois différent du résultat de . La norme technique la plus courante utilisée pour l'arithmétique à virgule flottante est appelée IEEE 754 . Elle détermine notamment la manière dont les nombres sont représentés, la manière dont les opérations arithmétiques et les arrondis sont effectués, ainsi que la manière dont les erreurs et les exceptions sont traitées. Dans les cas où la vitesse de calcul n'est pas un facteur limitant, il est possible d'utiliser une arithmétique de précision arbitraire , pour laquelle la précision des calculs n'est limitée que par la mémoire de l'ordinateur.

Les formes d'arithmétique peuvent également être distinguées par les outils utilisés pour effectuer les calculs et incluent de nombreuses approches en plus de l'utilisation habituelle du stylo et du papier. Le calcul mental repose exclusivement sur l' esprit sans outils externes. Au lieu de cela, il utilise la visualisation, la mémorisation et certaines techniques de calcul pour résoudre les problèmes arithmétiques. L'une de ces techniques est la méthode de compensation, qui consiste à modifier les nombres pour faciliter le calcul, puis à ajuster le résultat par la suite. Par exemple, au lieu de calculer , on calcule lequel est le plus facile car il utilise un nombre rond. Dans l'étape suivante, on ajoute au résultat pour compenser l'ajustement précédent. Le calcul mental est souvent enseigné dans l'enseignement primaire pour entraîner les capacités numériques des élèves.

Le corps humain peut également être utilisé comme outil arithmétique. L'utilisation des mains pour compter les doigts est souvent présentée aux jeunes enfants pour leur apprendre les nombres et les calculs simples. Dans sa forme la plus élémentaire, le nombre de doigts étendus correspond à la quantité représentée et les opérations arithmétiques comme l'addition et la soustraction sont effectuées en étendant ou en rétractant les doigts. Ce système est limité aux petits nombres tandis que des systèmes plus avancés utilisent également des approches différentes pour représenter des quantités plus importantes. La ​​voix humaine est utilisée comme aide arithmétique dans le comptage verbal.

Les marques de pointage sont un système simple basé sur des outils externes autres que le corps. Il s'appuie sur des traits dessinés sur une surface ou des encoches dans un bâton en bois pour suivre les quantités. Certaines formes de marques de pointage organisent les traits en groupes de cinq pour les rendre plus faciles à lire. L'abaque est un outil plus avancé pour représenter les nombres et effectuer des calculs. Un abaque se compose généralement d'une série de tiges, chacune contenant plusieurs perles . Chaque perle représente une quantité, qui est comptée si la perle est déplacée d'une extrémité d'une tige à l'autre. Les calculs se produisent en manipulant les positions des perles jusqu'à ce que le motif final de perles révèle le résultat. Les aides connexes comprennent les tableaux de comptage , qui utilisent des jetons dont la valeur dépend de la zone du tableau dans laquelle ils sont placés, et les tiges de comptage , qui sont disposées selon des motifs horizontaux et verticaux pour représenter différents nombres. Les secteurs et les règles à calcul sont des instruments de calcul plus raffinés qui s'appuient sur des relations géométriques entre différentes échelles pour effectuer des opérations arithmétiques de base et avancées. Les tableaux imprimés étaient particulièrement pertinents comme aide pour rechercher les résultats d'opérations telles que le logarithme et les fonctions trigonométriques .

Les calculatrices mécaniques automatisent les processus de calcul manuel. Elles présentent à l'utilisateur une forme de dispositif d'entrée pour saisir des chiffres en tournant des cadrans ou en appuyant sur des touches. Elles comprennent un mécanisme interne généralement composé d' engrenages , de leviers et de roues pour effectuer des calculs et afficher les résultats. Pour les calculatrices électroniques et les ordinateurs , cette procédure est encore affinée en remplaçant les composants mécaniques par des circuits électroniques tels que des microprocesseurs qui combinent et transforment les signaux électriques pour effectuer des calculs.

Il existe de nombreux autres types d'arithmétique. L'arithmétique modulaire fonctionne sur un ensemble fini de nombres. Si une opération aboutit à un nombre en dehors de cet ensemble fini, ce nombre est réajusté dans l'ensemble, de la même manière que les aiguilles d'une horloge recommencent au début après avoir terminé un cycle. Le nombre auquel cet ajustement se produit est appelé le module. Par exemple, une horloge ordinaire a un module de 12. Dans le cas de l'addition de 4 à 9, cela signifie que le résultat n'est pas 13 mais 1. Le même principe s'applique également à d'autres opérations, telles que la soustraction, la multiplication et la division.

Certaines formes d'arithmétique traitent des opérations effectuées sur des objets mathématiques autres que des nombres. L'arithmétique d'intervalle décrit les opérations sur les intervalles. L'arithmétique vectorielle et l'arithmétique matricielle décrivent les opérations arithmétiques sur les vecteurs et les matrices , comme l'addition de vecteurs et la multiplication de matrices .

Les systèmes arithmétiques peuvent être classés en fonction du système numérique sur lequel ils s'appuient. Par exemple, l'arithmétique décimale décrit les opérations arithmétiques dans le système décimal. D'autres exemples sont l'arithmétique binaire , l'arithmétique octale et l'arithmétique hexadécimale .

L'arithmétique des unités composées décrit les opérations arithmétiques effectuées sur des grandeurs avec des unités composées. Elle implique des opérations supplémentaires pour régir la transformation entre les quantités unitaires simples et les quantités unitaires composées. Par exemple, l'opération de réduction est utilisée pour transformer la quantité composée 1 h 90 min en quantité unitaire simple 150 min.

L'arithmétique non diophantienne est un système arithmétique qui viole les intuitions arithmétiques traditionnelles et comprend des équations telles que et . Elles peuvent être utilisées pour représenter certaines situations réelles de la physique moderne et de la vie quotidienne. Par exemple, l'équation peut être utilisée pour décrire l'observation selon laquelle si une goutte de pluie est ajoutée à une autre goutte de pluie, elles ne restent pas deux entités distinctes mais deviennent une seule.

Les fondements axiomatiques de l'arithmétique tentent de fournir un petit ensemble de lois, appelé axiomes , à partir desquelles toutes les propriétés fondamentales des nombres et les opérations sur ces nombres peuvent être dérivées. Ils constituent des cadres logiquement cohérents et systématiques qui peuvent être utilisés pour formuler des preuves mathématiques de manière rigoureuse. Deux approches bien connues sont les axiomes de Dedekind-Peano et les constructions de la théorie des ensembles .

Les axiomes de Dedekind-Peano fournissent une axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels. Leurs principes de base ont été formulés pour la première fois par Richard Dedekind puis affinés par Giuseppe Peano . Ils ne s'appuient que sur un petit nombre de concepts mathématiques primitifs, tels que 0, nombre naturel et successeur . Les axiomes de Peano déterminent la manière dont ces concepts sont liés les uns aux autres. Tous les autres concepts arithmétiques peuvent alors être définis en termes de ces concepts primitifs.

1. 0 est un nombre naturel.
2. Pour chaque nombre naturel, il existe un successeur, qui est également un nombre naturel.
3. Les successeurs de deux nombres naturels différents ne sont jamais identiques.
4. 0 n'est pas le successeur d'un nombre naturel.
5. Si un ensemble contient 0 et tous les successeurs, alors il contient tous les nombres naturels.

Les nombres supérieurs à 0 sont exprimés par l'application répétée de la fonction successeur . Par exemple, est et est . Les opérations arithmétiques peuvent être définies comme des mécanismes qui affectent la manière dont la fonction successeur est appliquée. Par exemple, ajouter à n'importe quel nombre revient à appliquer la fonction successeur deux fois à ce nombre.

Diverses axiomatisations de l'arithmétique reposent sur la théorie des ensembles. Elles couvrent les nombres naturels mais peuvent également être étendues aux entiers, aux nombres rationnels et aux nombres réels. Chaque nombre naturel est représenté par un ensemble unique. 0 est généralement défini comme l'ensemble vide . Chaque nombre suivant peut être défini comme l' union du nombre précédent avec l'ensemble contenant le nombre précédent. Par exemple, , et . Les entiers peuvent être définis comme des paires ordonnées de nombres naturels où le deuxième nombre est soustrait du premier. Par exemple, la paire (9, 0) représente le nombre 9 tandis que la paire (0, 9) représente le nombre -9. Les nombres rationnels sont définis comme des paires d'entiers où le premier nombre représente le numérateur et le deuxième nombre représente le dénominateur. Par exemple, la paire (3, 7) représente le nombre rationnel . Une façon de construire les nombres réels repose sur le concept de coupures de Dedekind . Selon cette approche, chaque nombre réel est représenté par une partition de tous les nombres rationnels en deux ensembles, l'un pour tous les nombres inférieurs au nombre réel représenté et l'autre pour le reste. Les opérations arithmétiques sont définies comme des fonctions qui effectuent diverses transformations théoriques des ensembles sur les ensembles représentant les nombres d'entrée pour arriver à l'ensemble représentant le résultat.

Les premières formes d'arithmétique remontent parfois au comptage et aux marques de comptage utilisées pour suivre les quantités. Certains historiens suggèrent que l' os de Lebombo (daté d'il y a environ 43 000 ans) et l' os d'Ishango (daté d'il y a environ 22 000 à 30 000 ans) sont les plus anciens artefacts arithmétiques, mais cette interprétation est contestée. sens basique des nombres peut être antérieur à ces découvertes et pourrait même avoir existé avant le développement du langage.

Ce n'est qu'avec l'émergence des civilisations antiques qu'une approche plus complexe et structurée de l'arithmétique a commencé à évoluer, à partir d'environ 3000 avant J.-C. Cela est devenu nécessaire en raison du besoin accru de suivre les articles stockés, de gérer la propriété foncière et d'organiser les échanges. Toutes les grandes civilisations antiques ont développé des systèmes de numération non positionnels pour faciliter la représentation des nombres. Elles avaient également des symboles pour des opérations comme l'addition et la soustraction et connaissaient les fractions. Les hiéroglyphes égyptiens ainsi que les systèmes de numération inventés en Sumer , en Chine et en Inde en sont des exemples . Le premier système de numération positionnelle a été développé par les Babyloniens à partir d'environ 1800 avant J.-C. Il s'agissait d'une amélioration significative par rapport aux systèmes de numération antérieurs, car il rendait la représentation de grands nombres et les calculs sur ceux-ci plus efficaces. Les abaques sont utilisés comme outils de calcul manuels depuis l'Antiquité comme moyen efficace pour effectuer des calculs complexes.

Les premières civilisations utilisaient principalement les nombres à des fins pratiques concrètes, comme les activités commerciales et les déclarations fiscales, mais manquaient d'un concept abstrait du nombre lui-même. Cela a changé avec les mathématiciens grecs antiques , qui ont commencé à explorer la nature abstraite des nombres plutôt qu'à étudier comment ils sont appliqués à des problèmes spécifiques. Une autre nouveauté était leur utilisation de preuves pour établir des vérités mathématiques et valider des théories. Une autre contribution a été leur distinction de diverses classes de nombres, tels que les nombres pairs , les nombres impairs et les nombres premiers . Cela comprenait la découverte que les nombres pour certaines longueurs géométriques sont irrationnels et ne peuvent donc pas être exprimés sous forme de fraction. Les travaux de Thalès de Milet et de Pythagore aux 7e et 6e siècles avant notre ère sont souvent considérés comme la naissance des mathématiques grecques. Diophante était une figure influente de l'arithmétique grecque au 3e siècle avant J.-C. en raison de ses nombreuses contributions à la théorie des nombres et de son exploration de l'application des opérations arithmétiques aux équations algébriques .

Les Indiens de l'Antiquité furent les premiers à développer le concept de zéro comme nombre à utiliser dans les calculs. Les règles exactes de son fonctionnement furent écrites par Brahmagupta vers 628 apr. J.-C. Le concept de zéro ou de zéro existait bien avant, mais il n'était pas considéré comme un objet d'opérations arithmétiques. Brahmagupta a en outre fourni une discussion détaillée des calculs avec des nombres négatifs et de leur application à des problèmes tels que le crédit et la dette. Le concept de nombres négatifs lui-même est beaucoup plus ancien et a été exploré pour la première fois dans les mathématiques chinoises au premier millénaire avant J.-C.

Les mathématiciens indiens ont également développé le système décimal positionnel utilisé aujourd'hui, en particulier le concept d'un chiffre zéro au lieu de positions vides ou manquantes. Par exemple, un traitement détaillé de ses opérations a été fourni par Aryabhata au tournant du 6e siècle de notre ère. Le système décimal indien a été encore affiné et étendu aux non-entiers pendant l' âge d'or islamique par des mathématiciens arabes tels qu'Al -Khwarizmi . Son travail a eu une influence sur l'introduction du système de numération décimale dans le monde occidental, qui à cette époque s'appuyait sur le système de numération romain . Là, il a été popularisé par des mathématiciens comme Leonardo Fibonacci , qui a vécu aux XIIe et XIIIe siècles et a également développé la séquence de Fibonacci . Au Moyen Âge et à la Renaissance , de nombreux manuels populaires ont été publiés pour couvrir les calculs pratiques du commerce. L'utilisation des bouliers s'est également généralisée à cette période. Au XVIe siècle, le mathématicien Gerolamo Cardano a conçu le concept de nombres complexes comme un moyen de résoudre des équations cubiques .

Les premières calculatrices mécaniques ont été développées au XVIIe siècle et ont grandement facilité les calculs mathématiques complexes, tels que la calculatrice de Blaise Pascal et le calculateur à échelons de Gottfried Wilhelm Leibniz . Le XVIIe siècle a également vu la découverte du logarithme par John Napier .

Aux XVIIIe et XIXe siècles, des mathématiciens comme Leonhard Euler et Carl Friedrich Gauss ont posé les bases de la théorie moderne des nombres. Un autre développement de cette période concerne les travaux sur la formalisation et les fondements de l'arithmétique, tels que la théorie des ensembles de Georg Cantor et les axiomes de Dedekind-Peano utilisés comme axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels. ​​Les ordinateurs et les calculatrices électroniques ont été développés pour la première fois au XXe siècle. Leur utilisation généralisée a révolutionné à la fois la précision et la vitesse avec lesquelles même les calculs arithmétiques complexes peuvent être calculés.

L'enseignement de l'arithmétique fait partie de l'enseignement primaire . C'est l'une des premières formes d' enseignement des mathématiques que les enfants rencontrent. L'arithmétique élémentaire vise à donner aux élèves un sens de base des nombres et à les familiariser avec les opérations numériques fondamentales comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Elle est généralement introduite en relation avec des scénarios concrets, comme compter des perles , diviser la classe en groupes d'enfants de la même taille et calculer la monnaie lors de l'achat d'articles. Les outils courants dans l'enseignement précoce de l'arithmétique sont les lignes numériques , les tables d'addition et de multiplication, les blocs de comptage et les bouliers.

Les étapes ultérieures se concentrent sur une compréhension plus abstraite et présentent aux élèves différents types de nombres, tels que les nombres négatifs, les fractions, les nombres réels et les nombres complexes. Elles couvrent également des opérations numériques plus avancées, comme l'exponentiation, l'extraction de racines et le logarithme. Elles montrent également comment les opérations arithmétiques sont utilisées dans d'autres branches des mathématiques, comme leur application pour décrire des formes géométriques et l'utilisation de variables en algèbre. Un autre aspect consiste à enseigner aux élèves l'utilisation d' algorithmes et de calculatrices pour résoudre des problèmes arithmétiques complexes.

La psychologie de l'arithmétique s'intéresse à la façon dont les humains et les animaux apprennent les nombres, les représentent et les utilisent pour les calculs. Elle examine comment les problèmes mathématiques sont compris et résolus et comment les capacités arithmétiques sont liées à la perception , à la mémoire , au jugement et à la prise de décision . Par exemple, elle étudie comment des collections d'éléments concrets sont d'abord rencontrées dans la perception et ensuite associées à des nombres. Un autre domaine de recherche concerne la relation entre les calculs numériques et l'utilisation du langage pour former des représentations. La psychologie explore également l'origine biologique de l'arithmétique en tant que capacité innée. Cela concerne les processus cognitifs préverbaux et présymboliques mettant en œuvre des opérations de type arithmétique nécessaires pour représenter avec succès le monde et effectuer des tâches comme la navigation spatiale.

L'un des concepts étudiés par la psychologie est le calcul , qui est la capacité à comprendre des concepts numériques, à les appliquer à des situations concrètes et à raisonner avec eux. Il comprend un sens fondamental des nombres ainsi que la capacité d'estimer et de comparer des quantités. Il englobe en outre les capacités à représenter symboliquement des nombres dans des systèmes de numération, à interpréter des données numériques et à évaluer des calculs arithmétiques. Le calcul est une compétence clé dans de nombreux domaines universitaires. Un manque de calcul peut entraver la réussite scolaire et conduire à de mauvaises décisions économiques dans la vie quotidienne, par exemple en mal comprenant les plans hypothécaires et les polices d'assurance .

La philosophie de l'arithmétique étudie les concepts et principes fondamentaux qui sous-tendent les nombres et les opérations arithmétiques. Elle explore la nature et le statut ontologique des nombres, la relation de l'arithmétique au langage et à la logique , et la manière dont il est possible d'acquérir des connaissances arithmétiques .

Selon le platonisme , les nombres ont une existence indépendante de l'esprit : ils existent en tant qu'objets abstraits en dehors de l'espace-temps et sans pouvoirs causaux. Ce point de vue est rejeté par les intuitionnistes , qui prétendent que les objets mathématiques sont des constructions mentales. D'autres théories sont le logicisme , qui soutient que les vérités mathématiques sont réductibles à des vérités logiques , et le formalisme , qui stipule que les principes mathématiques sont des règles de manipulation des symboles sans prétendre qu'ils correspondent à des entités extérieures à l'activité régie par des règles.

L'idée traditionnellement dominante dans l' épistémologie de l'arithmétique est que les vérités arithmétiques sont connaissables a priori . Cela signifie qu'elles peuvent être connues par la seule pensée sans avoir besoin de s'appuyer sur l'expérience sensorielle . Certains partisans de cette opinion affirment que la connaissance arithmétique est innée tandis que d'autres affirment qu'il existe une forme d' intuition rationnelle par laquelle les vérités mathématiques peuvent être appréhendées. Une autre opinion plus récente a été suggérée par des philosophes naturalistes comme Willard Van Orman Quine , qui soutiennent que les principes mathématiques sont des généralisations de haut niveau qui sont finalement fondées sur le monde sensoriel tel que décrit par les sciences empiriques.

L'arithmétique est pertinente dans de nombreux domaines. Dans la vie quotidienne , elle est nécessaire pour calculer la monnaie lors des courses, gérer les finances personnelles et adapter une recette de cuisine à un nombre différent de portions. Les entreprises utilisent l'arithmétique pour calculer les profits et les pertes et analyser les tendances du marché . Dans le domaine de l'ingénierie , elle est utilisée pour mesurer des quantités, calculer des charges et des forces et concevoir des structures. La cryptographie s'appuie sur des opérations arithmétiques pour protéger les informations sensibles en cryptant les données et les messages.

L'arithmétique est intimement liée à de nombreuses branches des mathématiques qui dépendent des opérations numériques. L'algèbre s'appuie sur des principes arithmétiques pour résoudre des équations à l'aide de variables. Ces principes jouent également un rôle clé dans le calcul différentiel et intégral dans sa tentative de déterminer les taux de variation et les aires sous les courbes . La géométrie utilise des opérations arithmétiques pour mesurer les propriétés des formes tandis que les statistiques les utilisent pour analyser les données numériques. En raison de la pertinence des opérations arithmétiques dans l'ensemble des mathématiques, l'influence de l'arithmétique s'étend à la plupart des sciences telles que la physique , l'informatique et l'économie . Ces opérations sont utilisées dans les calculs, la résolution de problèmes , l'analyse de données et les algorithmes, ce qui les rend essentielles à la recherche scientifique, au développement technologique et à la modélisation économique.