vecteur euclidien

En mathématiques , en physique et en ingénierie , un vecteur euclidien ou simplement un vecteur (parfois appelé vecteur géométrique ou vecteur spatial ) est un objet géométrique qui a une grandeur (ou une longueur ) et une direction . Les vecteurs euclidiens peuvent être ajoutés et mis à l'échelle pour former un espace vectoriel . Une quantité vectorielle est une quantité physique à valeur vectorielle , comprenant des unités de mesure et éventuellement un support , formulée sous la forme d'un segment de ligne orienté . Un vecteur est souvent représenté graphiquement comme une flèche reliant un point initial A à un point terminal B , et désigné par

Un vecteur est ce qui est nécessaire pour « porter » le point A au point B ; le mot latin vector signifie « porteur ». Il a été utilisé pour la première fois par les astronomes du 18e siècle qui étudiaient la révolution planétaire autour du Soleil. La grandeur du vecteur est la distance entre les deux points, et la direction fait référence à la direction du déplacement de A à B. De nombreuses opérations algébriques sur les nombres réels telles que l'addition , la soustraction , la multiplication et la négation ont des analogues proches pour les vecteurs, des opérations qui obéissent aux lois algébriques familières de commutativité , d'associativité et de distributivité . Ces opérations et les lois associées qualifient les vecteurs euclidiens comme un exemple du concept plus généralisé de vecteurs définis simplement comme des éléments d'un espace vectoriel .

Les vecteurs jouent un rôle important en physique : la vitesse et l'accélération d'un objet en mouvement ainsi que les forces agissant sur lui peuvent toutes être décrites à l'aide de vecteurs. De nombreuses autres quantités physiques peuvent être utilement considérées comme des vecteurs. Bien que la plupart d'entre elles ne représentent pas des distances (à l'exception, par exemple, de la position ou du déplacement ), leur grandeur et leur direction peuvent néanmoins être représentées par la longueur et la direction d'une flèche. La représentation mathématique d'un vecteur physique dépend du système de coordonnées utilisé pour le décrire. D'autres objets de type vectoriel qui décrivent des quantités physiques et se transforment de manière similaire sous l'effet de changements du système de coordonnées comprennent les pseudovecteurs et les tenseurs .

Le concept de vecteur, tel qu'il est connu aujourd'hui, est le résultat d'un développement progressif sur une période de plus de 200 ans. Une douzaine de personnes ont contribué de manière significative à son développement. En 1835, Giusto Bellavitis a abstrait l'idée de base lorsqu'il a établi le concept d' équipollence . Travaillant dans un plan euclidien, il a rendu équipollente toute paire de segments de droite parallèles de même longueur et de même orientation. Essentiellement, il a réalisé une relation d'équivalence sur les paires de points (bipoints) dans le plan, et a ainsi érigé le premier espace de vecteurs dans le plan. Le terme vecteur a été introduit par William Rowan Hamilton comme partie d'un quaternion , qui est une somme q = s + v d'un nombre réel s (également appelé scalaire ) et d'un vecteur tridimensionnel . Comme Bellavitis, Hamilton considérait les vecteurs comme représentatifs de classes de segments orientés équipollents. Comme les nombres complexes utilisent une unité imaginaire pour compléter la droite réelle , Hamilton considérait le vecteur v comme la partie imaginaire d'un quaternion :

La partie algébriquement imaginaire, étant géométriquement construite par une droite, ou rayon vecteur, qui a, en général, pour chaque quaternion déterminé, une longueur déterminée et une direction déterminée dans l'espace, peut être appelée partie vectorielle, ou simplement vecteur du quaternion.

Plusieurs autres mathématiciens ont développé des systèmes de type vectoriel au milieu du XIXe siècle, notamment Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , le comte de Saint-Venant et Matthew O'Brien . L'ouvrage de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Théorie du flux et du reflux) fut le premier système d'analyse spatiale similaire au système actuel, et comportait des idées correspondant au produit vectoriel, au produit scalaire et à la différentiation vectorielle. Le travail de Grassmann fut largement négligé jusqu'aux années 1870. Peter Guthrie Tait a porté la norme des quaternions après Hamilton. Son traité élémentaire des quaternions de 1867 comprenait un traitement approfondi de l'opérateur nabla ou del ∇. En 1878, Elements of Dynamic fut publié par William Kingdon Clifford . Clifford a simplifié l'étude des quaternions en isolant le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs du produit quaternionique complet. Cette approche a rendu les calculs vectoriels accessibles aux ingénieurs et à d'autres personnes travaillant en trois dimensions et sceptiques quant à la quatrième dimension.

Josiah Willard Gibbs , qui a été exposé aux quaternions grâce au Traité sur l'électricité et le magnétisme de James Clerk Maxwell , a séparé leur partie vectorielle pour un traitement indépendant. La première moitié des Éléments d'analyse vectorielle de Gibbs , publiés en 1881, présente ce qui est essentiellement le système moderne d'analyse vectorielle. En 1901, Edwin Bidwell Wilson a publié Vector Analysis , adapté des conférences de Gibbs, qui bannit toute mention des quaternions dans le développement du calcul vectoriel.

En physique et en ingénierie , un vecteur est généralement considéré comme une entité géométrique caractérisée par une grandeur et une direction relative . Il est formellement défini comme un segment de droite orienté , ou une flèche, dans un espace euclidien . En mathématiques pures , un vecteur est défini plus généralement comme tout élément d'un espace vectoriel . Dans ce contexte, les vecteurs sont des entités abstraites qui peuvent ou non être caractérisées par une grandeur et une direction. Cette définition généralisée implique que les entités géométriques mentionnées ci-dessus sont un type particulier de vecteurs abstraits, car ils sont des éléments d'un type particulier d'espace vectoriel appelé espace euclidien . Cet article particulier porte sur les vecteurs strictement définis comme des flèches dans l'espace euclidien. Lorsqu'il devient nécessaire de distinguer ces vecteurs spéciaux des vecteurs tels que définis en mathématiques pures, ils sont parfois appelés vecteurs géométriques , spatiaux ou euclidiens .

Un vecteur euclidien peut posséder un point initial et un point terminal définis ; une telle condition peut être soulignée en appelant le résultat un vecteur lié . Lorsque seules la grandeur et la direction du vecteur importent, et que les points initiaux ou terminaux particuliers n'ont aucune importance, le vecteur est appelé vecteur libre . La distinction entre vecteurs liés et vecteurs libres est particulièrement pertinente en mécanique, où une force appliquée à un corps a un point de contact (voir force résultante et couple ).

Deux flèches et dans l'espace représentent le même vecteur libre si elles ont la même norme et la même direction : c'est-à-dire qu'elles sont équipollentes si le quadrilatère ABB′A′ est un parallélogramme . Si l'espace euclidien est muni d'un choix d' origine , alors un vecteur libre est équivalent au vecteur lié de même norme et de même direction dont le point initial est l'origine.

Le terme vecteur a également des généralisations à des dimensions supérieures et à des approches plus formelles avec des applications beaucoup plus larges.

En géométrie euclidienne classique (c'est-à-dire en géométrie synthétique ), les vecteurs ont été introduits (au cours du XIXe siècle) comme classes d'équivalence sous équipollence , de paires ordonnées de points ; deux paires ( A , B ) et ( C , D ) étant équipollentes si les points A , B , D , C , dans cet ordre, forment un parallélogramme . Une telle classe d'équivalence est appelée un vecteur , plus précisément, un vecteur euclidien. La classe d'équivalence de ( A , B ) est souvent notée

Un vecteur euclidien est donc une classe d'équivalence de segments orientés ayant la même grandeur (par exemple, la longueur du segment de droite ( A , B ) ) et la même direction (par exemple, la direction de A à B ). En physique, les vecteurs euclidiens sont utilisés pour représenter des quantités physiques qui ont à la fois une grandeur et une direction, mais ne sont pas situées à un endroit spécifique, contrairement aux scalaires , qui n'ont pas de direction. Par exemple, la vitesse , les forces et l'accélération sont représentées par des vecteurs.

En géométrie moderne, les espaces euclidiens sont souvent définis à partir de l'algèbre linéaire . Plus précisément, un espace euclidien E est défini comme un ensemble auquel est associé un espace produit scalaire de dimension finie sur les réels et une action de groupe du groupe additif de qui est libre et transitive (Voir Espace affine pour les détails de cette construction). Les éléments de sont appelés des translations . Il a été démontré que les deux définitions des espaces euclidiens sont équivalentes, et que les classes d'équivalence sous équipollence peuvent être identifiées à des translations.

Parfois, les vecteurs euclidiens sont considérés sans référence à un espace euclidien. Dans ce cas, un vecteur euclidien est un élément d'un espace vectoriel normé de dimension finie sur les réels, ou, généralement, un élément de l' espace de coordonnées réels muni du produit scalaire . Cela est logique, car l'addition dans un tel espace vectoriel agit librement et transitivement sur l'espace vectoriel lui-même. C'est-à-dire qu'il s'agit d'un espace euclidien, avec lui-même comme espace vectoriel associé, et le produit scalaire comme produit scalaire.

L'espace euclidien est souvent présenté comme l' espace euclidien standard de dimension n . Cela est motivé par le fait que tout espace euclidien de dimension n est isomorphe à l'espace euclidien. Plus précisément, étant donné un tel espace euclidien, on peut choisir n'importe quel point O comme origine . Par le processus de Gram-Schmidt , on peut également trouver une base orthonormée de l'espace vectoriel associé (une base telle que le produit scalaire de deux vecteurs de base soit 0 s'ils sont différents et 1 s'ils sont égaux). Cela définit les coordonnées cartésiennes de tout point P de l'espace, comme les coordonnées sur cette base du vecteur Ces choix définissent un isomorphisme de l'espace euclidien donné sur en faisant correspondre tout point au n -uplet de ses coordonnées cartésiennes, et tout vecteur à son vecteur de coordonnées .

Étant donné que le concept de force du physicien a une direction et une intensité, il peut être considéré comme un vecteur. À titre d'exemple, considérons une force F dirigée vers la droite de 15 newtons . Si l' axe positif est également dirigé vers la droite, alors F est représenté par le vecteur 15 N, et si l'axe positif pointe vers la gauche, alors le vecteur pour F est −15 N. Dans les deux cas, l'intensité du vecteur est de 15 N. De même, la représentation vectorielle d'un déplacement Δ s de 4 mètres serait de 4 m ou −4 m, selon sa direction, et son intensité serait de 4 m dans tous les cas.

Les vecteurs sont fondamentaux dans les sciences physiques. Ils peuvent être utilisés pour représenter toute quantité qui a une grandeur, une direction et qui adhère aux règles de l'addition vectorielle. Un exemple est la vélocité , dont la grandeur est speed . Par exemple, la vélocité de 5 mètres par seconde vers le haut pourrait être représentée par le vecteur (0, 5) (en 2 dimensions avec l' axe des y positif comme « vers le haut »). Une autre quantité représentée par un vecteur est la force , car elle a une grandeur et une direction et suit les règles de l'addition vectorielle. Les vecteurs décrivent également de nombreuses autres quantités physiques, telles que le déplacement linéaire, le déplacement , l'accélération linéaire, l'accélération angulaire , le moment linéaire et le moment angulaire . D'autres vecteurs physiques, tels que le champ électrique et magnétique , sont représentés comme un système de vecteurs en chaque point d'un espace physique ; c'est-à-dire un champ vectoriel . Des exemples de quantités qui ont une grandeur et une direction, mais ne suivent pas les règles de l'addition vectorielle, sont le déplacement angulaire et le courant électrique. Par conséquent, ce ne sont pas des vecteurs.

Dans le système de coordonnées cartésiennes , un vecteur lié peut être représenté en identifiant les coordonnées de son point initial et de son point final. Par exemple, les points A = (1, 0, 0) et B = (0, 1, 0) dans l'espace déterminent le vecteur lié pointant du point x = 1 sur l' axe des x au point y = 1 sur l' axe des y .

En coordonnées cartésiennes, un vecteur libre peut être considéré en termes de vecteur lié correspondant, dans ce sens, dont le point initial a les coordonnées de l'origine O = (0, 0, 0) . Il est alors déterminé par les coordonnées du point terminal de ce vecteur lié. Ainsi, le vecteur libre représenté par (1, 0, 0) est un vecteur de longueur unitaire, pointant dans la direction de l' axe des x positif .

Cette représentation des coordonnées des vecteurs libres permet d'exprimer leurs caractéristiques algébriques de manière numérique pratique. Par exemple, la somme des deux vecteurs (libres) (1, 2, 3) et (−2, 0, 4) est le vecteur (libre)

Dans les contextes géométriques et physiques, il est parfois possible d'associer, de manière naturelle, une longueur ou une grandeur et une direction à des vecteurs. De plus, la notion de direction est strictement associée à la notion d' angle entre deux vecteurs. Si l'on définit le produit scalaire de deux vecteurs (un produit scalaire de deux vecteurs), il est alors également possible de définir une longueur ; le produit scalaire donne une caractérisation algébrique pratique à la fois de l'angle (une fonction du produit scalaire entre deux vecteurs non nuls) et de la longueur (la racine carrée du produit scalaire d'un vecteur par lui-même). En trois dimensions, il est en outre possible de définir le produit vectoriel , qui fournit une caractérisation algébrique de l' aire et de l'orientation dans l'espace du parallélogramme défini par deux vecteurs (utilisés comme côtés du parallélogramme). Dans toute dimension (et, en particulier, les dimensions supérieures), il est possible de définir le produit extérieur , qui (entre autres) fournit une caractérisation algébrique de l'aire et de l'orientation dans l'espace du parallélotope n -dimensionnel défini par n vecteurs.

Dans un espace pseudo-euclidien , la longueur au carré d'un vecteur peut être positive, négative ou nulle. Un exemple important est l'espace de Minkowski (qui est important pour notre compréhension de la relativité restreinte ).

Cependant, il n'est pas toujours possible ou souhaitable de définir la longueur d'un vecteur. Ce type plus général de vecteur spatial fait l'objet d' espaces vectoriels (pour les vecteurs libres) et d'espaces affines (pour les vecteurs liés, chacun étant représenté par une paire ordonnée de « points »). Un exemple physique vient de la thermodynamique , où de nombreuses quantités d'intérêt peuvent être considérées comme des vecteurs dans un espace sans notion de longueur ou d'angle.

En physique, comme en mathématiques, un vecteur est souvent identifié à un tuple de composantes, ou à une liste de nombres, qui agissent comme des coefficients scalaires pour un ensemble de vecteurs de base . Lorsque la base est transformée, par exemple par rotation ou étirement, les composantes de tout vecteur par rapport à cette base se transforment également dans un sens opposé. Le vecteur lui-même n'a pas changé, mais la base, oui, de sorte que les composantes du vecteur doivent changer pour compenser. Le vecteur est appelé covariant ou contravariant , selon la relation entre la transformation des composantes du vecteur et la transformation de la base. En général, les vecteurs contravariants sont des « vecteurs réguliers » avec des unités de distance (comme un déplacement), ou la distance multipliée par une autre unité (comme la vitesse ou l'accélération) ; les vecteurs covariants, en revanche, ont des unités de un sur la distance comme le gradient . Si vous changez les unités (un cas particulier de changement de base ) des mètres aux millimètres, un facteur d'échelle de 1/1000, un déplacement de 1 m devient 1000 mm, soit un changement contravariant de la valeur numérique. En revanche, un gradient de 1 K /m devient 0,001 K/mm, soit un changement covariant de la valeur (pour plus d'informations, voir covariance et contravariance des vecteurs ). Les tenseurs sont un autre type de quantité qui se comporte de cette manière ; un vecteur est un type de tenseur .

En mathématiques pures , un vecteur est un élément quelconque d'un espace vectoriel sur un corps et est souvent représenté comme un vecteur de coordonnées . Les vecteurs décrits dans cet article sont un cas très particulier de cette définition générale, car ils sont contravariants par rapport à l'espace ambiant. La contravariance capture l'intuition physique derrière l'idée qu'un vecteur a une « grandeur et une direction ».

Les vecteurs sont généralement indiqués en caractères gras minuscules , comme dans , et , ou en caractères gras italiques minuscules, comme dans a . ( Les lettres majuscules sont généralement utilisées pour représenter les matrices .) D'autres conventions incluent ou a , en particulier dans l'écriture manuscrite. Alternativement, certains utilisent un tilde (~) ou un soulignement ondulé dessiné sous le symbole, par exemple , qui est une convention pour indiquer le type en gras. Si le vecteur représente une distance dirigée ou un déplacement d'un point A à un point B (voir figure), il peut également être noté ou AB . Dans la littérature allemande , il était particulièrement courant de représenter les vecteurs avec de petites lettres fraktur telles que .

Les vecteurs sont généralement représentés dans les graphiques ou autres diagrammes sous forme de flèches ( segments de droite orientés ), comme illustré dans la figure. Ici, le point A est appelé origine , queue , base ou point initial , et le point B est appelé tête , pointe , point final , point terminal ou point final . La longueur de la flèche est proportionnelle à la grandeur du vecteur , tandis que la direction dans laquelle pointe la flèche indique la direction du vecteur.

Sur un diagramme bidimensionnel, il est parfois souhaitable d'avoir un vecteur perpendiculaire au plan du diagramme. Ces vecteurs sont généralement représentés par de petits cercles. Un cercle avec un point en son centre (Unicode U+2299 ⊙) indique un vecteur pointant vers l'avant du diagramme, vers le spectateur. Un cercle avec une croix inscrite à l'intérieur (Unicode U+2297 ⊗) indique un vecteur pointant vers l'intérieur et l'arrière du diagramme. On peut considérer ces représentations comme la visualisation de la pointe d'une flèche vers l'avant et des vols d'une flèche vers l'arrière.

Pour effectuer des calculs avec des vecteurs, la représentation graphique peut être trop lourde. Les vecteurs dans un espace euclidien à n dimensions peuvent être représentés comme des vecteurs de coordonnées dans un système de coordonnées cartésiennes . Le point final d'un vecteur peut être identifié par une liste ordonnée de n nombres réels ( n - uplet ). Ces nombres sont les coordonnées du point final du vecteur, par rapport à un système de coordonnées cartésiennes donné , et sont généralement appelés composantes scalaires (ou projections scalaires ) du vecteur sur les axes du système de coordonnées.

A titre d'exemple en deux dimensions (voir figure), le vecteur de l'origine O = (0, 0) au point A = (2, 3) s'écrit simplement comme

L'idée que la queue du vecteur coïncide avec l'origine est implicite et facilement compréhensible. Ainsi, la notation la plus explicite est généralement considérée comme inutile (et est en fait rarement utilisée).

Dans l'espace euclidien tridimensionnel (ou R ³ ), les vecteurs sont identifiés à des triplets de composantes scalaires : également écrit,

Ceci peut être généralisé à l'espace euclidien n-dimensionnel (ou R ⁿ ).

Ces nombres sont souvent disposés dans un vecteur colonne ou un vecteur ligne , en particulier lorsqu'il s'agit de matrices , comme suit :

Une autre façon de représenter un vecteur en n dimensions est d'introduire les vecteurs de base standard . Par exemple, en trois dimensions, il en existe trois : Ceux-ci ont l'interprétation intuitive comme des vecteurs de longueur unitaire pointant vers le haut des axes x , y et z d'un système de coordonnées cartésiennes , respectivement. En termes de ceux-ci, tout vecteur a dans R ³ peut être exprimé sous la forme :

ou

où a ₁ , a ₂ , a ₃ sont appelées les composantes vectorielles (ou projections vectorielles ) de a sur les vecteurs de base ou, de manière équivalente, sur les axes cartésiens correspondants x , y et z (voir figure), tandis que a ₁ , a ₂ , a _{3 sont les} composantes scalaires respectives (ou projections scalaires).

Dans les manuels d'introduction à la physique, les vecteurs de base standard sont souvent désignés à la place (ou , dans lesquels le symbole du chapeau désigne généralement les vecteurs unitaires ). Dans ce cas, les composantes scalaires et vectorielles sont désignées respectivement par a _x , a _y , a _z et a _x , a _y , a _z (notez la différence en gras). Ainsi,

La notation e _i est compatible avec la notation d'indice et la convention de sommation couramment utilisées dans les mathématiques de niveau supérieur, la physique et l'ingénierie.

Comme expliqué ci-dessus, un vecteur est souvent décrit par un ensemble de composantes vectorielles qui s'additionnent pour former le vecteur donné. En général, ces composantes sont les projections du vecteur sur un ensemble d'axes de référence mutuellement perpendiculaires (vecteurs de base). On dit que le vecteur est décomposé ou résolu par rapport à cet ensemble.

La décomposition ou résolution d'un vecteur en composantes n'est pas unique, car elle dépend du choix des axes sur lesquels le vecteur est projeté.

De plus, l'utilisation de vecteurs unitaires cartésiens tels que comme base de représentation d'un vecteur n'est pas obligatoire. Les vecteurs peuvent également être exprimés en termes de base arbitraire, y compris les vecteurs unitaires d'un système de coordonnées cylindriques ( ) ou d'un système de coordonnées sphériques ( ). Les deux derniers choix sont plus pratiques pour résoudre des problèmes qui possèdent respectivement une symétrie cylindrique ou sphérique.

Le choix d'une base n'affecte pas les propriétés d'un vecteur ni son comportement lors des transformations.

Un vecteur peut également être décomposé par rapport à des vecteurs de base « non fixes » qui changent d' orientation en fonction du temps ou de l'espace. Par exemple, un vecteur dans l'espace tridimensionnel peut être décomposé par rapport à deux axes, respectivement normal et tangent à une surface (voir figure). De plus, les composantes radiale et tangentielle d'un vecteur se rapportent au rayon de rotation d'un objet. La première est parallèle au rayon et la seconde lui est orthogonale .

Dans ces cas, chacun des composants peut être à son tour décomposé par rapport à un système de coordonnées fixe ou à un ensemble de base (par exemple, un système de coordonnées global ou un référentiel inertiel ).

La section suivante utilise le système de coordonnées cartésiennes avec des vecteurs de base et suppose que tous les vecteurs ont l'origine comme point de base commun. Un vecteur a s'écrira comme

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même norme et la même direction. De même, ils seront égaux si leurs coordonnées sont égales. Ainsi, deux vecteurs et sont égaux si

Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même amplitude mais une direction opposée ; donc deux vecteurs

et

sont opposés si

Deux vecteurs sont équidirectionnels (ou codirectionnels ) s'ils ont la même direction mais pas nécessairement la même grandeur. Deux vecteurs sont parallèles s'ils ont soit la même direction, soit une direction opposée, mais pas nécessairement la même grandeur ; deux vecteurs sont antiparallèles s'ils ont une direction strictement opposée, mais pas nécessairement la même grandeur.

La somme de a et b de deux vecteurs peut être définie comme Le vecteur résultant est parfois appelé vecteur résultant de a et b .

L'addition peut être représentée graphiquement en plaçant la queue de la flèche b à la tête de la flèche a , puis en dessinant une flèche de la queue de a à la tête de b . La nouvelle flèche dessinée représente le vecteur a + b , comme illustré ci-dessous :

Cette méthode d'addition est parfois appelée règle du parallélogramme car a et b forment les côtés d'un parallélogramme et a + b est l'une des diagonales. Si a et b sont des vecteurs liés qui ont le même point de base, ce point sera aussi le point de base de a + b . On peut vérifier géométriquement que a + b = b + a et ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La différence entre a et b est

La soustraction de deux vecteurs peut être illustrée géométriquement de la manière suivante : pour soustraire b de a , placez les queues de a et b au même point, puis dessinez une flèche de la tête de b à la tête de a . Cette nouvelle flèche représente le vecteur (-b) + a , (-b) étant l'opposé de b , voir le dessin. Et (-b) + a = a − b .

Un vecteur peut également être multiplié, ou rééchelonné , par n'importe quel nombre réel r . Dans le contexte de l'algèbre vectorielle conventionnelle , ces nombres réels sont souvent appelés scalaires (à partir de l'échelle ) pour les distinguer des vecteurs. L'opération de multiplication d'un vecteur par un scalaire est appelée multiplication scalaire . Le vecteur résultant est

Intuitivement, la multiplication par un scalaire r étire un vecteur d'un facteur r . Géométriquement, cela peut être visualisé (au moins dans le cas où r est un entier) comme le placement de r copies du vecteur sur une ligne où le point final d'un vecteur est le point initial du vecteur suivant.

Si r est négatif, alors le vecteur change de direction : il se retourne d'un angle de 180°. Deux exemples ( r = −1 et r = 2) sont donnés ci-dessous :

La multiplication scalaire est distributive sur l'addition vectorielle dans le sens suivant : r ( a + b ) = r a + r b pour tous les vecteurs a et b et tous les scalaires r . On peut aussi montrer que a − b = a + (−1) b .

La longueur , la grandeur ou la norme du vecteur a est notée ‖ a ‖ ou, moins communément, | a |, qui ne doit pas être confondu avec la valeur absolue (une « norme » scalaire).

La longueur du vecteur a peut être calculée avec la norme euclidienne ,

ce qui est une conséquence du théorème de Pythagore puisque les vecteurs de base e ₁ , e ₂ , e ₃ sont des vecteurs unitaires orthogonaux.

Cela se trouve être égal à la racine carrée du produit scalaire , discuté ci-dessous, du vecteur avec lui-même :

Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur unitaire ; normalement, les vecteurs unitaires sont utilisés simplement pour indiquer une direction. Un vecteur de longueur arbitraire peut être divisé par sa longueur pour créer un vecteur unitaire. C'est ce qu'on appelle normaliser un vecteur. Un vecteur unitaire est souvent indiqué par un chapeau comme dans â .

Pour normaliser un vecteur a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , il faut mettre le vecteur à l'échelle par l'inverse de sa longueur ‖ a ‖. C'est-à-dire :

Le vecteur nul est le vecteur de longueur zéro. Écrit en coordonnées, le vecteur est (0, 0, 0) et il est généralement noté , 0 ou simplement 0. Contrairement à tout autre vecteur, il a une direction arbitraire ou indéterminée et ne peut pas être normalisé (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de vecteur unitaire qui soit un multiple du vecteur nul). La somme du vecteur nul avec n'importe quel vecteur a est a (c'est-à-dire 0 + a = a ).

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b (parfois appelé produit scalaire ou, puisque son résultat est un scalaire, produit scalaire ) est noté a ∙ b et est défini comme :

où θ est la mesure de l' angle entre a et b (voir la fonction trigonométrique pour une explication du cosinus). Géométriquement, cela signifie que a et b sont dessinés avec un point de départ commun, puis la longueur de a est multipliée par la longueur de la composante de b qui pointe dans la même direction que a .

Le produit scalaire peut également être défini comme la somme des produits des composants de chaque vecteur comme

Le produit vectoriel (également appelé produit vectoriel ou produit extérieur ) n'a de sens qu'en trois ou sept dimensions. Le produit vectoriel diffère du produit scalaire principalement en ce que le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Le produit vectoriel, noté a × b , est un vecteur perpendiculaire à a et à b et est défini comme

où θ est la mesure de l'angle entre a et b , et n est un vecteur unitaire perpendiculaire à a et b qui complète un système droitier . La contrainte de droitier est nécessaire car il existe deux vecteurs unitaires perpendiculaires à a et b , à savoir, n et (− n ).

Le produit vectoriel a × b est défini de telle sorte que a , b et a × b deviennent également un système droitier (bien que a et b ne soient pas nécessairement orthogonaux ). C'est la règle de la main droite .

La longueur de a × b peut être interprétée comme l'aire du parallélogramme ayant a et b comme côtés.

Le produit vectoriel peut s'écrire comme

Pour des choix arbitraires d'orientation spatiale (c'est-à-dire permettant des systèmes de coordonnées gauchers comme droitiers), le produit vectoriel de deux vecteurs est un pseudovecteur au lieu d'un vecteur (voir ci-dessous).

Le produit triple scalaire (également appelé produit de boîte ou produit triple mixte ) n'est pas vraiment un nouvel opérateur, mais une façon d'appliquer les deux autres opérateurs de multiplication à trois vecteurs. Le produit triple scalaire est parfois noté ( a b c ) et défini comme :

Il a trois utilisations principales. Premièrement, la valeur absolue du produit de boîte est le volume du parallélépipède dont les arêtes sont définies par les trois vecteurs. Deuxièmement, le triple produit scalaire est nul si et seulement si les trois vecteurs sont linéairement dépendants , ce qui peut être facilement prouvé en considérant que pour que les trois vecteurs ne forment pas un volume, ils doivent tous se trouver dans le même plan. Troisièmement, le produit de boîte est positif si et seulement si les trois vecteurs a , b et c sont droitiers.

Dans les composants ( par rapport à une base orthonormée droitière ), si les trois vecteurs sont considérés comme des lignes (ou des colonnes, mais dans le même ordre), le triple produit scalaire est simplement le déterminant de la matrice 3x3 ayant les trois vecteurs comme lignes

Le produit triple scalaire est linéaire dans les trois entrées et antisymétrique dans le sens suivant :

Jusqu'à présent, tous les exemples ont traité de vecteurs exprimés en termes de la même base, à savoir la base e { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. Cependant, un vecteur peut être exprimé en termes de n'importe quel nombre de bases différentes qui ne sont pas nécessairement alignées les unes avec les autres, et rester néanmoins le même vecteur. Dans la base e , un vecteur a est exprimé, par définition, comme

Les composantes scalaires de la base e sont, par définition,

Dans une autre base orthonormée n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } qui n'est pas nécessairement alignée avec e , le vecteur a est exprimé comme

et les composantes scalaires dans la base n sont, par définition,

Les valeurs de p , q , r et u , v , w se rapportent aux vecteurs unitaires de telle manière que la somme vectorielle résultante soit exactement le même vecteur physique a dans les deux cas. Il est courant de rencontrer des vecteurs connus en termes de bases différentes (par exemple, une base fixée à la Terre et une seconde base fixée à un véhicule en mouvement). Dans un tel cas, il est nécessaire de développer une méthode de conversion entre les bases afin que les opérations vectorielles de base telles que l'addition et la soustraction puissent être effectuées. Une façon d'exprimer u , v , w en termes de p , q , r est d'utiliser des matrices de colonnes avec une matrice de cosinus directeur contenant les informations qui relient les deux bases. Une telle expression peut être formée par substitution des équations ci-dessus pour former

La distribution de la multiplication par points donne

En remplaçant chaque produit scalaire par un scalaire unique, on obtient

et ces équations peuvent être exprimées comme une équation matricielle unique

Cette équation matricielle relie les composantes scalaires de a dans la base n ( u , v et w ) à celles dans la base e ( p , q et r ). Chaque élément de matrice c _jk est le cosinus directeur reliant n _j à e _k . Le terme cosinus directeur fait référence au cosinus de l'angle entre deux vecteurs unitaires, qui est également égal à leur produit scalaire. Par conséquent,

En désignant collectivement e ₁ , e ₂ , e ₃ comme base e et n ₁ , n ₂ , n ₃ comme base n , la matrice contenant tous les c _jk est connue sous le nom de « matrice de transformation de e vers n », ou « matrice de rotation de e vers n » (car elle peut être imaginée comme la « rotation » d'un vecteur d'une base vers une autre), ou encore « matrice des cosinus directeurs de e vers n » (car elle contient des cosinus directeurs). Les propriétés d'une matrice de rotation sont telles que son inverse est égal à sa transposée . Cela signifie que la « matrice de rotation de e vers n » est la transposée de la « matrice de rotation de n vers e ».

Les propriétés d'une matrice cosinus de direction, C sont :

• le déterminant est l'unité, |C| = 1;
• l'inverse est égal à la transposée ;
• les lignes et les colonnes sont des vecteurs unitaires orthogonaux, donc leurs produits scalaires sont nuls.

L'avantage de cette méthode est qu'une matrice cosinus de direction peut généralement être obtenue indépendamment en utilisant des angles d'Euler ou un quaternion pour relier les deux bases vectorielles, de sorte que les conversions de base peuvent être effectuées directement, sans avoir à calculer tous les produits scalaires décrits ci-dessus.

En appliquant successivement plusieurs multiplications de matrices, tout vecteur peut être exprimé dans n'importe quelle base à condition de connaître l'ensemble des cosinus directeurs reliant les bases successives.

À l'exception des produits croisés et triples, les formules ci-dessus se généralisent à deux dimensions et aux dimensions supérieures. Par exemple, l'addition se généralise à deux dimensions comme et à quatre dimensions comme

Le produit vectoriel ne se généralise pas facilement à d'autres dimensions, contrairement au produit extérieur qui lui est étroitement lié, dont le résultat est un bivecteur . En deux dimensions, il s'agit simplement d'un pseudoscalaire

Un produit vectoriel à sept dimensions est similaire au produit vectoriel en ce sens que son résultat est un vecteur orthogonal aux deux arguments ; il n'existe cependant aucun moyen naturel de sélectionner l'un des produits possibles de ce type.

Les vecteurs ont de nombreuses utilisations en physique et dans d’autres sciences.

Dans les espaces vectoriels abstraits, la longueur de la flèche dépend d'une échelle sans dimension . Si elle représente, par exemple, une force, l'« échelle » est de dimension physique longueur/force. Ainsi, il y a généralement cohérence d'échelle entre les quantités de même dimension, mais sinon les rapports d'échelle peuvent varier ; par exemple, si « 1 newton » et « 5 m » sont tous deux représentés par une flèche de 2 cm, les échelles sont respectivement de 1 m:50 N et 1:250. La même longueur de vecteurs de dimension différente n'a pas de signification particulière à moins qu'il n'existe une constante de proportionnalité inhérente au système représenté par le diagramme. De même, la longueur d'un vecteur unitaire (de dimension longueur, pas longueur/force, etc.) n'a pas de signification invariante dans le système de coordonnées.

Souvent, dans les domaines de la physique et des mathématiques, un vecteur évolue dans le temps, ce qui signifie qu'il dépend d'un paramètre temporel t . Par exemple, si r représente le vecteur de position d'une particule, alors r ( t ) donne une représentation paramétrique de la trajectoire de la particule. Les fonctions à valeurs vectorielles peuvent être différenciées et intégrées en différenciant ou en intégrant les composantes du vecteur, et de nombreuses règles familières du calcul continuent de s'appliquer à la dérivée et à l'intégrale des fonctions à valeurs vectorielles.

La position d'un point x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) dans l'espace tridimensionnel peut être représentée comme un vecteur de position dont le point de base est l'origine . Le vecteur de position a des dimensions de longueur .

Étant donné deux points x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) leur déplacement est un vecteur qui spécifie la position de y par rapport à x . La longueur de ce vecteur donne la distance en ligne droite de x à y . Le déplacement a les dimensions de la longueur.

La vitesse v d'un point ou d'une particule est un vecteur, sa longueur donne la vitesse . Pour une vitesse constante la position à l'instant t sera où x ₀ est la position à l'instant t = 0. La vitesse est la dérivée temporelle de la position. Ses dimensions sont longueur/temps.

L'accélération a d'un point est un vecteur qui est la dérivée temporelle de la vitesse. Ses dimensions sont longueur/temps ² .

La force est un vecteur dont les dimensions sont masse×longueur/temps ² (N ms ^-2 ) et la deuxième loi de Newton est la multiplication scalaire

Le travail est le produit scalaire de la force et du déplacement